转速及滚转角的测量是弹箭姿态测量中的重要一步。地磁传感器因其耐高过载、成本低、功耗低等优点在姿态测量中被广泛使用。常用的测量弹箭转速及滚转角的方法包括地磁与卫星、陀螺等传感器的组合[1-4]、三轴磁分量和坐标转移矩阵求解[5-8] 、二维平面解算方法[9-10]等方法。地磁与其他传感器的组合测量成本较高，且抗过载能力差；三轴磁分量和坐标转移矩阵求解的方法需要引入一个已知姿态角；二维平面解算方法则依赖传感器的精确输出。沈阳理工大学的研究人员提出了利用单轴地磁信号的周期和零点进行转速和转角实时预测的方法[11]。然而，在目前常用的方法中，地磁传感器需要精确安装和标定才能保证输出信号的准确性。
本研究基于旋转弹箭在滚转运动时的地磁传感器输出规律，提出了分段平移的信号处理方法，通过对采集信号的后处理，解算出旋转弹箭的转速及滚转角；并通过模拟仿真与其他方法进行比对，比较了不同转速下的解算误差和精度。
1 传感器输出信号规律分析
当弹体在地磁场中旋转时，沿传感器敏感轴的瞬时场强[12]：
MS=cos(λ)|M|cos(σM)+sin(λ)|M|sin(σM)sin(φS)
(1)
式中：M为地磁场矢量；σM为磁方位角，即弹轴与地磁场方向的夹角；φS为弹体的滚转角；λ为传感器的安装倾斜角度。
如图1所示，在弹体上建立坐标系o-ijk，i轴沿弹轴指向头部为正，j轴垂直于弹轴，k轴按右手法则与oij面垂直且向右为正。地磁传感器S 与i轴夹角为未知角度λ。
图1 装有传感器的弹体在磁场中的瞬时位置示意图
分析式(1)可知，当夹角λ=90°，瞬时场强MSJ为：
MSJ=|M|sin(σM)sin(φS)
(2)
高旋弹箭的滚转角速度远远大于俯仰和偏航两个方向的角速度，因此在弹箭滚转的几个周期内，弹箭可以视为平动滚转，弹箭不摆动，磁方位角σM可以视为定值。以弹箭自身的滚转角φS为自变量，则式(2)中MSJ是一个零偏距的正弦波信号，幅值为|M|sin(σM)。当传感器轴与地磁方向正交时，MSJ=0，即
|M|sin(σM)sin(φS)=0
(3)
则，sin(φS)=0。在一个滚转周期内，可以求得两个解，φS=0或φS=π。即在一个周期里，就有两个相位差为π的过零点。
同理，式(1)中任意安装角度的地磁传感器S 的输出信号MS也是正弦波信号，其偏距E为cos(λ)|M|cos(σM)，幅值A为sin(λ)|M|sin(σM)。仿照式(2)构建零偏距、幅值与信号MS相同的虚拟信号MS0如下：
MS0=sin(λ)|M|sin(σM)sin(φS)
(4)
则在一个滚转周期内，虚拟信号MS0也必然有两个相位差为π的过零点。
2 分段平移求解转速及滚转角
假设当地的磁感应强度B=50 000 nT，磁方位角角σM=60°，任意选取一个安装角度λ=52°，一段时间内，仿真得到传感器S 的输出信号MS和虚拟信号MS0曲线如图2所示。
图2 MS和MS0关系曲线
从图2看出，输出信号MS与虚拟信号MS0之间相差一个偏距E，即平移量。因此，虚拟信号MS0也可以看作是输出信号MS平移了一个偏距E所得到的新信号。则可以求得偏距E为
(5)
或者
(6)
其中，N为输出信号MS一个周期的数据点数。(F1、F2)、(P1、P2)分别为信号MS0的波峰波谷和过零点。由于信号MS0为零偏距正弦波信号，因此其波峰波谷与过零点彼此之间存在关系
(7)
这样，在高旋弹箭转动一个周期的时间内，可以采集到等相位差的4个特殊相位值点(φF1、φP1、φF2、φP2)，以及对应点的时间(tF1、tP1、tF2、tP2)，从而计算出一个周期内的4个平均转速值，并通过拟合算法计算点n的转速ωn，最终计算出滚转角γn。
(8)
式中：φ0为初始相位；ti为i点的时刻。
在实际弹道中，全弹道的俯仰角和偏航角是随着时间变化的，导致了磁方位角σM也是变动的，而且弹箭的转速是逐渐减小的，因此需要采用分段平移的信号处理方法。取一个周期为一段，则每一段的磁方位角σM都可以视为定值。依次计算每一分段的偏距E，然后对全部信号进行平移处理，最后再计算弹箭的转速及滚转角信息。
3 仿真及分析
3.1 模拟仿真
仿真验证程序采用的传感器安装角度与上文分析过程中相同，λ=52°，地磁场强度为50 000 nT，磁方位角σM=60°。为了使仿真程序涵盖到尽量多的转速变化范围，且又保证仿真结果易于辨识，弹箭的初始转速设置为200 r/s，在1 s内降至2 r/s，转速ω下降先快后慢。假设初始滚转角为零，仿真模拟全程的滚转角γ，如图3所示。
图3 仿真模拟的转速ω和滚转角γ曲线
根据式(1)模拟出安装角度λ=52°的传感器信号MS。为了进行解算误差和解算精度的比对，根据目前常用的测转速的方法，针对性的模拟了垂直于弹轴的理想信号MSJ和存在2°标定误差的信号MS2(与弹轴轴向夹角为88°)，其曲线如图4所示。
图4 模拟信号MS、MSJ和MS2曲线
从图4可以看出，弹箭转速越来越慢，地磁输出信号曲线由密集到稀疏。采用分段平移的处理方法，对信号MS进行偏距平移处理，得到新信号MS0，处理结果如图5所示。可以看出，新信号MS0相比较MS整体向下平移了一段，偏距基本为零。
图5 分段平移处理曲线
采用常用的转速解算方法对理想信号MSJ和误差信号MS2进行转速解算。同时也采用本文提出的处理方法对平移后的信号MS0进行解算，计算出波峰波谷值及过零点值，再根据对应时间点，通过拟合算法求出弹箭的转速，最后计算出解算误差和解算精度。比对结果如图6、图7所示。
图6 转速误差曲线
图7 转速误差百分比曲线
分析图6，由于三组信号的处理方法原则上都是求解一小段时间的转速平均值，因此三组信号解算出的误差的总体趋势都是在随着转速的降低而不断增大，而且增大的速度越来越快。信号MS2解算出的转速误差errS2初始在-13～18 rad/s 之间上下波动，远远大于其他两组信号的处理误差。这是由于传感器的标定存在2°的误差，传感器敏感轴不垂直弹轴，两者形成88°的夹角，则偏距
E=cos(λ)|M|cos(σM)=
50 000·cos(88°)cos(60°)=872(nT)
(8)
MS2信号整体上移了872 nT，所以信号的两个相邻半周期不等长，导致了解算的转速误差较大。随着转速的降低，errS2波动开始变小，这是由于随着转速的降低，转动周期变长，相邻两个半周期的差别相对于一个周期来说，影响越来越小。理想信号MSJ解算出的误差errSJ较小，在3 rad/s左右，且无波动。误差产生的原因是实际转速一直变动，解算出一个周期的平均转速跟实际转速之间存在误差。尤其是当转速不断减小时，周期不断增大，可以看到误差不断变大。信号MS0解算出的转速误差errS最小，初始误差约为1 rad/s，且随着滚转速度的降低，误差增大的速度也最慢。
图7反映了解算的精度，其规律大致与误差规律相符。3组信号解算出的转速误差百分比都随着转速的减小而不断增大。信号MS2解算出的误差百分比δS2最大，初始占比在1.5%左右，且上下波动，在前600 ms的时间段内变动不大，后400 ms时间段内急剧增大；理想信号MSJ解算出的误差百分比δSJ较小，初始在0.2%左右，后来不断增大，其变化趋势与δS2一致；信号MS0解算出的转速误差百分比δS最小，且全程比较稳定。
3组信号解算出来的转速按照式(8)求解滚转角，并与仿真模拟的滚转角进行比对，计算滚转角误差，结果如图8所示。
图8 滚转角解算误差曲线
由于仿真程序的转速是在1 s内由200 r/s急剧下降到2 r/s，因此3组信号解算出的滚转角误差都较大，而且随着转速的减小，误差不断增大。信号MS2解算出的滚转角误差γS2起始不稳定，这是由解算出的转速不稳定引起的。随着时间的推移，误差γS2在18°附近上下波动，总体趋势不断增大。理想信号MSJ解算出的滚转角误差γSJ相对较小，初始在9°左右，然后不断增大。信号MS0解算出的转速误差γS最小，在初始高转速时，能保持较高精度。但随着转速的急剧减小，精度也不理想。
3.2 仿真分析
在仿真模拟过程中发现，在弹箭转速较高时，数据点的采集步长和密集度是制约弹箭滚转姿态解算精度的最主要原因。原因是高转速时，每个周期采集到的数据点数较少，波峰波谷及过零点取值会有误差。低转速时，解算误差主要是测量原理导致的误差，当转速时刻在变化时，以一段时间的平均转速代替实际转速时会有误差。
分段平移处理方法具有以下优点：
1) 可以处理任意安装角度的传感器输出信号，实验前地磁传感器不要求精确标定，大大的减少了工作量；
2) 由于平移时将全程分成多段，因此在处理转速变化非线性较强的信号时也同样适用；
3) 采集的数据点较传统方法更为密集，解算精度更高。
同时，该方法也存在低转速情况下解算精度较差的缺点。因此该方法的适用对象为转速较高的旋转体弹箭，包括旋转炮弹、高旋火箭等。
4 结论
地磁测姿方法一般都需要进行事先标定补偿，但标定实验工作量大，而且有误差。分段平移处理方法在保证解算精度的前提下大大减小了工作量，成本很低，更符合常规弹药领域的需求；对于常规炮弹及高旋火箭弹的制导化发展有着重要的推进作用，符合当前我国智能弹药的发展需求。
[1] 曹鹏，于纪言，王晓鸣，等.基于地磁与卫星组合的高旋弹丸滚转角高频测量及系统误差计算研究[J].兵工学报,2014,35(6):795-800.
[2] 杨荣军，王良明，修观，等.基于磁强计测量的滚转弹药姿态估计[J].海军工程大学学报,2011,23(5):108-112.
[3] 杨小军，施坤林，汪仪林.基于磁传感器/GPS组合制导飞行弹体的姿态和位置估计[J].兵工学报，2008，29(2)：169-173.
[4] 史连艳，张自宾，宋文渊.基于MR/GPS的弹体姿态解算方法研究[J].系统仿真学报，2010，22(12)：2948-2951.
[5] 陈国光，牛小敏，郎文杰，等.弹箭滚转姿态的地磁测角模型研究[J].弹箭与制导学报,2017,37(2):153-161.
[6] 陶维之.基于磁阻传感器的弹体姿态测量技术研究[D].南京：南京理工大学，2012.
[7] 曲磬.基于地磁测量的弹丸滚转角实时解算[D].南京：南京理工大学，2009.
[8] 马云建，辛长范，贾意弦，等.基于地磁传感器测量的滚转弹药角速度估计[J].弹箭与制导学报,2016,36(1):69-72.
[9] 邱荣剑.地磁传感器测量弹体滚转姿态方法研究[J].四川兵工学报，2014(10):103-106.
[10] 谢洋，于纪言.基于差商法的旋转弹丸磁测滚转角解算方法研究[J].兵器装备工程学报，2018,39(06):183-187.
[11] 刘英，张嘉易，郝永平，等.基于单轴地磁信号的滚转角及转速解算[J].传感器与微系统,2018,37(3):141-144.
[12] THOMAS H,DAVID H.Magsonde(patent pending)：A Device for Making Angular Measurements on Spinning Projectiles using Magnetic Sensors[C]//Proceedings of SPIE.Orlando,FL,USA:SPIE,2000,4025:60-67.