1 引言
脉冲式修正弹以脉冲发动机作为执行机构，具有成本低，可用过载大等特点，不但能够提高弹药对高速机动目标的打击效果，还能带来良好的经济效益。
国内外对脉冲修正弹药技术进行了大量的研究，现已将脉冲修正弹药技术成功运用于制导迫弹的研制，并陆续推出了多个产品。典型的有俄罗斯的“勇敢者”240毫米脉冲修正迫弹、国内的外贸120毫米制导迫击炮弹等。
但是将脉冲修正弹药技术运用到其余各类高速旋转弹药，从而实现其余各类高速旋转弹药的制导化改造仍旧有许多问题亟待解决。其中，充分考虑弹丸高速旋转的特性，研究脉冲发动机的控制响应情况并基于响应情况设计高精度的点火控制策略便是一项重要的研究内容。
为填补这一研究内容的空白，在本文中通过理论分析和数值仿真的手段对其进行了深入的研究并取得了一定的研究成果，为高速旋转弹药制导化奠定了理论基础。
2 控制响应
由于弹体高速旋转，微型脉冲发动机点火以后，控制力的方向也随着一起旋转。在已有的多个文献[1-8]中，不考虑时间维度的影响，将微型脉冲发动机的控制力看成同时作用在弹体周围的扇形分布力，如图1所示。由力的等效作用原理可以得出，在这种假设简化条件下，弹体质心的控制响应情况为沿合力方向的加速直线运动。
若根据实际情况，考虑时间维度的影响，由于控制力方向和速度方向不一致，存在法向加速度，弹体质心的运动情况必然不是简单的直线加速运动，其实际运动情况是较为复杂的加速曲线运动。
图1 力的分布
Fig.1 Force distribution
2.1 理论分析
根据实际情况，在弹体高速旋转状态下，微型脉冲发动机点火后，脉冲控制力在弹体某一方位上作用极短的一段时间后便会转至弹体另一方位上继续作用极短的一段时间，如图2所示。该过程一直持续到脉冲发动机内部火药燃尽，脉冲控制力作用阶段结束。最后，弹体获得侧向修正速度。
图2 力的作用过程
Fig.2 Process of the force
结合图2，进行如下假设：
1) 脉冲控制力作用的持续时间范围内，弹体转速恒定，为一定值；
2) 脉冲控制力作用的持续时间范围内，控制力的大小保持不变；
3) 不考虑空气动力的影响，只考虑重力和脉冲控制力的作用。
利用牛顿第二定律可推导得出弹体质心在脉冲控制力作用下的动力学和运动学方程组[9-14]:
(1)
式中: m为弹体质量; F为控制力; α0为微型脉冲发动机点火时的初始方位角；w为弹体转速；g为重力加速度；θ为俯仰角；vx为沿z4轴方向的速度；x为沿z4轴方向的位移；vy为沿y4轴方向的速度；y为沿y4轴方向的位移。
2.2 仿真分析
利用Matlab编制程序对2.1节内容进行仿真计算。仿真输入条件为：弹体质量5 kg，控制力值800 N，初始方位角30°，转速值60 rad/s，推力持续时间10 ms，重力加速度为9.8 m/s2，俯仰角为0°，沿y4轴和z4轴方向的位移、速度的初始值均为0。由上述仿真输入条件计算得到的弹体质心运动轨迹示意图如图3所示。
图3 弹体质心运动轨迹
Fig.3 The movement trajectory of the mass center
改变仿真输入条件：初始方位角分别设为60°、120°、180°、240°、300°、360°，其余条件保持不变，计算得到的弹体质心运动轨迹示意图如图4所示。
改变仿真输入条件：初始方位角分别设为60°、120°、180°、240°、300°、360°，转速值设为-60 rad/s，使弹体逆时针旋转，其余条件不变。由该输入条件分别计算得到的弹体质心运动轨迹示意图如图5所示。
图4 弹体质心运动轨迹
Fig.4 the movement trajectory of the mass center
图5 弹体质心运动轨迹
Fig.5 The movement trajectory of the mass center
由图3—图5仿真得到的弹体质心运动轨迹可知，在不断改变方向的脉冲控制力的作用下，弹体质心的实际运动轨迹是一条曲线，和理论分析结果相一致。同时，由图4和图5的对比分析，可以发现弹体质心的运动轨迹曲线凹向弹体旋转的方向。若弹体顺时针旋转，则质心控制响应曲线向右侧弯曲，若弹体逆时针旋转，则质心控制响应曲线向左侧弯曲。
3 控制策略
点火控制策略的设计目的是为了实时计算出脉冲发动机的点火控制参数，从而控制脉冲发动机点火产生推力，实现弹道的精确修正。
3.1 点火控制策略概述
点火控制策略的输入条件为地面设备经过测量解算得到的理论点火方位角φ、点火次数c等参数。控制策略的输出结果为点火控制信号，即微型脉冲发动机的点火编号i和点火延迟时间ti。
结合前人的研究成果，脉冲式修正弹的点火控制策略可简要概括为：
1) 根据输入的理论点火方位角φ计算得到实际点火方位角φd。
2) 将脉冲发动机编号为i=1、2、3、…，并且定义i号脉冲发动机的滚转角为γi，令脉冲发动机滚转角γi和实际点火方位角φd做差值，将该差值记为Δγi。
3) 由最小原则根据Δγi获得该次脉冲发动机的点火编号i，由最小Δγi的值和弹体转速w相除得到该次点火延迟时间ti。
4) 若点火次数c大于1，则待上一发脉冲发动机点火完毕以后，还需再进行c-1次循环计算，直至最后一枚脉冲发动机点火。
3.2 实际点火方位角
由于弹丸的高速旋转，脉冲发动机必定要在旋转到理论点火方位角φ之前点火，因此，需要根据相应计算方法计算出脉冲发动机的实际点火方位角φd。
3.2.1 简易算法
对整个控制过程做如下假设：
1) 忽略弹体质心的加速运动过程，假设弹体瞬间获得侧向修正速度。
2) 忽略时间维度的影响，假设脉冲控制力为同时作用在弹体的扇形分布力。
3) 扇形分布力合力作用方向与侧向修正速度一致。
4) 实际弹道修正轨迹为直线，方向与侧向修正速度一致。
5) 以弹丸修正前后质心位置的连线(图6中点划线所示)的方位角作为理论点火方位角φ。
在这些简化处理条件下，点火方位角提前量Δφ的计算公式为：
式中：w为弹体转速； T为脉冲发动机控制力持续时间。
实际点火方位角φd为：
φd=φ-Δφ
3.2.2 高精度算法
由2.2节研究结果可知，弹体质心在脉冲控制力作用阶段做加速曲线运动，如图6实线部分所示。在这之后，弹体质心将以与实线所示运动轨迹末端相切的方向继续做直线运动，如图6长划线部分所示。
图6 弹道修正轨迹
Fig.6 Ballistic correction trajectory
因此，以双点划线(与黑色实线相切)所示方位为实际点火方位角φd，可以消除上节假设1)、假设2)、假设3)和假设4)带来的误差，更加符合弹体质心的实际响应情况，具有更好的弹道修正精度。
同时，由图6中曲线可知，无法通过简单的几何关系确定实际点火方位角φd的大小。但是，从实际运动过程可知，实线末端切线斜率k1和长划线斜率k2相等。以此为突破口，可确定实际点火方位角φd。计算过程如下：
1) 经测量和计算得到修正前后的弹体质心坐标(x1,y1)和(x2,y2)，可由这组值计算得到理论点火方位角φ。
2) 利用φ确定实际点火方位角φd的大致范围，利用式(1)所示的方程组计算得到该实际点火方位角范围下各个值对应的弹体质心在脉冲控制力作用下的运动轨迹，将运动轨迹末端坐标记为(x3,y3)，并利用方程计算得到的运动轨迹数据计算运动轨迹末端切线斜率k1。
3) 利用修正后弹体质点坐标数据(x2,y2)和各组(x3,y3)计算长划线所示运动轨迹的斜率k2，若k2与k1相等，则该组坐标值对应的实际点火方位角即为要求得的实际点火方位角φd。
4 转速算法
在弹体质心运动轨迹计算过程和点火延迟时间计算过程中，均需要已知弹体的转速。为此，需要设计弹体转速的计算方法。
4.1 算法设计
转速的定义为弹体滚转角随时间的变化率，可表示为[15]：
以上式为基础，设计的转速计算步骤如下：
1) 弹体的滚转角γ由弹上测姿部分实时测量得到，其输出量为一列离散的数据。故而，定义2个变量γ1、γ2，在弹上测姿部分开始工作或者需要进行转速计算时，将此时的滚转角值γ赋值给变量γ1。
2) 之后，每隔一个采样时间步长，将获得的滚转角值赋值给变量γ2，并定义变量Δt记录弹体从γ1转至γ2的时间。
3) 将变量γ2和变量γ1做差值，判断该差值是否达到预设的常数c，若是，则由(γ2-γ1)/Δt计算得到弹体转速w，并将变量Δt归零，将γ2的值赋给γ1，若不是，则跳过当次转速的计算，返回步骤2)。
4) 由步骤3)计算出一个转速值后，若后续仍需计算转速值，则返回步骤2)，运行到步骤3)继续计算下一个转速值。
在该转速算法中，转速值输出频率取决于步骤3)中的常数c，若常数c取值较小，则转速值输出频率就快。实际应用时，该值的大小应由具体情况决定。
4.2 试验验证
利用电动转台试验系统进行上述转速算法的试验验证。将弹体通过螺纹紧固件固定在电动转台的转盘上，电动转台及弹体的状态如图7所示。
图7 电动转台及弹体状态
Fig.7 Electric turntable and matrix state
将电动转台的转速设置为120 r/min，转台以此转速恒定旋转，统计经过算法计算得到的转速值和相应的计算误差如表1所示。
表1 转速计算值及误差
Table 1 The calculation value and error of rotation speed
编号转速计算值/(r·min-1)误差/(r·min-1)1125.005.002118.331.673121.671.67
表1统计结果表明该转速算法具有一定的可行性，转速计算值在设定值合理范围内。其计算误差是由于试验环境存在着不可避免的电磁干扰以及硬件解算误差等原因引起的。
5 结论
1) 旋转弹弹体质心在脉冲发动机控制力作用阶段做加速曲线运动，且运动轨迹曲线凹向弹体旋转的方向。
2) 基于脉冲发动机的控制响应情况设计的点火控制算法在理论上具有比现有简易计算方法更高的计算精度，能够提高弹道修正精度。
3) 在本文中提出的转速算法具有一定的可行性。
[1] 孙磊.脉冲推力矢量控制技术研究[D].北京:北京理工大学,2016.
Sun L.Research on impulse thrust vector control technology[D].Beijing:Beijing Institute of Technology,2016.
[2] 陈胜政,杨波,杨栓虎,等.脉冲修正弹药技术研究[J].兵器装备工程学报,2017(12):60-64.
Chen S Z,Yang B,Yang S H,et al.Research on impulse correction munitions technology[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(12):60-64.
[3] 王中原,史金光,常思江,等.弹道修正弹技术发展综述[J].弹道学报,2021,33(02):1-12.
Wang Z Y,Shi J G,Chang S J, et al.Review on development of technology of trajectory correction projectile [J].Journal of Ballistics，2021,33(02):1-12.
[4] Regan F J， SMITH J. Aeroballistics of a terminally corrected spinning projectile (TCSP)[J].Journal of Spacecraft and Rockets，1975，12(12):733-738.
[5] Costello M. Range optimization of a fin stabilized projectile[C]//Proceedings of the 22nd Atmospheric Flight Mechanics Conference.[S.l.]:[s.n.],1997:3724.
[6] Costello M. Extended range of a Gun launched smart projectile using controllable canards[J]. Shock and Vibration，2001，8(3 /4):203- 213.
[7] Costello M. Modeling and simulation of a differential roll projectile[C]//Proceedings of AIAA Modeling and Simulation Technologies Conference and Exhibit.[S.l.]:[s.n.],1998:490-499.
[8] Costello M，Peterson A. Linear theory of a dual-spin projectile in atmospheric flight[J].Journal of Guidance Control andDynamics,2000，23(5):789 - 797.
[9] 陈浩，李红欣，盖希强，等.子母式发烟弹全弹道建模与分析[J].兵器装备工程学报，2022，43(01):100-106.
Chen H,Li H X,Gai X Q,et al. Modeling and analysis of full trajectory of smoking submunition[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering，2022，43(01):100-106.
[10] Stalmach C J，Romero S. Dynamic test of a submissile dispensing system in a supersonic wind tunnel[C]/ /Proceedings of the 11th Aerodynamic Testing Conference.Colorado Springs，America:AIAA，1980.
[11] Panneerselvam S，Nagarajan V，Soundararajan P. Dispenser induced aerodynamic interference loads on submunition during dispense[C]//Proceedings of the 15th AIAA Applied Aerodynamics Conference.Atlanta，America:AIAA，1997.
[12] 杨绍卿.灵巧弹药工程[M].北京:国防工业出版社，2010.
Yang S Q.Smart ammunition engineering[M].Beijing:National Defense Industry Press，2010.
[13] Scheuermann E，Ward M，Cacan M R，et al. Combined lateral and longitudinal control of parafoils using upper-surface canopy spoilers[J].Journal of Guidance Controland Dynamics， 2015，38(11):2122-2131.
[14] 刘凯.基于微型扰流片的弹道修正弹气动弹道特性研究[D].南京:南京理工大学，2018.
Liu K.Aerodynamic ballistic characteristics research on trajectory correction projectile based on micro spoiler[D].Nanjing: Nanjing University of Science and Technology，
2018.
[15] 任先贞，裴东兴，沈大伟.基于薄膜式磁传感器的转速测试新方法研究[J].弹箭与制导学报，2016，36(06):145-148.
Ren X Z，Pei D X，Shen D W. Research on a new speed measurement based on diaphragm matic geomagnetic sensors[J]. Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2016，36(06):145-148.