1 引言
跳弹是指弹体对目标靶板进行斜侵彻时(通常是大角度斜侵彻)，弹体侵入一定深度或是仅仅与目标靶板撞击后又经由靶板表面反弹而出，并且能凭借着残存速度继续向前运动的现象[1]。打击工程目标时不希望产生跳弹，而站在防护的角度则希望利用跳弹减少弹药对目标的侵彻爆炸破坏。例如偏航结构研究就是采用表面异形体或在遮弹层内部添加异性材料，使弹体受到不均匀力的作用，在遮弹层内部产生偏转。偏航遮弹层的理论分析十分困难，研究工作基本依据弹靶斜碰试验，例如文献[2]开展了250～430 m/s速度下，弹体斜侵彻C30和C60钢筋混凝土试验，结果表明C30钢筋混凝土的临界跳弹角在38°～44°，C60钢筋混凝土的临界跳弹角在34°～42°；文献[3]采用10 mm弹径模拟弹进行了C40混凝土靶板斜侵彻试验，试验结果表明当弹体倾角增加到一定程度，即发生跳弹现象；文献[4]研制了一种由电工陶瓷与RPC球面柱组成的偏航层，并采用了弹径为57 mm，弹质量4.44 kg的半穿甲弹进行打靶试验，结果显示，该偏航层对弹体的偏转效果显著，最大偏转角64°。可见研究跳弹现象对于遮弹层创新和钻地弹设计均有重要意义，建立跳弹模型是跳弹现象研究的基础工作。
对于实弹打靶训练或弹体侵彻试验而言，跳弹极易造成的安全问题，同样引起了研究人员的关注。例如文献[5]认为高速斜撞造成的跳弹及其弹体碎片对操作人员具有重大安全风险，评估弹丸产生弹跳的潜在危险区至关重要，并进行了跳弹试验装置的研究。文献[6-9]均采用空腔膨胀理论和数值模拟方法研究了弹体斜撞混凝土靶板时的跳弹问题。但是对于跳弹后的弹体运动轨迹预测目前还较少有文献涉及。根据弹靶情况科学预测跳弹轨迹，对制定安全措施，避免事故的发生具有非常重要的意义，同时还可为偏航结构的设计和优化提供理论依据。基于此，依据理论力学、材料力学、几何学等相关理论，结合打靶试验，本文研究提出了弹靶斜碰的跳弹轨迹预测模型。
2 弹靶斜碰跳弹模型
2.1 几何模型
为了便于直观说明，这里选取了一种实际偏航结构模型来进行跳弹分析，如图1所示。图1几何模型表层为2个完全相同的三棱柱跳弹模块组合，分别用于模拟与弹体首次碰撞的靶板和可能发生的二次碰撞靶板。三棱柱上端尖劈结构为迎弹面，其横截面(等腰三角形)顶角角度和边长由来袭弹体的质量、弹速、弹径决定。
图1中CA′表示弹体首次撞击导偏体表面的情形，其中A为弹头，A′为弹头与导偏体的撞击点，即弹着点，且A与A′重合。C1A1′表示二次撞击的情形，其中A1为弹头，A1′为弹头与导偏体的撞击点，且A1与A1′重合。
图1 弹体斜撞固定障碍物几何模型
Fig.1 Geometric model of projectile oblique impact on fixed obstacles
2.2 物理模型
真实弹靶碰撞非常复杂，为了简化分析过程，参考文献[2-4,6,10]分析方法，进行如下假设：弹体为刚体，初始飞行状态下其攻角为零；在碰撞过程中弹体和导偏体均整体保持完整；碰撞面光滑，即弹体与防护结构上的弹着点之间的摩擦力忽略不计；弹体的重力、弹体在初始飞行状态下的空气阻力和空气阻力矩相对于弹体的冲量忽略不计；弹体轴线、偏转力、速度均在入射平面内，忽略弹体绕轴旋转的阻力、阻力矩，及其对攻角和弹道的影响。
图1中包含了弹体与障碍物首次撞击情形以及可能发生的二次撞击情形。首先以第一次碰撞的障碍物表面MN方向为X轴、垂直于MN的方向为Y轴建立初始坐标系。
3 首次碰撞模型
3.1 相关参数与坐标
弹体的质量为m，弹体的长度为L；弹体顶端到质心C的距离为l′；首次撞击前的弹体的质心速度为vc；首次撞击后弹体的质心速度为
在初始坐标系中，弹体沿着铅垂方向入射，速度为v，三棱柱尖劈顶部两侧连接的两个侧面为弹体的撞击面，弹体的入射方向与首次撞击面MN之间的夹角为θ。弹体首次与靶体碰撞后，在外力作用下会发生沿
方向的质心运动以及弹体本身绕着质心C的转动，与导偏体表面MN方向的角度为β，如图2所示。
图2 弹体首次碰撞力学分析示意图
Fig.2 Schematic diagram of first impact mechanics analysis of projectile body
依据动量定理得到弹靶碰撞关系式[11-12]：
(1)
(2)
Jcω2-Jcω1=∑Mc(I(e))
(3)
其中: vcx为撞击前弹体质心速度在X轴方向的分量；vcy为撞击前弹体质心速度在Y轴方向的分量；
为首次撞击后弹体质心速度在X轴方向的分量；
为首次撞击后弹体质心速度在Y轴方向的分量；Ix为首次碰撞时弹体受到X轴方向的碰撞冲量；Iy为首次碰撞时弹体受到Y轴方向的碰撞冲量； Jc为弹体绕其质心的转动惯量；ω1为首次碰撞前弹体的角速度；ω2为首次碰撞后弹体的角速度；∑MC(I(e))为首次碰撞冲量对弹体质心之矩的矢量和。
已知弹体在碰撞之前角速度ω1=0，且由于碰撞面光滑，则有：
(4)
引入材料恢复系数e得到：
(5)
(6)
通过式(6)，可以得到首次碰撞后弹体的角速度ω2：
(7)
同时有：
(8)
3.2 跳弹情况下的弹体运动轨迹分析
首次碰撞后，弹体不发生变形，其运动状态轨迹可以分解为直线运动和绕质心的转动。为了便于分析弹体运动轨迹，这里重新建立运动坐标系。以的方向的平行线AD为X轴，垂直于该方向为Y轴，建立定坐标系；以t时刻后的弹体质心C1为原点建立动坐标系，得到的分析模型，如图3所示。
图3 弹体运动轨迹分析示意图
Fig.3 Analysis diagram of trajectory of projectile body
弹体顶端到质心的距离为l′，由运动学知识可推导出弹头顶点的绝对运动轨迹方程为：
(9)
4 二次碰撞点的确定以及二次碰撞后弹体运动轨迹分析
弹与靶板的首次碰撞点是随机的，由于靶体结构的异形特征，有可能导致弹体与靶板的二次碰撞问题。
在图3中添加碰撞靶体边线，如图4所示，MA′=a，A′N=b。添加首次碰撞的靶体边线MN和第二次碰撞的靶体边线PN，以便进行二次撞击位置角度分析。添加边线后弹体各点速度矢量分析如图5所示。
图4 弹靶二次碰撞示意图
Fig.4 Schematic diagram of secondary impact of projectile target
图5 弹体二次碰撞力学分析示意图
Fig.5 Schematic diagram of secondary impact mechanical analysis of projectile body
由几何学理论可得第二次碰撞的撞击面方程为：
yPN+bsinβ=tan(180°-β-2θ)×
[xPN-bcosβ-Lcos(θ+β)]
(10)
通过弹头顶点的绝对运动方程(9)和第二次碰撞的撞击面方程(10)，就可以得到第二次撞击点A1′的位置(xA1′，yA1′),进而得出弹体C1 A1二次撞击前的直线方程y=f(C1 A1)，可确定C1 A1与二次撞击面PN的夹角ξ。
二次碰撞后弹体运动轨迹分析与首次碰撞分析过程相似，为了便于分析，同样重新建立运动坐标系，以第二次碰撞表面PN为X轴，垂直于PN的方向为Y轴，得到碰撞分析模型，如图6、图7所示，图中，η为相对运动速度vA1C1与撞击面PN的夹角，
为二次碰撞后弹体质心的速度，计算过程不再赘述。二次碰撞后弹体绕质心C1的转动角速度ω3为：
(11)
二次碰撞后弹体姿态角ψ为
(12)
式(12)中:
为二次碰撞后弹体质心沿着X轴的速度分量；
为二次碰撞后弹体质心在Y轴的速度分量。
需要说明的是，二次碰撞点A1′的坐标位置以及之后弹体的运动参数的确定是防跳弹安全措施设计的重要指标。
图6 弹体二次碰撞前速度矢量图
Fig.6 Velocity vector diagram of projectile body before secondary impact
图7 弹体二次碰撞后速度矢量图
Fig.7 Velocity vector diagram of projectile body after secondary impact
5 试验研究
5.1 试验概况
为了验证上述理论公式，进行了30 mm弹体斜碰撞45号钢跳弹试验。试验采用40 mm口径氢气驱动火炮进行，弹体直径30 mm，弹长120 mm，弹质量0.466 kg，弹体材料30CrMnSiNi2A，抗拉强度1 620 MPa，HRC49，靶体材料为45号钢，屈服强度456 MPa，尺寸500 mm×500 mm×90 mm如图8所示。试验工况：设计弹速400 m/s，θ=60°，即弹体轴线与靶板表面法线夹角为30°。为了测得二次撞击点的位置，在距离靶板一定位置设置垂直与靶板的测孔板(木板)模拟二次碰撞固定障碍物，如图9所示。弹体与靶板的碰撞点和测孔板之间的水平距离为51.25 cm。最终测得弹体跳出靶板的角度σ，并与理论计算值进行对比。
图8 试验装置
Fig.8 Testing apparatus
图9 试验测试示意图
Fig.9 Schematic diagram of test
5.2 试验结果
理论计算参数取值与试验中的相关参数保持一致，假设弹体质心位于弹体中心，即l′=0.06 m，碰撞恢复系数取e=0.2，θ=60°。图10和图11分别为第1发和第2发试验弹体斜碰撞靶体后跳弹位置测量结果图，试验结果与理论计算结果对比见表1。
图10 第1发弹试验图
Fig.10 Test diagram of the first round
图11 第2发弹试验图
Fig.11 Test diagram of the second round
表1 试验结果与理论计算结果对比表
Table 1 Comparison table between experimental results and theoretical calculation results
工况弹速/(m·s-1)角度σ/(°)误差/%(与计算值比较)试验值139834.222.34试验值241133.943.14试验均值404.534.082.74计算值404.535.04-
5.3 分析与讨论
1) 试验结果显示，理论解与试验值最大误差3.14%，符合工程实际应用要求。
2) 试验中靶板的弹坑深度分别为0.9 cm和1.1 cm，均小于1个弹径范围(3 cm)。结合类似文献跳弹试验结果发现[1-2]，同等情况下，发生跳弹的靶体破坏或损伤程度远小于未跳弹(侵入)靶体。尤其是对于强度较高的韧性金属类靶体，这一现象更为明显。
3) 本文中假设了弹靶碰撞后均保持完整，虽然有利于简化计算模型，但这与实际情况有一定差异，分析原因可能在于碰撞恢复系数e的取值存在误差。
碰撞恢复系数e反映的是碰撞过程中的机械能损失程度。现有研究成果显示，恢复系数取值存在较多影响因素，例如文献[20]的试验结果显示，法向恢复系数随速度的增加而减小，随尺寸的减小而降低，并且其速度效应同时受尺寸的影响；另外也有研究认为，尺寸效应和速度效应对法向恢复系数的影响要复杂的多，例如Hertz理论和Johnson碰撞恢复系数模型[13]中均引入了等效半径R*来描述撞击体双方尺寸大小的影响；Thornton碰撞系数模型[14]中引入碰撞速度与屈服速度比值v/vy，来区分不同的碰撞状态。对于金属类靶板，文献[14]给出了碰撞恢复系数经验公式：
e=κ10.5[(v/vy)/(E*σs)]-0.27
(13)
式中: v为碰撞速度；vy为屈服速度；E*为等效弹性模量；σs为动态屈服强度；κ1为折减系数，需通过试验测定。
对于岩石、混凝土等脆性材料，弹塑性理论并不能完全描述其力学行为，尤其是在动力条件下，应变率对岩石的强度、变形、裂纹扩展及能量耗散均有重要影响[15-18]，文献[20]给出了如下公式形式：
e=c+bea*κ
(14)
κ为接触应力割线变化率，其余参数均需通过试验或大量数值仿真确定，这将是下一步研究方向。
6 结论
针对实弹训练或弹体侵彻科学试验中经常出现的跳弹问题，提出了弹靶斜碰跳弹轨迹预测模型。通过30 mm口径弹体与钢靶的斜撞试验验证，本文中轨迹预测模型给出的弹体二次撞击落点与试验落点最大误差3.14%，符合工程实际应用要求。
为了便于工程快速应用，文中对理论模型进行了一些简化假设，这也使得模型较适用于厚度较大、强度较高的金属靶体。对于其他类型材料靶体，需要进一步试验研究补充确定模型参数。
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