1 引言
飞机在飞行时通过上下翼面的压力差来产生升力，同时，气流也会由下翼面绕过机翼翼尖流向上翼面，从而在翼尖附近产生2个旋转方向相反的旋涡，即尾涡。由于尾涡是影响飞行安全的重要因素，大量学者对其进行广泛而深入的研究，主要包括尾流形成与消散、后机遭遇尾流与后机对尾流的响应、安全间隔标准等方面[1]。学者们从飞机投入运营起便开始研究尾涡，积累了大量的研究成果。Crow等[2]通过大量的观测和实验，研究了尾涡的生成及耗散机理；Greene等[3]建立了第一个尾涡耗散模型，Greene模型；Holzäpfel等[4]通过数值模拟综合考虑风、湍流及地面效应的影响，提出了两阶段尾流耗散(P2P)模型；Speijker等[5]最早使用滚转角速度来评估后机遭遇尾流的严重程度，为后续研究奠定了基础；Marques等[6]建立了飞机遭遇尾流后产生的滚转力矩计算模型，并用于后机遭遇尾流的安全评估；Gerben等[7]提出用滚转力矩系数来衡量后机遭遇尾流的严重程度，并验证了滚转力矩系数的分级标准；魏志强等[8-9]通过对飞机尾涡耗散机理进行理论研究，分析了侧风对尾涡耗散的变化规律；谷润平等[10]以后机遭遇前机尾流时所需的滚转角速度为安全指标对尾流安全区域进行了评估，并计算得到前后机不同间隔下的侧向安全距离；王玄等[11]提出一种基于多普勒激光雷达径向风速的尾涡识别方法，并基于此方法分析ARJ21飞机起降阶段的尾涡演化过程；韩红蓉等[12]综合考虑各种飞机参数对滚转过程的影响，建立了飞机受扰参数计算模型，并依此来计算前后机的安全间隔；潘卫军等[13]对ARJ21飞机在国际民航组织尾流间隔标准下的安全性和尾流间隔的缩减潜力进行了分析，并计算了ARJ21跟随不同前机时的间隔缩减量。
国内外学者对于尾涡已经做了大量的研究，最终目的都是为了进一步缩减尾流间隔，其中大多数的研究都只关注前后机的纵向间隔，但实际上飞机只要在尾涡产生的危险区域外飞行就可以保证飞行安全，这样的区域可以是侧向或垂向的。因此，基于后机遭遇尾涡时产生的滚转运动，以滚转力矩系数为安全指标，划设了尾涡简化危险区，并综合考虑了尾涡自身的演化、运动特性以及侧风条件对后机遭遇尾涡的安全状况进行了分析。
2 前机尾流模型
2.1 前机尾涡的生成与耗散模型
根据Kutta-Joukowski提出的理论可知，飞机升等于涡动量的通量为
(1)
b0=s·B
(2)
式中： Γ0为尾涡初始环量；V为飞机速度；b0为初始涡间距；ρ为空气密度；Cl为升力系数；B为翼展；λ为展弦比；s为展向方向的载荷因数，当翼型为椭圆机翼时，s≈π/4。
因此，尾涡初始环量可表示为
(3)
2.2 尾涡耗散模型
尾涡耗散一般分为了2个阶段：近涡耗散阶段、远涡耗散阶段。近涡耗散阶段的范围为从航空器机尾开始向后大约6个翼展的距离，此阶段耗散较慢，一般可耗散掉初始环量的10%；远涡耗散阶段为快速耗散阶段，尾涡会迅速耗散。近涡耗散时间与湍流耗散率、尾涡初始特征速度、特征时间等参数有关；其中，尾涡初始特征速度、特征时间和初始涡核间距可表示为
(4)
式中： b0为初始涡间距；r0为初始涡核半径；v0为特征速度；t0为特征时间。
湍流耗散率ε可由以下公式进行计算
(5)
式中：Cmu为湍流参数，取0.09；k为湍动能；l为湍流长度尺度；Re为雷诺数；I为湍流强度；L为特征长度，是机翼面积与翼展的比值。
近涡阶段的持续时间t*，可根据Sarpkaya[14]提出的公式计算为
(6)
(7)
式中：ε为湍流耗散率；ε*为涡耗散率；t*为近涡耗散时间。
远涡流耗散的计算公式如下
(8)
式中：t为远涡阶段的耗散时间；Γt为耗散后的环量；c=0.45。
由上述公式可知，飞机的飞行速度也是影响尾涡耗散的重要因素。
2.3 尾涡速度模型
Hallock-Burnham[15]模型由于与尾流的实测数据吻合度较高，常被用于尾流相关研究，本次研究也选择Hallock-Burnham模型来计算不同飞机在相同速度下的诱导速度，图1为A333产生尾涡在不同环量下的诱导速度。
图1 不同环量下的诱导速度
Fig.1 Induction velocity at different circulations
3 后机遭遇尾流研究
3.1 后机响应模型
本研究选择ARJ21飞机作为后机研究对象，主要研究其在遭遇前机尾涡时产生的滚转运动，计算滚转力矩系数这一安全指标，并基于此安全指标进行尾涡简化危险区的划设。
由于ARJ21飞机的构型比较特殊，基于ARJ21的实际气动外形，将ARJ21飞机分成了四部分：机身、机翼、发动机和平尾，用于计算遭遇尾流时受到滚转力矩以及滚转力矩系数。相比于只计算机翼的方法，本方法更符合实际。ARJ21飞机的受力模型以及坐标轴如图2所示。
图2 ARJ21受力模型和坐标轴
Fig.2 Force model of ARJ21 and coordinate axis
后机进入前机尾涡区域时，由于气流的影响，飞机的升力会发生改变。尾涡场引起的机翼附加升力变化量ΔLwing为
(9)
式中： ρ为当前的空气密度；vf为后机速度；c(y)为当前位置的机翼弦长；ΔCl为升力系数变化量。
ARJ21飞机的机身可以看作是小迎角细长圆柱体，根据细长旋成体的线化理论，其升力变化量ΔLbody为[16]
(10)
式中：Sb为机身投影面积；Δa为迎角变化量。
ARJ21飞机的发动机与平尾的表面布置涡面可以看作板块，根据涡板块数值方法，发动机和平尾升力变化量ΔLep为[17]
(11)
式中：Vj为前机尾涡演化到后机发动机或油箱处的切向速度；Sj为发动机或平尾的浸润面积。
机翼剖面处产生的滚转力矩Z的计算式为
(12)
式中，Cla为升力线斜率。
滚转力矩系数作为衡量尾流遭遇安全的指标[18]，可表示为
(13)
式中：σRMC为滚转力矩系数；Sf为后机机翼面积；Bf为后机翼展。
同时，根据飞机滚转力矩系数极限值也可以得到其可以承受的最大滚转力矩Zmax
(14)
式中，σRMCmax为后机可承受的最大滚转力矩系数。
3.2 尾涡简化危险区划设
后机在遭遇前机尾涡时，尾涡会对飞机施加一定的滚转力矩，简化危险区(SHA)的定义就基于诱导滚转力矩[19]。本次研究将滚转力矩系数作为安全判据，计算了尾涡及其外部区域各个位置的滚转力矩系数，并找出滚转力矩系数大于临界滚转力矩系数的位置范围，从而划设出尾涡简化安全区。
由上节公式可知，滚转力矩系数主要受到诱导速度在机翼垂直方向上的分量影响，图3画出了某位置尾涡诱导速度在机翼垂直方向上的分量示意图。
图3 诱导速度垂直分量示意图
Fig.3 Schematic diagram of vertical component of induced velocity
图3中：V为诱导速度；Vy为诱导速度在机翼垂直方向上的分量；k为某位置Z轴的水平距离；d为某位置Y轴的垂直距离；r为某位置距涡心的距离；a为r与Y轴的夹角。
诱导速度在机翼垂直方向上的分量计算式为
(15)
将式(15)代入滚转力矩公式可计算不同位置的滚转力矩系数，ICAO和RECAT-EU规定的中型机的滚转力矩系数极限值分别为0.065和0.048[20]。将滚转力矩极限值作为安全指标，所有大于安全指标的位置组合在一起，就是尾涡简化危险区。
4 计算结果及分析
使用Python对上述模型进行计算，得到了A333作为前机、ARJ21作为后机时在不同演化时间下的尾涡简化危险区；并在此基础上考虑尾涡自身的运动情况以及侧风条件，对后机遭遇尾涡时的安全性进行了分析。
首先，计算了A333初始环量为500 m2/s时各位置的滚转力矩系数，如图4所示；之后将0.048和0.065作为安全指标进行了尾涡简化危险区的划设，如图5所示。图5中，蓝色实线包围的区域为ICAO安全标准下的尾涡危险区，红色实线包围区域为RECAT-EU安全标准下的尾涡危险区，危险区主要分为左右两个副区以及中间的主区3部分，但左右的副区可能随环量减小而消失；绿色实线为左右2个尾涡。由于实际的尾涡安全区形状不规则，难以进行分析，因此将其进行了简化，用危险区的矩形边界来代替原有的危险区，如图5中的虚线所包围的区域，在此简化危险区外飞行时受到尾涡施加的滚转力矩可由飞行员通过调整副翼等操作进行平衡，可以保证飞行安全。前机为A333，后机为ARJ21时，按ICAO的标准，后机需要保持14.4 m的垂直间隔或38.4 m的横向间隔来保证安全；按RECAT-EU的标准，后机需要保持16.6 m的垂直间隔或41.1 m的横向间隔来保证安全。
图4 不同位置的滚转力矩系数
Fig.4 Roll moment coefficient at different positions
图5 简化危险区
Fig.5 Simplified hazard area
随着尾涡的演化，尾涡简化危险区的大小也会发生变化。根据尾涡的演化规律，计算了尾涡产生后一段时间内尾涡简化危险区的侧向边界以及垂向边界的变化情况，结果如图6、图7所示。
如图所示，简化危险区的大小随着尾涡的耗散而减小，危险区大小在近涡阶段减小得慢，在远涡阶段减小得快，这一点也符合尾涡耗散的特性。危险区的侧向边界大小会在尾涡耗散一段时间后发生突然减小的现象，这是由于随着环量的减小，各位置处的诱导速度减小，导致后机遭遇尾涡时受到的滚转力矩减小，左右2个副区会向副区中心处不断缩小，最终导致危险区左右两个副区的突然消失，使得简化危险区的侧向边界从副区边界突变到主区边界，侧向边界在短时间内急剧减小。
图6 侧向边界变化
Fig.6 Lateral boundary change
图7 垂向边界变化
Fig.7 Vertical boundary change
在实际飞行过程中，由于后机ARJ21具有一定的体积且无法忽略，因此还需对后机本身划设一个简化区。后机研究对象ARJ21的具体尺寸参数如图8所示，根据图中数据将ARJ21近似简化为一个长28 m、宽8.5 m的矩形。
图8 ARJ21尺寸示意图
Fig.8 ARJ21 dimension diagram
一般认为当前机矩形简化危险区与后机矩形简化区有重合区域时就有一定概率发生安全问题，假设前后机始终处于同一高度飞行，由于尾涡在演化过程中会发生下沉运动，在下沉运动与尾涡简化危险区边界变化的共同作用下，后机矩形简化区与尾涡简化危险区重合区域面积会不断减小，当重合区域面积为0时，后机可在不保持侧向或垂向间隔的条件下实现安全飞行，具体情况示意图如图9所示。
图9 遭遇状况示意图
Fig.9 Schematic diagram of the encounter situation
本研究将重合区域面积与后机矩形简化区面积的比值作为安全问题发生的概率，并进行了计算，结果如图10所示。按ICAO标准(0.065)的重合区域变化比按RECAT-EU标准(0.048)的稍小，但相差不大，基本都从尾涡耗散约7 s后开始减小，最终在约11.6 s时减小为0；初始环量为500 m2/s的尾涡在耗散约11.6 s前，ARJ21需保持一定的垂向间隔以保证飞行安全，耗散约11.6 s后，ARJ21可在不保持间隔的情况下也能保证飞行安全。
图10 危险概率变化
Fig.10 Hazard probability change
尾涡自身的下沉运动会影响前后机间的垂向间隔，而侧风这一气象条件会使得尾涡发生横向偏移，从而影响前后机间的侧向间隔。此外，还对不同的侧风条件下的危险概率变化进行了计算。图11为不同侧风下尾涡遭遇危险概率的变化情况，当遭遇4.48 m/s的侧风时，侧风让尾涡产生横向移动与尾涡自身的下沉运动作用相同，使得危险重合区域的面积在11.6 s左右减小为0；当侧风风速小于4.48 m/s时，侧风产生的尾涡横向运动减弱，垂向间隔减小得更快，危险重合区域的面积也在11.6 s左右减小为0；侧风风速大于4.48 m/s时，侧风产生的尾涡横向运动加强，侧向间隔减小的速度更快，侧风风速6 m/s时，危险重合区域的面积在9.36 s左右就可减小为0。
图11 不同侧风下的危险概率变化
Fig.11 Variation of hazard probability under different crosswinds
5 结论
本文基于飞机遭遇尾涡时的受力情况，结合尾涡自身的耗散及运动特性引入了一种尾涡简化危险区的划设方法。研究结果表明，如果可以获取飞机飞行时的速度参数，就可以划设前机尾涡的简化危险区，从而使后机避开这些区域，在保证安全的前提下进一步提升效率。该方法的计算结果可用于尾涡三维简化危险区的划设，可为ARJ21尾流间隔的安全性分析提供一定的依据。本文提出的尾涡简化危险区的划设方法在以ARJ21为后机的情况下取得了良好的效果，该方法可通过调整后机遭遇尾涡时的空气动力学模型以适用于任何传统飞机类型。
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