0 引言
空中目标是水面舰艇面临的最大安全威胁,具有运动速度快、体积小、机动性好、隐蔽性高等优势,为了有效拦截空中目标多批次、多方向、多层次的饱和攻击,水面舰艇采用导弹和舰炮的多层次拦截策略进行应对,如何提高水面舰艇的防空作战效能,武器装备的性能起了决定性的作用,因此防空武器装备的敏感性对于水面舰艇防空作战效能的影响也越来越大,研究舰艇防空作战效能敏感性对于提升舰艇武器装备性能、完成战斗任务成功率具有重要意义。
武器装备敏感性分析是武器装备发展论证的重要内容,对水面舰艇防空作战效能敏感性进行研究,就是让影响防空作战效能的武器装备能力指标在可能的取值范围内变动,分析变动对于整体作战效能的影响程度,“影响程度”即为该能力指标的敏感性系数,敏感性系数越大说明该能力指标对作战效能的影响越大。根据文献[1]的分类方式,敏感性分析方法可分为筛选方法、全局敏感性以及局部敏感性分析方法。其中Sobol指数法、傅里叶振幅敏感性检验法、互信息指数法、响应曲面法以及回归分析等方法主要用于进行全局敏感性的分析。由于作战效能涉及诸多因素,且与各输入因素之间的关系复杂,传统的敏感性分析方法难以满足,文献[2-3]从全局敏感性分析方法的思想、原理基础上对比分析,明确其优缺点,提出Sobol指数法相对其他方法而言更加适用于武器装备敏感性分析,主要因为Sobol指数法能从指标输入的主效应、全效应、交互效应等多方面分析对模型以及输出的影响,并且对效能评估模型的单调性、线性以及输入的分布特性没有特殊要求。
进行武器装备敏感性分析需要以作战效能评估模型为基础,因此本文中首先建立基于指数法的水面舰艇防空作战效能模型,在此基础上建立Sobol指数法模型对舰艇防空武器装备的敏感性进行分析,从分析结果中提炼影响舰艇防空作战的重要能力指标,从而牵引武器装备的发展。
1 舰艇防空作战效能评估模型
1.1 幂指数法
作战效能评估幂指数法适用于宏观分析和快速评估,具有结构简单、使用方便的特点,幂指数法模型建立的基础是在武器装备自身的作战能力指标上开展的,可以避免很多不确定因素造成的影响,有效增强作战效能评估的准确性和有效性。幂指数法在武器装备的作战效能和其作战能力指标之间建立了联系,映射形成函数关系。文献[4]经过论证得到武器系统作战能力幂指数为
式中:k为一致性调整系数,在比较不同武器装备时,对效能指数的一致性起着量级的调整作用;x1,x2,…,xi为武器系统的基本战技指标;ω1>0,ω2>0,…,ωn>0,且ω1+ω2+…+ωn=1;ψ为影响因子。
在武器系统能力指标中,有些指标的值越大越好,称为效益型指标;而有些指标的值是越小越好,称为成本型指标。为了实现作战效能的最大化,将效益型指标作为分子,成本型指标作为分母[5],由此将式(1)变为:
式中:xi(i=1,2,…,n)为效益型指标; xi(i=n+1,n+2,…,N)为成本型指标;ωi≤1, i=1,2,…,n, n+1,…,N。
1.2 基于幂指数法的舰艇防空作战效能评估
在舰艇防空作战中,主要依靠导弹和舰炮武器进行目标拦截,因此采用幂指数法进行舰艇防空作战效能评估首先需要分析防空导弹和舰炮武器系统的能力指标[6],如图1所示。
图1 舰艇防空武器系统指标体系
Fig.1 Index system of naval air defense weapon system
1.2.1 指标的归一化处理
1) 杀伤远界归一化处理
武器的杀伤远界是武器的最大杀伤距离,其数值越大越好,但是它的效能并不是呈线性增加的,它的增长率是随着杀伤远界的增大而降低,采用幂指数分布来表示,如图2所示。
图2 杀伤远界归一化处理的变化曲线
Fig.2 Normalized curve of killing far boundary
W1(x)=Ax2/3
(3)
式中,A为杀伤远界归一化系数;x为武器的杀伤远界(km)。图2所示为杀伤远界归一化处理的变化曲线。
2) 杀伤近界归一化处理
杀伤近界是指武器的最小杀伤距离,其值越小越好,与杀伤远界相反,其效能函数采用负指数分布,图3所示为杀伤近界归一化处理的变化曲线。
图3 杀伤近界归一化处理的变化曲线
Fig.3 Normalized curve of killing near boundary
W2(x)=e-Ax
(4)
式中,A为杀伤近界归一化系数;x为武器的杀伤近界(km)。
3) 杀伤高界归一化处理
杀伤高界是指武器的最大杀伤高度,是防空武器的一个重要能力指标,采用幂指数分布:
W3(x)=Ax2/3
(5)
式中,A为杀伤高界归一化系数;x表示杀伤高界(km)。
4) 杀伤低界归一化处理
杀伤低界是指武器的最低杀伤高度,它反映了防空武器抗击超低空来袭目标的能力,与杀伤近界类似,效能函数采用负指数分布
W4(x)=e-Ax2/3
(6)
式中,A为杀伤低界归一化系数;x表示杀伤低界(km)。
5) 飞行速度归一化处理
防空导弹的飞行速度是导弹攻击能力的一种体现,因此,舰艇对防空导弹飞行速度的要求越来越高,目前,大多数防空导弹飞行速度在2～3 Ma,且0.5～2.5 Ma为最普遍的速度分布区间,这是因为导弹的速度达到一定量级后,继续提高的意义不大,这里采用S形分布来表示,取 W5(1)=0.5,图4 所示为飞行速度归一化处理的变化曲线。
图4 飞行速度归一化处理的变化曲线
Fig.4 Flight speed normalized curve
W5(x)=e-0.69/x
(7)
式中,x表示导弹飞行速度(Ma)。
6) 发射间隔归一化处理
发射间隔是对武器系统攻击灵敏度的一种反映,其时间越小越好,故建立如下函数曲线:
式中,x表示导弹发射间隔时间。
7) 备弹量归一化处理
备弹量反映了舰载武器系统可持续攻击的强度。因此建立递增函数:
W7(x)=Ax
(9)
式中,x表示备弹量。
8) 系统反应时间归一化处理
对于防空武器的系统反应时间,它的值是越小越好,但不是呈线性变化,采用抛物线分布,并取上界和下界分别为3 s和30 s。图5所示为反应时间归一化处理的变化曲线。
图5 反应时间归一化处理的变化曲线
Fig.5 Reaction time normalized curve
式中,x表示反应时间(s)。
9) 战斗部有效载荷归一化处理
导弹战斗部有效载荷采用线性递增函数,归一化方法同备弹量归一化处理
10) 射界归一化处理
对空作战的射界主要指火炮的高低瞄准范围,以±90°为最优,其效能函数为:
式中,x表示火炮的高低瞄准范围(°)。
11) 舰炮射程归一化处理
对于舰炮射程的处理与杀伤远界归一化方法类似。
12) 命中概率归一化处理
对于命中概率P,因为都是处于0～1,已经符合归一化的类型,因此可直接代入计算模型进行计算。
1.2.2 防空武器系统效能模型建立
舰艇防空武器装备包括防空导弹和舰炮,对于防空导弹,它的效益型指标和成本型指标如表1所示。
表1 防空导弹能力指标分类
Table 1 Classification of air defense missile performance index
效益型指标成本型指标杀伤远界、杀伤高界、飞行速度、备弹量、战斗部有效载荷、命中概率杀伤近界、杀伤低界、发射间隔、系统反应时间
因此防空导弹的作战效能模型为:
式中,x1、x2、x3、x4、x5、x6分别代表杀伤远界、杀伤高界、飞行速度、备弹量、战斗部有效载荷和命中概率的归一化指标值;x7、x8、x9、x10分别代表杀伤近界、杀伤低界、发射间隔和系统反应时间的归一化指标值;ω1～ω10分别代表各指标的权重,由AHP法确定。
对于舰炮武器,它的效益型指标和成本型指标如表2所示。
表2 舰炮能力指标分类
Table 2 Classification of naval gun performance index
效益型指标成本型指标备弹量、射界、射程和命中概率系统反应时间
由此可得火炮的作战效能计算公式为:
式中,x1、x2、x3、x4分别代表备弹量、射界、射程和命中概率的归一化指标值;x5代表系统反应时间,的归一化指标值;ω1～ω5分别代表各指标的权重,由AHP法确定。
由于水面舰艇的防空武器系统之间,在功能上表现为并联关系,而水面舰艇平台的载体生存能力、载体对防空武器系统作战能力发挥的影响以及载体电子设备对武器系统的保障、支援能力,则防空武器系统作战效能之间表现为串联关系。因此,水面舰艇防空作战效能指数在总体上表现为加权和的形式。在假定各武器系统作战效能不相关的前提下,舰艇防空作战效能的基本计算模型可表示为
2 舰艇防空作战效能敏感性分析
2.1 Sobol指数法
采用Sobol指数法进行舰艇防空作战效能敏感性分析,首先需要将模型分解为单个能力指标与多个能力指标之间相互组合的函数,计算分析输入方差对总输出方差的影响,以此对舰艇防空武器装备作战能力指标的敏感性以及能力指标之间的交互效应进行分析,可以看出Sobol指数法的核心是对方差进行分解[7-9]。
假设模型为Y=f(X),其中X=(x1,x2,…,xn),xi(i=1,2,…,n)服从[0,1]之间的均匀分布,f(X)平方可积,将模型f(X)分解为以下形式
f1,2,…(x1,x2,…xn)
(15)
如果式(15)满足
fi1,i2,…,isdxip=0,其中,1≤i1<i2<…<is≤n,1≤s≤n,1≤p≤s,则可证明模型f(X)分解形式是唯一的,称为方差分解[7]。
经推导可得总方差V、偏方差Vi以及方差比率Si1,i2,…,is[8]。
Si1,i2,…,is=Vi1,i2,…,is/V
(19)
Sobol指数法用总方差V来表示所有输入能力指标对输出的影响程度[9];用偏方差Vi来表示单个输入能力指标对输出的影响程度;用偏方差Vi1,i2,…,is来表示输入能力指标之间的交互效应对模型输出的影响程度;用方差比率Si1,i2,…,is衡量输入能力指标作用的全局敏感性指数,可知
可得
f0=E(Y)
(20)
fi=E(Y|xi)-E(Y)
(21)
fij=E(Y|xi,xj)-fi-fj-E(Y)
(22)
假设分析函数中Xi(i=1,2,…,n)独立同分布。当Xi取xi时Y的 条件方差为V(Y|xi)。V(Y)和V(Y|xi)间的不同反映了Xi对Y的影响。当函数关系为非线性时,Xi的取值可能会造成V(Y|xi)比V(Y)大的情况。对于这种情形可先获得在Xi变化范围内的条件方差,然后对条件方差取均值获得EXi(V(Y|xi))。当EXi(V(Y|xi))特别小时,即认为当Xi为某个固定值时,Y的不确定性相应的变得很小,表明Xi的不确定性影响了Y的不确定性,从而说明Xi对Y具有较大的影响程度[10-13]。
由于
V(Y)=Exi(VX-i(Y|xi))+VXi(EX-i(Y|xi))
(23)
由式(19)可知,VXi(EX-i(Y|xi))越大,则Xi对Y的影响越大。因此,基于Sobol指数法模型的敏感性指标可表示为
Xi的“主效应”指数为SXi,表明了Xi单独对Y的方差的贡献度,取值在[0,1]范围内。
根据“主效应”指数SXi的大小来对各个输入能力指标进行敏感性排序,SXi越大,说明该指标参数输入变动与输出的变动成正比关系。
若将输入因素X1,X2,…,Xr分为Xi和X-i两组。VX-i(EXi(Y|x-i))为除Xi指标外的所有其他因素单独对Y的方差的影响;相对应的对立事件,V(Y)-VX-i(EXi(Y|x-i))就表示了所有与Xi有关的能力指标因素对Y的方差的影响[14]。
Xi的“全效应”指数为
取值在[0,1]范围内。
中包含了能力指标之间的交互效应关系。若一个能力指标参数输入的很小时,表明该能力指标参数输入不仅是自身对输出影响小,也说明该参数输入与其他指标参数输入之间的交互效应也很小。
通过能力指标参数输入的主效应指数和全效应指数可知,它们对分析函数没有特殊的要求,因此适用于各类分析函数。而对于舰艇防空作战效能,假设Y=f(X)为作战效能函数,Xi代表影响作战效能的某个指标因素。由和SXi的意义可知,与SXi相比,描述了所有与Xi有关的能力指标效应对作战效能方差的贡献,因此Sobol指数法不仅能分析单个能力指标输入的主效应、全效应,多个能力指标输入的交互效应对模型输出的影响,而且还能分析成组输入因素对输出的影响,具有较好的适应性[15]。
2.2 基于蒙特卡洛采样的算法设计
蒙特卡洛方法(Monte Carlo)主要通过统计抽样实验,来提供近似解,在Sobol指数法中可采用蒙特卡洛方法进行数值解的产生,本节进行基于蒙特卡洛采样的敏感性方法设计。
首先,采用Sobol sequence进行采样,生成2个N*D输入矩阵,分别为A和B
构造矩阵ABi,即用矩阵B中的第i列替换矩阵A的第i列。
经过以上步骤,就可得到(D+2)*N组输入矩阵,将这些数据代入到函数当中,得到对应的输出矩阵。
V(Y)=Exi(VX-i(Y|xi))+VXi(EX-i(Y|xi))
(28)
所以
首先建立参数维度,即参数的个数为矩阵的维度,之后设定各参数下限和上限[16],本文已对参数进行归一化处理,因此这里的上限和下限理论为0和1,在计算过程中,有些参数位于分母的位置,因此实际上的下限是趋近于零但是不为零,具体流程如图6所示。
图6 敏感性指数计算流程
Fig.6 Sensitivity index calculation process
3 仿真计算和结果分析
水面舰艇防空主要依靠导弹与舰炮武器协同作战对空中目标进行梯次拦截,建立防空作战效能敏感性分析函数为:
I防空=
(33)
式中,xi表示导弹武器的能力指标;
表示舰炮武器的能力指标;ωi表示导弹武器能力指标的权重;
表示舰炮武器能力指标的权重;k表示在防空体系中导弹所占的比重。
为探寻舰艇防空作战武器能力指标变化对防空作战效能的影响,对舰艇防空导弹以及舰炮武器的主要能力指标进行抽样,设计不同的武器装备能力指标输入变量组合,各能力指标的取值变化范围如表3所示。
表3 各输入变量的取值情况
Table 3 Value of each input variable
变量名变量代号取值范围导 弹 武 器杀伤远界杀伤近界杀伤高界杀伤低界飞行速度发射间隔备弹量系统反应时间战斗部有效载荷命中概率X1X2X3X4X5X6X7X8X9X1055～240 km1.8～7.4 km15～35 km5～20 m3～5 Ma2～4 s16～36枚6～15 s40～62 kg0.8～0.95舰 炮 武 器备弹量系统反应时间射界射程命中概率X11X12X13X14X15200～300发4～6 s135～270°1.5～5 km0.02～0.08
基于蒙特卡洛采样的算法计算不同能力指标下的舰艇防空作战效能,在此基础上进行Sobol指数的计算,得到能力指标输入变量的主效应指数和全效应指数变化关系如图7所示。
图7 基于蒙特卡洛采样的主效应指数变化图
Fig.7 Main effect index change chart based on Monte Carlo sampling
图8中各线分别表示相应输入因素的效应指数变化曲线,可以看出,采用蒙特卡罗方法,随着样本数量的不断增加,各效应指数逐渐趋于稳定,精度得到了提高。图9中的敏感性指标之和也反映了它们的稳定性变化趋势。
图8 基于蒙特卡洛采样的全效应指数变化图
Fig.8 Total effect index change chart based on Monte Carlo sampling
图9 敏感性指标之和稳定性变化趋势
Fig.9 Stability trend of the sum of sensitive indicators
各输入因素主效应及全效应指数的排序结果如表4所示。
表4 各输入因素主效应及全效应排序
Table 4 Main effect index and total effect index ranking of each input factor
变量名变量代号主效应排序全效应排序导 弹 武 器杀伤远界X10.015 9120.020 512杀伤近界X20.022 280.025 78杀伤高界X30.017 6110.020 911杀伤低界X40.017 9100.025 39飞行速度X50.155 230.175 13发射间隔X60.080 150.083 45备弹量X70.040 460.045 66系统反应时间X80.201 020.206 42战斗部有效载荷X90.019 290.023 310命中概率X100.264 710.277 51舰 炮 武 器备弹量X110.001 8150.001 515系统反应时间X120.088 040.086 14射界X130.006 7140.008 713射程X140.012 7130.008 514命中概率X150.034 870.039 27
主效应指数越大,表明该能力指标的变动对作战效能输出的变动影响越大;全效应指数中包含了能力指标变量之间的交互效应,全效应指数较大,表明该指标的全效应以及该指标与其了指标之间的交互效应均较大,即其变化对作战效能变化影响程度较大。从分析结果来看,全局敏感性分析方法Sobol指数法在分析舰艇武器防空作战效能时,所有武器装备指标的取值是在其变化范围内同时变化,各能力指标之间的互相影响被考虑进来。在舰艇防空作战效能中,防空导弹的命中概率、系统反应时间、飞行速度的主效应及全效应都比较大,表明这3个指标对舰艇防空作战效能的影响较大,同时与其他防空武器能力指标之间的交互效应较为明显,因此在舰艇防空武器装备的发展论证过程中,应当重点关注这几个能力指标与其他之间的交互关系。
4 结论
对舰艇防空作战效能敏感性进行分析,找出影响作战效能的关键因素、减少作战效能的不确定性,是优化体系结构、提高体系作战效能的重要途径。本文从武器装备的角度出发,建立了基于幂指数法舰艇防空作战效能评估模型,利用Sobol指数法进行作战效能全局敏感性分析,结果表明:
1) 基于幂指数法的舰艇防空作战效能评估模型是在防空武器装备能力指标的基础上建立的,对从定性定量角度分析作战效能的敏感性具有一定的优越性。
2) Sobol指数法计算时不依赖于模型,能在能力指标参数的所有范围内对舰艇防空作战效能进行分析,能定量地计算出能力指标之间存在的相互效应,发现能力指标对作战效能的影响关系,较好地满足了舰艇防空作战效能分析的需要。
3) 针对敏感性分析要求模型运算量大的问题,提出基于蒙特卡洛采样的算法设计,通过仿真可以看出敏感性分析结果较为稳定,防空导弹对于舰艇防空作战效能的敏感性更高,其中命中概率、系统反应时间、飞行速度的主效应及全效应指数较大,可为舰艇防空武器的论证工作提供一定的参考和依据。
[1] ASCOUGH H C,GREEN T R,MA L,et a1.Key criteria and selection of sensitivity analysis methods applied to natural resource models[C]//Modsim International Congress on Modeling and Simulation,Modeling and Simulation Society of Australia and New Zealand.Melbourne,Australia,2005:2463-2469.
[2] 罗鹏程,傅攀峰.武器装备敏感性分析方法综述[J].计算机工程与设计,2008,29(21):5546-5549.
LUO Pengcheng,FU Panfeng.Review on weapons and equipment sensitivity analysis methods[J].Computer Engineering and Design,2008,29(21):5546-5549.
[3] 潘星,张振宇,张艳梅,等.基于Sobol敏感性分析的装备体系保障效能评估[J].系统工程与电子技术,2021,43(2):390-398.
PAN Xing,ZHANG Zhenyu,ZHANG Yanmei,et al.Equipment SoS support effectiveness evaluation based on Sobol sensitivity analysis[J].Systems Engineering and Electronics,2021,43(2):390-398.
[4] 徐瑞恩.武器系统作战能力指数研究情况[J].军事系统工程,1994(3):33-38.
XU Rui’en.Research on operational capability index of weapon system[J].Military Systems Engineering,1994(3):33-38.
[5] 许俊飞,邢昌风,吴玲.基于指数法的舰艇火控系统效能分析[J].指挥控制与仿真,2015(1):80-84.
XU Junfei,XING Changfeng,WU Ling.Research on effectiveness of warship fire control system based on exponential method[J].Command Control &Simulation,2015(1):80-84.
[6] 吴玲,卢发兴,吴中红,等.舰载武器系统效能分析[M].北京:电子工业出版社,2020.
WU Ling,LU Faxing,WU Zhonghong,et al.Effectiveness analysis of shipborne weapon system[M].Beijing:Electronic Industry Press,2020.
[7] 周经伦,傅攀峰,罗鹏程,等.基于方差的全局敏感性方法在空战效能分析中的运用[J].现代防御技术,2007(6):22-27.
ZHOU Jinglun,FU Panfeng,LUO Pengcheng,et al.Application of variance based global sensitivity method in air combat effectiveness analysis[J].Modern Defence Technology,2007(6):22-27.
[8] 刘欢,吴琼莉,COURN
DE P H.不同抽样算法对Sobol敏感性分析影响的研究[J].数学物理学报,2018,38(2):372-384.
LIU Huan,WU Qiongli,COURNDE P H.Influence of different sampling algorithms on Sobol sensitivity analysis[J].Journal of Mathematical Physics,2018,38(2):372-384.
[9] BORGONOVO E.Sensitivity analysis:an introduction for the management scientist[M].Cham:Springer International Publishing,2017:93-100.
[10] 徐国辉,苗立东,邹广德,等.基于Sobol法的车身抬高量的全局敏感性分析[J].广西大学学报(自然科学版),2019,44(2):332-338.
XU Guohui,MIAO Lidong,ZOU Guangde,et al.Global sensitivity analysis of vehicle body lift based on Sobol method[J].Journal of Guangxi University (Natural Science Edition),2019,44(2):332-338.
[11] OLADYSHKIN S,BARPOS F P J D,NOWAK W.Global sensitivity analysis:A flexible and efficient framework with an example from stochastic hydrogeology[J].Advances in Water Resources,2012(37):10-22.
[12] CHANG X,XU Z X,ZHAO G,et a.Sensitivity analysis on SWMM model parameters based on Sobo1 method[J].Journal of Hydroelectric Engineering,2018,37(3):59-68.
[13] 崔明明,汪鹏.空空作战飞机敏感性分析研究[J].航空电子技术,2020,51(3):34-40.
CUI Mingming,WANG Peng.Sensitivity analysis of air-to-air combat aircraft[J].Avionics Technology,2020,51(3):34-40.
[14] SHRIPRAKASH S.Hilbert-Schmidt and Sobo1 sensitivity indices for static and time series WNT signaling measurements in colorectal cancer-par[J].BMC Systems Biology,2017,11(1):120-130.
[15] 程广利,胡金华,张明敏.浅海声场对不确定环境参数的灵敏度分析方法[J].兵工学报,2020,51(3):34-40.
CHENG Guangli,HU Jinhua,ZHANG Mingmin.Analytical methods for sensitivity of acoustic field in shallow water to uncertain environmental parameters[J].Acta Armamentarii,2020,51(3):34-40.
[16] ZHANG X Y,TRAME M,LESKO L,et a1.Sobo1 sensitivity analysis:a tool to guide the development and evaluation of systems pharmacology models[J].CPT:Pharmacometrics Systems Pharmacology,2015,4(2):69-79.