近些年来，随着航天技术的不断发展，空间目标数量大幅增长，特别是低轨微小卫星星座的快速发展，更加剧了人们对近地空间安全的担忧[1-2]。为了维护空间安全，各国都积极发展在轨服务和主动空间碎片清除技术[3]。而空间机械臂是其中重要的组成部分，利用机械臂对目标进行抓捕，进而实现在轨维修或轨道转移是当前研究的热点[4-5]。但是，由于发射质量的限制[6]，空间机械臂的重量要尽可能的轻；另一方面，机械臂系统可以看成由一系列的关节和连杆组成，连杆和关节的质量比影响着质心的位置，进而影响整个机械臂系统的模型及其运动学和动力学响应。但在以往的研究中，常常将关节质量视为0，主要考虑连杆的质量，或者将质心安置于连杆中心，忽略了连杆—关节质量关系及其对系统的影响。因此研究机械臂连杆—关节质量比和惯量比及其影响具有重要的现实意义。
Gaultier等[7]在建模过程中考虑了集中质量，但没有进一步分析其对动力学特性和控制系统响应的影响；文献[8]虽然进一步研究了机器集中质量对机器人振动特性的影响，但仍旧没有对控制系统的响应进行分析。王洪福等[9]将连杆简化成没有质量的杆，将连杆质量集中到末端集中质量上，并对模型进行了动力学分析，并与模态展开法进行了比对，但研究缺乏系统性。Kucuk等[10]利用遗传算法研究了三连杆机械臂的最优质量分布。在动态负载能力分析方面，杨瑞鹏[11]通过研究得出负载质量的变化会对机械臂的运动控制产生较大的影响；谭坚强等[12]在其基础上研究了极限负载对机器人轨迹控制的影响。曾向阳通过对动态负载能力的分析，提出一种基于动态负载的机械臂结构参数优化方法[13]。刘广瑞等[14]分析了末端质量和关节转动惯量对机械臂运动稳定性的影响。Korayem等[15-17]系统研究了柔性机械臂最大动态负载能力问题，得出了一系列的结论。
可见，直接研究机械臂连杆—关节质量比和惯量比及其对控制系统的影响的文献较少，且大多数集中在分析动态负载对机械臂系统动力学特性的影响上，缺乏对控制系统响应的系统性分析。本文重点研究空间机械臂连杆—关节质量关系及其对控制系统响应的影响，以期对连杆—关节组系的质量分配和构型设计提供依据。
1 机械臂系统建模
机械臂系统可以看成由一系列的关节和连杆组成，本文将每个关节及其之后的连杆分别构成一个连杆—关节组系。以平面肘型机械臂为例，其示意图如图1。
图1 肘型机械臂示意图
其中，q为关节转角，L为连杆长度，C表示关节位置到组系质心之间的距离，I为组系绕其质心的转动惯量。不失一般性，假设机械臂两连杆质量和长度都一样，且关节处半径与连杆宽度一致。设关节的质量为mj，连杆质量为ml，易得
(1)
其中
(2)
设连杆密度与关节密度比为kρ，且L=10R，则连杆和关节的质量比和惯量比可以表示为
(3)
将式(3)代入式(1)，可以得到
(4)
将DH关节变量[18]当做广义坐标，利用拉格朗日方程[19]，可以得到系统的动力学方程为
(5)
其中
当忽略关节质量或者关节质量远远小于连杆质量时，即kρ趋向于无穷，此时有
(6)
而如果将组系的质心直接置于连杆中心时，进而计算响应的惯量，有
与kρ趋向于无穷结果一致
反之，可以得到直接将组系质心置于关节中心处与忽略连杆质量或者连杆质量远远小于关节质量，即kρ趋向于0一致，均为
(7)
控制系统采用经典的PD控制[20]，即
(8)
其中
KP=0.04I
KD=30KP
(9)
2 仿真实验与分析
利用Matlab进行编程，对模型进行仿真。设初始条件和最终目标分别为
q0=(0;0)
qf=(30°;30°)
分析不同密度比下(kρ取10-8～104)系统的动态响应，其响应曲线如图2和图3所示。
图2 关节1角度响应曲线
图3 关节2角度响应曲线
以关节1角度响应曲线分析系统性能指标[21]，包括峰值时间、超调量、上升时间和调节时间，如图4～图7所示。
图4 峰值时间随密度比变化曲线
图5 超调量随密度比变化曲线
图6 上升时间随密度比变化曲线
图7 调节时间随密度比变化曲线
从图4～图7这些图中可以发现，随着密度比的增大，性能指标都呈现出从一种平稳状态，先减小后增大，最后趋于另一种平稳状态的变化情况。最开始时，系统性能指标最大，最大分别为228.5 s、51%、129.8 s和967.8 s；当密度比为0.15左右时，质量比约为1时，性能指标最小，分别为91.5 s、5.5%、66.3 s和101.9 s，控制系统的效果最好；随着密度比的进一步增大，系统性能指标进入另一种稳定状态，稳定之后的峰值时间、超调量、上升时间和调节时间分别为105.3 s、19.08%、70.1 s和157.3 s。直接将组系质心置于连杆中心或者关节质量远远小于连杆质量时，kρ趋向于无穷，系统性能与第二种平稳状态一致；而直接将组系质心置于关节中心或者连杆质量远远小于关节质量时，kρ趋向于0，此时，系统性能与第一种平稳状态一致。另一方面，以控制力矩积累作为能量消耗指标，分析随密度比变化的最大控制力矩和能量消耗，如图8所示。
图8 上升时间随密度比变化曲线
从图中可以看出能量消耗先减小后增大，也呈现出两端平稳状态，最小值出现在密度比为0.01附近。
当系统性能指标和稳态性能指标的差值在5%以内时，假定两个系统近似相同。系统的非稳态密度比区间可以由各指标的非稳态区间合并而成，由图中可以得到系统的非稳态密度比区间为(0.000 1～10)，则系统的稳态密度比区间为(0～0.000 1)和(10～∞)。于是，系统的稳态质量比区间和惯量比区间为
km-steady⊂(0～0.000 6)∪(60～∞)
kI-steady⊂(0～0.01)∪(1 000～∞)
上式表明，当连杆—关节质量比小于0.000 6且惯量比小于0.01时，在系统建模过程中，可以将组系质心直接置于关节处，不会对系统造成影响；反之，当连杆—关节质量比大于60且惯量比大于1 000时，则可以将组系质心置于连杆中心。因此，在空间机械臂上天之前，对其质量和惯量进行合理分配有助于简化系统模型，提高效率。
3 结论
利用几何关系，将平面肘型机械臂的质量比和惯量比转化为连杆与关节的密度比。随着密度比的变化，系统的动态响应从一种稳态进入到另一种稳态，据此进行连杆—关节组系的质量分配和构型设计，有助于简化机械臂系统的建模，提升系统性能。
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