装备维修经费是用于武器装备维护、修理及维修器材、设备购置等相关保障活动的经费，是装备经费的重要组成部分[1]。目前，装备维修经费存在投入总量不稳定、分配比例不合理等问题，特别是各项目和专业经费投入的持续性、稳定性较差。针对现有装备经费数据样本数量少，规律性不强的特点[2]，构建了基于灰色理论的维修经费投入预测模型，预测未来经费总量和分配比例，可以为装备维修经费投入、管理、分配，提供科学依据。以某单位装备维修经费投入为例，按专业和按项目进行了仿真计算，预测结果一致性较好，检验了预测模型的准确性。
1 灰色预测
灰色预测理论由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的[3]。目前，灰色预测已经成为社会经济、科学技木等诸多领域进行预测、评估、决策、规划控制、系统分析与建模的重要方法。特别是针对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，能够起到很好的预测作用。
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”的“小样本，贫信息”不确定性问题[4]，并依据信息覆盖，通过序列算子探索事物的现实规律。其主要特点是“少量数据建模”，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象[5]，具有以下优点：不需要大量的样本； 样本不需要有规律性的分布；计算工作量小；定量分析结果与定性分析结果较为一致；预测结果精准度高。
灰色预测是通过生成数据的GM(1,1)模型所预测值的逆处理结果[6]。GM(1,1)模型元素的具体含义如表1所示。
表1 GM(1,1)模型元素含义
元素GM11含义灰色模型1阶方程1个变量
对于原始序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}(n为序列元素数)，序列X(0)中所有元素必须是非负的，若原始序列X(0)不是非负的，则需要对序列中元素按照下式进行平移转换：
式中，β>0。
序列X(0)能否够进行灰色预测，需要进行级比检验。序列X(0)的级比序列σ为
序列X(0)可以进行GM(1,1)建模的前提是级比序列σ中所有元素满足：
序列X(0)的累加序列X(1)为
X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}
序列X(1)中元素满足：
序列X(1)的紧邻均值序列Z(1)为
Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)}
序列Z(1)中元素满足：
k=2,3,…,n
GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程为：
x(0)(k)+az(1)(k)=b
(1)
式中，a为发展系数，b为灰色作用量。
设
则灰微分方程(式(1))的最小二乘估计参数列满足：
a和b的值可由上式得出，其中：
则灰微分方程(式(1))的白化方程为
上式的时间响应函数为
其时间响应数列为
(k=1,2,…,n)
令x(1)(0)=x(0)(1)，则：
(k=1,2,…,n)
对求得数列进行逆运算，即可得预测数列：
式中，当k≤n-1时，为原序列的预测值，当k≥n时为后续预测值。
2 模型检验
为了验证预测的准确性，需要对构建的模型进行检验，GM(1,1)模型的检验分为：残差检验和后验残差检验[7]。
2.1 残差检验
残差检验，对模型预测值和原始数列值进行对应逐元素进行检验，即计算x(0)与
的绝对值残差序列E和相对残差序列F。
绝对值残差序列E：
相对残差序列F：
残差均值ε：
残差方差S2：
2.2 后验残差检验
后验残差检验主要计算后验残差比值和小概率误差。
序列X(0)的平均值
计算序列X(0)的方差S1：
后验差比值C:
小概率误差P：
P=P{|E(k)-ε|<0.674 5S1}, k=2,3,…,n
求得后验差比值C和小概率误差P后，可根据表2对预测结果进行等级评价[8]。
表2 等级评价
预测精度等级PC好>0.95<0.35合格>0.80<0.45勉强>0.70<0.50不合格≤0.70≥0.65
3 数据规范化
数据规范化是数据预处理的一个重要方法，其定义是将数据按一定比例进行缩放，使其落入一个小的特定区间。数据规范化可以有效的改进涉及距离度量算法的精度和有效性[9]。
数据规范化的方法较多，通过运用最小-最大规范化进行实验验证[10]，数据规范化对灰色预测模型具有很好的作用，可以减小变化较大数据的权重，增加预测的准确度。
最小-最大规范化，主要对原始数列进行线性变化，变化后的数列V(0)为：
k=1,2,…,n
其中，min(X(0))、max(X(0))分别为序列X(0)中所有元素的最小值和最大值，minnew、maxnew为规范区间的最小值和最大值。
4 仿真计算
使用数据预处理和GM(1,1)方法进行灰色预测的步骤如下：
步骤1 最小-最大规范化；
步骤2 进行级比检验；
步骤3 计算累加数列；
步骤4 求解响应方程参数；
步骤5 响应序列逆运算；
步骤6 最小-最大规范化逆运算；
步骤7 残差和后验差检验。
以某单位2010—2018年装备维修经费(数据均为模拟值)为基础，预测该单位未来5 a(2019—2023年)经费投入。为了增加预测的准确性，分别按专业和按项目对装备维修经费投入进行预测，数据最小-最大规范化区间为[1-2]。
装备维修经费按专业划分为军械装备、装甲装备、工程装备、防化装备、车辆、陆军船艇等6项，预测结果如表3所示(由于专业较多，只列出部分预测结果)。装备维修经费按项目划分为装备大修、装备中修、小修维修、维修器材购置、维修设备购置、仓库业务、维修改革、专业训练、管理类及其他等9项，预测结果如表4所示(由于项目较多，只列出部分预测结果)。
表3 按专业划分装备维修经费投入预测结果 万元
专业名称201020112012201320142015201620172018军械装备原值7327548108941 2321 6091 7421 9281 818预测值7327769081 0551 2171 3961 5951 8152 095相对残差00.030.120.180.010.130.080.060.13装甲装备原值5935866026239591 0161 1241 2661 539预测值5935276267368589941 1451 3121 498相对残差00.100.040.180.110.020.010.040.03
表4 按项目划分装备维修经费投入预测结果 万元
项目名称201020112012201320142015201620172018装备大修原值436376355388633585682679730预测值436376418463513569630698772相对残差000.180.190.190.030.080.030.06装备小修原值349461564487541774637570587预测值349516533550567585604623642相对残差00.120.050.130.050.240.050.090.09
为了检验预测结果，计算后验差比值C和小概率误差P，使用等级评价表进行评价预测结果，如表5和表6所示。
表5中所列等级评价结果为：好4项，合格1项，勉强1项，达到了预期效果。
表6中所列等级评价结果为：好2项，合格4项，勉强1项，不合格2项，基本达到了预期效果。
表5 按专业划分预测结果等级评价结果
专业名称误差P比值C等级评价结果军械装备10.31好装甲装备10.19好工程装备10.44好防化装备10.35好通用车辆0.8750.48合格陆军船艇0.750.69勉强
表6 按项目划分预测结果等级评价结果
装备大修0.8750.43合格装备中修0.8750.72合格小修维护10.23好维修器材10.31好维修设备0.750.66勉强仓库业务0.51.04不合格维修改革0.6250.75不合格专业训练0.8750.50合格管理及其他0.8750.39合格
因此，未来5 a该单位按专业和按项目的装备维修经费投入预测结果如表7和表8所示。
由表7和表8的合计金额可以看出，按项目和按专业未来5年经费投入总额的一致性较好，因此该单位未来5 a装备维修经费的投入总额约为47 046～47 135万元。
表7 按专业划分未来5年经费投入 万元
专业名称20192020202120222023军械装备2 3282 6262 9563 3223 726装甲装备1 7051 9352 1902 4732 788工程装备475530590657730防化装备221247276308343通用车辆2 5172 7713 0513 3573 693陆军船艇205224244267291合计金额7 4518 3339 30810 38311 571
表8 按项目划分未来5年经费投入 万元
专业名称20192020202120222023装备大修8549451 0461 1571 279装备中修662683704726749小修维护1 1841 3911 6201 8742 155维修器材2 5972 9333 3053 7174 173维修设备1 4341 5771 7321 9002 083仓库业务7876737169维修改革161412118专业训练194215239264292管理及其他449519597682777合计金额7 4688 3539 32810 40111 585
5 结论
针对装备维修经费样本数量少、分布不规律等特点，使用数据预处理方法和灰色理论构建预测模型，能够较为准确确定未来5 a装备维修经费投入，且按专业和按项目分别预测的结果一致性较好，对未来经费投入决策有借鉴意义。
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