射表是指导炮兵射击和编制火控软件所依据的基本文件，故射表的精度直接影响武器系统的射击精度。对于射表的精度，首先要射角满足的一定精度进而确保射程和偏流满足精度需求[1]。射角由仰角和跳角两部分组成，在仰角精度确定条件下，射角精度主要受跳角精度的影响，故开展跳角精度的研究成为国内外学者关心的重要课题[2-5]。
目前国内外对跳角的测量通常采用坐标靶，且往往只针对水平射击条件下的坐标靶弹着点坐标进行测试[6]。靶板法[7-8]是目前广泛采用的基于传统跳角定义下平射跳角测量方法。然而，试验结果表明，按该方法进行试验处理得到的跳角随靶距变化较大，某大口径火炮在56～226 m靶距范围内测得铅直跳角极差可达9.3分[9]。为解释这一现象，有文献[10]中提出了一般条件下的跳角定义，在该定义中包含了由起始攻角和起始攻角角速度引起的平均偏角对射角、射向的影响，将平均偏角归入跳角的一部分。目前关于跳角计算的理论建模研究较为少见。
为了深入认识线膛火炮测试跳角在起始扰动作用下随靶距变化的规律，本研究一方面基于弹丸仅受升力和静力矩作用下的简化情形，推导了由起始攻角角速度引起的平均偏角计算方法；另一方面，通过建立弹丸六自由度刚体外弹道模型，结合跳角计算公式，在假定起始跳角已知情况下对起始攻角、起始攻角角速度引起的跳角随靶距变化规律进行数值仿真，进而验证计算平均偏角方法的准确性，分析造成跳角随靶距变化的原因，对认识起始扰动对跳角随靶距变化规律的影响一定指导作用。
1 跳角
目前，关于跳角的定义主要包括基于起始扰动
为零假设条件下的传统跳角和基于起始扰动不为零一般条件下的跳角两种形式。理想发射条件下，起始攻角δ0与起始攻角角速度
均为0，将弹丸出炮口瞬间初速矢量线与发射前炮身轴线的夹角定义为跳角，这是跳角的传统定义。通常将跳角在射面上的分量称为铅直跳角γ，在水平面上的分量称为方向跳角ω。进行射表编制时火炮仰角为
φ=θ0-γ
(1)
式中：φ为仰角；θ0为射角。
对于一般线膛火炮，起始攻角δ0通常为几分，起始攻角角速度可达十几弧度每秒，射击起始扰动不能近似为零。在忽略几分的起始攻角δ0条件下，即
时，若只考虑空气力矩中最大的静力矩项，描述攻角变化的角运动方程为
(2)
式中：Δ为复攻角角速度;
为极转动惯量；
为弹体自转角速度；A为赤道转动惯量；v为弹丸速度；v0为初速；
为空气密度；S为弹丸特征面积；l为弹长；
为静力矩系数；
为起始进动角。
攻角方向的改变带来升力和马格努斯力方向的改变，导致速度方向不断改变，若只考虑对速度方向影响最大的升力项，描述速度方向变化的方程为
(3)
式中：
为复偏角角速度；
将式(2)代入式(3)，并从0到t积分可得偏角变化方程
(4)
式中，
式(4)中前两项可由两个圆运动合成，第三项为一负实数，记为
(5)
偏角曲线将围绕
变化，将它称为起始攻角角速度引起的平均偏角，即速度方向在起始攻角角速度作用下平均偏转此角度。起始攻角δ0也会引起平均偏角，通常在转管炮射击、大风条件等情形下δ0较大时考虑。平均偏角也起到改变射角和射向的作用，因此也应归为跳角的一部分，传统跳角定义未包含此部分。
在条件下，弹道起始段并非为一条平滑曲线，而是一条被拉长了的渐收螺旋线。该螺旋线直径随距离(时间)逐渐衰减，最后趋近其中心轴线，将此中心轴线称为平均速度矢量线，炮口位置的平均速度矢量线称为平均初速矢量线，初速矢量线与平均初速矢量线之间的夹角即平均偏角
将平均初速矢量线与射前炮身轴线的夹角称为一般条件下的跳角。此时初速矢量线与仰线间的夹角称为起始跳角，用γ0、ω0表示。如图 1所示，跳角(γ,ω)、起始跳角(γ0,ω0)与平均偏角有如下关系
(6)
式中：
为在射面上的分量；
为在水平面上的分量。
图1 一般条件下跳角定义示意图
当
时，有γ=γ0、ω=ω0。即起始扰动近似为零时，初速矢量线与平均初速矢量线重合，因此一般条件下的跳角定义包含了传统跳角定义。
目前，国内跳角试验与数据处理方法是基于传统的跳角定义进行的，并且在工程上由于试验装置的限制，通常只进行平射跳角试验。当
时，弹丸质心运动轨迹是一条平滑曲线，跳角值可通过飞行时间和立靶弹着点坐标来确定。试验跳角处理方法示意如图2所示，其中，O点为发射前炮口中心，A点为瞄准点， OA为立靶距离x，弹丸经过时间t落在靶面上C点坐标为(y,z)，则铅直跳角γ与水平跳角ω大小可表示为：
(7)
按传统定义下跳角跳角测试结果应为与靶距无关的恒定值，而从表 1所示某大口径火炮在56～226 m靶距范围内铅直跳角实测结果[9]可以发现跳角测试值随靶距变化较大。在一般跳角定义下，弹道起始段呈渐收螺线规律，可以解释跳角随靶距变化的原因，本文将通过仿真模拟起始攻角与起始攻角角速度对跳角测试结果的影响。
表1 某大口径火炮铅直跳角γ(′)实测值
靶距/m弹序1234567856-1.0-7.1-6.6-6.8-1.8-1.4-1.1-2.666-1.8-7.1-7.1-6.8-2.4-1.6-0.8-2.576-1.9-7.2-7.5-6.7-1.7-1.3-0.7-2.386-0.8-7.0-6.7-6.7-1.8-1.8-0.4-2.496-0.9-7.4-7.9-6.5-1.6-2.6-0.3-2.5106-0.9-7.8-8.6-6.5-1.8-3.31.1-2.6116-2.1-8.0-9.3-6.1-2.2-3.81.7-2.7126-2.9-8.2-9.4-6.0-2.2-3.81.6-2.8136-2.9-8.3-9.5-6.2-2.3-3.71.7-2.9145-3.1-8.4-9.8-5.9-2.4-4.31.9-2.9156-4.0-8.7-10.4-5.9-2.5-4.72.3-3.2166-5.5-9.3-10.8-5.9-2.8-4.92.4-2.8176-6.4-9.5-10.7-5.9-2.8-4.72.3-3.1186-6.9-9.5-10.5-5.8-3.0-4.62.1-3.2196-7.2-9.5-10.5-5.7-3.1-4.71.9-3.4206-7.6-9.8-10.5-5.8-3.2-4.71.9-3.6216-9.5-10.0-10.7-5.8-3.3-4.61.8-3.4226-8.9-9.7-10.3-5.8-3.3-4.21.5-3.4极差9.33.04.21.11.73.63.51.3
图2 平射跳角试验示意图
2 仿真模型
弹丸出炮口后的运动规律通过6自由度刚体弹道方程描述，建立在速度坐标系下的弹丸质心运动的运动学方程和弹轴坐标系下的弹丸绕质心运动的运动学方程如下[11]，
(8)
式中：t为时间(s)；v为弹丸速度(m/s)；θa为速度高低角(rad)；ψ2为速度方向角(rad)；ωξ、ωη、ωζ为弹丸绕质心转动的总角速度ω在弹轴坐标系的三个分量(rad/s)；φa为弹轴高低角(rad)；φ2为弹轴方向角(rad)；γd为弹体自转角(rad)；x、y、z为基准坐标系下质心坐标(m)；FX2、FY2、FZ2为弹丸所受合力在速度坐标系的3个分量(N)；Mξ、Mη、Mζ为弹丸所受合力矩在弹轴坐标系的3个分量(kg·m2)。FX2、FY2、FZ2与Mξ、Mη、Mζ的表达式参考文献[11]。弹丸角约束方程为
(9)
式中：δ1为高低攻角(rad)；δ2为方向攻角(rad)； β为第一弹轴坐标系与第二弹轴坐标系间的转角(rad)。
为利用上述弹道方程模拟平射跳角试验，提出如下基本假设条件：
1) 仰线与基准坐标系OXNYNZN中OXN轴重合，质心坐标x即为靶距；
2) 发射前后炮口中心位置不变；
3) 忽略后效期膛口流场对弹丸的作用；
4) 气象为标准气象条件、无风。
根据假设条件1)和跳角的一般定义可得速度高低角θa和速度方向角ψ2与起始高低跳角γ0和方向跳角ω0转换关系。推导过程为：将初速
从速度坐标系转换到基准坐标系
(10)
式中，等号左侧为在基准坐标系的分量。根据定义起始高低跳角γ0和方向跳角ω0可表示为
(11)
通过给定不同的初始条件模拟起始攻角和起始攻角角速度变化，利用龙格库塔法解算上述模型得到弹丸质心坐标与时间，代入跳角计算公式即可模拟在不同靶距下测试跳角的结果。
3 跳角变化规律的数值仿真
针对某155 mm榴弹，基于式(7)～式(11)所建立的试验跳角计算模型和弹丸刚体弹道模型，编制仿真程序，计算由起始攻角和起始攻角角速度引起的跳角变化规律。弹丸的结构参数如表2所示，弹丸部分气动数据如图 3所示，通过拉格朗日插值可得不同马赫数下各气动系数，射击地理条件为纬度45°，阵地海拔高度0 m，射击方向与正北方的夹角为5°。
表2 弹丸结构参数
参量名称符号单位参量值弹径dm0.154 4弹长lm0.899 89弹丸质量mkg45.5质心到弹尖的距离hm0.54动不平衡角分量βD1rad0动不平衡角分量βD2rad0
图3 零升阻力系数-马赫数与升力系数-马赫数散点图
3.1 起始攻角引起的跳角随靶距变化
起始攻角为弹轴与速度方向的夹角，为方便研究，假设初始弹轴方位固定且与仰线重合，即起始弹轴高低角φa和弹轴方向角φ2为0，结合(9)式角约束方程与(11)式起始跳角表达式可知此时速度方向θa、ψ2同时反映起始攻角和起始跳角大小。起始攻角角速度无法直接给出，可以通过仿真开始时两个时刻弹轴和速度方位变化角速度之差近似表示。将起始攻角δ0在速度坐标系下的两个分量分别记为δ10、δ20，当仿真初始条件如表 3所示时，利用(9)式计算得起始攻角δ0分量为δ10=5′，δ20=5′，通过改变速度方向θa、ψ2的值计算了不同起始攻角δ0条件下0～1 000 m靶距范围内铅直跳角γ与方向角ω变化仿真曲线如图4与图5所示，当弹丸角速度分量ωη、ωζ为0时，约为0。
从图 4与图 5可以看出：在50～300 m靶距范围内，起始攻角δ0为最大取值δ10=9′，δ20=9′时，铅直跳角极差|Δγ|最大，约为0.226′；起始攻角δ0为最小取值δ10=1′，δ20=1′时，方向跳角极差|Δω|最大，约为0.646 5′。对比表1所示56～226 m靶距范围内某大口径火炮铅直跳角实测结果可以发现，相较于铅直跳角极差|Δγ|可达9.3′的实测结果，可以忽略较小的起始攻角δ0引起的跳角随靶距的变化。
表3 仿真初始条件
参量名称符号单位参量值飞行速度vm/s930速度矢量高低角θarad-0.001 454 41速度矢量方向角ψ2rad-0.001 454 41弹丸角速度分量 ωξrad/s1 885.5弹丸角速度分量ωηrad/s0弹丸角速度分量ωζrad/s0弹轴高低角φarad0弹轴方向角φ2rad0弹体滚转角γdrad0质心坐标xm0质心坐标ym0质心坐标zm0
图4 δ0引起的γ-x曲线
图5 δ0引起的ω-x曲线
3.2 起始攻角角速度引起的跳角随靶距变化
在前一小节中验证了较小的起始攻角不是造成跳角随靶距变化的原因，本节将探讨起始攻角角速度对跳角随靶距变化的影响。仿真中将起始攻角δ0大小设置为0，即弹轴方位与初速方位重合。初始条件设置如下：弹丸角速度分量ωη、ωζ均为5 rad/s，弹轴高低角φa与弹轴方向角φ2均为-0.001 454 41 rad，其他参量与表 3相同。
计算两种不同工况下跳角随靶距变化，工况1：考虑弹丸仅受升力和静力矩作用下的简化情形，将仿真模型中合力和合力矩分量分别用升力与静力矩分量代替，由于不计重力，式中铅直跳角应为
(12)
式中：γsimplify为此简化情形下铅直跳角值；工况2：考虑弹丸在全力组与全力矩作用下的一般情形。计算得两种不同工况下铅直跳角与方向跳角随靶距变化曲线分别如图6和图7所示；计算得工况1下质心运动轨迹如图8所示。
图6、图7中工况1下的理论值为利用一般跳角定义式(6)计算得到的跳角理论值，计算得大小为-7.07 rad/s，其引起的平均偏角在射面上的分量和水平面侧向分量分别为-2.581′和2.808′。从其中可以发现：① 工况1下铅直跳角和方向跳角值随着靶距的增加，与相应理论值的偏差呈现周期性衰减的规律，这与图8所示螺线弹道直径随靶距的增加逐渐减小的规律相对应，验证了一般跳角定义的准确性；② 当靶距在0～120 m范围内，工况1与工况2条件下铅直跳角与方向跳角结果基本重合，靶距继续增加时，工况2条件下铅直跳角与方向跳角结果逐渐发散，偏离工况1下跳角理论值；③ 在50～300 m靶距范围内，起始攻角角速度 为-7.07 rad/s时最大铅直跳角差值|Δγ|为3.84′，这表明起始攻角角速度是造成大口径火炮跳角随靶距变化的主要因素之一。
图
引起的γ-x曲线
图
引起的ω-x曲线
图8 简化情形下
引起的质心运动轨迹
3.3 起始攻角角速度散布时跳角变化规律
起始攻角角速度与火炮振动、身管弯曲、弹炮间隙等许多因素有关[12]，通常认为其大小和方向是随机的。本节中探讨的问题为起始攻角δ0为0时，在给定起始跳角条件下，起始攻角角速度服从
正态分布时跳角的变化规律。
由于的无法直接给出，通过弹丸角速度分量ωη、ωζ服从正态分布模拟服从正态分布情形。初始条件设置如下：弹丸角速度分量ωη、ωζ均服从N(5,32) rad/s正态分布规律，弹轴高低角φa弹轴方向角φ2均为-0.001 454 41 rad，其他参量与表3相同。
利用蒙特卡洛方法[13]抽样1 000次，大小的均值为7.737 1 rad/s，均方差为2.854 77 rad/s，利用Shapiro-Wilk[14]方法检验数据的正态性，p值为0.247 79，在0.05水平下数据服从正态分布。计算得靶距100 m时打靶落点散布结果如图9所示，此靶距下铅直跳角与方向跳角频数分布直方图如图10、图11所示。
图
散布时靶距100 m落点散布图
图9中落点坐标(y，z)均值为(-0.201 83 m，-0.015 13 m)，从图10、图11可以发现：靶距100 m时铅直跳角和方向跳角结果在攻角角速度服从正态分布时也服从正态分布。
图10 靶距100 m处γ频数分布直方图
图11 靶距100 m处ω频数分布直方图
为研究跳角散布与起始攻角角速度散布的关系，计算了不同靶距、不同起始攻角角速度均方差条件下铅直跳角和方向跳角均方差如图12与图13所示。
图
曲线
图
曲线
从图12与图13中可以发现：① 同一靶距下铅直跳角和方向跳角均方差随着起始攻角角速度均方差增加而增加，近似服从线性规律；② 在相同的起始攻角角速度均方差条件下，不同靶距处的铅直跳角和方向跳角均方差不等。
4 结论
1) 一般线膛火炮在跳角测试时可以忽略由较小的起始攻角引起的跳角随靶距的变化，起始攻角角速度是造成跳角测试值随靶距变化的主要原因之一；
2) 靶距较小时起始攻角角速度引起的跳角随靶距变化结果在全力组和全力矩作用结果，与只考虑升力和静力矩时的简化情形结果一致，靶距较大时在全力组和全力矩作用跳角结果呈逐渐增大的趋势，因此试验时应选取合理的靶距；
3) 起始攻角角速度服从正态分布时某一靶距下的跳角结果也服从正态分布，且跳角的散布大小与起始攻角角速度的散布大小近似具有线性关系。
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