载机平台与模拟雷达运动关系模型的构建

机载告警设备(以下简称告警设备)是战机自卫电子对抗系统的重要组成部分[1-2]。告警设备是电子侦察装备，它基于无源探测原理，在复杂电磁环境中对各频段雷达信号持续检测，测量威胁源的方位并确定威胁等级，实时向飞行员发送报告进行威胁告警，便于飞行员采取干扰措施保护作战飞机的安全[3]。

目前，在对告警设备进行检测时，部队人员将雷达模拟器产生的信号传给载机平台，通过观察设备侦测到的雷达数据与模拟器设定的数据之间的差距，对整个告警设备的多项技术指标进行检测，用来测试设备的测向精度和测频精度等指标[4-5]。然而在告警设备测试的过程中，载机平台与所模拟的雷达位置相对固定，只能在相对静止的状态下对告警设备的基础性能进行测试，而在真实的电子对抗中，载机与敌方雷达是相对运动的，现有的测试设备大部分无法验证它在运动状态下的工作特性，例如载机位于不同位置、不同角度时是否会对告警设备方位解算能力、雷达工作状态判别能力产生影响，所得到的测试结果也并不具有说服力。若通过载机飞行来检测告警设备运动状态下的性能，尽管可以满足测试的需求，但是维持飞行状态也需要极高的成本，并且会存在风险而带来其他损失。因此，对于机载告警设备的检测而言，最好的选择还是尽可能利用雷达信号模拟器实现载机“运动”的场景。

告警设备是通过接收雷达信号进行工作的[6] 直接通过模拟多普勒频率就可以实现运动目标的模拟。此时再使用雷达信号模拟器对告警设备进行检测，就可以得到告警设备处于“运动”状态下的测试结果，这对实现告警设备测试时的逼真战时电磁环境的模拟具有重要意义。因此，本文针对如何利用雷达信号模拟器构建载机与待模拟雷达之间的相对运动关系模型这一关键性问题展开研究。

1 基于相对距离的运动关系模型

在真实的电磁环境中，雷达对空中运动的载机进行扫描时，由于多种因素的影响，载机告警设备接收到的雷达信号也会随之变化[7]。

鉴于此，可以得到简化的距离侦察方程，即不考虑系统损耗、大气衰减以及地面或海面发射等因素的影响而推导出的侦察作用距离方程。假设载机位于距离雷达R处，并且两者天线都处于最大增益方向时，此时载机接收天线接收到的雷达信号功率为：

式(1)中：Pt表示雷达的脉冲发射功率；Gt表示发射天线增益；Ar表示接收天线的有效面积，在进行该类告警设备测试的过程中，天线的有效面积可以认一个常量。

根据式(1)，此时载机接收到的雷达信号功率主要受两者距离的影响。因此若要模拟载机在战时电磁环境中被雷达照射的场景，可以采用控制雷达信号功率变化的方式来模拟相对距离的变化，如告警设备接收到的信号变为原来的四分之一，那么对应的两者的相对距离变为原来的两倍，这样尽管载机平台与所模拟的雷达处于静止的状态，依然可以复现出两者“运动”的场景。

基于以上分析，通过控制告警设备接收信号功率的大小来模拟两者相对运动，而雷达与载机之间相对位置的不同，载机所接收到的雷达信号功率也不相同，因此这需要首先模拟出载机平台与模拟雷达之间相对位置的关系，这种变化可以通过构建载机运动航迹的策略来实现。通过模拟出待测飞机的运动航迹来实时得到载机与模拟雷达之间的相对位置关系，根据式(1)得到载机不同位置处的接收信号，实现载机平台与待模拟雷达相对运动的模拟。本文结合灰色理论中多变量灰色MGM(1，N)模型[8-9]，提出运动轨迹模拟方法。

1.1 MGM(1，N)模型概述

设有N个原始数列，每个数列中有n个元素，有：

对

累加生成，得到生成数列为：

可建立微分方程为：

这个微分方程组记为MGM(1，N)模型。方程(2)的参数记为：

再设

将方程(2)按差分法离散，可得到以下线性方程组：

由最小二乘法可以求得：

求出A、B后，微分方程(2)便可确定。通过求解，得到X(1)的拟合值为：

对式(6)进一步处理，利用还原公式求得X(0)(k)的拟合值为：

1.2 残差修正模型

在利用MGM(1，N)模型进行建模仿真时，随着飞机运动过程的不断模拟，会产生新的位置信息，随着这些坐标数据不断填充进原始序列中，导致数据发生跳跃性变化的概率变大，MGM(1，N)模型的模拟结果将会产生较大的误差，致使模拟量偏离实际的轨迹，造成模拟曲线出现不平滑的现象。因此为了得到飞机轨迹的长期预测值，本文采用计算残差的方法来修正原始数据，在此基础上进而构造新的MGM(1，N)模型。

定义一阶残差序列：

其中X(0)(k)为实际值，

为MGM(1，N)模型所得到的模拟值。把e(0)(k)代入式(2)～式(7)，建立MGM(1，N)模型，得到：

则一阶残差修正模型为：

在实际建模仿真时，并不是利用一次残差修正就能达到模拟的目的，而是多次残差修正后来得到精确的模拟值。因此，在对MGM(1，N)模型得到的数据进行一次残差修正后，可以在修正数据基础上继续进行残差拟合来提高数据的精度，此时：

式(10)中，m为残差修正模型的阶数。

该模型是MGM(1，N)的改进形式，先由MGM(1，N)模型得到飞机运动的位置模拟数据，进而得到残差数据序列，然后对残差序列进行灰色建模计算，与原模拟数据拟合得到更加精确的模拟结果，因此可以有效提升飞机运动航迹的真实性。

2 基于多普勒频移的运动关系模型

当雷达与载机之间存在相对运动时，载机天线接收到的雷达信号频率会发生变化，这种现象称为多普勒效应，这种频率的变化称为多普勒频移。如图1所示，S点处为雷达的位置，载机从A点以速度v运动，并且在A点处接收到雷达信号，雷达与载机的相对距离为R，则雷达发射信号到达载机接收天线处的相位变化由式(11)给出。

式(11)中，λ表示发射信号的波长。当载机相对雷达运动时，两者的相对距离R与相位Φ会随时间而改变，因此对式(11)关于时间求导，得到相位关于时间的变化率，即角频率为：

式(12)中:

表示载机的径向速度vr，是载机速度v在相对于雷达方向上的分量。由于ωd=2π·fd，fd称为多普勒频率，结合式(12)可以得出：

式(13)中，f表示发射信号频率。多普勒效应示意如图1所示。

通过以上分析可以看出，在真实的战场环境中，运动中的载机在不同位置、不同速度时的接收信号会发生多普勒频移，导致接收信号的频率不同。因此在真实的环境中，运动中的载机接收端信号的频谱会始终处于[f-fd,f+fd]区间内，从而增加了接收端的信号带宽，当告警设备加载威胁库时，这种频率的偏移会影响到对威胁源种类的判断，故除了要考虑两者相对位置引起的信号幅度变化外，还应考虑由两者的相对运动所引起的信号频率偏移，因此在测试时应根据两者相对运动关系，对雷达信号模拟器产生的脉冲信号载频进行补偿，体现多普勒频移的变化情况，从而达到模拟两者“运动”的效果。

由式(13)可知，多普勒频移与载机地径向速度成正比，并且径向速度是载机运动速度v在雷达与载机连线方向上的分量，载机的径向速度vr=v·cosα(α定义为径向夹角)。载机的运动速度v与径向夹角α也对多普勒频移产生影响。因此就需要知道两者的相对运动速度以及其径向夹角，然后根据式(13)对雷达信号模拟器产生的载频信号进行补偿，实现外场测试时模拟雷达与载机的相对运动，使告警设备所处的测试环境更加真实。

上文中提出了基于残差修正的MGM(1,3)模型来构建载机的航迹，可以得到不同时刻载机的位置坐标(xn，yn，zn)，根据三维笛卡尔坐标系与球坐标系的转换，可以将载机航迹上不同时刻的位置转变为球坐标(R，φ，θ)来表示，根据图1，由几何关系可知，α是关于方位角φ和俯仰角θ的函数，可以得到式(14)，因此载机的径向夹角可以由航迹中各位置的球坐标的俯仰角和方位角得到。

载机的运动速度v可以通过MGM(1，3)模型得到。运动物体速度的大小是路程关于时间的导数，其方向与运动轨迹的切线方向一致，根据MGM(1,3)模型可以得到载机关于时间序列的运动轨迹，因此可以十分方便地对不同时刻的载机速度进行解算。

综上所述，在构建MGM(1，3)模型时解算载机运动轨迹上不同坐标处的运动速度v，以及通过球坐标的方位角φ和俯仰角θ得到径向夹角α，实现模拟载机运动过程中多普勒频移的功能，这是对两者相对运动关系模型的补充，使告警设备测试时构建的战时电磁环境更逼真、合理。

3 案例分析

本文采用文献[10]中载机的飞行轨迹位置信息作为例子，来验证本文方法的可行性。

设载机的飞行位置坐标为x(0){x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}、y(0){y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}、z(0){z(0)(1),z(0)(2),…,z(0)(n)}的一组时间序列，则原始序列为X(0)={x(0),y(0),z(0)}，根据式(2)～式(7)，建立MGM(1,3)模型来产生下一时刻载机飞行的位置坐标数据，显然，这样可以求得该阶段内任意时刻的位置坐标信息。设载机前10组历史位置坐标如表1所示。

取前9个数据。对表1得到的数据进行累加生成，求出生成数列：

由最小二乘估计可得：

可以建立MGM(1,3)模型为：

求解上面的方程组可得到位置坐标关于时间的近似解，将求出的数据代入式(8)～式(10)，计算3阶残差修正模型，把实际值、MGM(1，N)模拟值与残差修正值进行比较，结果如表2所示。

根据第10组数据的相对误差可以得到：

其中,P1为MGM(1,3)第10组坐标数据的精度，P2为残差修正后第10组坐标数据的精度。可见经过残差修正后，模型的精度有了增高。基于残差修正值绘制出载机轨迹模拟图，如图2所示。

通过坐标转换，由表2中残差修正数据可以得到载机不同位置处的方位角φ、俯仰角θ和两者的相对距离以及载机速度，解算出的相对运动信息如表3所示。

结合表3的数据，由式(1)可使载机接收到不同的雷达信号功率；根据载机径向速度，由式(13)可以对发射信号的载频进行补偿，显然可以实现告警设备的动态测试。因此，本文构建载机平台与待模拟雷达相对运动关系的方法基本符合设计要求。

4 结论

通过构建残差修正MGM(1，N)模型模拟飞机运动，得到外推航迹，根据距离侦察方程与多普勒频移，调整产生信号的幅度和频率。通过案例证明了该方法的可行性与有效性，对雷达信号模拟器的设计有参考价值。需要说明的是，本文在计算距离与发射信号幅度关系时，采用的是简化距离侦察方程，没有考虑系统损耗、大气衰减以及地面或海面发射等因素的影响。

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