快递、外卖等行业的兴起便利了广大民众，然而很多二轮车骑行人交通意识淡薄，无视交通规则，存在极大的安全隐患。据中国统计年鉴，2017、2018年二轮车发生事故占道路交通事故总数分别为29.30%、29.91%。
道路交通事故模型是对事故现场的道路痕迹、车辆情况、人员状况进行分析和推演事故发生过程[1]。建立事故模型技术对道路设计和车辆施害部件设计的一般安全问题具有较高的参考价值，也适用于交通警察在事故调查中判断事故的因果关系。随着科学技术的不断发展，事故仿真软件逐渐成熟，如SINRAT[2]，美国开发的SMAC、CRASH、基于有限元法的LS-DYNA，奥地利研发的Pc-Crash软件。这些仿真软件为事故建立模型研究和驾驶行为判断提供了重要的技术支撑。
D.Vangi等[3]提出一种半经验方法评估两轮车与汽车碰撞时的动能损失。C.Cialdai等[4]通过数值模拟建立摩托车行驶人质量与汽车和摩托车碰撞前速度关系，但不适用于不同的碰撞类型。在国内，不少研究人员基于Pc-Crash结合事故现场车辆损坏情况、人员伤害状况等进行建立事故模型[5-6]，其中碰撞前速度需要依据事故录像帧数法判断，实际事故调查具有很大的局限，且经过多次调整车辆参数、碰撞位置等使得模拟过程较为繁琐。李威等[7]通过正交试验对二轮车和汽车敏感参数排序，显著减少模型的误差，但试验调参并记录试验结果工作量庞大，对交通部门处理大量事故不具有适用性。邵祖峰等[8]研究汽车与汽车的一般二维碰撞鉴定两车碰撞前速度，未通过事故模型判断碰撞前速度计算的准确性。
本文利用事故后现场勘察的制动拖印、车辆参数等数据，建立适用于各种碰撞类型的二维车辆碰撞动力学模型，探究二轮车和汽车一般二维点碰撞机理，致力于仿真精度改善以及多种模拟和计算，提高所推导的两车碰撞前和碰撞后速度的准确度。基于运动方程，通过Matlab程序设计模拟碰撞后的运动情况。根据事故现场道路情况，设置车辆参数，定义碰撞顺序，优化碰撞过程，在Pc-Crash软件上完成仿真模拟及事故模型。最后对二轮车和汽车一般二维点碰撞数值模拟和Pc-Crash模拟仿真结果与现实场景进行对比分析。
1 二轮车和汽车一般二维点碰撞力学分析
1.1 模型建立
碰撞车辆的质心往往不在同一直线上，碰撞点的位置也不固定，碰撞力学分析考虑平面运动和回转转动称为二维碰撞[9]。本文探究二轮车和汽车一般二维碰撞，由于该类型事故碰撞接触区域较小，将碰撞区域简化为点碰撞。如图1，建立二轮车和汽车一般二维点碰撞动力学模型，以汽车碰撞点处切线和法线方向建立平面直角坐标系。其中：二轮车为车1，汽车为车2，C1、C2分别为车1、车2的质心位置，两车的碰撞点为点O，碰撞点处两车的冲量pτ、pn等值反向，l1n、l1τ为车1碰撞点相对质心的坐标，l2n、l2τ为车2碰撞点相对质心的坐标，ω1、ω2表示车1、车2的角速度。该模型以二轮车和汽车事故发生现场环境和事故现场勘察数据为核心，可适用于二轮车与汽车的各种碰撞类型。
图1 二轮车和汽车碰撞模型示意图
1.2 基本方程
二轮车与汽车发生碰撞时，路面对车辆的摩擦阻力、环境的风阻力等外力相对于两车碰撞力而言可忽略不计。在碰撞阶段，两车视为一个系统，假定系统所受外力为零。
以车1为研究对象，根据动量定理：
m1v1τ+mpvpτ-(m1+mp)v10τ=-pτ
(1)
m1v1n+mpvpn-(m1+mp)v10n=-pn
(2)
其中：m1、mp为车1质量、骑行人质量(kg)； v1τ、v1n为车1质心碰撞后切向、法向速度(m/s)； vpτ、vpn为骑行人碰撞后切向、法向速度(m/s)； v10τ、v10n为车1质心碰撞前切向、法向速度(m/s)； pτ、pn为车1碰撞点的冲量(N·s)。
车1碰撞点相对质心C1的冲量矩定理：
J1(ω1-ω10)=-pτl1n+pnl1τ
(3)
其中： ω10、ω1为车1碰撞前后角速度(rad/s)； J1为车1绕质心的转动惯量(kg/m2)。
以车2为研究对象，根据动量定理：
m2(v2τ-v20τ)=pτ
(4)
m2(v2n-v20n)=pn
(5)
其中：m2为车2质量(kg)； v2τ、v2n为车2质心碰撞后切向、法向速度(m/s)； v20τ、v20n为车2质心碰撞前切向、法向速度(m/s)。
车2碰撞点相对质心C2的冲量矩定理：
J2(ω2-ω20)=-pτl2n+pnl2τ
(6)
其中：ω20、ω2分别为车2碰撞前后角速度(rad/s)； l2n、l2τ分别为车2碰撞点相对质心的坐标(m)； J2为车2绕质心的转动惯量(kg/m2)。
1.3 碰撞后速度计算
忽略两车碰撞后受到的风阻力等，根据动能定理计算二轮车和汽车碰撞后速度：
(7)
(8)
两车碰撞后速度为：
(9)
(10)
其中，s1、s2分别表示二轮车和汽车的滑距； μ1表示二轮车翻倒后与地面摩擦系数; μ2表示汽车与地面滑动摩擦系数。
骑行人碰撞后先是平抛运动，后滑行至停止，根据运动学和能量守恒计算得骑行人碰撞后速度为[10]：
(11)
其中， μp表示骑行人与地面的摩擦系数； sp表示骑行人滑距； h表示摩托车骑行人质心高度。
1.4 反推法计算碰撞前车辆速度
基本方程式(1)～式(6)中有8个未知数，6个方程。假设二轮车在碰撞前沿着直线行驶，那么ω10=0。定义切向力摩擦条件，将相对滑动摩擦系数表示为μ。采用轨迹优化的方式确定相对滑动系数：调整μ值，计算碰撞时冲量、碰撞前后速度，将仿真模拟结果与实例对比，最终确定μ的取值。具体如图2所示。
(12)
图2 轨迹优化流程框图
联立基本方程得到碰撞点处切向和法向的冲量：
(13)
(14)
由碰撞后速度和碰撞点处冲量反推二轮车和汽车碰撞前速度、角速度：
(15)
2 基于Pc-Crash的仿真模拟
交通事故发生在某县道一段双向两车道的平直段上，一辆微型客车为超车驶入逆向车道，一辆二轮摩托车迎面驶来，两车来不及采取制动措施，发生迎面碰撞，碰撞后两车先是沿着微型客车行驶方向滑动一段距离后分离，摩托车滑动一段距离后停在右侧非机动车车道上，微型客车冲出车道外，两车损毁严重。警方提供数据中，微型客车质量达1 085 kg，摩托车人车质量为231 kg，由现场勘测提供数据，客车滑行约66.11 m，摩托车滑行了约61.7 m，骑行人甩出约43.7 m，事故路段为干燥沥青路面[11]。
2.1 基本参数确定与输入
两车事故的碰撞类型是迎面碰撞，碰撞位置位于微型客车右前方，取距离右前端约0.3 m处为碰撞点，摩托车碰撞点位于前轮处。在Pc-Crash模拟中，摩托车质心坐标设为(11.60，1.02)，微型客车质心坐标为(7.95，1.23)。
根据GA/T643—2006标准中，翻倒的摩托车滑行时滑动摩擦系数取值为0.55～0.7，大量实践数据表明，该项取值偏高[11]，故本文μ1取0.55;男性体重(约71 kg)在沥青路面上人体与地面的摩擦系数约为0.52，本文μp取0.52;事故路段为干燥沥青路面，汽车行驶速度大于48 km/h，汽车滑动摩擦系数取值为0.45～0.7。我国《道路安全交通法》规定：机动车在公路行驶，最高不得超过120 km/h的时速。孙凤艳等[12]建立轮胎与路面三维接触模型，利用分子动力学分析方法，模拟结果表明摩擦系数和速度存在负线性关系特性。微型客车碰撞后瞬时速度约90 km/h，根据线性插值，取微型客车摩擦因数为0.55，见表1。
表1 微型客车滑动摩擦因数值
速度/(km·h-1)滑动摩擦因数480.790μ2≈0.551200.45
由式(9)、式(10)两车碰撞后滑行距离计算碰撞后速度，见表2。
表2 碰撞后速度值
对象碰撞后速度/(km·h-1)摩托车92.84微型客车96.10骑行人67.43
由图2轨迹优化法，相对滑动的摩擦系数取0.298，式(13)～式(15)计算两车碰撞前的行驶速度，见表3。
表3 碰撞前速度值
对象切向速度/(km·h-1)法向速度/(km·h-1)摩托车-61.63-36.82微型客车115.7030.81
因此，计算得到微型客车碰撞前行驶速度为119.73 km/h，摩托车碰撞前骑行速度为71.79 km/h。
根据现场提供的勘察数据信息，在Pc-Crash建立道路模型、车辆模型。输入车辆碰撞前位置和计算所得的碰撞前速度。鉴于微型客车是为超车而发生事故，超车前视线不足，无法准确判断对面方向车道的车流情况，模拟中碰撞前两车均未采取制动措施。事故发生道路为双向单车道，车道宽为3.75 m，两侧有宽度为2.3 m的非机动车道。
2.2 模拟结果分析
Pc-Crash模拟后，两车的碰撞后停止位置和轨迹与现场勘测数据整体一致。图3为Pc-Crash仿真的步长1 s的事故轨迹图，碰撞后两车先一起滑行一小段距离后分离，摩托车停在右侧非机动车车道上，微型客车毗邻车道。图4表示了微型客车速度-路程变化曲线，在碰撞阶段，微型客车速度骤减，之后两车一起滑行一小段后两车分离，分离时速度变化率增大，最后匀减速运动。
图3 事故轨迹图
图4 微型客车路程—速度曲线
图5表示了摩托车的路程-时间曲线，摩托车以多体形式建模，以摩托车车把为输出对象，碰撞阶段，斜率由负变正，碰撞后摩托车沿碰撞前反方向运动，与微型客车一起匀速滑行一段后分离，直至停止。图3～图5分析了两车碰撞后轨迹和两车运动情况，与现场实际情况基本符合。
事故车辆碰撞时和最终停止位置水平方向和垂直方向距离见表4。两车一起向前滑行一段距离后分开，微型客车冲出车道外，现场勘测数据显示摩托车最终停在非机动车道上，摩托车在垂直方向与误差达22.31%，现场数据勘察误差、碰撞后骑行人并未立即与摩托车分离、摩托车与微型客车相撞时的碰撞角度极小差别都可能造成最终停止位置垂直方向上的误差。结果表明，仿真模拟结果与实际基本相符。
图5 摩托车速度时程曲线
表4 Pc-Crash模拟车辆水平、垂直方向距离及其误差
车辆类型方向现场勘测/m仿真模拟/ m误差/%微型客车水平距离64.0065.922.99垂直距离16.5516.390.97摩托车水平距离61.4063.583.55垂直距离6.054.7022.31
3 数值模拟事故的车辆轨迹
在平面直角坐标系中建立车辆二维模型，输入碰撞时两车初始位置、碰撞后速度、制动减速度，输出车辆碰撞后的滑行轨迹、两车碰撞后的最终停止位置。
本文案例中，计算得到微型客车碰撞点切向和法向碰撞后速度分别为25.83 m/s、6.68 m/s，摩托车碰撞点切向和法向碰撞后速度分别为25.66 m/s、2.53 m/s。汽车在干燥路面上采取制动措施时减速度取值为5～8 m/s2之间[13]，由于碰撞后车辆滑行达60多米，制动减速度α2取较小值5 m/s2。摩托车制动减速度α1=μ1g= 5.39 m/s2。
(16)
(17)
(18)
联立式(16)～式(18)得摩托车、微型客车碰撞点切向和法向制动速度分别为：
α1n= -0.53 m/s2
α1τ= -5.37 m/s2
α2n= -1.25 m/s2
α2τ= -4.84 m/s2
取时间间隔为0.4 s，通过Matlab编程得到案例两车碰撞后轨迹图6所示，最终停止位置与碰撞时位置相对距离如表5所示。相比之下，数值模拟中摩托车碰撞位置和停止位置水平方向距离的误差稍大一些，但误差在可接受范围内。垂直方向距离模拟效果较好，因为本文使用二轮车和汽车一般二维碰撞计算得到的碰撞后速度，将事故车辆的碰撞后滑行轨迹分解为水平和垂直方向，而Pc-Crash使用的是车辆速度矢量，碰撞点位置和相对滑动的摩擦系数的变化等都可能对垂直方向距离造成较大偏差。对比表4和表5中的数据，本案例中使用一般二维点碰撞数值模拟整体误差比Pc-Crash软件仿真误差小。
图6 数值模拟两车碰撞后轨迹
表5 数值模拟车辆水平、垂直方向误差
车辆类型方向现场勘测/m仿真模拟/ m误差/%微型客车水平距离64.0062.382.53垂直距离16.5516.381.03摩托车水平距离61.4056.158.55垂直距离6.055.538.6
4 结论
1) 通过二轮车与汽车一般二维点碰撞的力学分析建立了适用于二轮车与汽车的不同碰撞类型的事故分析模型，可依据现场勘测数据分析得到两车碰撞前速度，推导出了碰撞前车辆运动状态。
2) 数值模拟结果、Pc-Crash仿真结果与事故现场勘测的车辆最终停止位置、碰撞后轨迹吻合程度较高，验证了本文提出的二轮车与汽车一般二维点碰撞事故模型。
3) 通过事故模型的研究，对交通管理措施的制定、道路线形设计，交通安全设施设计具有重要意义。
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