轴承是旋转机械中应用最广泛的零部件之一，在旋转机械中，轴承发生局部故障时，其故障特征常隐含在含噪的振动信号中，因此对振动信号进行故障特征提取，特别是早期微弱故障特征的提取，对滚动轴承的故障诊断具有显著意义[1]。而时频分析技术可以将信号的时域特征和频域特征有效结合起来，更好的分析信号的局部特征[2]，经典的线性时频分析方法如短时傅里叶变换，小波变换，S变换[3-4]，广义S变换[5-6]等，由于受到Heisenberg 不确定性原理的制约，所得时频谱能量发散严重，难以同时获取高精度的时间分辨率和频率分辨率[7]。双线性时频分析，如魏格纳-威尔变换(Wigner-Ville distribution，WVD)及其衍生方法[8-9]，该类处理方法具有高时频分辨率，但存在交叉项，且其时频谱不易解释。而结合经验模态分解[10]的时频分析方法，如 Hilbert-Huang变换[11]，变分模态分解[12-13]，经验小波变换[14-15]等，具有较高的时频分辨率，但此类方法至今未能建立坚实的数学基础，不可避免的存在端点效应、模态混叠等问题，在分解复杂信号的准确性存在较大影响，甚至其分解结果存在不确定性，故上述传统的时频分析方法由于自身固有缺陷不能够较好的分析滚动轴承的微弱故障特征。近年来，为了获取更高的时频分辨率，许多研究人员将时频重排方法引入到传统的时频分析中，时频重排方法本质是在传统时频分析的基础上对能量进行二次重排，以改善时频谱的能量聚集性。Auger等[16]基于传统时频分析方法提出了一种后处理重排算法，利用时频相位信息，通过重排算子将发散的时频能量重排到时频脊线上，从而获取高分辨的时频谱，但不能支持对信号的重构。Daubechies等[17]提出一种同步挤压变换的方法，仅考虑频率系数上的重排，牺牲一部分能量聚集性，但保证了多分量信号的拆解和重构性能。
近期，于刚在同步挤压变换算法的影响下，以理想时频分析为目标，旨在摆脱海森堡不确定性原理的限制，提出了一种新颖的时频分析方法—同步提取变换(Synchroextracting transform，SET)[18]，该方法基于短时傅里叶变换，构建出同步提取算子，提取出短时傅里叶变换时频谱中时频脊线位置处的时频系数，从而显著提高时频分析精度，该方法有效克服了传统时频分析方法能量发散、特征模糊的问题，此外，该方法计算复杂度低，运算速度快，因此易于微弱信号特征提取与增强。基于同步提取变换的独特优势，本文将同步提取变换引入到滚动轴承微弱故障信号的特征提取中，进行仿真研究，同时与传统的时频分析方法进行对比，最后，将该方法应用到滚动轴承微弱故障信号的特征提取和增强中，并进行实验验证。本文的研究为强背景噪声下的微弱故障特征提取提供一种新方法，具有一定的理论价值和实践应用价值。
1 同步提取变换原理
SET是后处理技术，可分为3个步骤：
步骤1：对信号进行短时傅立叶变换(STFT)，将时间信号变成时间-频率信号；
步骤2：根据相位信息计算出瞬时频率；
步骤3：提取短时傅立叶变换(STFT)在瞬时频率位置上的时频系数。
设待分析信号z(t)=Aeiω0t，待分析信号先经过短时傅立叶变换由一维的时间信号变为二维的时频信号：
G(t，ω)=
g(u-t)z(u)e-jωudu
(1)
式中，g(u-t)通常为高斯窗函数。
但在时频域内，由于短时傅里叶的窗口函数是宽宽固定，易导致形成能量模糊的频谱图，所以要对短时傅立叶变换公式进行改进，根据帕赛瓦尔定律(Parseval’s theorem)可对(1)式进行改写：
G(t，ω)=z(u)·(g(u-t)·ejωt)*du=
z(u)·(gω(u))*du=
(2)
式中：()*为复共轭运算；
分别为z(u)和gω(u)的傅里叶变换结果。
可以计算为：
(3)
使u-t=t′，则有：
eiωt-iηt·g(t′)·eiωt′-iηt′dt=
(4)
将式(4)代入到式(2)：
(5)
在式(5)结果上增加一个频移算子e-iωt：
Ge(t，ω)=e-iωt·g(u-t)z(u)e-iω(u-t)du
(6)
则有：
(7)
待分析信号的傅里叶变换可表示为：
(8)
则将式(8)代入到式(7)中，则有：
(9)
为了计算出式(8)的瞬态频率，则需计算Ge(t，ω)关于时间的偏导：
Ge(t，ω)·i·ω0
(10)
当Ge(t，ω)不为0时，二维的瞬时时频ω0(t，ω)则表示为：
(11)
由式(8)，可以提取出短时傅里叶变换在瞬时频率位置上的时频系数，从而实现高精度的时频谱，通常适用同步提取算子SEO得到：
Te(t，ω)=Ge(t，ω)·δ(ω-ω0(t，ω))
(12)
其中同步提取算子满足以下条件：
(13)
从而实现了时频特征的精确提取。
2 仿真研究
考虑如下强背景噪声仿真信号：
x(t)=e-tsin(2π(30t+5sin(2t)))+
0.15randn(size(t))
(14)
设置该信号采样频率为100 Hz，采样时间为4 s，图1为仿真信号x(t)时域图，图2是该信号的频谱图，由图2可知，该信号具有多个频率特征，但不能清晰的显示出频率特征随时间的变化规律，对该仿真信号x(t)分别进行短时傅里叶变换，同步提取变换和同步挤压短时傅里叶变换，分别得到了该仿真信号的时频图及局部放大的时频图，如图3、图4、图5所示。对比局部放大的时频图，同步提取变换具有较高的时频精度，且具有一定的抗噪性能，由于噪声成分的存在，在图3中，仿真信号特征频率与噪声成分发生混叠，时频信息模糊，在图5中，虽然同步挤压短时傅里叶变换在一定程度上提高了时频精度，但是由于噪声成份的存在，同步挤压短时傅里叶变换将部分噪声成份也“挤压”至仿真信号时频脊线上，使得时频脊线成份复杂，难以区分信号微弱特征，而同步提取变换在一定程度上仍然保持了高精度的时频信息，具有一定抗噪性能。因此可以实现对实际信号的微弱特征的提取。
图1 信号x(t)的时域图
图2 信号x(t)的频谱曲线
图3 (a)信号x(t)的短时傅里叶变换, (b)信号x(t)的短时傅里叶变换的局部图
图4 (a) 信号x(t)的同步提取变换, (b)信号x(t)的同步提取变换的局部图
图5 (a)信号x(t)的同步挤压变换, (b)信号x(t)的同步挤压变换的局部图
3 实验研究
为进一步验证该方法的有效性，将SET应用到滚动轴承振动信号的微弱特征提取中，采用美国西储大学电气工程实验室中的轴承试验数据其轴承实验和采集装置如图6，并考虑添加背景噪声进行分析。轴承类型为深沟球轴承，采用的轴承规格为：内圈直径25 mm，外圈直径52 mm，厚度15 mm，滚动体直径7.94 mm，节圆直径39.04 mm。
轴承振动信号由加速度传感器采集，采样频率12 kHz，转速为1 797 r/min，在轴承外圈用电火花加工直径为0.177 8 mm的缺陷，用来模拟轴承外圈的轻微损伤。可计算出外圈故障特征频率为107 Hz。
为更好验证该方法的可行性，在原信号的基础上添加了13.3 dB的背景噪声，由于轴承发生故障时所测得的信号是调制信号，而故障信息往往都包含在低频的冲激信号中，因此，需要对故障信号进行Hilbert变换解调，轴承故障加噪后信号的时域和解调频谱如图7、图8所示。
图6 西储大学轴承实验和采集装置
图7 0.1778 mm缺陷时加噪的轴承外圈的时域图
图8 0.1778 mm缺陷时的轴承外圈的频谱图
由图8可知，虽然频谱图中可以反映故障信号的特征频率，然而，无法故障频率特征随时间的变化规律，有必要从时频图上去揭示。图9为信号的短时傅里叶变换的时频图谱。短时傅里叶变换的时频图谱能反映故障的时频信息，然而，由图9可知，其结果难以看出故障特征信息的倍频信号，且与啮合频率发生了较为明显的频率混叠，图10为同步挤压短时傅里叶变换得到的滚动轴承外圈故障时频分布。由图10可知，采用同步挤压短时傅里叶变换，虽然有较高的时频精度，但是倍频特征反映不明显，且将噪声成份挤压至信号的时频成份中。采用本文方法得到的滚动轴承外圈故障时频分布如图11所示，由图11可知，同步提取变换明显优于短时傅里叶变换和同步挤压短时傅里叶变换，具有较高的时频精度，并将信号的倍频清晰的表征出来。
图9 轴承外圈信号的短时傅里叶变换的时频图谱
图10 轴承外圈信号的同步挤压短时傅里叶变换的时频分布
图11 轴承外圈信号的同步提取变换的时频分布
4 结论
将SET方法应用到滚动轴承微弱故障特征提取和增强中，通过仿真分析，验证了该方法能够清晰的表征出强背景噪声环境下的微弱故障信号的时频特征，比较同步挤压短时傅里叶变换和短时傅里叶变换两种方法有非常高的时频精度，能够识别轴承轻微损伤的故障特征。该方法为机械微弱故障特征增强与提取提供了一种有效的方法。
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