航空发动机是飞机的推进系统，为飞机提供飞行动力。涡轮盘是航空燃气涡轮发动机的核心构件，民用航空适航规章FAR 33.70将其定义为发动机限寿件(Engine Life Limited Parts，ELLP)，其结构可靠性和完整性对于保证发动机的安全运行具有重要意义[1]。传统的分析流程中将涡轮盘视为确定不变的理想结构进行应力与强度分析，能够在一定程度上确保结构的可靠性以及安全性，但在工程实践中，涡轮盘结构在材料成型、加工以及服役过程中，其材料属性、几何尺寸以及所受载荷不可避免地存在一定的不确定性[2-3]。文献[4]研究表明几何参数的分散性使得涡轮盘的实际寿命在统计上也呈现分散的特性。传统的安全系数法会造成设计保守，无法量化表明各个不确定因素对轮盘安全的影响。涡轮盘结构参数的变异性可能会使强度和应力特征具有明显的随机性，最终导致实际寿命低于设计值。因此，需要研究考察涡轮盘的不确定性参数如何影响输出响应量，确定响应量对输入变量的敏感程度，进而给出输入变量对响应量的影响程度排序，并最终达到指导结构设计，提高结构性能的目的。
针对航空发动机结构件中不确定性因素，考核结构不确定输入对输出变量的影响，并且对输入变量的重要程度进行排序，已经成为工程设计人员的迫切需求。灵敏度分析研究模型输入的不确定性如何影响输出响应的不确定性，为解决这一问题提供了强力工具。灵敏度分析一般可分为两类：局部灵敏度分析[5-6]和全局灵敏度分析[7-9]。全局敏感性分析，又称重要度分析，因其能综合考虑输入变量在其不确定性范围内变化时对输出响应的平均影响，因而得到广泛应用。许多学者都提出了不同形式的全局灵敏度指标[10-15]。其中，Cui[13]、Guo[14]和Wei[15]等学者提出的多种基于失效概率的全局灵敏度指标以结构失效概率作为响应量的评估方法，用来表征输入变量的随机取值对结构失效概率的影响程度。毕富国和何广平[16]采用Sobol全局灵敏度指标对微型飞行器的运动参数和几何参数进行了分析，有利于指导飞行器设计。Guo等[17]采用矩独立全局灵敏度指标分析了多跨管道共振可靠性的输入变量对失效概率的影响，为管道优化设计提供指导。
本文将考虑材料的力学性能、几何参数和载荷等参数的的不确定性，采用基于失效概率的全局灵敏度分析方法，研究了不同输入变量的不确定性对航空发动机涡轮盘结构失效概率的影响。同时，为了提高基于失效概率的全局灵敏度分析数值模拟分析效率以及工程设计方面的适用性，采用状态依存参数(state dependent parameter，SDP)方法来进行求解全局灵敏度指标[18-19]，最后，通过对典型航空发动机涡轮盘结构算例分析，验证了该全局灵敏度分析方法的可行性和所得结果的有效性，为提高航空发动机涡轮盘的可靠性提供指导。
1 发动机涡轮盘结构可靠性分析
1.1 发动机涡轮盘应力分析
涡轮盘利用UG进行几何建模，建立轮盘子午面草图，并旋转生成轮盘实体(30°扇形区)，具体的结构几何参数如图1所示。
图1 涡轮盘示意图
选用《航空材料设计手册》[20]中FGH96的数据，编辑材料性能数据卡片并保存，如表1所示，部件属性中定义材料类别为FGH96。
表1 涡轮盘材料FGH96参数
材料密度/(kg·m-3)弹性模量/MPa泊松比屈服强度/MPaFGH968 159168 0000.3111 065
在Workbench中建立的简化涡轮盘的参数化有限元模型如图2所示，该轮盘为旋转部件，创建了柱坐标系并设定了坐标系的轴向、径向和周向；利用Mechanical模块中Mesh工具进行六面体单元自由划分，生成的网格模型如图2(a)所示；边界约束条件及载荷设置如下：① 盘轴臂安装边的端面进行位移约束，为面内固定约束；② 盘沿轴向施加转速载荷，转速值为1 100 rad/s；③ 对盘上缘面加载径向压力载荷，压力值为50 MPa，以模拟叶片对轮缘的离心力作用。具体设置可参考图2(b)。
图2 涡轮盘有限元模型(a)及边界及载荷设置示意图
分析得到的等效应力及位移分布如图3所示，其中图3(a)轮盘中心孔位置存在应力集中现象，选取中心孔应力，得到最大节点位置简化涡轮盘的最大Mises等效应力为961.31 MPa，小于FGH96材料的屈服强度为1 065 MPa，同时涡轮盘最大的径向位移为0.637 5 mm，假设最大径向位移的设计要求不超过0.7 mm。
图3 简化盘有限元计算结果
1.2 简化涡轮盘结构可靠性分析
考虑关键分散性参数对结构强度以及径向位移的影响，建立轮盘失效功能函数，对航空发动机涡轮盘进行可靠性分析。选取图1中简化盘的9个关键参数：简化涡轮盘中心孔半径、中心孔高度、中心孔宽度和支撑臂转接角；材料参数(密度及杨氏模量)和载荷参数(旋转转速)；将中心孔应力最大节点位置的等效应力以及最大径向位移为输出参数，参数名称具体详见表2。
各个变量采用正态分布，具体输入参数如表3所示。
表2 输入输出参数
序号输入参数参数名称(符号)描述类别1R_bore(Rb)中心孔孔半径几何参数2Bore_H(BH)中心孔高度3Bore_W(Bw) 中心孔宽度4Bi_up(Bu)支撑臂上转接角5Bi_dowm(Bd)支撑臂下转接角6Rotational Velocity Z Component(ω)转速载荷参数7Pressure(P)压力载荷8Density(ρ)材料密度材料参数9Young’s Modulus(E)杨氏模量序号输出参数参数名称(符号)描述类别1Von-Mises Stress Maximum(σmax)盘体最大等效应力2Max radial displacement(Dmax)最大径向位移
表3 输入参数
输入变量均值变异系数Rb/mm800.05BH/mm700.05Bw/mm1500.05Bu/mm500.05Bd/mm50.05ω/(rad·s-1)1 1000.05P/MPa500.05ρ/(kg·m-3)8 2300.05E/MPa168 0000.05
根据上述定义的2个响应函数最大径向位移Dmax(X)和最大Mises应力σmax(X)，用来定义相应的航空发动机涡轮盘结构失效模式。极限状态函数gi(X)均为基本输入变量X(Rb,BH…E)的隐式函数，需要调用ANSYS有限元软件计算。对于涡轮盘位移响应函数Dmax，给定一个位移失效阈值[D]，则可定义位移响应的极限状态函数为：
g1(X)=[D]-Dmax(X)
(1)
可知：[D]>Dmax(X)时，即[D]-Dmax(X)>0时，涡轮盘结构安全，反之则失效。由式(4)可以看出，该失效模式的失效概率与失效阈值[D]的取值大小有关，在航空发动机涡轮盘强度分析工作中可根据不同的实际需要选取失效阈值[D]的大小。
类似地，对于涡轮盘部件最大Mises应力响应函数σmax(X)，也给定一个应力失效阈值[σ]，定义最大Mises应力响应的极限状态函数：
g2(X)=[σ]-σmax(X)
(2)
可知：[σ]>σmax(X)时，即[σ]-σmax(X)>0时，涡轮盘结构安全，反之则失效。同样地，强度分析工作中可根据不同的实际需要选取失效阈值[σ]的大小。
涡轮盘结构系统可靠性模型就是建立以涡轮盘功能完成为目标，需要同时满足多个具有独立功能的极限状态函数的串联可靠性模型。则可定义涡轮盘结构系统的极限状态函数为：
g3(X)=min(g1(X),g2(X))
(3)
可知：需要同时满足[σ]-σmax(X)>0且D-Dmax(X)>0时，涡轮盘结构安全，反之则失效。
2 基于失效概率全局灵敏度分析
2.1 输入变量对失效概率的重要性测度
针对结构可靠性模型Y=g(X1,X2,…,Xn)，其中Y为模型的响应量，X=(X1,X2,…,Xn)为不确定输入变量，n代表不确定性变量的维数，g(·)为模型功能函数。
失效概率可以用下式中失效域指示函数IF的数学期望的式子来进行表达：
(4)
该精确表达式可以理解为输入不确定性变量的联合概率密度函数在其失效域中的积分，fX(x1,x2,…,xn) 为输入不确定性变量X的联合概率密度函数，
为失效域的指示函数，Rn代表设计空间的n维变量。
文献[13]中Cui提出了一种基于失效概率的矩独立全局灵敏度分析方法，衡量了输入不确定性变量在其分布范围内变化时对结构失效概率的影响，具体的指标表达式如下：
(5)
其中，PfY为极限状态函数Y的无条件失效概率值，PfY|XI记为输入变量XI取其实现值时极限状态函数Y的条件失效概率值。XI可以表示为单个变量Xi或一组基本变量(Xi1,…,Xig)(1≤i1≤…≤ig≤n)。
为方便该基于失效概率的矩独立全局灵敏度指标的运算，将式(5)定义中的绝对值符号等价转化为平方形式，进行等效转换后的失效概率的全局灵敏度指标
其表达式如下所示[14]:
EXI[E(IF)-E(IF|XI)]2 = V(E(IF|XI))
(6)
Wei等[15]添加V(IF )这一方差常数项，将式(6)定义的失效概率矩独立全局灵敏度指标在形式上与基于方差的全局灵敏度指标完全统一:
(7)
通过求解式(7)所示的指标，可以对影响结构失效概率的不确定性变量进行重要性排序，筛选出重要变量。进而优化相关重要输入变量的不确定性，最大程度地提高结构或系统的可靠度。同时，可以选取高效成熟的基于方差的灵敏度分析方法来求解该失效概率的全局灵敏度指标。
2.2 基于失效概率的全局灵敏度状态相关参数解法
求解式(7)定义的全局灵敏度指标的最大难点在于计算结构系统极限状态的条件期望方差。Monte Carlo数值模拟是求解条件期望的通用方法的数值模拟，该方法在实际工程问题中难以得到应用的主要原因是需要进行大量的样本数据计算才能满足精度要求。目前，移动最小二乘(Moving least Squares，MLS)[19]法和状态依存参数(State Dependent Parameter，SDP)[18-19,22]法等基于模型拟合的方法由于运算规模小、效率高、方法成熟等特点，在实际工程的全局灵敏度指标求解中得到普遍的应用，同时可以直接的调用Matlab工具箱得到相应的结果。
本文中采用SDP模型拟合方法得到条件期望，然后求解全局灵敏度指标。因此求解航空发动机涡轮盘结构的基于失效概率的全局灵敏度指标求解步骤如下：
步骤1:根据航空发动机涡轮盘结构的输入不确定性变量的联合概率密度函数，利用MATLAB生成一组样本量为N的随机输入样本Xt(t=1,2,…,N)。
步骤2:将步骤1中产生的N组随机样本利用有限元分析软件ANSYS-Workbench软件中的模型并进行有限元分析，然后求解得到N组输入样本对应的航空发动机最大Mises应力和最大径向位移[σt]和[Dt]。
步骤3:根据极限状态方程式(1-3)中所选失效阈值[σ]和[D]，根据相关的失效域指示函数，得到相应的 
(t)(t=1,2,…，N)(j=1,2,3)。
步骤4:根据随机输入样本Xt以及步骤3所得指示函数值(t)，接着利用SDP模型拟合方法得到相应的条件期望分别为：
步骤5:结合步骤4得到的条件期望，根据表达式(6)进行计算全局灵敏度指标
(8)
步骤6:根据式(8)，利用表达式(7) 计算基于失效概率的全局灵敏度指标：
(9)
3 分析结果及讨论
本节采用第1节中简化的涡轮盘模型，以某型发动机原始不确定性变量特征为基础，分析几何特征、外部边界载荷等不确定性输入变量对涡轮盘可靠性的影响。
首先利用ANSYS-Workbench分析平台调用上述简化的涡轮盘模型1 024次，求得相应的1 024个输出响应最大平均应力σmax和最大位移Dmax(X)的值。基于SDP拟合方法，采用本文所讨论的基于失效概率的全局灵敏度方法分析航空发动机涡轮盘结构的基本输入不确定性变量对模型输出响应失效概率的影响，并由所提SDP拟合方法求解。由SDP法求解所得基于失效概率的全局灵敏度指标的结果如图4～6所示。
图4 输入变量对响应盘体最大等效应力失效概率的影响直方图
图5 输入变量对响应盘体最大径向位移失效概率的影响直方图
图6 输入变量对极限状态函数G3的失效概率的影响直方图
根据图4基于失效概率的全局灵敏度指标结果，分析各个输入变量对模型输出响应失效概率的影响。得到的输入变量重要性排序为ω>E>ρ。发现涡轮盘转速ω的全局灵敏度指标最大，弹性模量E和密度ρ全局灵敏度指标值比较大，说明这3个变量对失效模型g1可靠性的贡献均较大，其中转速ω的贡献最大。而其他变量的全局灵敏度指标几乎为0， 这说明当这些变量取固定值时，失效模型g1可靠性不会发生太大变化。
根据图5基于失效概率的全局灵敏度指标结果，与图4不同，分析各个输入变量对失效模型g2可靠性的贡献大小时，各输入变量的重要性排序变为ω>ρ。其中涡轮盘转速ω的全局灵敏度指标还是最大，密度ρ全局灵敏度指标值次之，弹性模量E不再是贡献较大的变量。而其他变量的全局灵敏度指标几乎为0，这说明当这些变量取固定值时，失效模型g2可靠性不会发生太大变化。
根据图6得到各输入变量对失效模式g3的重要性排序为ω>ρ>E。即涡轮盘转速ω的全局灵敏度指标最大，弹性模量E和密度ρ的全局灵敏度指标值比较大，说明这3个变量对失效模型g3可靠性的贡献均较大，其中转速ω的贡献最大。而其他变量的全局灵敏度指标几乎为0，说明当这些变量取固定值时，失效模型g3可靠性不会发生太大变化。
因此，为了减少涡轮盘最大径向位移响应g1的失效概率，只需着重关注发动机涡轮盘转速，减少转速的变异系数，同时还需要减少FGH96材料弹性模量和密度的变异系数；为了减小最大局部平均应力响应g2的失效概率，只需着重减小涡轮盘转速和密度的变异系数即可；当同时考虑最大局部平均应力和最大径向位移两种失效响应g3的情况，要减小输入变量不确定性对失效概率的影响，只需着重减小涡轮盘转速、材料弹性模量和密度的不确定性就可以达到降低失效概率。
为了验证所得结果的正确性，可以考察基本输入变量的参数变化时，输出响应失效概率变量的变化情况。
图7给出了随机输入变量的变异系数与最大局部平均应力和最大径向位移串联失效模式的失效概率的变化情况。由图7可见，当其他变量的变异系数都不变时，单一的改变一个目标变量的变异系数时，转速ω所对应的失效概率变化最为明显，其次是弹性模量E和密度ρ。除此之外，单独改变其他基本输入变量的变异系数，发现失效概率几乎没有变化。
图7 串联失效模式g3的失效概率随输入变量方差变化的关系曲线
另外为了全局灵敏度指标的计算方便，本文只是给出了基于失效概率全局灵敏度的一阶主效应，从而忽略了输入不确定性变量之间的相互作用对涡轮盘输出响应失效概率的影响。本文所提一阶基于失效概率全局灵敏度指标可以胜任简单的不确定性变量交互作用程度较低的模型，但是针对一些交互作用程度高的模型，需要考察二阶甚至更高阶灵敏度指标。
4 结论
1) 基于失效概率的全局灵敏度分析方法适用于航空发动机涡轮盘结构，分析结果正确有效。
2) 对于简化涡轮盘结构某一特定的失效模式，不同的输入变量对其影响程度完全不同。
3) 对于简化涡轮盘结构不同的失效模式，输入变量对各种失效模式影响程度不同。
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