1 引言
岛礁的近海防卫主要作战对象是轻型近海作战舰艇和登陆艇编队，以及其他进入火炮射击范围的海上目标。岛礁守备火炮对海作战射击效力的根本问题就是解决弹丸与目标相遇的问题，当弹丸命中目标，并使目标达到一定的毁伤积累后，目标即被毁伤[1]。衡量射击效力指标有命中概率、毁伤概率以及毁伤目标平均数等，对于不同的目标特点采取不同的射击效力指标。对单目标,通常数门炮进行集火射击，可以采用命中概率作为射击效力指标；对多目标或者集群目标，通常进行多表尺面积射击，采用毁伤目标平均数作为射击效力指标[2]。
2 射击效力指标
在岛礁对海防卫作战中，防御火炮应尽可能瞄准杀伤目标，抵御敌方登岛和夺岛行动，需要用一定量化标准来衡量火炮对海上目标的杀伤效果，通常评价射击效力的主要指标有以下几种：
1) 毁伤概率。是指命中并造成毁伤的概率。记命中m发并对目标造成毁伤的概率为K(m)，则发射S发弹丸，命中m发，并毁伤目标的概率PkS为：
(1)
式(1)中，pm为S发弹丸中有m发命中的概率。
由于岛礁守备火炮面临的主要作战对象是无护甲的登陆艇和小型突袭目标，在实际作战中，该类目标移动运动速度快，机动能力强，且往往在主攻方向之外以单艇突袭作战，火炮对其必须命中弹数通常为1，即：
K(1)=K(2)=…=K(m)=1
因此，式(1)可化为：
从公式可以看出，一次发射S枚炮弹，其毁伤概率等于命中1～m枚炮弹的概率之和。因此对这类进入火炮射击范围的轻小型目标可以用最小命中弹数来表达毁伤效果。
2) 毁伤目标平均数。当采用一定弹药数对集群目标进行射击，将对多个目标造成毁伤，毁伤的目标数越多，则射击效力越好[3]。设集群目标中的目标数为n，发射弹数为S，用PkS(i)表示第i个目标被毁伤的概率，毁伤目标数的数学期望为M，则：
(2)
由式(2)可见，毁伤目标数的数学期望就是集群内各单目标被毁伤的概率之和。用Mr表示集群目标中单个目标的平均毁伤概率，则：
(3)
式(3)中，Mr也就是毁伤目标平均期望数，或者称平均毁伤率。当采用均匀分布射击且目标为同类目标，可得：
PkS(1)=PkS(2)=…=PkS(n)
所以，式(3)可化为：
当采用均匀分布射击且目标为同类目标，平均毁伤率等于单个目标毁伤率，且与集群目标数无关。因此对这类目标用平均毁伤率来表示可以准确反映射击效力。
3 对单目标射击效力问题分析
3.1 构建模型
岛礁守备兵力队属火炮对海上某目标进行射击时，为尽可能打击目标，阻敌登岛夺岛，通常尽可能发扬岛礁上对海火力对目标进行打击，多门守备火炮向目标齐射，取命中不少于规定发数的概率为射击效力指标。设目标的等效矩形长为ld，宽为lf；岛礁守备兵力的n门同型号火炮接收来自同一火控系统的射击诸元数据，每门炮的炮管数为r，所有火炮总共发射的弹丸数为S；以火控系统位置为坐标原点O，经线方向为坐标纵轴Y(N)，纬线方向为坐标横轴X(E)，据此建立直角坐标系[4]。岛礁火炮对单目标射击态势如图1所示。
图1 岛礁火炮对单目标射击态势示意图
Fig.1 Schematic diagram of island artillery firing at a single target
3.2 命中概率解析
影响火炮命中问题的因素主要有第1、2、3组误差，设第1组误差的均方差为σdΙ、σzΙ，第2组误差的均方差为σdΠ、σzП，第3组误差的均方差为σdⅢ、σzⅢ，这3组误差都是期望为0的正态分布函数。根据上述模型，在一次射击中，同时存在3组误差，共发射S发弹丸，命中不少于m发的全概率PLm为[5]：
[1-p(xП,xШ,zП,zШ)]s-tdxПdzП}dxШdzШ
(4)
式(4)中，
φП(xП,zП
φШ(xШ,zШ
p(xП,xШ,zП,zШ
(5)
当t=0时，表示发射S发弹丸，至少命中1发的全概率PL1为：
[1-p(xП,xШ,zП,zШ)]sdxПdzП}dxШdzШ
(6)
对PLm的积分求解可以采用Gauss-Hermite积分法[6]，当积分上下限都为无穷时，且被积函数表达式含有exp(-x2)，则可以做如下转换：
(7)
式(7)中：ξi为Gauss-Hermite结点；Ai为Gauss-Hermite系数；n为结点数。
对求解函数式做换元法，引入x2、x3、z2、z3，有：
(8)
原式可化为：
PL1=
(9)
式(9)中，
p(xП,xШ,zП,zШ
(10)
岛礁守备火炮与一般火炮相比，其装备的各项性能指标与平均性能指标基本相同，但在岛礁海区，常年高温、高湿、高盐、高辐射，装备被腐蚀速度快，故障率高，且维护保障困难，其可用度与平均可用度相比存在差别，因此，可用度对于岛礁火炮来说是必须要考虑的重要因素。设岛礁守备火炮处于可正常使用的时间为MUTd，处于故障维修或不可用的时间为MDTd，则其可用度表示为：
(11)
Ad为岛礁火炮的可用度，也就是岛礁火炮处于可用状态的概率，平均可用度用A表示，则：
Ad=η·A
(12)
式(12)中，η为可用度变化系数。因为MDTd>MDT，所以 Ad< A，η∈(0，1)。
定义实际命中概率PS为装备完好可用状态下，完成一次射击任务的概率。对于某次射击，一次点射发射数发炮弹，至少命中m发的概率为PLm，岛礁守备火炮装备可用度为Ad，则PS为：
PS=Ad·PLm
(13)
由式(13)可知，实际命中概率PS与装备可用度和命中概率有关。
3.3 命中概率误差解析[7]
1) 射击散布误差[8]
将火炮的弹着散布误差看作距离上σxI和方向上σzI 2个误差的组合，Edo、Ezo分别为火炮散布在距离和方向上的概率误差， ρ=0.476 936 276 2是随射距变化的常数值。
(14)
2) 目标提前点误差
距离和方向上的误差为：
(15)
式(15)中：Δxp和Δyp为滤波求取目标提前点直角坐标误差；Bp为在直角坐标系中目标提前点的方向角；dp为目标提前点距离。对式(15)取方差，有：
(16)
式(16)中，σxp、σyp为目标提前点在直角坐标方向上的均方差。
3) 气象修正误差
初速偏差、空气密度偏差、纵风横风的偏差分别用ΔV0、Δρ、ΔWd、ΔWz表示，则其偏差量为[9]：
(17)
dp为目标提前点水平距离，对各式偏差量取均方差，有：
(18)
式(18)中： fdV0表示初速变化1%V0引起的距离改变量； fdρ表示空气密度变化1%ρ引起的距变量； fdWd表示纵风风速变化1 m/s引起的距变量； fdWz表示横风风速变化1 m/s引起的方向变化量。
(19)
4) 火控系统误差
(20)
式(20)中：Δdgc、Δzgc为火控系统引起的距离和方向上的误差，误差期望为0，均方差相同，其值为σgc=0.8～2(mil)； fdθ0为射角变化1 mil产生的距变量。则火控系统自身误差引起在距离和方向上误差的均方差为：
(21)
5) 诸元误差，即第2、3组误差
第2组误差包括火控系统工作误差，第3组误差包括气象修正误差，当火炮采用全自动工作模式时，目标提前点误差属于第3组误差。
(22)
当火炮采用半自动工作模式时，目标提前点误差属于第2组误差。
(23)
4 对多目标射击效力问题分析[5]
4.1 模型构建
某登陆艇编队，向我岛礁发起冲击，编队共有u个小目标呈不规则分布，岛礁守备兵力的队属火炮对目标群进行射击，为尽可能打击目标，阻敌登岛夺岛，通常尽可能发扬岛礁上对海火力对目标进行打击，多门守备火炮向目标群进行多表尺面积射击，取毁伤目标平均数为射击效力指标[6]。设目标的等效矩形长为ld，宽为lf；岛礁守备兵力的n门同型号火炮接收来自同一火控系统的射击诸元数据，每门炮的炮管数为r，所有火炮总共发射的弹丸数为S；以火控系统位置为坐标原点O，经线方向为坐标纵轴Y(N)，纬线方向为坐标横轴X(E)，据此建立直角坐标系。岛礁火炮对多目标射击态势如图2所示。
图2 岛礁火炮对多目标射击态势示意图
Fig.2 Schematic diagram of island artillery firing at multiple targets
4.2 毁伤问题解析
火炮向集群目标射击，要毁伤目标必需同时满足以下2个条件：一是火炮弹着散布区域覆盖集群目标，二是集群目标在被火炮覆盖的区域内被毁伤[10]。现假设火炮弹着散布区域覆盖集群目标的面积为Γ，则该区域内的目标数u′为：
(24)
被覆盖的目标数u′大小随着集群目标被火炮覆盖面积的增大而增加。每一个目标的命中面积为(ld·lf)，则目标被一发命中的条件概率(ld·lf)/Ω，命中目标但不一定毁伤目标，毁伤概率与目标平均必须命中弹数ω有关，则在火炮均匀散布区内命中一发毁伤目标的条件概率Pk1为[4]：
(25)
当火炮发射S发炮弹，并均匀散布覆盖目标区时，毁伤目标的条件概率PkS为：
(26)
通常集群中每个小目标面积远小于火炮火力覆盖区的面积，即ld·lf≼Ω，根据重要极限定理，有：
(27)
则总的毁伤期望为[2]：
E毁
(28)
目标火力覆盖区Γ=Rd·Rf，Rd为区域纵深，Rf为区域正面宽，即：
Rd=
(29)
Rf=
(30)
将式(29)、式(30)代入式(28)得：
E毁≈
(31)
可以看出，毁伤的期望数是与目标数、小目标命中面积、发射弹数、火炮射击分布区、目标分布区、目标平均必须命中弹数以及诸元误差的均方差都有关的函数[11]。
则平均毁伤率为：
(32)
即：
P平均=
(33)
容易看出，平均毁伤率与目标数无关[12]。
对于岛礁火炮，进行一次多表尺面积射击任务，共动用n门同型号岛礁火炮，可用度相同都为Ad，则实际平均毁伤概率为：
(34)
由式(34)可得，在某次射击中，PS平均与动用岛礁火炮数量、可用度、平均毁伤概率等因素有关。
4.3 毁伤目标期望数重要参数解析
求解目标毁伤的期望数需要确定以下几个参数：
1) 确定表尺数nd、nf。设火炮在距离上的散布误差为Ed0，在方向上的散布误差为Ef0，根据经验和射击理论，通常火炮的弹着散布在距离上的最大散布误差为4Ed0，在方向上最大散布误差为4Ef0。取距离差和方向差分别为3Ed0和3Ef0，此时火炮弹着点几乎是均匀分布的，因此把3Ed0和3Ef0确定为表尺分配的最佳间隔[13-14]。假定目标群的等效面积幅员Ωm=2Ld·2Lf，确定距离和方向上的表尺数nd、nf分别为[1，15]：
(35)
2) 确定射击弹着区域的纵深2Fd和正面2Ff[16]：
(36)
3) 确定射击诸元误差和方差。确定方法同对单目标射击相同，即：
(37)
5 实例验算
5.1 对海上单目标舰艇射击的命中概率
南海某海域，敌某型水面舰艇在我岛礁近海周围活动，企图对我实施侦察和袭扰。我岛礁守备部队接到上级指示，持续跟踪测定目标运动情况，对进入火炮控制范围海上目标进行射击并摧毁。某时刻，该舰艇突然进入我某型火炮射击范围，我方指挥部队进行射击。根据我方雷达探测和上级情报部门通报，目标距离我岛礁12 500 m，航速35 kn，航向135°，目标方位角60°，目标平均命中面积ld·lf=32 m·8 m。我岛礁守备火炮采取全自动工作模式进行射击，使用杀伤爆破弹药，对该型目标的平均必须命中弹数为1。火炮在该目标距离上的散布概率误差分别为Ex0=69 m、Ez0=9.5 m，该型武器系统工作误差的均方差分别为σdgc=14 m、σzgc=3 m，火控雷达计算目标提前点误差的均方差分别为σdp=37 m、σzp=5.5 m，气象修正误差均方差分别为σdv0=5 m、σdρ=3 m、σdwd=8 m、σzwz=4.5 m。共发射S=8发弹药。该型火炮可用度A=0.996，变化系数η=0.97,求解分析命中概率和实际命中概率。
1) 求解散布误差均方差。
2) 求解第2、3组误差。
3) 岛礁火炮可用度。
Ad=η·A=0.966 12
4) 至少命中1发的概率。
5) 实际至少命中1发概率。
PS=A·PL1=0.15
6) 岛礁火炮实际至少命中1发概率。
PSd=Ad·PL1=η·A·PL1=0.146
由以上结果可得，岛礁火炮受可用度影响，其实际命中概率明显低于一般条件下火炮命中概率，更低于理论火炮命中概率，这与实际情况相符。在实际岛礁火炮使用时，其故障率明显高于一般条件下的火炮故障率。
5.2 对海上集群小型登陆艇目标射击的毁伤目标平均数
南海某海域，敌某登陆艇编队企图向我岛礁发起冲击。我岛礁守备部队接到上级指示，对目标行多表尺面积射击，以火力覆盖敌方编队。我岛礁守备部队命令火炮进行射击。根据我方雷达探测和上级情报部门通报，目标群中心距离我岛礁11 000 m，航速32 kn，目标群航向210°，单目标平均命中面积ld·lf=20 m·6.5 m，集群目标纵深 2Ld=300 m，正面宽2Lf=200 m。我岛礁守备火炮采取全自动工作模式进行射击，使用杀伤爆破弹药，对单个登陆艇目标的平均必须命中弹数为1。火炮在该目标距离上的散布概率误差分别为Ed0=65 m、Ef0=9 m，武器系统工作误差的均方差分别为σdgc=12 m、 σzgc=2 m，火控雷达计算目标提前点误差的均方差分别为σdp=33 m、σzp=4 m，气象修正误差均方差分别为σdv0=6 m、σdρ=3.5 m、σdwd=7 m、σzwz=2.5 m。发射弹药数S=16，动用岛礁火炮数量n=4，其可用度A=0.996，变化系数η=0.97。
1) 计算表尺数nd、nf。
2) 计算火力覆盖区正面和纵深2Fd、2Ff。
Fd=163.3，Ff=103.6
3)计算射击诸元误差均方差σdc、σfc。
4) 计算目标毁伤期望平均数。
P平均=0.325 4
5)计算实际平均毁伤概率。
PS平均=An·P平均=0.9964×0.325 4=0.32
6) 计算岛礁守备火炮可用度。
Ad=η·A=0.966 12
7) 计算岛礁火炮实际平均毁伤概率。
PSd平均=An·P平均=0.283 5
岛礁火炮完成多表尺面积射击时，实际毁伤率低于理论平均毁伤概率，更低于实际平均毁伤概率，要完成射击任务需动用多门火炮，且每门火炮需保持可用状态，因此，所需要的火炮数越多，实际毁伤概率越低。
6 结论
1) 对单目标采用命中概率作为射击效力指标，确定误差是影响射击命中概率的决定性因素，误差越小命中概率越大，则毁伤概率越高，射击效果越好。
2) 对多目标采用多表尺面积射击，用毁伤平均数作为射击效力指标，射击表尺数取决于目标幅员，射击表尺数决定火力覆盖幅员，毁伤目标平均期望数与目标数无关。
3) 针对岛礁守备火炮特点，考虑了可用度因素。对于单炮射击，可用度越低，实际命中概率越低；对于多炮射击，可用度越低，火炮数量越多，实际命中概率越低。
4) 通过MATLAB工具进行仿真计算，仿真结果发现，岛礁火炮实际命中概率和毁伤概率低于一般情况下的实际命中概率和毁伤概率，更低于理论命中概率和毁伤概率。
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