1 引言
随着武器装备的发展和运用范式由“平台中心”向“体系中心”转变，必须从体系角度衡量武器装备对于体系整体作战能力的贡献程度和地位高低，并以此作为武器装备论证、研制和使用的基本依据[1]。在体系背景下，武器装备的选择与评价是一个多属性群决策问题，由于武器装备体系本身的复杂性、属性信息的模糊性以及专家知识结构等限制，决策者常用直觉模糊数表达判断信息，直觉模糊数综合考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度3个方面的信息，广泛应用于群体决策、模式识别、机器学习等领域。
距离测度是度量专家评判相似度的关键，常用的距离测度有Hamming距离、欧氏距离和Hausdorff距离等，采用不同的距离测度，对专家权重与决策结果有较大影响，目前，学者们提出了多种不同形式的距离测度，文献[2]中扩展补充了直觉模糊聚类测度的定义，并构建了新的直觉模糊距离公式，文献[3]中定义了一种新的直觉模糊集距离，考虑犹豫度对隶属度和非隶属度的分配，间接地将犹豫度亦引入到直觉模糊集距离中，文献[4]中采用直觉模糊交叉熵作为直觉模糊数之间的距离度量，文献[5]中定义了两直觉模糊集的隶属度距离、非隶属度距离和犹豫度距离，构建了一种考虑属性权重的距离测度，不同的距离测度有不同的关注点，适用于不同的环境。在群体决策中，如何更好地确定专家权重及决策方法是研究的重要内容，文献[6]中依据专家评判的相似度确定客观权重，文献[7]中提出一种综合考虑评价犹豫度和相似度的专家权重确定方法，文献[8]中利用直觉模糊相似度和相异度构造直觉模糊相似矩阵，综合聚类结果和直觉模糊熵对各专家进行组合赋权，对备选方案的排序择优一般采用VIKOR、TOPSIS等方法[9-13]。
虽然上述方法对群决策研究进行了较深入研究，但仍然存在一些缺陷，首先，未考虑直觉模糊数自有信息量对距离测度的影响，其次，由于决策信息的不确定性，可以根据备选方案与理想方案的贴近度进行决策，使决策结论更符合实际。
基于上述文献研究，本文考虑直觉模糊数的自有信息量，建立了新的直觉模糊集距离测度，构建了专家群体的相似度矩阵，然后，通过阈值变化率分析，确定最优聚类组数，综合聚类结果和直觉模糊熵对各专家进行组合赋权，最后，采用灰色关联方法对备选方案进行优选和排序，并将该方法运用于武器装备体系装备的选择与排序。
2 预备知识
定义1 设X是非空集合，则x上的一个直觉模糊集为A={[x, μA(x),vA(x)|x∈X]}，其中， μA(x)和vA(x)分别是X中元素x属于A的隶属度和非隶属度， μA∶X→[0,1]， vA∶X→[0,1]，且满足0≤μA(x)+vA(x)≤1,∀x∈X，那么πA(x)=1-μA(x)-vA(x)表示X中元素x属于A的隶属度， μA(x)和vA(x)组成的有序对(μA(x),vA(x))称为直觉模糊数，将X上的直觉模糊集A，定义为全体直觉模糊数的集合，记为IFS(X)。
定义2 设ai=(μi,vi),(i=1,2,…,n)是一组直觉模糊数，称
(1)
为直觉模糊加权平均算子，其中，
定义3 设论域X上的直觉模糊数a=(μa,va)，称:
(2)
为a的得分函数[14]，直觉模糊数a1、a2得分函数的距离[15]为：
(3)
3 基于直觉模糊数距离测度的群组聚类组合赋权法
3.1 问题描述
方案集为A={Ai,i=1,2,…,n}，其中，Ai表示第i个方案，评价属性集C={Cj, j=1,2,…,m}，其中，Cj表示第j个评价指标，令wj为指标Cj的权重，满足
专家群体集为E={Es,s=1,2,…,k}，其中Es表示第s个专家，令λs为专家权重，满足
专家Es的评估矩阵为
其中，
表示专家Es对能力Ai在指标Cj上的评价值，专家Es直觉模糊评价矩阵Vs可以表示为：
其中，
为专家Es给出的第n个方案关于第m个评价指标的直觉模糊评价数。
3.2 直觉模糊相似度
将直觉模糊数(μa,va)映射到平面直角坐标系中，如图1所示。三角形ABC看作是(μa,va)在几何上所有点的集合，点Ca为三角形ABC的重心，其坐标为
点K为线段BG与线段EF的交点，点Da为三角形ABC中信息量最大的点[16]，其坐标为
图1 直觉模糊数(μa,va)几何示意图
Fig.1 Intuitionistic fuzzy number (μa,va) geometry diagram
定义4 设a=(μa,va)和β=(μβ,vβ)是2个直觉模糊数，则a、β之间的距离为：
(4)
其中，
定义5 对于直觉模糊数的自有信息量定义为：
(5)
D0=(0,0)表示犹豫度最高的直觉模糊数，信息的模糊程度最高，可以用点Da与D0之间的距离表示直觉模糊数Da的自有信息量。
定义6 将直觉模糊数的自有信息量加入距离公式中，即新的直觉模糊数距离测度公式为：
(6)
D(a, β)满足以下性质：
1) 0≤D(a, β)≤1
2) D(a, β)=0，当且仅当a=β
3) D(a, β)=D(β,a)
4) 如果a⊆β⊆γ，则：D(a,γ)≥D(a, β)，D(a,γ)≥D(β,γ)
定义7 对于2组不同直觉模糊数A=(a1,a2,…,am)，B=(b1,b2,…,bm),其中，ai=(μi,vi)，bj=(μj,vj)(i， j=1,2,…,m)，则两组直觉模糊数的距离为：
(7)
定义8 对于两组不同直觉模糊数A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm),则两组直觉模糊数的相似度为：
(8)
3.3 基于相似度的专家群组聚类
为度量专家之间的直觉模糊相似度，首先将专家Es的评价矩阵Vs，通过式(1)转化为评价向量
(9)
(10)
其中，wj 为属性Cj的权重，
为专家Es对方案Ai的直觉模糊评价值，则专家群的直觉模糊评价矩阵为：
根据式(4)～式(8)计算得到专家群的评价相似矩阵为：
其中，当i=j时，对角线元素Rii=1，且R为对称矩阵，即Rij=Rji。
3.4 阈值变化率分析
聚类阈值θ∈[0,1]，如果Rij≥θ, i≠j，则认为专家Ei与专家Ej具有相同特性，则分到一类中。最优聚类阈值θ的选取，可以通过分析θ的变化率Qi来进行确定。
(11)
式中：i为θ由大到小的聚类次数； θ和θi-1分别为专家集第i次和第i-1次聚类时的阈值；ni和ni-1分别为专家集第i次和第i-1次聚类的专家个数。若
(12)
则认为第i次聚类的阈值达到最优。
3.5 专家权重组合赋权
专家群体决策中，专家权重不仅与专家给出评价信息所蕴含的信息量有关，还与专家所在类中群体的数量有关，因此，专家的权重包括2个部分，类内权重和类间权重。
对类内权重的计算主要依据专家给出信息的直觉模糊熵进行计算。直觉模糊熵用来描述一个直觉模糊集的模糊程度，直觉模糊集A=(a1,a2,…,am)的直觉模糊熵[17]为：
(13)
第i个专家的类内权值σi为：
(14)
其中，n为第i个专家所在专家组的总人数。
类间权重主要根据类间群体数量进行计算，假设k位专家被分为 t 类，第 t 类中专家个数为φi(φi≤k)，专家类间权值
为
(15)
对和σi进行线性加权，得到专家的总权重向量为：
(16)
4 灰色关联决策分析
由于灰色关联分析既能充分利用已有信息，又能反映动态变化趋势的一致性,因此本文将直觉模糊的得分函数距离公式与灰色关联度分析法结合，解决多方案的决策问题。首先根据评价决策矩阵V，确定直觉模糊理想方案A+，然后计算各个备选方案与之距离测度，灰色关联度越大，说明综合属性指标越优。
4.1 灰色关联分析
对于直觉模糊决策矩阵V，理想方案A+为：
(17)
其中，
备选方案与理想方案的灰色关联系数为：
(18)
其中， ζ为分辨系数， ζ∈[0,1]，一般取
为备选方案与理想方案的得分函数距离。
备选方案与理想方案的灰色关联度为：
(19)
4.2 决策步骤
根据以上分析，基于直觉模糊相似度与灰色关联的群组决策法的基本步骤如下:
步骤1：建立专家初始评价矩阵Vs，专家Es依据属性指标集C对n个备选方案进行评价，得到直觉模糊评价矩阵Vs。
步骤2：确定属性权重wj，根据评价指标间的相互影响关系，采用合适的方法确定指标权重。常用方法主要有AHP、ANP、德尔菲法、主客观赋权法等。
步骤3：构建专家群评价相似矩阵，根据式(9)、式(10)计算专家群直觉模糊评价矩阵
根据式(4)～式(8)，构建专家群组评价相似矩阵R。
步骤4：确定专家聚类组数。画出动态聚类图，并根据式(11)、式(12)，计算阈值变化率，得到最佳的聚类组数。
步骤5：确定专家权重λi。根据式(13)～式(16)对专家进行组合赋权。
步骤6：建立专家的评价决策矩阵V，根据式(1)和专家权重λi，对专家评价信息进行集结。
步骤7：灰色关联分析。根据式(17)～式(19),得到备选方案与理想方案的灰色关联度，根据灰色关联度的数值大小，对备选方案择优排序。
5 算例分析
武器装备体系发展规划是武器装备建设的重要环节，随着武器装备类型、系列、型号的日益增多，体系组合规划方案的数量呈指数型增加，为提高决策效果和效率，决策者首先要对装备进行初始筛选，辨识与明确对体系建设目标有较大影响的装备类别与型号，赋予较高的优先级，确保进行组合规划的装备军事价值最大。
装备体系的军事价值可以看成多项作战能力的集成，每项作战能力需求也均由一种以上的武器系统共同满足[18]。基于能力规划是装备体系规划论证的重要方法，装备对体系能力需求满足度越高，则装备的军事价值越大，发展的优先级也就越高，可以作为装备体系组合规划方案的备选装备。
设有4位专家D1、D2、D3、D4对X国武器装备体系的组合规划方案中的装备进行预筛选，以装备体系发展侦察能力为例，主要包括目标识别能力、定位跟踪能力、互操作能力、指挥控制等5种子能力构成，拟发展规划的装备主要有预警卫星、预警机、无人机、地面雷达等4型装备，如图2所示，虚线表示各子能力之间存在关联关系。
图2 武器装备军事价值评估的评价指标框图
Fig.2 The framework of military value evaluation of weaponry
由于各评价指标间存在相互影响，本文采用ANP方法确定各子能力属性的权重为：W=(0.28,0.22,0.19,0.16,0.15)，专家Es关于装备Ai对子能力Cj需求满足度的模糊评价矩阵，见表1所示。
表1 专家初始评估矩阵
Table 1 Expert initial evaluation matrix
专家准则A1A2A3A4D1C1(0.85,0.11)(0.75,0.15)(0.61,0.21)(0.69,0.24)C2(0.75,0.15)(0.85,0.05)(0.80,0.10)(0.79,0.14)C3(0.55,0.31)(0.65,0.25)(0.70,0.16)(0.65,0.20)C4(0.66,0.26)(0.49,0.36)(0.65,0.23)(0.62,0.19)C5(0.75,0.13)(0.63,0.27)(0.56,0.14)(0.78,0.13)D2C1(0.67,0.21)(0.45,0.35)(0.53,0.25)(0.59,0.34)C2(0.72,0.19)(0.68,0.15)(0.68,0.13)(0.73,0.15)C3(0.45,0.45)(0.49,0.28)(0.56,0.21)(0.83,0.08)C4(0.56,0.41)(0.56,0.24)(0.58,0.33)(0.62,0.23)C5(0.58,0.16)(0.78,0.16)(0.59,0.17)(0.81,0.09)D3C1(0.65,0.31)(0.58,0.21)(0.62,0.28)(0.60,0.18)C2(0.77,0.21)(0.64,0.32)(0.74,0.18)(0.79,0.14)C3(0.68,0.17)(0.68,0.21)(0.82,0.06)(0.69,0.24)C4(0.71,0.21)(0.74,0.12)(0.64,0.18)(0.75,0.24)C5(0.58,0.27)(0.58,0.23)(0.81,0.16)(0.65,0.14)D4C1(0.82,0.13)(0.67,0.16)(0.76,0.21)(0.57,0.20)C2(0.78,0.11)(0.75,0.17)(0.87,0.05)(0.60,0.31)C3(0.71,0.18)(0.68,0.14)(0.76,0.09)(0.45,0.37)C4(0.66,0.21)(0.65,0.27)(0.67,0.25)(0.80,0.11)C5(0.71,0.23)(0.58,0.34)(0.76,0.19)(0.45,0.27)
利用式(9)和式(10)将各专家的评价矩阵Vs转化为评价向量
得到专家群的直觉模糊评价矩阵为：
根据式(4)～式(8)，计算专家群评价相似矩阵为：
专家聚类分组情况如图3所示。
图3 动态聚类图
Fig.3 Dynamic clustering diagram
根据式(11),阈值变化率分别为：Q1=0.002、Q2=0.000 3、Q3=0.03。
所有专家全部归为一类或独自成一类，没有实际意义，因此Q1=max(Q1,Q2)，θ=0.996 0为最佳聚类阈值，此时聚类结果最合理，聚类结果为{1,2,(3,4)}。
根据式(13),类间权重为:
根据式(14)、式(15)，专家群组的直觉模糊熵为:
σ3=0.513 1， σ4=0.486 9
则专家的组合权重为：λ=(0.167,0167,0.342,0.324)，根据式(1),专家评价决策矩阵
为：
理想方案为：
根据式(2)、式(3)，备选方案与理想方案的得分函数距离为：
取ζ=0.5，备选方案与理想方案的灰色关系系数矩阵为：
备选方案与理想方案的关联度为：
ψ=[0.677 1,0.500 4,0.694 9,0.573 4]
备选方案的排序为A3≻A1≻A4≻A2,对X国武器装备体系的侦察能力而言，预警机的潜在军事价值最大、无人机的军事价值最小，因此，预警机的发展优先级最高，预警卫星的次之，2种装备均可作为体系组合规划方案的备选装备。
6 结论
在武器装备体系规划论证初期，采用直觉模糊数对体系内的装备进行选择评价，符合装备体系决策环境的复杂性和装备发展的不确定性等特点，本文考虑了直觉模糊数自有信息量对距离测度的影响，构建的专家评价相似度矩阵更加科学合理。同时将灰色关联度分析方法应用到直觉模糊集的多属性决策，计算简洁，为直觉模糊集多属性决策提供一种新思路。
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