1 引言
随着可靠性理论研究的不断发展，描述元件故障由正常状态和故障状态，向考虑中间劣化状态的多状态描述方式转变，使可靠性研究从二元状态拓展到了多状态领域[1-3]。当元件的故障失效时间服从指数分布时，可使用Markov过程直观、全面地描述多状态元件各状态之间的转移过程。然而，随着系统中元件数量的增加，Markov过程面临着组合爆炸问题。李志强等[4]应用将Markov过程与贝叶斯网络相结合，研究了复杂系统在视情维修条件下的可靠性建模问题，但在贝叶斯网络模型中条件概率值的求取往往需要人为设定一些参数值。为了避免上述人为主观性因素的引入，Bentolhoda等[5]应用通用生成函数(universal generating function,UGF)研究了多状态复杂系统的可靠性建模方法，但其系统结构相对简单且未详细考虑元件在不同维修条件下的状态概率。对此，本文应用Markov过程分析多状态元件在不同维修方式下的状态转移过程，以解决复杂系统在不同性能水平下可靠度函数的计算问题。
2 基于Markov过程的多状态状态转移模型构建
多状态元件包括正常运行状态、中间退化状态和故障失效状态。根据不同的状态划分标准[6]，中间退化状态可以分为一级退化状态、二级退化状态等多个状态。假设某元件具有k个状态，表示为g={g1,g2,…,gk}，对于任意状态等级i，有gi+1≥gi。元件当前状态函数为G(t)，有G(t)∈g，性能水平函数为W(t)，W(t)∈w={w1,w2,…,wm}，对于满足使用要求的元件，满足条件：G(t)≥W(t)。
2.1 无维修条件下元件的状态转移过程
定义一个离散状态连续时间随机过程{X(t)|t≥0}，X(t)∈{1,2,…,K}，时间参数t连续取值，t∈[0,∞)。对于t0<t1<t2<…<tn-1<tn<t，条件概率分布函数满足:
Pr{X(tn)=xn|X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=
x1,X(t0)=x0}=Pr{X(tn)=
xn|X(tn-1)=xn-1}
(1)
则随机过程{X(t)|t≥0}称为Markov过程。
多状态元件发生渐变劣化和突变劣化的状态转移过程如图1所示，以λ表示失效率。在初始时刻，元件处于完好无损状态k，随着时间推移可能发生从状态k到k-1的渐变劣化过程，或者发生从状态k到状态i(i<k-1)的突变劣化过程。
图1 无维修条件下元件状态转移过程示意图
Fig.1 Element state transition model without
maintenance condition
根据元件的状态转移关系，可以建立微分方程组如下：
(2)
式(1)中： λi, j为元件从状态i转移到状态j的劣化密度函数；pi(t)为元件处于状态i的概率函数。
微分方程的满足初始条件：
pk(0)=1,pk-1(0)=pk-2(0)=…=p1(0)=0
(3)
2.2 考虑维修因素的状态转移模型
当元件为多状态可维修元件时，除了发生渐变劣化和突变劣化的状态转移过程外，还包括相应的最小维修和较大维修，以μ表示维修率，考虑维修因素的元件状态转移过程如图2所示。最小维修，使元件从状态i转移到状态i+1；较大维修，使元件从状态i转移到状态k(k>i+1)。在任意时刻t，元件处于状态i，下一时刻元件可能发生到状态j(j≠i)的转移，或者继续停留在状态i。
图2 考虑维修因素的元件状态转移过程示意图
Fig.2 Element state transition model considering
maintenance factor
当元件发生故障失效时，即处于状态1，完全维修可以使元件通过维修从状态1回到完好状态k，不完好维修可以使元件通过维修从状态1回到任一上级状态i(1<i≤k)。以图2为例，完全维修使得元件从状态1回到状态k，不完全维修使得元件从状态1回到状态任一上级状态，对应的微分方程分别为：
(4)
(5)
式(4)～(5)中，μj,i为元件从状态j转移到状态i的维修密度函数。
微分方程组的初始条件同式(3)。
对于大多数元件来说，修复如新假设并不完全适用。立足于故障机理分析进行视情维修，通过对性能退化的元件修复，可以使其从退化状态j恢复到较好的任一状态i(j<i≤k)。根据元件的状态转移关系，建立微分方程组如下：
(6)
3 基于UGF的多状态系统可靠性模型构建
3.1 向量通用生成函数定义
假设G=(G1,G2,…,Gm)为m维离散随机向量，其概率分布分别由集合g和q表示：g表示离散随机向量G的M个可能取值，q表示M个取值对应的概率，则有[7]：
g={g1,g2,…,gM}
(7)
式(8)中，gl=(gl,1,gl,2,…,gl,m), l=1,2,…,M。
q={q1,q2,…,qM}
(8)
式(9)中，
离散随机向量G的向量通用生成函数为：
(9)
3.2 向量通用生成函数的运算
令H=(H1,H2,…,Hm′)为m′维离散随机向量，概率分布可用集合h和p描述，其中，h={h1,h2,…,hM′}表示H所有可能的M′个取值，hk=(hk,1,hk,2,…,hk,M′)，p={p1,p2,…,pM′}表示每个取值对应的概率。则向量通用生成函数为：
(10)
令m″维离散随机变量D=(D1,D2,…,Dm″)为G和H的函数，即D= f (G,H)，其中，
Di= fi(Gri(1),…,Gri(ai), Hsi(1),…,Hsi(bi))
(11)
可知，Di为Gri(1),…,Gri(ai),Hsi(1),…,Hsi(bi)的函数，即Di为离散随机向量G的第ri(1),…,ri(ai)个分量与离散随机向量H的第si(1),…,si(bi)个分量的函数。其中，1≤ri(1)<…<ri(ai)≤m，ai∈{1,2,…,m}，1≤si(1)<…<si(bi)≤m′，bi∈{1,2,…,m′}，i=1,2,…,m″。
D的向量通用生成函数可以通过复合运算确定，即：
(12)
其中：
f(gl,hk)=(f1(gl,r1(1),…,gl,r1(a1),
hk,s1(1),…,hk,s1(b1)),…, fm″(gl,rm″(1),…,
gl,rm″(am″),hk,sm″(1),…,hk,sm″(bm″)))
(13)
当m=m′=m″时，随机向量维数相同，式(11)为Di= fi(Gi, Hi)时，式(13)可简化为：
f(gl,hk)=(f1(gl,1,hk,1),…,fm(gl,m,hk,m))
(14)
多个随机向量的通用生成函数运算可参考文献[8-10]。
3.3 多性能参数多状态系统可靠性分析
对于大型复杂系统，一般可以通过串并联逻辑关系进行简化，多状态串并联系统如图3所示。其可靠性分析的基本思路为：首先，根据元件的技术状态和处于各个状态的概率函数确定通用生成函数，然后，根据元件之间的冗余设置确定分系统的通用生成函数，最后，通过系统结构函数确定多状态系统的可靠度指标。
图3 多状态串并联系统示意图
Fig.3 Multi-state series-parallel system
3.3.1 确定元件向量通用生成函数
分系统i的元件j有Mij个状态，t时刻元件的状态性能为gij(t)={gij1(t),gij2(t),…,gijMij(t)}，对应状态概率为 qij(t)={qij1(t),qij2(t),…,qijMij(t)}。向量通用生成函数为：
(15)
3.3.2 确定分系统向量通用生成函数
假设分系统i由ni个元件并联组成，分系统性能与元件性能之间的关系表示为：
Xi=f(Gi1,Gi2,…,Gini)
(16)
式(16)中：Xi为分系统i的性能；Gi1,Gi2,…,Gini为元件性能。
分系统i的向量通用生成函数为：
(17)
式(17)中：Mi为分系统i的状态数；{xi1(t),xi2(t),…,xiMi(t)}为t时刻分系统i的状态性能；{qi1(t),qi2(t),…,qiMi(t)}为对应的概率。
3.3.3 确定多状态系统的可靠度
假设系统由N个分系统串联组成，系统结构函数为：
Y=f(X1,X2,…,XN)
(18)
式(18)中：Y为系统性能；X1,X2,…,XN为分系统性能。
1) 系统结构函数已知。系统向量通用生成函数为：
(19)
式(19)中：Msys为系统状态数；{y1(t),…,yMsys(t)}为t时刻系统的状态性能；{q1(t),…,qMsys(t)}为对应的状态概率。
定义如下运算符：
(20)
其中，
w为系统的最小性能需求，当系统的状态性能不小于w时，系统可靠，当系统的状态性能小于w时，系统不可靠。在时刻t系统的可靠度为：
(21)
2) 系统结构函数未知。对于串并联系统，当各分系统可靠时，系统可靠。根据分系统的最小性能需求分别确定各分系统的可靠度，从而确定系统的可靠度。
令wi分系统i的最小性能需求，则t时刻分系统i的可靠度为：
(22)
则t时刻系统的可靠度为：
(23)
3) 系统性能与部分分系统性能有函数关系。假设前d(d<N)个分系统的性能与系统性能有明确函数关系，则t时刻系统可靠度为：
(24)
式(24)中：R1-d(t)为前d(d<N)个分系统的可靠度；Ri(t)为t时刻分系统i的可靠度，i=d+1,…,N。
4 案例分析
某机载控制单元由多种电子元器件和机械部件构成，结构复杂、故障模式多样，在复杂运行环境条件下承受多种环境应力的冲击，性能指标随时间逐渐退化。现以该控制单元电源出现故障为顶事件建立如图4所示的故障树模型。顶事件TE失效由sys1失效、sys2失效和sys3失效等3个中间事件引起，而sys1由元件C1、元件C2组成，sys2失效由元件C3元件、元件C6、元件C4失效和元件C5组成，sys3由元件C7和元件C8组成，各个元件的状态数、失效率、维修率、失效率比率和维修率比率如表1所示。
图4 控制单元结构示意图
Fig.4 The structure model of control unit
表1 控制单元元件参数(年)
Table 1 The element parameters of control unit(year)
符号状态数失效率失效率比率维修率 维修率比率C144.56∶3∶1807∶2∶1C235.07∶3858∶2C332.08∶21107∶3C534.09∶1908∶2C643.07∶2∶11207∶2∶1C732.57∶31006∶4C832.57∶31006∶4
注：对于4状态元件而言，失效率比率为λ4,3∶λ4,2∶λ4,1，维修率比率为μ1,4∶μ1,3∶μ1,2；对于3状态元件而言，失效率比率为λ3,2∶λ2,1，维修率比率为μ1,3∶μ1,2。
根据图2与式(6)，可以建立3状态元件的状态转移Markov过程以及对应的微分方程组，现以元件C2为例，其状态转移过程和微分方程分别如图5(a)和式(25)所示。同理，可以建立3状态元件的状态转移Markov过程以及对应的微分方程组，如图5(b)和式(26)所示。经过拉式变换与反拉式变换，确定多状态元件的可靠度值，如图6所示。作为对比，建立3状态元件和4状态元件在完全维修与不完全维修条件下的状态转移过程以及对应的微分方程，经过拉式变换与反拉式变换即可确定元件的可靠度曲线。从图6可以看出，在有维修情况下，多状态元件的可靠度随着时间逐渐趋向于平稳，但是，视情维修条件下元件可靠度高于完全维修条件下可靠度，而完全维修条件下的可靠度又高于不完全维修条件下可靠度，这与实际情况相吻合。
图5 多状态元件状态转移过程示意图
Fig.5 State transition process of multi-state element
图6 多状态元件可靠度曲线
Fig.6 The reliability curve of multi-state element
(25)
(26)
对控制单元中的UGF进行两两合成，首先将元件C1和元件C2的UGF合并成U1(z)，类似地，将元件C4和元件C5的UGF合并成U2(z)，元件C7和元件C8的UGF合并成U3(z)，对应的UGF分别如式(27)、式(28)、式(29)所示。根据串联系统元件UGF合成规则确定整个控制单元的UGF，如式(30)所示。
U1(z,t)=Ωfpar(p11z1+p12z2+p13z3+p14z4,
p21z1+p22z2+p23z3)
(27)
U2(z,t)=Ωfpar(p41z1+p42z2,p51z1+p52z2+p53z3)
(28)
U3(z,t)=Ωfpar(p71z1+p72z2+p73z3,
p81z1+p82z2+p83z3)
(29)
U(z,t)=Ω(U1(z,t),u3(z,t),U2(z,t),
u6(z,t),U3(z,t))
(30)
在控制单元的UGF函数中代入各个元件的可靠度指标与状态等级，即可确定控制单元的可靠度指标，如图7所示。由于视情维修可以根据控制单元的实时检测数据判定单元的运行状态，一旦控制单元发生退化或者失效，就可以立即采取维修措施，确保控制单元有很高的使用可靠度。而完全维修是在元件发生失效之后采取的措施，相比于视情维修存在一定的滞后性，此外，完全维修在理想条件下可以实现。应用文献[4]中的方法可以得到类似的结论，这也证明了本文所用方法的有效性与正确性。
图7 不同维修方式下控制单元的可靠度曲线
Fig.7 The reliability curve of control unit in the way
of different maintenance methods
5 结论
相比于不完全维修，完全维修条件下的元件具有更高的可靠度。然而在工程实践中，不完全维修更加普遍。本文考虑不同的维修策略条件，建立状态转移模型，研究多状态系统的可靠性的建模方法，有利于实际工程问题的解决。通过求解Markov过程的状态转移微分方程，可以确定元件的通用生成函数，进而根据复杂系统元件之间的串并联逻辑关系确定系统的通用生成函数，避免状态空间组合爆炸问题。相比于贝叶斯网络模型，通用生成函数避免了根据专家经验确定条件概率值的繁琐过程，避免了引入认知不确定性。
[1] LISNIANSKI A，ELMAKIAS D，LAREDO D，et al.A multi-state Markov model for a short-term reliability analysis of a power generating unit[J].Reliability Engineering and System Safety,2012,98:1-6.
[2] 李志强，徐廷学，董琪，等.基于Markov模型的多状态不可修元件可靠性评估[J].电光与控制,2017,24(09):58-63.
LI Z Q,XU T X,DONG Q,et al.Markov model based reliability assessment of nonrepairable element with multiple states[J].Electronics Optics & Control,2017,24(09):58-63.
[3] LI Y F,ZIO E.A multi-state model for the reliability assessment of a distributed generation system via universal generating function[J].Reliability Engineering and System Safety,2012,106:28-36.
[4] 李志强，徐廷学，顾钧元，等.视情维修条件下的多状态控制单元可用性建模与分析[J].兵工学报,2017,38(11):2240-2250.
LI Z Q，XU T X，GU J Y，AN J，DONG Q.Availability modeling and analyzing of multi-state control unit under condition-based maintenance[J].ACTA ARMAMENTARII,2017,38(11):2240-2250.
[5] JAFARY B，FIONDELLA L.A universal generating function-based multi-state system performance model subject to correlated failures[J].Reliability Engineering and System Safety，2016,152:16-27.
[6] LISNIANKI A，FRENKEL I，DING Y.Multi-state System Reliability Analysis and Optimization for Engineers and Industrial Managers[M].Springer,2010.
[7] 李春洋，陈循，易晓山，等.基于向量通用生成函数的多性能参数多态系统可靠性分析[J].兵工学报,2010,31(12):1604-1610.
LI C Y，CHEN X，YI X S，et al.Reliability analysis of multi-state system with multiple Performance parameters based on vector-universal generating function[J].ACTA ARMAMENTARII,2010,31(12):1604-1610.
[8] 任博，吕震宙，李贵杰，等.基于通用生成函数的系统寿命可靠性分析[J].航空学报,2013,34(11):2550-2556.
REN B,LV Z Z,LI G J,et al.Reliability analysis for system life based on universal generating function[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2013,34(11):2550-0556.
[9] 潘刚，尚朝轩，蔡金燕，等.基于Semi-Markov模型的多态系统不完全维修决策研究[J].航空学报,2017,38(02):320178.
PAN G,SHANG C X,CAI J Y,et al.Imperfect maintenance decision for muti-state system based on semi-Markov model[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(02):320178.
[10] 史跃东，陈砚桥，金家善.舰船装备多状态可修复系统可靠性通用生成函数解算方法[J].系统工程与电子技术,2016,38(09):2215-2220.
SHI Y D，CHEN Y Q，JIN J S，TAO J Y.Reliability analysis for warship armament muti-state repairable system based on universal generating function method[J].Systems Engineering and Electronics,2016,38(09):2215-2220.