1 引言
与传统陀螺相比，MEMS(microelectromechanical system)陀螺具有体积小、耗能低、重量轻、易于集成、可批量生产等特点，具有良好的应用前景，但仍存在精度低、稳定性差等问题[1]。MEMS陀螺仪误差可分为确定性误差和随机误差，确定性误差可通过转台实验进行标定，随机误差易受结构、电路、环境因素的影响，同样也逐渐成为制约其精度提高的关键因素[2]。目前，常用于抑制MEMS陀螺随机误差的方法有：建模补偿法、小波变换降噪法、模态分解降噪法等。这些方法取得了一定的效果，但仍存在不足。文献[3]采用时间序列建模后利用卡尔曼滤波进行补偿，但该方法的前提是建立准确的误差模型；文献[4]采用小波阈值降噪法进行降噪，并且改进了阈值选取规则和阈值作用函数，但小波阈值降噪的精度过分依赖于小波基的选取和分解尺度的确定；文献[5]采用经验模态分解法(empiricalmodedecomposition,EMD)进行了降噪，但IMF分量存在模态混叠、端点效应等问题，EEMD[6]、CEEMD[7]、CEEMDAN[8]等方法分别对EMD进行了改进，但都没有从根本上解决EMD方法的固有缺陷。
2014年，文献[9]提出了变分模态分解(variationalmode decomposition,VMD)理论，通过构造约束变分模型，将模态估计转化为变分问题，在模态分解和噪声鲁棒性方面均具有较大优势，而且对噪声不敏感，分解所得各个模态也更具有物理意义，不仅弥补了EMD方法的不足，还具有坚实的数学理论基础，运行效率高。但VMD分解受模态数K和惩罚参数α的影响，许多学者对参数优化方法进行了研究。文献[10]根据K的不同取值下IMF分量中心频率的相近程度确定模态数；文献[11]计算了K不同取值下IMF分量的峭度值，最大峭度值对应的K值即为最优模态分解数。但是上述2种方法只对K值进行了优化，忽略了2个参数相互作用的结果。文献[12]依据IMF分量包络熵最小化原则，利用网格搜索算法优化2个参数，但该方法需要依据经验设置参数组合。文献[13]采用粒子群算法优化2个参数，取得了较好的效果，但是粒子群算法在优化过程中容易陷入局部极小，而且运算复杂。此外，传统的模态分解降噪法认为噪声主要存在于高频分量中，直接舍弃低频分量会造成有用信号的缺失。
基于此，本文提出了一种遗传算法优化的VMD-小波阈值降噪方法。首先利用遗传算法对VMD分解的2个关键参数进行优化，经过VMD分解得到各阶IMF分量，通过计算相关系数将各阶分量分为3类，对噪声主导的IMF分量进行小波阈值降噪，舍弃噪声分量，最后将信号主导分量和降噪后的噪声主导分量重构得到原信号。仿真试验验证了本文提出方法的有效性，并且对MEMS陀螺仪实测数据进行了降噪分析。
2 基于GA-VMD-小波阈值的降噪方法
2.1 变分模态分解原理
VMD算法通过迭代求解约束变分模型的最优解，每个IMF分量的频率中心及带宽不断更新，最终可根据实际信号的频域特性完成信号频带的自适应分解，得到K个IMF分量的集合u(t)，其分解步骤如下：
1) 构造变分问题。变分问题就是将输入原始信号S(t)分解成K个IMF分量u(t)，对各分量进行希尔伯特变换得到包络信号，与预估的中心频率ωk混合，约束条件为各u(t)分量之和等于原始信号S(t)，构造变分模型表达式为:
(1)
式(1)中：∂t为t的偏导；δ(t)为冲击函数。
2) 求解变分问题。引入惩罚参数α和较强约束能力的Lagrange乘法算子λ(t)，将该变分约束问题转换为非约束性变分问题，即：
(2)
求解式(2)中“鞍点”的具体步骤如下：
步骤1：初始化参数
(定义n初始值为0)。
步骤2：设置循环过程，令n=n+1，根据式(3)、式(4)分别更新uk和ωk，即：
(3)
(4)
步骤3：根据式(5)更新Lagrange乘法算子λ(t)，即：
(5)
式(5)中，τ表示步长更新系数。
步骤4：当IMF分量满足式(6)时，停止循环；否则，重复步骤2和步骤3，直至符合约束条件，完成分解。
(6)
2.2 基于遗传算法优化的变分模态分解
在VMD分解的过程中，预设的K值决定着IMF分量的个数，惩罚函数α决定着IMF分量的带宽。惩罚函数越小，各IMF分量的带宽越大。如果固定一个参数，优化另一个参数来验证对降噪效果的影响，就忽略了2参数相互作用的结果，陷入了局部优化的僵局。而遗传算法是借鉴生物自然选择和遗传进化机制而开发的一种自适应的概率搜索寻优算法，具有较强的并行、全局非线性优化能力，其原理简单，易于与其他算法相结合。因此在本文中引入遗传算法，借助适应度函数对目标函数在解空间进行全局并行随机搜索并获取2个关键优化参数。遗传算法流程如图1所示。
图1 遗传算法流程框图
Fig.1 Thegenetic algorithm flow chart
具体方案设计如下：
1) 编码与群体初始化。常用的编码方法包括二进制编码和实数编码等，由于二进制编码存在连续函数离散化后的映射误差，而且染色体较短时精度不高，增加染色体长度会急剧增加遗传算法的搜索空间。因此本文对K和α 2个参数进行实数编码，参数范围设置为K∈[3,20]，α∈[500,2 000]，个体的每个取值都可由一定范围内的实数表示。群体操作是遗传算法区别于传统优化算法的显著特点，在优化开始前必须进行初始化，通常采用随机法构造初始群体，设置种群规模为10。
2) 计算适应度函数。适应度函数作为一个评价函数，是算法演化过程的驱动力，通过对种群中所有个体计算其适应值，然后决定所有个体下一步的遗传操作。本文选择降噪后信噪比作为适应度函数，当信噪比最小时即得到K和α的最优解，适应度函数表达式为：
(7)
式(7)中：n为信号长度；S(t)为带噪信号；S′(t)为降噪后信号。
3) 设置遗传操作算子。遗传操作算子包括选择算子、交叉算子、变异算子。其中，选择算子通过模仿自然界生物进化中“适者生存、优胜劣汰”的原理，选择适应度较高的个体遗传到下一代种群中，但无法在种群中建立任何新的个体。新个体的建立只能通过交叉算子和变异算子来实现，交叉体现了同一种群中不同个体之间的信息交换，而变异能维系群体中信息的多样性。本文中每条染色体含有2个基因，所以采用单点交叉，交叉概率设置为0.8，变异概率设置为0.1。
4) 选定中止规则。设置迭代次数为100次，通过不断迭代进化，保留下适应度最佳的染色体，解码即得到K和α的最优解。
2.3 小波阈值降噪
小波阈值降噪根据信号和噪声在小波分解系数中不同的分布特性进行阈值量化处理，低频系数幅值大且数目较少，一般为真实信号，高频系数幅值小且数目较多，包含噪声较多。其具体步骤如下：首先确定合适的小波基函数和分解层次，对含噪信号分解得到各小波系数；其次是选定合适的阈值及阈值函数，对小波系数进行阈值处理；最后，将阈值化处理后的小波系数进行小波逆变换得到原信号。
小波阈值降噪核心步骤包括阈值的选取和阈值的作用规则。常用的固定阈值计算公式如式(8)，当信号较长时，该方法求得的阈值较大而且在各层阈值量化过程中始终保持不变，会略去部分有用信号。随着分解尺度的增大，含有噪声的小波系数逐渐减小，这就要求阈值应随分解尺度的增加而逐渐减小。因此本文采用随分解尺度动态变化的阈值选取规则如式(9)所示，阈值的作用规则包括硬阈值法和软阈值法等，其表达式分别如式(10)、式(11)所示。
(8)
(9)
(10)
(11)
式(8)～(11)中：σ为噪声标准差；i为分解层数；λi为对应i层上的门限阈值；N为信号长度；
为阈值量化后的小波系数；wj,k为分解后的小波系数；λ为阈值。
2.4 本文方法流程图
综上所述，本文提出一种遗传算法优化的VMD-小波阈值降噪方法，首先利用遗传算法求得VMD所需2个关键参数的最优解，其次将信号进行VMD分解得到各阶分量，根据文献[14]计算各分量与原信号的相关系数，将所得分量分为信号主导分量、噪声主导分量、噪声分量3类，舍弃噪声分量，对噪声主导分量采用小波阈值降噪后与信号主导分量合并得到重构信号。其流程图如图2所示。
图2 遗传算法优化的VMD-小波阈值降噪流程框图
Fig.2 The flow chartof VMD-WTD optimized by GA
3 仿真试验及结果分析
3.1 仿真信号设置及评价标准
根据式(12)合成信号S，采样频率设为9 500 Hz，采样点数为1 200。信号S的波形图如图3(a)所示，加入10 dB的随机噪声后的信号波形如图3(b)所示。
图3 合成信号及加入10 dB噪声后波形图
Fig.3 The waveform comparison before and after adding
10 dB noise to the synthesized signal
(12)
通过均方根误差(MSE)和信噪比(SNR)来评价重构信号的降噪效果，计算公式为：
(13)
(14)
式(13)、式(14)中：S为原始信号；S′为降噪后信号。当S′-S越小时，均方根误差越小，信噪比越大，此时降噪效果越好。
3.2 基于GA-VMD-小波阈值降噪分析
为验证本文提出方法的有效性，首先对该加噪信号进行小波阈值降噪，小波阈值降噪效果如图4所示。图4(a)中采用硬阈值函数降噪后信号的波形有一定的振荡而且波形较为粗糙，图4(b)中采用软阈值函数降噪后的信号波形较光滑但可能丢失部分有用信息。因此，直接对信号进行小波阈值降噪会造成信号的缺失、细节处表达不完全等问题。
图4 小波阈值降噪后波形图
Fig.4 Comparison of the effect of WTD
根据该信号的特性，采用遗传算法得分解参数的最优解为：K=8, α=1 330，采用VMD分解得到8阶分量如图5所示，各阶分量的相关度系数分别为0.804 1、0.519 9、0.240 5、7.444×10-4、2.283×10-4、1.909×10-4、1.170×10-4、5.564×10-5，可以判断前2阶为信号主导分量，第3阶为噪声主导分量，后5阶为噪声分量。
图5 VMD分解所得各阶分量波形图
Fig.5 Components of each order obtained from VMD
直接合并前2阶，如图6(a)所示，该方法大体上可以描述出信号波动趋势的走向，但在极值点处信号存在较大偏差，而且一些微小的波动趋势没有很好的表现。因此，根据本文提出的方法，对第3阶分量采用小波硬、软阈值降噪后再与前2阶IMF分量重构，得到的信号如图6(b)、图6(c)所示，本文提出方法总体上较完整地表现出了原信号的特征，对于一些细节的波动也表现得比较准确，采用GA-VMD-小波软阈值降噪的效果最佳。为了进一步证明本文提出方法的有效性，计算在不同噪声情况下的信噪比如表1所示。本文提出的方法在各种噪声下都适用，相比传统的VMD降噪，均方差降低25.5%，信噪比提高24.9%。
图6 本文提出方法降噪后的波形图
Fig.6 The de-noising effect of the method proposed
in this paper
表1 不同噪声情况下模拟信号降噪效果
Table 1Thecomparison of de-noising effects of signals under different noise conditions
加噪大小0 dB5 dB10 dB降噪方法MSESNRMSESNRMSESNR小波硬阈值降噪0.350 88.331 00.354 68.113 10.163 321.172 6小波软阈值降噪0.333 39.356 30.347 58.520 00.192 519.467 0GA-VMD降噪0.331 99.439 10.340 98.906 60.162 523.720 0GA-VMD-小波硬阈值降噪0.328 49.651 30.324 29.909 80.122 429.382 9GA-VMD-小波软阈值降噪0.325 19.853 10.321 610.071 50.121 029.615 3
4 MEMS陀螺仪实测数据分析
采用低成本的MPU-6050陀螺仪进行研究，在室温条件下，将MEMS惯性传感器通过夹具静止固定于转台上，将IMU的3个轴与转台的3个轴对齐，如图7所示，采样频率设定为100 Hz。
图7 MEMS陀螺仪与转台装置图
Fig.7 MEMS gyroscope and test turntable
4.1 静态试验结果与分析
将转台归零，接通电源后，预热0.5 h后连续采集30 min数据，经预处理，去除野值后取3 000个采样点的陀螺仪原始数据如图8所示。
图8 静态情况下陀螺仪原始波形图
Fig.8 Gyro raw data under static conditions
采用遗传算法得参数最优解分别为16和1 606，根据本文提出的方法进行降噪，静态情况下本文提出方法降噪效果如图9所示。
图9 静态信号降噪后的波形图
Fig 9.Thecomparison of static signal de-noising effect
由图9可知，本文提出方法降噪效果较好，其中小波软阈值降噪后的信号更加平滑。计算均方差、信噪比如表2所示。在静态情况下，与小波阈值降噪相比，本文提出的方法均方差降低46.9%，信噪比提高20.5%，与传统模态分解降噪方法相比，均方差降低36.2%，信噪比提高7.4%。
表2 静态情况下5种降噪方法的效果
Table 2 The effects comparison of 5 de-noising methods
降噪方法RMSESNR小波硬阈值降噪0.106 018.041 0小波软阈值降噪0.106 317.989 4GA-VMD降噪0.088 520.187 8GA-VMD-小波硬阈值降噪0.054 321.687 1GA-VMD-小波软阈值降噪0.056 421.025 7
4.2 动态试验结果与分析
设置转台绕x轴转动进行摇摆实验，角速率变化如式(15)所示，采集10 min数据，经预处理，去除野值后取3 000个采样点进行研究，得到动态情况下陀螺仪原始信号如图10(a)所示。
(15)
采用遗传算法得参数最优解分别为17和1816，根据本文提出的方法进行降噪，分离出噪声的降噪效果对比如图10(b)所示，在原始信号中的效果如图10(c)所示。计算均方差、信噪比如表3所示。在动态情况下，与小波阈值降噪相比，本文提出的方法均方差降低12.1%，信噪比提高14.1%，与传统模态分解降噪方法相比，均方差降低8.1%，信噪比提高6.7%。
图10 动态信号及降噪后信号波形图
Fig.10 Dynamic comparison after de-noising
表3 动态情况下5种降噪效果
Table 3 Thedynamicsignal de-noisingeffectscomparison
降噪方法RMSESNR小波硬阈值降噪0.107 040.593 3小波软阈值降噪0.107 841.738 0GA-VMD降噪0.102 543.334 1GA-VMD-小波硬阈值降噪0.094 146.311 1GA-VMD-小波软阈值降噪0.098 345.441 1
5 结论
1) 仿真试验证明：单独小波阈值降噪信号缺失较为严重，GA-VMD法分解信号较为彻底，直接去除噪声主导分量后仍存在部分信号缺失。相比小波阈值降噪，利用本文提出的方法，均方差降低37.1%，信噪比提高52.1%；相比GA-VMD降噪，均方差降低25.5%，信噪比提高24.9%。
2) 通过对MEMS陀螺仪实测数据的分析，在静态条件下，与小波阈值降噪相比，本文提出的方法均方差降低46.9%，信噪比提高20.5%；与传统模态分解降噪方法相比，均方差降低36.2%，信噪比提高7.4%。在动态条件下，与小波阈值降噪相比，本文提出的方法均方差降低12.1%，信噪比提高14.1%；与传统模态分解降噪方法相比，均方差降低8.1%，信噪比提高6.7%。
本文提出的方法能进一步抑制MEME陀螺仪随机误差，对提高MEMS微惯性测量单元的精度具有重要意义。该方法本质上是利用遗传算法对VMD分解所需参数优化，对噪声主导的IMF分量降噪后与信号主导噪声分量重构，可取得较好效果，对于多种理论融合降噪研究具有参考价值。
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