1 引言
引信作为武器系统的终端控制系统，在信息化作战中不再是一个孤立单元，通过信息交联技术，也称引信装定技术，与武器平台间进行信息、能量等的交互，以便获取目标信息、战场环境信息、引信作用方式等参数，提高弹药对目标的打击精度和毁伤效能[1-2]。基于电磁感应和磁共振耦合原理的无线装定技术，因装定过程不需要装定器与引信间发生直接物理接触，操作灵活方便、反应迅速，在国内外得到广泛应用[3-5]。采用铜导线缠绕成各种结构的线圈，作为装定器和引信装定接收电路间能量发送和接收的电磁耦合结构，其中平面线圈是广泛采用的一种。线圈自感及互感是装定系统设计时的关键参数，决定了装定系统性能，准确且高效计算线圈参数值对系统性能优化提高至关重要，具有重要的工程实用价值。
如何计算线圈自感和互感，是一个早已存在并被学者持续关注和研究的问题。文献[6]给出了较为全面的各种不同结构下线圈自感和互感计算模型，一般需要查找特定表格或曲线，利用插值近似，以确定一些待定参数，然后代入近似公式继续计算，计算精度不高且限制了使用的方便性。文献[7]通过引入Bessel及Struve函数，推导出矩形截面的圆柱线圈自感及两平行轴圆柱线圈间互感，但存在计算效率低的问题。文献[8]针对该问题，提出以变形Bessel函数和变形Struve函数表示的平行轴圆柱线圈互感的新表达式，虽简化了处理过程，但又涉及众多的特殊函数，如：n阶第一类、第二类Bessel和变形Bessel函数以及Appell和Gauss超几何函数等，公式复杂繁琐。文献[9]在推导圆柱线圈电感参数时，表达式中含第一类和第二类椭圆积分、lambda函数及高斯数值积分项，同样存在公式复杂的问题。文献[10]利用阿基米德螺旋计算单层和多层线圈自感，利用恒流导线诺依曼积分的泰勒展开，表达正对或偏离条件下的两线间互感。文献[11]针对片上平面螺旋线圈，基于电流片近似、数据拟合的方法，给出了包括正方形、圆形等在内的4种平面螺旋线圈的3种简单自感计算公式。总体来说，目前关于圆形螺线圈电感参数计算方法的研究文献较多，平面螺线圈电感计算方法相关研究相对薄弱。
根据圆形平面线圈中各匝导线之间是否紧密缠绕，可分为紧密缠绕型和非紧密缠绕型[12-13]。本文针对该2种结构，分别建立自感和互感计算模型，推导出电感参数计算解析式，提供一种准确高效的平面螺线圈电感参数理论计算方法。
2 平面圆形螺线圈几何模型
本文所研究的2种平面圆形螺线圈结构如图1所示。其中图1(a)中各匝紧密缠绕成平面螺旋状，导线直径d，线圈最大直径r1，匝数为N1，理论计算时，为降低数学分析难度，可近似等效为N1个半径不同且各匝紧靠的同心圆形线圈。图1(b)中各匝导线间具有一定间隙a，理论计算时，等效为N1个半径不同且各匝间具有一定间隙的同心圆形线圈。
3 自感计算模型
针对图1(a)紧密缠绕的平面线圈自感，可看成是其内部每单匝圆形线圈的自感以及内部任意两匝线圈之间的互感之和。记N1匝线圈中由外向内的第i匝线圈的自感为Li，由经验公式如下[14]：
图1 平面螺线圈几何计算模型示意图
Fig.1 Geometric calculation model of planar circular spiral coils
(1)
N1匝平面线圈中由外向内的第i匝和第j匝线圈之间的互感记为Mij，第i匝和第j匝线圈视为同心圆环结构，半径分别记作ri与rj，且ri=r1-(i-1)·d，rj=r1-(j-1)·d，其中i、j为小于等于N1的正整数。两圆环上分别有电流元矢量dIili、dIjlj，由于线圈间互感与线圈中的电流大小无关，因此可忽略电流的影响，将内外圈圆环中的电流矢量元简化成矢量元dli、dlj；矢量元和圆心的连线与x轴的夹角分别为α、β；矢量元所对应的圆弧夹角分别为dα、dβ；两矢量元之间的距离记作D。几何关系如图2所示。
图2 平面同心圆环载流线圈间互感模型示意图
Fig.2 Mutual inductance model of planar concentric circle current-carrying coils
由图2可知：
(2)
(3)
(4)
(5)
其中:
分别表示矢量元dli、dlj的单位向量。根据毕奥-萨伐尔定律，将平面同心圆环载流线圈的几何关系代入诺依曼公式，即可得平面同心圆环载流线圈的互感Mij的表达式：
(6)
紧密缠绕平面线圈的自感可进一步表示为
(7)
对于图1(b)非紧密缠绕的平面线圈自感计算方法与上述推导过程相同，只是因线圈各匝间隙a的存在，由外向内的第i匝和第j匝线圈半径需分别修改为ri=r1-(i-1)(a+d)，rj=r1-(j-1)(a+d)，则非紧密缠绕平面线圈的自感仍可由式(7)表示。
4 互感计算模型
两同轴放置紧密缠绕平面螺线圈结构如图3(a)所示，首先求解线圈1中由外向内第m匝与线圈2中由外向内第n匝，两单匝线圈间的互感，半径分别记作rm、rn。分别以两线圈中心为原点，建立坐标系Omxyz与Onx′y′z′，如图3(b)所示。
图3 两同轴平面螺线圈结构互感计算几何模型示意图
Fig.3 Mutual inductance geometric calculation model of coaxial planar coils
线圈m、n中的矢量元分别记作dlm、dln，其中矢量元dlm与坐标原点Om的连线与Omx方向的夹角为γ，矢量元dln与坐标原点On的连线与Onx′方向的夹角为δ；矢量元dlm、dln所对应的圆弧夹角分别为dγ、dδ；两线圈轴向距离为h。同理
其中，
分别表示矢量元dlm、dln的单位向量。
两单匝线圈的半径可分别表示为
rm=r1-(m-1)d1
(8)
rn=r1-(n-1)d2
(9)
两矢量元dlm、dln间的距离S可表示为
(10)
根据诺依曼公式可知，两同轴单匝圆形线圈间互感Mmn可表示为：
(11)
两紧密缠绕的同轴平面线圈间互感M12，可看作两线圈内部各单匝线圈之间互感之和，因此：
(12)
当两线圈轴线平行但非同轴时，其几何模型如图4所示，其中两轴线间垂直距离记作p。
图4 轴线平行的两平面线圈几何模型示意图
Fig.4 Geometric model of two planar coils with parallel axis
则式(10)重新表示成如下形式：
(13)
对于非紧密缠绕的同轴平面线圈，同样可用式(12)表示，只是因为线圈间存在间隙，式(8)、式(9)需重新表示如下：
rm=r1-(m-1)·(d1+a1)
(14)
rn=r2-(n-1)·(d2+a2)
(15)
式中a1、a2分别为线圈1和线圈2中相邻两匝之间的间隙。当两线圈共轴时，Smn用式(10)表示。当两线圈轴线平行但非共轴时，Smn用式(13)表示。
因此，平面线圈间互感，不论线圈为紧密缠绕还是非紧密缠绕，两线圈轴线共轴还是非共轴，最终互感计算公式均可表示为式(12)的形式，只是根据具体线圈结构，代入相应的rm、rn、Smn表达式即可。
5 实验
为验证文中模型准确性，设计了不同线圈参数的自感和互感测试实验。采用尼龙塑料制作线圈骨架，将直径0.69 mm的铜漆包导线各匝密绕成平面线圈。非紧密缠绕平面线圈自感实验测量时，为排除手工缠绕引入的误差，利用Altium Designer 设计非紧密缠绕螺线圈，线宽0.5 mm，相邻两匝间隙0.5 mm，制作成PCB板，然后进行模型准确性验证。制作完成的待测平面螺线圈如图5所示。
图5 线圈实物图
Fig.5 Coils
利用HIOKI 3532-50 LCR测试仪进行电感值测试，测试频率1 MHz。理论自感值与测试值见表1，算例中，理论值与实验值的相对误差最大值为-3.23%。
表1 自感模型准确性验证数据表
Table 1 The comparison of self inductance between theoretical calculation and experimental test
组别匝数直径/mm自感理论值/nH自感实验值/nH相对误差/%紧密缠绕5502485.712485.200.025603184.103193.10-0.287504272.294203.001.657605541.395432.902.00非紧密缠绕5502234.582309.20-3.235602892.482919.00-0.917503679.523701.10-0.587604852.544898.20-0.93
互感值测试实验装置如图6所示。两线圈固定在测试架上，轴线平行且位于同一水平面，固定线圈的两支架可分别沿所在轨道平移，以测试两线圈不同轴向和径向距离下的互感值。两轴线平行的紧密缠绕的平面线圈互感模型准确性验证时，导线直径0.69 mm，线圈直径均为50 mm，其中一端线圈匝数为5匝，另一端分为5匝和7匝2种情况。非紧密缠绕的平面螺线圈互感模型准确性验证时，与自感测试所用线圈制作方法相同，采用PCB平面螺线圈代替手工缠绕，线宽0.5 mm，相邻两匝间隙0.5 mm，其余参数与紧密缠绕平面螺线圈实验参数相同。
图6 互感值测试实验装置图
Fig.6 Mutual inductance test experiment
互感理论计算值与实验测试数据如表2所示，算例中，理论值与实验值的相对误差最大值为3.94%。
表2 互感模型准确性验证数据
Table 2 The comparison of mutual inductance between theoretical calculation and experimental test
组别线圈参数轴向距离h/mm径向距离p/mm互感理论值/nH互感实验值/nH相对误差/%紧 密 缠 绕5∗505∗50100 754.88736.832.45300200.19195.052.6450074.0473.550.673010181.66182.45-0.43303081.6081.75-0.1930508.808.93-1.465∗507∗501001022.39988.083.47300269.00262.682.4150098.8596.951.963010243.76251.00-2.893030108.00106.201.70305011.0311.40-3.21非 紧 密 缠 绕5∗505∗50100712.32730.50-2.49300186.03184.280.9550068.0166.981.543010168.37165.331.84303073.8069.406.3330507.237.180.835∗507∗50100945.78961.33-1.62300244.63247.38-1.1150088.6487.101.773010220.98220.130.39303095.0193.331.8130508.638.303.94
由表1和表2实验数据可知：理论计算与实验测试间虽有一定误差，但两者较为吻合，模型计算精度较高，证明了本文理论模型的正确性。误差产生原因主要来自两方面，一是来自计算模型自身误差，理论建模时为降低数学计算难度，进行了必要的近似，将螺旋缠绕线圈近似成了相同匝数的同心圆形线圈。另一方面来自实验线圈制作误差，手工紧密缠绕的平面螺线圈存在缠绕误差，而采用Altium Designer软件设计制作的非紧密缠绕PCB平面螺线圈的导线横截面实际为矩形。
6 结论
将螺旋缠绕的平面螺线圈近似为相同匝数的同心圆形线圈，推导出自感计算解析表达式及轴线共轴和平行但非共轴的两平面螺线圈间互感计算解析表达式，验证了模型的正确性，算例中，自感和互感的理论值与实验值最大相对误差为-3.23%和3.94%，理论模型在不含复杂函数的前提下，计算准确度较高。文中所建平面线圈的自感和互感计算模型，可为引信无线装定及其他相关领域提供参考。
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