1 引言
绝大多数引信都有状态转换过程，其零部件受力较为复杂，且内部空间有限，为一次性工作。因此引信内标准球形零件应用较为普遍，通常作为结构关联件，俗称保险球。一般是直径2～5 mm的不锈钢球或者钨合金球。作为一种典型的标准零件，多感受惯性过载环境工作，因而研究其质量和直径分布特性，对引信可靠性设计和研究，具有特殊的意义。
对引信保险球质量和直径分布的研究，涉及随机变量大小、离散及分布特征描述的问题，通常运用数理统计方法。文献[1]以某23 mm口径榴弹引信零部件100件称重数据为样本，通过数理统计方法得到了该引信零件质量和引信产品质量分布特性。文献[2]在文献[1]的基础上增加了样本量和样本种类，以2种弹头触发引信为样本，利用数理统计方法得到其机械零件质量分布特性，得出2种引信产品机械零件质量总的分布规律相近的结论。但同样拟合分布函数种类较少，未能完整反映引信机械零件质量分布规律。文献[3]在文献[1]和文献[2]的基础上加大样本量，增加了分布函数的种类，得到了除正态分布和Weibull分布外，还有t location-scale分布、Log-Logistic分布和Logistic分布对某小口径引信质量拟合分布较为符合的结论。本文通过借鉴文献[1]、文献[2]和文献[3]对引信零件质量分布的研究方法，增加检验方式，对引信保险球质量和直径分布特性进行研究，找出其分布规律。
2 分析方法与样本概述
2.1 分析方法
Minitab是一款专业的可视化统计分析软件，功能齐全，操作比较方便。常用模块有计算功能(矩阵、标准化、概率分布等)、图形分析(柏拉图、散点图、直方图等)、统计分析(基本统计量、方差分析、回归分析等)模块。对4种引信保险球零件每种各200件合格品进行直径测量和质量称重，将其结果作为样本数据，所用型号等信息见表1。
2.2 样本概述
测量的4种保险球基本信息见表2。应用Minitab软件的图形分析模块，得到这4种保险球的质量和直径分布直方图，如图1和图2所示。
将实测数据通过Minitab软件的计算功能进行数据处理得到质量和直径的均值μ，标准差σ和极值，见表3和表4。同时利用软件中的统计分析模块对保险球质量和直径进行相关性检验，得出Pearson和Spearman相关系数，见表5。由表5可知，4种保险球质量与直径均表现为极强正相关性。
表1 保险球直径和质量测量仪器
Table 1 Safe ball diameter and mass measuring instrument
测量仪器型号生产厂家读数精度测量原理出厂编号外径千分尺701-01哈尔滨量具刃具0.001 mm螺旋放大原理,即螺杆在螺母中旋转1周,螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距A25595电子天平BS124S北京赛多利斯仪器0.000 1 g电磁力平衡原理,即测量物体时采用电磁力与被测物体重力相平衡的原理50861273
表2 4种保险球基本信息
Table 2 Basic information of fourkinds of safe balls
保险球名称材质产地批号直径公差产品标准号在产品中的功能Ф2.5不锈钢球9Cr18湖北钢球厂2018-3-2±0.005 mmGB/T 308—2002离心保险Ф3不锈钢球9Cr18湖北钢球厂2018-4-6±0.015 mmGB/T 308—2002离心保险Ф3.5钨合金球95WNiFe牡丹江北方合金工具2019-5-1±0.015 mmGJB3793A—2018离心保险Ф4钨合金球93WNiFe牡丹江北方合金工具2019-6-4±0.010 mmGJB 3793A—2018离心保险
图1 4种保险球质量频率分布直方图
Fig.1 Histogram of mass frequency distribution of four kinds of safe balls
图2 4种保险球直径频率分布直方图
Fig.2 Histogram of diameter frequency distribution of four kinds of safe balls
表3 4种保险球质量均值、标准差和极值
Table 3 Average value,standard deviation and extreme value of four kinds of safe ball quality
保险球种类均值μ/g标准差σ/g标准差系数σ/μ(%)极大值/g极小值/g2.5 mm不锈钢球0.063 751.288×10-40.202 00.064 10.063 43 mm不锈钢球0.108 31.376×10-31.270 50.111 00.105 03.5 mm钨合金球0.405 07.831×10-40.189 90.406 40.402 64 mm钨合金球0.597 72.069×10-30.346 20.603 00.593 0
表4 4种保险球直径均值、标准差和极值
Table 4 Average value,standard deviation and extreme value of four kinds of safe ball diameter
保险球种类均值μ/mm标准差σ/mm标准差系数σ/μ(%)极大值/mm极小值/mm2.5 mm不锈钢球2.4971.484×10-30.059 42.5002.4943 mm不锈钢球2.9923.233×10-30.108 12.9992.9803.5 mm钨合金球3.4891.530×10-30.043 93.4943.4864 mm钨合金球4.0062.046×10-30.051 14.0104.000
表5 4种保险球质量和直径相关性检验
Table 5 Correlation test of mass and diameter of four kinds of safe balls
保险球种类Pearson相关系数相关强度Spearman相关相关强度2.5 mm不锈钢球0.945极强相关0.956极强相关3 mm不锈钢球0.951极强相关0.972极强相关3.5 mm钨合金球0.895极强相关0.974极强相关4 mm钨合金球0.965极强相关0.977极强相关
3 参数估计和分布拟合
首先对样本进行估计，对保险球质量与直径分布进行正态分布假设，并进行假设检验(以下所有置信度检验假设均为95%)。
正态分布是一种较为完善的分布类型，在拟合随机数据分布时具有很强的灵活性。正态分布的分布函数为[4]：
(1)
正态分布的概率密度函数为：
(2)
式中: μ为均值，σ为标准差。
常见的正态性检验法有Ander-Darling检验法、Kolmogorov-Smirnov检验法和Ryan-Joiner检验法。Ryan-Joiner检验法是专门用来检验正态分布的方法，具有特定性，另外2种检验方法也能检验其他分布[5]。相比较之下，拟采用Ryan-Joiner(以下简称RJ)检验法，对测量的数据进行正态性检验。此检验通过计算数据与正态分值之间的相关性来评估正态性，相关系数(RJ值)越接近于1表明数据和正态分布拟合得越好。
RJ检验的统计量定义为[6]：
(3)
因为bi服从N(0，1)正态分布，所以
的平均值为0，式(3)可简化为(忽略y值的均值)：
(4)
式中: yi为顺序排列样本值，
为样本平均值，bi为正态分布概率为ki时标准正态累积分布函数的反函数值。ki的计算方法是：
(5)
式中i值为样本数据的秩。
利用Minitab软件，对样本数据进行处理，再利用RJ检验法检验分布假设是否接受正态分布，得到保险球质量和直径分布参数以及RJ检验拟合的结果，见表6。其中P值大于显著水平0.05，表明数据服从正态分布。
表6 4种保险球质量和直径的RJ检验结果
Table 6 RJ test results of four kinds of safe ball mass and diameter
零件均值标准差RJP值正态分布2.5 mm不锈钢球直径2.497 mm1.484×10-3 mm0.994>0.100接受3 mm不锈钢球直径2.992 mm3.233×10-3 mm0.9830.023拒绝3.5 mm钨合金球直径3.489 mm1.530×10-3 mm0.996>0.100接受4 mm钨合金球直径4.006 mm2.046×10-3 mm0.9880.068接受2.5 mm不锈钢球质量0.063 75 g1.288×10-4 g0.999>0.100接受3 mm不锈钢球质量0.108 3 g1.376×10-3 g0.999>0.100接受3.5 mm钨合金球质量0.405 0 g7.831×10-4 g0.990>0.100接受4 mm钨合金球质量0.597 7 g2.069×10-3 g1.000>0.100接受
4 分析与讨论
从表6的结论可推出，4种保险球质量均服从正态分布，直径仅3 mm不锈钢球不服从正态分布。为了探究3 mm不锈钢球不服从正态分布的原因，将3 mm不锈钢球直径数据进行异常值检验，检验方法为Grubbs准则[7]。该准则是在未知总体标准差情况下，对正态样本或接近正态样本异常值的一种判别方法。判别结果发现在3 mm不锈钢球直径的数据中存在一个异常值(异常值显示为红色)，检验结果见图3。
直径测量工具误差0.001 mm，质量测量工具误差0.000 1 g，相比较之下质量测量误差要比直径误差小很多。球体形状很简单，假设磨球工艺所带来的形状误差很小，可通过质量分布特性推算出球的直径分布。由表5结论可知，球质量和直径可看作正相关，即M∝D3。
图3 3 mm不锈钢球直径的异常值图
Fig.3 Abnormal value diagram of 3 mm stainless steel ball diameter
可推出以下公式：
(6)
又由式(6)可推出，质量的变化率与直径的变化率线性相关。更加证明了直径分布特性可由质量分布特性推导得出。
从表6结论可知，保险球在测量仪器精度足够高的情况下，质量服从正态分布，即m～N(μ，σ2)。
(7)
(8)
由式(7)和式(8)可得：
(9)
以3.5 mm保险球为例，将ρ=18.04 g/cm3，μ=0.405 0 g，σ=7.831×10-4 g代入式(7)和式(9)中，并利用python软件绘出函数图像，见图4和图5。
图4 保险球质量概率密度曲线
Fig.4 Probability density curve of safe ball mass
图5 保险球直径概率密度曲线
Fig.5 Probability density curve of safe ball diameter
从图4和图5可看出，若保险球质量分布为正态分布(图4)，则保险球理论直径分布也是正态分布(图5)。为证明这一结论，利用Minitab软件生成一组样本数为200、均值为0.405 0 g，标准差为7.831×10-4 g的随机数据A，再将数据进行式(8)运算得到另一组数据B。将数据B进行正态分布拟合，得到拟合后正态分布的平均值和标准差，作出函数曲线，见图6。
图6 保险球理论直径分布和拟合分布曲线
Fig.6 Theoretical diameter distribution and fitting distribution curve of safe ball
图6中，实线曲线为随机数据(样本)拟合得到的正态分布曲线，点画线部分是由式(9)(总体)计算得到的曲线，虚线部分是根据实际测量直径拟合得到的正态分布曲线。由式(9)得到的正态分布曲线与随机数据拟合的正态分布曲线基本一致，可认为引信保险球直径分布符合正态分布。与实测直径分布曲线相比，由质量数据计算得到的直径分布曲线，标准差较大，图像偏右。表明实测直径偏小，区分度不高。
为进一步研究保险球质量和直径分布情况，利用Minitab软件中个体标识功能，对数据进行多种分布检验。个体标识功能基于Anderson-Darling检验方法，该检验方法是一种拟合检验，通过比较样本数据分布和拟合函数分布的差异，检验样本是否服从某一分布。常见拟合的分布种类除正态分布外还包括Logistic分布、Gamma分布、极值分布等[8]。保险球质量和直径分布检验结果见表7。
表7 4种保险球质量和直径的分布检验结果
Table 7 Test results of mass and diameter distribution of four kinds of safe balls
零件正态WeibullGammaLogistic最大极值最小极值Log-Logstic2.5 mm不锈钢球直径拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝3 mm不锈钢球直径拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝3.5 mm钨合金球直径拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝4 mm钨合金球直径拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝2.5 mm不锈钢球质量拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝3 mm不锈钢球质量拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝3.5 mm钨合金球质量拒绝接受接受接受拒绝接受接受4 mm钨合金球质量拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝拒绝
从表7的结论可看出，引信保险球质量和直径分布除不满足正态分布外，对Weibull等分布检验结果也是拒绝。对直径较小(2.5～4 mm)的保险球零件，质量和直径分布特性不明显，分布假设检验结果均是拒绝。2种检验方法结论不一致的原因可能是检验原理不同。Anderson-Darling检验法是一种基于拟合优度的算法，可检验总体是否服从正态分布，也可检验总体是否服从其他分布，对正态性检验不具有特性，因而功效较差[9-11]。本文选用的Ryan-Joiner检验法是一种基于相关性的算法，原理与文献[11]中Shapiro-Wilk检验法相同。
在零件加工上，可能会出现个别尺寸异常的零件。GJB 3793A—2018《弹用钨合金球规范》[12]给出的钨合金球直径测量工具为千分尺，质量测量工具为感量0.01 g的电子天平，每批样本数量为200粒。在质量和直径合格品的要求上，每批允许质量不合格的上限为3粒，直径不合格产品的上限为11粒。从此要求可看出，同一批次会出现个别直径不合格的产品，这些个别产品会影响到保险球直径的判别。
标准球形零件直径精度很高，但常规测量手段难以适应其高精度，因而区分度不足，相比由质量数据换算得到的直径分布特性，准确度较低。未见有关标准球形零件直径分布特性的文献报导，仅文献[1-3]对标准球形零件的质量特性进行过研究，但得出的结论是标准球形零件质量无明显分布特性。本文选取Ryan-Joiner检验方法，证明标准球形零件质量和直径均符合正态分布。
5 结论
4种直径2.5～4 mm、不同材质的引信保险球质量与直径，服从正态分布，不服从Weibull分布、Gamma分布、Logistic分布和极值分布，其分布特性与保险球材质无关。保险球质量标准差系数为0.19%～1.27%，直径标准差系数为0.044%～0.11%。标准球形零件的直径分布可通过质量分布推导。
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