1 引言
脉冲是指系统运行过程中的一些变量于某一时刻的瞬时骤增或瞬时剧减，系统运行状态受这种短暂骤变的影响会很大变动，发生这种现象的系统被称为脉冲切换系统[1]。脉冲切换系统能够同时准确地描述物体的运动状态和运动轨迹，被广泛应用与保密通讯、航空航天等新型领域，因此针对该系统的研究受到广泛关注[2-4]。但在在实际应用中，当脉冲切换系统的初始条件在有限时间内比确定数小时，脉冲切换系统的状态不能超过给定阈值，所以提出有限时间稳定性。有限时间稳定性是在给定初始条件下，要求脉冲切换系统在一段特定时间内其状态保持在某特定区域内，令其满足众多实际应用的需求[5]。分析有限时间稳定性时，脉冲切换系统的操作处理不受固定有限时间间隔的限制，其要求系统变量在指定范围内。因为实际应用中的脉冲切换系统变量必须处于界限内，所以有限时间稳定性具有理论与实际意义。本文结合平均停留时间与代数矩阵不等式法对脉冲切换系统的有限时间稳定性进行分析，并通过一些充分条件来保证一段特定时间区间内的脉冲切换系统状态始终在某个特定区域中，从而提升脉冲切换系统的稳定性。
2 脉冲切换系统有限时间稳定性分析与控制
2.1 脉冲系统切换规则
有限时间稳定性的影响因素主要为脉冲切换系统的暂态行为，通过求解微分方程组，解出脉冲切换系统的解，用于判断是否满足有限时间稳定的充分必要条件，只要系统符合其充分必要条件就能保证其有限时间稳定性[4-6]。脉冲切换系统可以用以下方程表示：
(1)
式中，状态变量描述为Aσ(t)∈Rn， σ=1…m表示脉冲切换信号。
假设A1，…,Am为切换不稳定状态，Am+1，…,AS为切换稳定状态[7-10]。若脉冲时间t∈[tk，tk+1]，则激活第m个子系统。脉冲切换次数描述为Nσ(t，T)，针对任意的正标量T≥t≥0，有：
(2)
式中， τa表示平均停留时间。因为A1，…,Am不稳定，Am+1，…,AS稳定，则有一系列正数λ1，…，λs存在，能够保证Ai-λiI(i≤m)，Ai+λiI(i>m)稳定。基于上述公式求解结果，通过代数矩阵理论可得出如下系统的切换规则：
(3)
式中：映射‖·‖为定义在t∈[tk，tk+1]上的范数； αi表示系统切换测度，全部不稳定子系统与稳定子系统的激活时间的总和分别通过T+(0，t)与T-(0，t)表示。设正数
随机选取一标量λ*∈(0，λ)符合切换规则得到：
(4)
至此，通过求解微分方程组求得脉冲切换系统的解，并获得脉冲系统的切换规则，为有限时间稳定性的分析奠定基础。
2.2 脉冲切换系统的有限时间稳定性
在上述脉冲系统切换规则的基础上，分析有限时间稳定性，脉冲切换系统表示为：
(5)
式中：脉冲切换系统的状态变量描述为x(t)∈Rn；切换信号σ(t):(0，T)→W={1，2，…，S}同时也是分段连续常值函数[11-14]，子系统的切换个数、初始时刻的值、常数矩阵分别通过S、x0、Ai表示，
系统在切换时刻的脉冲影像通过常数矩阵Fk表示，0<‖Fk‖≤θk。
给定3个正数c1，c2，T，且符合c1<c2，正切换常数表示为Γ>0，
>0，若
成立，则针对任意的(c1，c2，T，Γ，)该脉冲切换系统具有有限时间稳定性[15-18]。若存在正数λ，符合全部0<t≤T，常数α已知，则：
‖x(t)‖≤αeλt‖x(t0)‖
(6)
脉冲切换系统有限时间稳定度通过λ表示。给定(c1，c2，T，Γ，)，切换信号符合式(7)：
(7)
则系统于任意平均停留时间下存在有限时间稳定通过一正常数
保证[19-21]，则：
(8)
切换时刻描述为t1，t2，…tk，通过pk(k=0，1，…n)，pk∈[1，s]描述切换信号在(tk，tk+1]内的值[22]，t0=0。若t∈(0，t1]，通过常微分方程理论得出x(t)=eAp0tx0，若t∈(tM，tM+1]，系统切换次数Nσ(0，t)=M，可得：
(9)
若λ*≥λ+，即便全部子系统均不稳定，则T-(t0，t)=0，可得：
‖x(t)‖≤αekMeλ*t‖x0‖
(10)
并且Nσ(0，t)=M表示在(0，t)上切换次数，得出：
(11)
根据上述计算，可知脉冲切换系统于任意平均停留时间下，具有有限时间稳定。
2.3 脉冲切换系统的有限时间稳定控制
通过上述脉冲切换系统的稳定性分析，设计一个有限时间保性能控制器，利用控制器缩短系统的收敛速度，从而提高有限时间稳定性。令其对应闭环系统是有限时间保性能控制，同时计算保性能控制界。
设切换指标
存在，常数xi≥0，令式(12)成立：
(12)
其中：
Ω=Pi(Ai+BiFi)-αPi+Qi+Rn
(13)
并且切换信号σ(t)的平均逗留时间符合：
(14)
得出脉冲切换系统关于参数(δ，ε，Tf，d，R，σ)为有限时间有界[23]。对脉冲切换系统的一个有限时间稳定性控制界进行计算，得出：
(15)
因脉冲切换系统的参数是有限的，通过推导得出：
(16)
结合切换时刻所发生脉冲的影响进行计算可得：
(17)
为解决参数αi或μ选值不恰当导致的代数矩阵不等式无解的问题[24-25]，脉冲切换系统若对∀i∈M有正实数θ1，θ2、非负实数αi，δ，θ3，θ4以及矩阵Yi>0，Zi>0，Xi>0，Q2，i>0，R2，i>0，记：
(18)
同时切换信号的平均逗留时间符合：
(19)
则脉冲切换系统的有限时间有界是在控制器增益矩阵选择为
计算得出性能代价函数的一个上界为：
(20)
至此，完成控制器的设计与全部充分必要条件的有效性验证，完成脉冲切换系统的稳定控制。
3 实验分析
通过Matlab对脉冲切换系统进行仿真，通过子系统A1与子系统A2的切换研究脉冲切换系统的有限时间稳定性参数θ=0.2，脉冲切换系统的有限时间保性能控制器的参数k=1.7，β=0.9。通过脉冲切换系统分别在总时间1.2 s与1.5 s下的系统状态轨迹，分析其是否具有有限时间稳定性，结果如图1、图2所示。
图1 T=1.2 s的脉冲切换系统状态轨迹
Fig.1 T=1.2 s’s pulse switching system state trajectory
图2 T=1.5 s的脉冲切换系统状态轨迹
Fig.2 T=1.5 s’s pulse switching system state trajectory
通过图1可知，脉冲切换子系统A1、A2的状态轨迹在总时间为1.2 s的情况下均超过了有限时间的界，脉冲切换系统不是有限时间稳定的，而图2中，脉冲切换子系统A1、A2的状态轨迹在总时间为1.5 s的情况下均在有限时间的界内，显然此时脉冲切换系统是有限时间稳定的。
研究脉冲切换系统加入本文设计的有限时间保性能控制器后的同步误差与各系统同步状态变量，结果如图3、图4所示。
图3 加速控制器后系统的同步误差曲线
Fig.3 Synchronization error curve of the system after accelerating the controller
图4 加入控制器后各系统状态变量同步曲线
Fig.4 Synchronization diagram of state variables of each system after joining the controller
通过图3可知，在脉冲切换系统中加入本文设计的有限时间保性能控制器后，子系统A1、A2都于0.2 s内收敛至0点，脉冲切换系统趋于稳定状态由图4可以发现，在脉冲切换系统加入控制器后，子系统的状态变量在7 s后几乎完全同步，通过图3和图4可以证明本文设计的有限时间保性能控制器具有显著效果。。因为本文在设计控制器前，利用微分方程组计算了脉冲切换系统的解，并在有限时间有界的充分条件基础上进行设计，进一步缩短了计算时间，可以在非常短的时间内使系统趋于稳定状态。
4 结论
通过平均逗留时间方法得到脉冲切换系统有限时间有界的充分条件，在此基础上设计有限时间保性能控制器，同时利用代数矩阵不等式法验证条件的有效性，实现脉冲切换系统的稳定控制。根据实验结果，证明加入所设计的控制器后，可以在0.2 s内收敛至零点，系统趋于稳定状态，并且在7 s后子系统的状态变量几乎同步，进一步验证了可以在有限时间内快速实现系统的稳定控制。未来的研究重心为：① 放松脉冲切换系统的有限时间稳定性条件；② 根据目前的有限时间稳定性结果分析脉冲切换系统的跟踪问题。
[1] 康升征，吴洪涛，杨小龙，等.压电微定位系统自适应鲁棒有限时间跟踪控制[J].农业机械学报，2018，49(08):403-410.
Kang S Z，Wu H T，Yang X L，et al.Adaptive robust finite-time tracking control for piezoelectric micropositioning systems[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2018，49(08):403-410.
[2] 谢晶，刘寅寅，卜春霞.一类高阶非线性系统停息时间可调的有限时间镇定[J].数学的实践与认识，2018，48(07):261-265.
Xie J，Liu Y Y，Bu C X.Finite time stabilization of a class of high-order nonlinear systems with adjustable-settling-time[J].Mathematics in Practice and Theory，2018，48(07):261-265.
[3] 董新民，丁超，陈勇，等.完全分布式异构多智能体系统有限时间跟踪[J].控制与决策，2020，35(04):105-111.
Dong X M，Ding C，Chen Y，et al.Fully distributed finite-time tracking of heterogeneous multi-agent systems[J].Control and Decision，2020，35(04):105-111.
[4] 李振璧，贾汉坤，李学洋.切换系统有限时间稳定的事件触发滑模控制[J].华中科技大学学报(自然科学版)，2020，48(02):114-119.
Li Z B，Jia H K，Li X Y.Event-triggered sliding control of finite-time stability for switched systems[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology(Nature Science Edition)，2020，48(02):114-119.
[5] 仝云旭，李桂花，刘婷婷，等.离散时间不确定脉冲系统的有限时间稳定性与滤波[J].应用数学，2018，31(02):429-435.
Tong Y X，Li G H，Liu T T，et al.Finite-time stability and filtering for discrete-time uncertain impulsive systems[J].Mathematica Applicata，2018，31(02):429-435.
[6] 周绍伟，陈兵.离散随机Markov跳跃系统有限时间有界控制[J].控制与决策，2017，32(12):2285-2290.
Zhou S W，Chen B.Finite-time boundedness control of discrete stochastic Markov jumping systems[J].Control and Decision，2017，32(12):2285-2290.
[7] 李婧忱，李爱军，黄兵，等.基于反步法的空天飞行器有限时间姿态跟踪控制[J].飞行力学，2019，37(01):78-82.
Li J C，Li A J，Huang B，et al.Finite-time back-stepping control for reentry RLV based on disturbance observer[J].Flight Dynamics，2019，37(01):78-82.
[8] 秦晓飞，曹新凯，李峰.永磁同步电机系统混沌状态的主动控制[J].计算机应用研究，2018，35(11):100-103.
Qing X F，Cao X K，Li F.Active control of chaotic state in permanent magnet synchronous motor system[J].Application Research of Computers，2018，35(11):100-103.
[9] 冯娜娜，吴保卫.切换奇异系统事件触发控制的输入输出有限时间稳定[J].山东大学学报(理学版)，2019，54(03):79-88.
Feng N N，Wu B W.Input-output finite time stability for event-triggered control of switched singular systems[J].Journal of Shandong University(Natural Science)，2019，54(03):79-88.
[10] 姚凤麒，朱行行.一类脉冲随机系统的有限时间有界性分析与H∞控制[J].控制理论与应用，2018，35(03):291-298.
Yao F L，Zhu X X.Finite-time boundedness analysis and H-infinity control for a class of impulsive stochastic systems[J].Control Theory & Applications，2018，35(03):291-298.
[11] 陈志华，解永春.线性时变系统有限时间稳定性的数值判定算法[J].控制理论与应用，2019，36(02):220-230.
Chen Z H，Jie Y C.Numerical algorithm for analyzing the finite-time stability of linear time-varying systems[J].Control Theory & Applications，2019，36(02):220-230.
[12] 钱伟，王晨晨，费树岷.区间变时滞广域电力系统稳定性分析与控制器设计[J].电工技术学报，2019，34(17):3640-3650.
Qian W，Wang C C，Fei S M.Stability analysis and controller design of wide-area power system with interval time-varying delay[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2019，34(17):3640-3650.
[13] 陈明，李小华.基于预设性能的非仿射非线性系统自适应有限时间控制[J].控制与决策，2020，35(05):238-243.
Chen M，Li X H.Adaptive finite-time tracking control for nonaffine nonlinear systems based on prescribed performance[J].Control and Decision，2020，35(05):238-243.
[14] 夏川，董朝阳，程昊宇，等.变体飞行器有限时间切换H∞跟踪控制[J].兵工学报，2018，39(03):485-493.
Xia C，Dong C Y，Cheng H Y，et al.Finite-time H∞ tracking control for switched m orphing aircraft[J].Acta Armamentarii，2018，39(03):485-493.
[15] 周绍磊，赵学远，祁亚辉，等.有向切换拓扑条件下考虑暂态响应的多智能体H∞一致性控制[J].兵工学报，2020，41(02):150-159.
Zhou S L，Zhao X Y，Qi Y H，et al.H∞ Consensus control of multi-agent systems with transient response under directed switching topology[J].Acta Armamentarii，2020，41(02):150-159.
[16] 徐友慧，王少宁，高波，等.微小卫星用脉冲等离子体推力器电源处理单元设计[J].固体火箭技术，2020，43(02):259-264.
Xu Y H，Wang S N，Gao B，et al.Design of pulsed plasma thruster power processing unit for microsatellite[J].Journal of Solid Rocket Technology，2020，43(02):259-264.
[17] 李文海，姜晋云，孙伟超，等.一种降低雷达模拟器交叠脉冲丢失率的方法[J].兵器装备工程学报，2020，41(04):129-132.
Li W H，Jiang J Y，Sun W C，et al.Method of reducing overlapping pulse loss probability for radar simulator[J].Journal of Sichuan Ordnance，2020，41(04):129-132.
[18] 王颖泽，昝晨.基于DPL模型对超短脉冲激光辐照金属薄板传热行为的渐进分析[J].江苏大学学报(自然科学版)，2020，41(02):243-248.
Wang Y Z，Zan C.Asymptotic analysis of heat transfer behavior of metal sheet irradiated by ultra-short pulse laser based on DPL model[J].Journal of Jiangsu University(Natural Science Edition)，2020，41(02):243-248.
[19] 孟志鹏，李嵩，杨杰，等.高功率磁脉冲压缩器的设计及实验研究[J].兵器装备工程学报，2020，41(07):192-196.
Meng Z P，Li S，Yang J，et al.Design and experimental investigation on high power magnetic pulse compressor[J].Journal of Sichuan Ordnance，2020，41(07):192-196.
[20] Soysouvanh S，Jalil M A，Amiri I S，et al.Ultra-fast electro-optic switching control using a soliton pulse within a modified add-drop multiplexer[J].Microsystem Technologies，2018，24(09):3777-3782.
[21] 刘越，高彩霞.脉冲切换时滞系统的有限时间稳定性[J].阴山学刊(自然科学版)，2016，30(03):5-10.
Liu Y，Gao C X.Finite-time stability of impulsive switched systems with time delay[J].Yinshan Academic Journal(Natural Science Edition)，2016，30(03):5-10.
[22] Sverdlov V，Makarov A，Selberherr S.Two-pulse sub-ns switching scheme for advanced spin-orbit torque MRAM[J].Solid-State Electronics，2019，155:49-56.
[23] Xia X Y，Jiao J J.Dynamics of a stage-structure single population model with switching birth pulse and impulsive harvesting[J].Journal of Biomathematics，2020，35(01):155-159.
[24] 谢小韦，印凡成.具有马氏切换的脉冲时滞神经网络的均方指数稳定性分析[J].江苏科技大学学报(自然科学版)，2018，32(06):816-822.
Xie X W，Yin F C.Mean square exponential stability of impulsive delayed neural networks with Markovian switching[J].Journal of Jiangsu University of Science and Technology(Natural Science Edition)，2018，32(06):816-822.
[25] Kim T，Jeon S.Pulse switching study on the HfZrO ferroelectric films with high pressure annealing[J].IEEE Transactions on Electron Devices，2018，65(05):1771-1773.