火炮回转半径间接测量方法比较

火炮回转半径，即炮身水平时炮身前端面至回转轴线的距离[1-2]。在靶场试验中，需要测量火炮的回转半径来检查火炮状态是否偏离设计指标[3-6]或进行弹道修正[7-8]。

目前正在实施的国家军用标准GJB 2977A—2006《火炮静态检测方法》[9]给出了火炮回转半径的2种测量方法：直接法和间接法。由于直接法需要预先知道被测火炮回转轴线的位置，而在现场检测却很难准确找到被测火炮的回转轴线，因此，现场检测通常采用间接法。GJB 2977A—2006[9]给出的“间接法”其实质是大直径间接测量方法中“角度弦长法”[10]取圆心角为60°时的特例。文献[11]中推导出在相同圆心角测量误差情况下，圆心角取180°时得到“角度弦长法”测量火炮回转半径的结果最佳。在检测现场是用周视瞄准镜装定角来代替炮塔实际旋转角(圆心角)。由于圆心角取60°和180°这两个特殊角时的数据处理简单，长久以来，形成了“60°装定角”和“180°装定角”这2个固定装定角。但是，在火炮方向射界小于180°时，只能选取60°装定角。文献[12]中讨论了火炮方向射界对“角度弦长法”测量火炮回转半径结果的影响，提出了考虑方向射界的“灵活装定角”方式。

由于“角度弦长法”需要测量弦长和对应的圆心角，而在检测现场，炮塔旋转角(圆心角)的精确测量较为困难。为避免在检测现场测量圆心角，文献[13]中提出了不需要测量圆心角的“三边法”。“三边法”是以3个垂点构成的三角形的外接圆半径为回转圆半径，无任何冗余测量数据，测量结果的精度完全取决于现场操作。文献[14]中提出了存在1条冗余数据的“四垂点”冗余测边网法，通过测边网平差处理[15]中有效利用冗余数据来提高测量精度。为进一步提高火炮回转半径的测量精度，文献[16]中提出了有3条冗余数据的“五垂点”冗余测边网法。

为了便于现场实施时测量方法的选取，本文采用蒙特卡洛方法对测量过程中的影响因素进行模拟，比较上述火炮回转半径间接测量方法测量结果的精度，为国家军用标准修订提供依据。

2 测量方法原理

2.1 角度弦长法

在火炮调平的情况下，保持炮身水平，炮塔旋转大小为βazi的角，旋转前后其炮口端面中心在水平面上的投影点分别为点A、点B，火炮回转轴在水平面上的投影点(简称“回转中心”)为点O，则火炮回转半径Razi的大小为点A与点O间的距离lAO，如图1所示。

在图1所示的等腰三角形△OAB中，尽管火炮回转中心点O的位置是未知的，但如果能测得两投影点A与B间的距离lAB(弦长)和βazi(弦长lAB对应的圆心角)，则可按式(1)计算火炮回转半径Razi。

在检测现场，弦长lAB的测量容易实现，而炮塔旋转角βazi的测量却比较困难。国家军用标准GJB 2977A—2006《火炮静态检测方法》中的间接测量方法[9]以及改进方法[11-12]都是用周视瞄准镜装定角γazi来代替炮塔实际旋转角βazi进行计算。

文献[12]中提出了考虑方向射界的“灵活装定角”方式：当方向射界不小于180°时，装定角的大小设定为180°；当方向射界小于180°时，装定角设定为方向射界的大小。

2.2 三边法

三边法的测量原理[13]是：任意不共线的3点确定唯一圆。如图2所示，通过测量火炮回转圆上的任意3个点之间的距离lA、lB和lC，按式(2)计算火炮回转半径Razi。

2.3 冗余测边网法

对于有多个点的测边网而言，当点的数量大于3时，存在冗余测边数据。由于测量误差的存在，此时，冗余测边构成的图形往往不能闭合。文献[14]和文献[16]中都采用了测边网平差处理的方法使得图形闭合，然后再将平差后的测边结果转换为点的相对坐标，最后通过圆拟合得到回转圆半径Razi的大小。

文献[14]中提出“四垂点”的冗余测边网法，如图3所示，存在1条冗余数据，可对应1个条件方程。

图3中，通过三角形中的边角关系，由观测边长li(i=1，2，3，…，6)计算出角度值φj(j=1，2，3，…，12)；假设平差后的边长为

则可由边长平差值计算出平差后角度值

以点A为顶点的角为例，通常情况下φ1+φ2≠φ3，即图形不闭合。平差处理的目的是使平差图形闭合，即平差值条件方程见式(3)。

详细的平差处理过程、相对坐标的转换和圆拟合见文献[14]。

为进一步提高火炮回转半径的测量精度，文献[16]通过增加测边数量来增加冗余，提出了“五垂点”的冗余测边网法。

在图4的测边网中：观测边长为li(i=1，2，…，10)；假设平差后的边长为

则由边长平差值计算得到平差后角度值为

在图4的测边网中存在3条冗余数据，可对应3个条件方程。同样以点A为顶点的角为例，要使图形闭合，平差值条件方程组见式(4)。

详细的平差处理过程、相对坐标的转换和圆拟合见文献[16]。

3 对测量结果的影响因素

3.1 火炮方向射界

对“角度弦长法”，火炮方向射界β的大小制约了周视瞄准镜装定角γazi的设定[12]；对“三边法”和“冗余测边网法”，火炮方向射界β的大小会影响垂点间构形，因为垂点只能分布火炮方向射界之内，图5所示的是火炮方向射界对四垂点测边网构形的影响。

3.2 标记点位置分布不均匀

设火炮回转圆所在的坐标系为O-x′y′，其中x′轴在火炮回转圆所在的平面上任意选取。

对“三边法”和“冗余测边网法”，在火炮回转圆上选取n个标记点，第i个点

的坐标见式(5)。

式中：R为火炮回转半径；θi为相邻2个点间对应的圆心角，按式(6)计算。

式中：ση为点分布不均匀的圆心角误差，为指定范围内的任意随机值；θ1为[-π，π]范围内的任意随机值。

3.3 火炮调平误差

实际状态下的火炮回转圆并不是绝对水平，存在火炮调平误差。令火炮回转圆所在的平面O-x′y′相对于水平面O-XY的倾斜角为α，两平面的交线为x轴。

在火炮回转圆所在的平面O-x′y′上建立坐标系O-x′y′和O-x″y″，其中x″轴与x轴重合。设x′轴x轴的夹角为θ，θ为[-π，π]范围内的任意随机值。则坐标系O-x′y′上的点

变换到坐标系O-x″y″上为

按式(7)计算。

坐标系O-x″y″上各点

在水平面O-XY上各投影点坐标(Xi，Yi)，按式(8)计算。

3.4 垂点位置标记误差

在标记垂点过程中，铅垂是绕投影点进行摆动的，因此垂点可以看作是在特定圆内的一点。该圆的圆心为投影点，半径为铅垂摆动幅度。

垂点在水平坐标系O-xy上的坐标Pi(xi，yi)，按式(9)计算。

式中：d1为铅垂摆动幅度，为指定范围内的任意随机值；τ为[-π，π]范围内的任意随机值。

3.5 测边误差

平面内任意两个点A(xA，yA)、B(xB，yB)之间的距离dAB，按式(10)计算。

将式(9)的计算结果依次代入式(10)计算出各点之间的距离

考虑到边长测量误差σl，则按式(11)计算出各边的模拟值lk。

3.6 只对角度弦长法有影响的因素

3.6.1 角偏与平偏

目前“角度弦长法”，是通过周视瞄准镜进行圆心角装定。由于仪器误差、人员操作因素、周视瞄准镜的角观测误差等因素的影响，周视瞄准镜装定角的实际值与目标值可能不一致，称之为“装定角误差”。

理想状态下，周视瞄准镜应放置在回转中心上，即周视瞄准镜竖轴与火炮回转轴重合。

实际上，一方面，由于火炮回转中心O的位置是未知的，只能凭经验大致估计；另一方面，由于火炮结构的原因，在回转中心位置不一定能找到适合安放周视瞄准镜的位置，只能固定在回转中心附近。这就导致了周视瞄准镜竖轴与火炮回转轴(简称“两轴”)未必重合。其中：两轴不平行的夹角，称为“角偏”；两轴之间的水平距离，称为“平偏”。

角偏也可以看作是火炮回转圆所在的平面O-x′y′与周视瞄准镜水平回转所在的平面O-xsys之间的夹角χ。周视瞄准镜的瞄准点M(xs，ys)，在火炮回转圆所在的坐标系O-x′y′上为点(x′，y′)，按2.3节的思路，有式(12)的关系式。

式中，φ为[-π，π]范围内的任意随机值。

GJB 2977A—2006[9]规定的“平偏”不大于0.5 m，对“角偏”无明确要求。

3.6.2 被瞄准点距离

火炮旋转前后，测量系统在水平面上的投影如图6所示。点O为火炮回转中心，点M为地面靶板上的被瞄准点在水平面上的投影，点S1、点S2分别为火炮旋转前后周视瞄准镜竖轴在水平面上的投影，γ1、γ2分别为炮塔旋转前后周视瞄准镜视线与直线OS1、OS2的夹角。则周视瞄准镜装定角γazi=γ1+γ2，炮塔实际旋转角βazi。图6中，γazi>βazi。

在其他条件不变的情况下，γ1、γ2分别的大小与点O与点M的距离有关。即回转轴与被瞄准点的距离越远，装定角与旋转角越接近。

GJB 2977A—2006[9]规定了“火炮回转轴与被瞄准点的距离”不小于100 m。

对上述几种测量方法的测量结果均有影响的因素有：① 火炮方向射界β；② 火炮调平误差σα；③ 水平地面上垂点位置标记误差σd1；④ 各点之间的距离(边长)测量误差σl。

只涉及“三边法”和“冗余测边网法”的影响因素是：标记点位置分布不均匀对应的圆心角误差ση。

只对角度弦长法有影响的因素为：① 周视瞄准镜竖轴与回转轴的角误差(角偏)σχ；② 周视瞄准镜竖轴与回转轴的距离(平偏)σd2；③ 火炮回转轴与被瞄准点的距离d3；④ 周视瞄准镜装定角误差σγ。

上述影响因素中，只有“火炮方向射界”与被测火炮自身的性能相关，而其余因素与测量实施条件相关。

4 模拟分析

4.1 蒙特卡洛方法实施步骤

步骤1 构建火炮回转半径理想值R、火炮方向射界β、火炮回转轴与被瞄准点的距离d3。

步骤2 以各测量误差在概率上符合正态分布特征，即ε∈N(0，σ2)，选取合适的测量误差σα、σd1、σl、ση、σχ、σd2、σγ，仿真出测量过程中的1组伪随机数(εα，εd1，εl，εη，εχ，εd2，εγ)。

步骤3 由给定值R、β、d3与伪随机数(εα，εd1，εl，εβ，εχ，εd2，εγ)解算火炮回转圆上各标记点坐标。

“角度弦长法”，先解算出炮塔旋转前后被瞄准点M在周视瞄准镜水平回转所在的坐标系O-xsys下的坐标M1(xs1，ys1)、M2(xs2，ys2)；然后按式(12)计算出在火炮回转圆所在的坐标系O-x′y′上的点坐标

最后计算出点

在火炮回转圆上对应的圆心角，解算出火炮回转圆上两标记点坐标

“三边法”和“冗余测边网法”，按式(5)赋予火炮回转圆上各点坐标。

步骤4 按式(8)计算回转圆上各标记点

在水平面O-XY上各投影点坐标Pi(Xi，Yi)。

步骤5 垂点在水平坐标系O-xy上的坐标Pi(xi，yi)，按式(9)计算。

步骤6 则按式(11)计算出各边的模拟值lk。

步骤7 由各边的模拟值lk计算火炮回转半径Rc。

步骤8 重复步骤2～步骤7的过程m次，计算将得到“角度弦长法”“三边法”和“冗余测边网法”各m个火炮回转半径模拟样本(Rc1，Rc2，…，Rcm)。对样本进行统计，得到火炮回转半径的测量均方差δR，按式(13)计算。

设定测量实施的基本条件为：火炮调平误差σα=1°、垂点位置标记误差σd1=2 mm、两点距离测量误差σl=2 mm、标记点位置分布不均匀对应的圆心角误差ση=5°、角偏σχ=5°、平偏σd2=500 mm、被瞄准点的距离d3=100 m、装定角误差σγ=1 mil；取火炮回转半径R=5 000 mm，Monte Carlo方法模拟抽样m=105次。

4.2 火炮方向射界的影响

在基本条件的基础上，取火炮方向射界β为不同值时，几种测量方法得到的火炮回转半径的测量均方差δR，结果如图7所示。

从图7中可以看出：

1)几种方法得到的火炮回转半径测量均方差δR，随着火炮方向射界β的增加，在β<180°时迅速降低，在β>180°时降低幅度趋于缓和、测量结果趋于稳定。

在β=180°时，得到的火炮回转半径的测量均方差：角度弦长法(灵活装定角)为1.50 mm，三边法为1.42 mm，冗余测边网法“四垂点”为1.39 mm，冗余测边网法“五垂点”为1.32 mm。

当β>180°时，角度弦长法的测量均方差稳定在1.50 mm；当β≥240°时，三边法的测量均方差稳定在1.05 mm；当β≥270°时，冗余测边网法“四垂点”的测量均方差稳定在0.87 mm；当β≥288°时，冗余测边网法“五垂点”的测量均方差稳定在0.75 mm。

2)在火炮方向射界β<78°时，角度弦长法相对“三边法”和“冗余测边网法”具有明显的优势。

在β=78°时，得到的火炮回转半径的测量均方差：角度弦长法为16.44 mm，三边法为20.52 mm，冗余测边网法“四垂点”为18.41 mm，冗余测边网法“五垂点”为16.80 mm。

3)在β≥86°的区域，在同样火炮方向射界的情况下，“三边法”和“冗余测边网法”的“垂点”数量越多，得到的测量均方差越小。

在β=86°时，得到的火炮回转半径的测量均方差：角度弦长法为15.23 mm，三边法为15.07 mm，冗余测边网法“四垂点”为13.61 mm，冗余测边网法“五垂点”为12.44 mm。

图7的结果表明：“角度弦长法”“三边法”或“冗余测边网法”，实施所需要的理想状态是各“垂点”能均匀分布在火炮回转圆上，各测量方法要达到理想状态对应的火炮方向射界分别不小于180°(2个垂点)、240°(3个垂点)、270°(4个垂点)、288°(5个垂点)。

4.3 测量因素的影响

在火炮方向射界能满足各测量方法的理想实施状态时，在基本条件的基础上，进一步分析各测量因素对结果的影响趋势。

4.3.1 火炮调平误差的影响

在基本条件的基础上，分别取火炮调平误差σα为不同值时得到的火炮回转半径的测量均方差，结果如表1所示。

从表1可以看出：随着火炮调平误差σα的增加，几种测量方法的测量均方差都呈显著的上升趋势，特别是当σα≥2°时，测量均方差的上升趋势越发明显。

4.3.2 垂点位置标记误差

在基本条件的基础上，分别取垂点位置标记误差σd1为不同值时得到的火炮回转半径的测量均方差，结果如表2所示。

从表2可以看出：随着垂点位置标记误差σd1的增加，几种测量方法的测量均方差都呈显著的上升趋势。

4.3.3 边长测量误差

在基本条件的基础上，分别取边长测量误差σl为不同值时得到的火炮回转半径的测量均方差，结果如表3所示。

从表3可以看出：随着边长测量误差σl的增加，几种测量方法的测量均方差都呈显著的上升趋势，特别是当σl>5 mm时，测量均方差的上升趋势越发明显。

4.3.4 标记点位置分布不均匀

在基本条件的基础上，分别取标记点位置分布不均匀对应的圆心角误差ση为不同值时得到“三边法”和“冗余测边网法”的火炮回转半径测量均方差，结果如表4所示。

从表4可以看出：标记点分布不均匀的角误差ση对“三边法”和“冗余测边网法”的火炮回转半径的测量结果影响不大，至少在ση≤10°的范围内无显著影响，几种方法的火炮回转半径测量均方差都在1 mm左右。

4.3.5 周视瞄准镜竖轴与回转轴的角误差(角偏)

在基本条件的基础上，分别取“周视瞄准镜竖轴与回转轴的角误差(角偏)”σχ为不同值时得到“角度弦长法”的火炮回转半径的测量均方差，结果如表5所示。

从表5可以看出：在σχ≤2°的范围内，角偏σχ对“角度弦长法”的火炮回转半径测量均方差δR60和δR180影响甚微；在σχ>5°后，δR60和δR180增加明显。

4.3.6 周视瞄准镜竖轴与回转轴的距离(平偏)

在基本条件的基础上，分别取“周视瞄准镜竖轴与回转轴的距离”(平偏)σd2为不同值时得到“角度弦长法”的火炮回转半径的测量均方差，结果如表6所示。

从表6可以看出：在σd2≤1 500 mm的范围内，平偏σd2对δR180影响不大；随着平偏σd2的增加，δR60呈显著的上升趋势。

4.3.7 火炮回转轴与被瞄准点的距离

在基本条件的基础上，分别取火炮回转轴与被瞄准点的距离d3为不同值时得到“角度弦长法”的火炮回转半径的测量均方差，结果如表7所示。

从表7可以看出：随着火炮回转轴与被瞄准点的距离d3的增加，“角度弦长法”的火炮回转半径测量均方差δR60和δR180均呈显著的下降趋势；在d3≥20 m时，δR180<2 mm；即便d3=100 m，δR60依然接近20 mm。

4.3.8 装定角误差的影响

在基本条件的基础上，分别取装定角误差σγ为不同值时得到“角度弦长法”的火炮回转半径的测量均方差，结果如表8所示。

从表8可以看出：在σγ≤5 mil的范围内，σγ的变化对δR180的影响甚微；随着σγ的增加，δR60呈上升趋势，但在σγ≤2 mil范围内，变化不大。

5 讨论

5.1 角度弦长法

“角度弦长法”与“三边法”和“冗余测边网法”相比：在测量准备阶段需要额外的进校“炮塔上固定和调试瞄准镜”这一操作；在测量实施进行火炮方位转动时，需要多出1名周视瞄准镜观测员。

“角度弦长法”的“60°装定角”和“180°装定角”除了装定角不同外，在其他方面的操作并无实质差异，但“60°装定角”的测量均方差比包括“180°装定角”在内的其他几种方法高出一个数量级。通常情况下其测量均方差接近20 mm，不适用于对精度要求较高的场合。

但在火炮方向射界β<78°时，建议优先选用角度弦长法(灵活装定角)。

5.2 “三边法”与“冗余测边网法”

在火炮回转轴线位置未确定且火炮方向射界β≥86°时，可考虑使用“三边法”和“冗余测边网法”测量火炮回转半径。

“三边法”和“冗余测边网法”避免了在现场精确测量火炮回转角，与“角度弦长法”相比减少了操作步骤和人员。更为重要的是在同等条件下，“三边法”和“冗余测边网法”比“角度弦长法”的测量均方差小。

随着垂点和测边的增加，火炮回转半径的测量均方差会进一步降低，“三边法”可以控制在1 mm左右，“冗余测边网法”甚至能小于1 mm。但是垂点和测边的工作量会显著增加。

在现场，选用“三边法”还是“冗余测边网法”，应根据实际精度需求，以及火炮构造来进行选择。

6 结论

1) 在检测现场应根据实际情况选择测量方法：在火炮方向射界β<78°时，建议优先选用角度弦长法(灵活装定角)；在火炮方向射界β>86°时，随着“垂点”数量的增加，测量结果的均方差变小。

2) 在军标修订时，建议用“角度弦长法(灵活装定角)”取代原有的“60°装定角法”，增加“三边法”和“冗余测边网法”，以应对不同情况。

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