1 引言
火箭橇是采用火箭发动机为动力，以橇车为载具推动被试品在轨道上滑行，以模拟被试品运行状态的地面动态试验设备[1-2]，如图1所示。火箭橇试验系统通常包括火箭橇轨道、橇车(包含发动机)、外测设备、数据处理设备、控制设备等。使用火箭橇开展试验的优点是能够真实模拟被试品加速过程，速度、姿态可控，重复试验的一致性好，便于设置电磁、红外干扰等特定环境条件。由于火箭橇橇车通过滑靴与轨道连接并在轨道滑行[3]，其状态与实际飞行的区别在于橇车与轨道接触中产生振动，且由于部分被试品如导引头、引信等对振动有严格要求，振动幅度过大将导致被试品损坏。因此，有效控制橇车在运行过程中的振动是非常有必要的。
图1 美国单轨火箭橇图
Fig.1 The US monorail sled
火箭橇轨道不平顺是橇车运行过程中振动的主要原因。张立乾等分别基于梁跨周期谐波激励及美国六级轨道谱的随机不平顺开展橇车动力响应分析，计算单轨橇车的垂向加速度[4]。赵华等依据刚体动力学理论，推导建立火箭橇动力学方程组，通过三角级数法将轨道不平顺功率谱转化为空间域的不平顺，完成橇车垂向振动的计算[5]。夏洪利等运用显式动力学分析理论，加载滑靴间隙、轨道不平顺等模拟真实环境，仿真分析了火箭橇滚转特性[6]。杨珍等在激光跟踪仪测试轨道不平顺并建立3阶多段样条曲线的基础上，利用有限元结构动力学软件对滑靴振动量进行分析[7]。董龙雷等以滑轨的动态响应作为火箭橇的基础激励条件，计算橇车的位移响应谱，并转换为轨道的空间谱，完成轨道的路谱特性分析[8]。
轨道不平顺的测试与分析是开展试验方案拟制、橇车结构设计等工作的重要基础。研究表明轨道不平顺是一个随机过程[9]。由于在轨道测量中通常采用固定间隔方式进行取点测试，虽然在理论上可以采取减小间隔以提高拟合精度，但是在橇车高速运行时，单位长度需参与计算的不平顺数据点值将大幅增加，仅依赖测量值无法完成运算。而采用插值拟合不能准确反映轨道的随机特征。随机过程的能量一般是无限的，但其平均功率是有限的，因此多采用功率谱密度进行描述[10-14]。
通过建立橇车、轨道有限元模型并进行橇车动力计算的方法结果精度高，但仅适用于特定速度、短距离(数量级为米)运行分析。对于橇车从静止开始加速的长距离运行全程，由于轨道单元数量过大造成计算时间偏长，因此采取简化橇车部分结构特征并进行理论计算，可有效提高关键参数的计算效率。
本文对某火箭橇轨道垂向不平顺检测数据进行分析，获取其功率谱密度函数，利用谐波函数叠加法进行垂向不平顺重构。选取垂向位移、俯仰角度、轴向位移等为广义变量，开展了橇车运行速度、垂向加速度等动力特征参数的计算。
2 橇车动力特性分析方法
2.1 轨道不平顺的功率谱密度分析
随机信号是时域无限信号，不具备积分条件，一般不能进行傅里叶变换，但可以采用功率谱密度进行谱分析。根据维纳-辛钦定理，信号的功率谱密度等于该信号相关函数的傅里叶变换，即
(1)
式中：Sx(ω)为功率谱密度，Rx(τ)为自相关函数。由于在轨道检测中，ω>0，因此使用单边功率谱进行表述:
Gx(ω)=2Sx(ω)
(2)
根据式(2)可推导得到：
(3)
式中：x为轨道长度自变量，T为周期，y(x)为轨道垂向不平顺。若检测样本数为N，采样间隔为T/N，则式(3)积分可变换为求和，可得到周期图算法公式[15]：
(4)
周期图谱法分辨率较低，同时由于信号截断，造成频谱能量泄露，产生旁瓣畸变。P.D.Welch提出改进周期图法，将采样数据分段，并与窗函数相乘，分别算出功率谱密度，然后计算其平均值。Welch法集平均与平滑的优点于一体，在控制谱估计偏差特性上更灵活，方差特性也较周期图法有了较大改善，但谱线分辨率有所下降。其离散形式定义为：
(5)
式中： G(fk)为功率谱密度函数，M为子段点数，L为分段个数，当相邻子段间重叠M/2点时，
(6)
2.2 轨道不平顺的重构
选择谐波法对轨道垂向不平顺进行重构。以fk为中心频率、范围为[-Δf/2, Δf/2]的频率区间的功率为G(fk)Δf；f0频率区间为[0, Δf/2]。因此，每fk区间内功率谱就是谐波Aksin(2πfkx)的谱值，可得：
(7)
在f=0时，
(8)
故轨道垂向不平顺可表述为[13]：
(9)
式中：G(fk)为fk对应的功率谱密度值，φk为[0，2π]的随机值。故在得到G(fk)后，即获得h(x)，该函数实质上是一系列确定性谐波函数的叠加。
使用谐波叠加进行轨道垂向不平顺重构，阶数是重要的参数。阶数越高，重构的结果越好。但是随着阶数变高，重构轨道不平顺的计算量变大。同时由于高阶频率对应的功率谱密度值远小于峰值，该区域频率重构结果的影响可以忽略。因此，通常需要综合考虑功率谱密度幅值、计算时长等因素，选择适当的阶数。
2.3 单轨橇车的动力方程
使用拉格朗日方程法进行橇车动力分析。动能T以及势能V表示为：
(10)
当势能V不显含广义速度
时，
(11)
对单轨撬车运动动力过程进行简化，轨道顶面为不平顺表面，侧面及底面为光滑表面。橇车简化为刚体杆状结构，通过滑靴与轨道接触。计算过程中，考虑火箭发动机推力、空气阻力、摩擦阻力及阻尼力等。
选择橇车质心的轴向位移x、垂向位移z、轴向俯仰角度θ作为拉格朗日方程广义坐标。取橇车初始位置为轴向坐标原点，势能位与轨道顶面基准面一致。橇车的动能T及势能分别表示为：
(12)
(13)
式中，x为橇车轴向位移，z为橇车质心垂向位移，I为以过橇车质心并垂直于橇车轴向的线为轴的橇车转动惯量，θ为橇车俯仰角度，k为滑靴的弹性系数，zf为前滑靴与轨道作用产生的变形量，za为后滑靴与轨道作用产生的变形量。
对应于z的垂向上，橇车受到的广义力包括升力、前后滑靴受到的阻尼力；对应于x的轴向上，橇车受到的力包括发动机推力、空气阻力、摩擦阻力；对应于θ的侧向上，橇车受到的广义力包括前后滑靴阻尼力产生的力矩。将以上受力代入式(11)，可得
FS+DF+DA
(14)
Ft-fx-fa
(15)
lFDF-lADA
(16)
-fx-fa
(17)
式中: VF为前滑靴势能，VA为后滑靴势能，Ft为发动机推力，fx为滑动摩擦力，fa为空气阻力，lF为前滑靴与橇车质心的距离，DF为前滑靴受到的阻尼力，lA为后滑靴与橇车质心的距离，DA为后滑靴受到的阻尼力。
在橇车滑行段，Ft为0，则式(15)变为(17)。
由式(14)、(15)、(16)，可以推导橇车的动力学方程为：
(17)
(18)
(Ft·hz+FF·lF-F·A·lA+
DF·lF-DA·lA)/I
(19)
2.4 靴轨接触分析
滑靴在运行过程中与轨道的接触与受力情况可分为3种状态。假设轨道顶面存在不平顺，底面为光滑面，以橇车前滑靴为例，滑靴上、下部分均不与轨道接触，如图2所示，橇车所受的力FF为0。
图2 滑靴与轨道不接触示意图
Fig.2 Non-touch between slippers and rail
滑靴与轨道上表面接触时，如图3所示。橇车垂向位移满足：
(20)
此时滑靴受到的弹性力为：
(21)
式中: y(x+lF)为轨道垂向不平顺，lF为前滑靴与橇车质心的距离，ξ为滑靴与轨道之间的间隙，取实际检测值2 mm。z为橇车质心垂向位移，θ为橇车前后俯仰角，k为弹性系数。
图3 滑靴与轨道上表面接触示意图
Fig.3 The upper surface touch with slippers on the rail
滑靴与轨道下表面接触时，如图4所示。橇车垂向位移满足：
(22)
图4 滑靴与轨道下表面接触示意图
Fig.4 The lower surface touch with slippers under the rail
此时滑靴受到的弹性力为：
(23)
同理，可推导橇车后滑靴运行过程中受力情况，滑靴与轨道不接触时，橇车受到的作用力FA为0。
滑靴与轨道上表面接触时，
(24)
(25)
式中: y(x+lA)为轨道垂向不平顺，lA为后滑靴与橇车质心的距离。
滑靴与轨道下表面接触时，
(26)
此时滑靴受到的弹性力为：
(27)
3 单轨橇车动力分析结果与分析
3.1 轨道不平顺功率谱密度
使用激光跟踪仪进行轨道不平顺的测量。测量方法为：将激光跟踪仪架设于被测量轨道段的中心附近，在仪器坐标系内分别测量相邻两个基准桩，并依据基准桩对轨道高差进行测量。对测量得到的数值进行拟合，得到空间直线，并可计算每一点在垂向的不平顺顺值。图5为激光跟踪仪检测轨道示意图。
图5 激光跟踪仪检测轨道示意图
Fig.5 Schematic diagram of test of rail roughness with laser tracker
由图6可知，在该段内不平顺值在±2 mm范围内变化，且没有明显的规律性。使用改进周期图法对轨道不平顺检测数值进行分析，得到其功率谱密度，如图7所示。从图中可以看出，功率谱密度存在2个极大值，分别为0.092 Hz、0.85 Hz。
3.2 不平顺的重构及橇车垂向振动
使用谐波叠加法进行轨道不平顺重构，幅度值由功率谱密度值计算获得，相位为[0，2π]之间的随机值。分别选取6阶、15阶、20阶谐波函数进行重构，轨道不平顺如图8所示。
图6 轨道不平顺部分检测曲线
Fig.6 The part of test results of rail roughness
图7 轨道不平顺功率谱密度曲线
Fig.7 The power spectral density curve of rail roughness
图8 轨道不平顺重构曲线
Fig.8 The reconstruction curve of rail roughness
以某型单轨橇车开展试验验证。该橇车的质量为144.5 kg,前后滑靴距橇车质心分别为0.67 m、0.30 m。橇车使用122 mm火箭发动机驱动，结合橇轨动力分析方程进行计算，轨道不平顺采用15阶谐波函数重构。 经过计算可得橇车在2.55 处达到最大速度，最大速度为287.8 m/s。实际雷达得到的最大速度为273.1 m/s，计算结果与实测值相差约5.4%。因此，上述结果满足计算要求。
图9为橇车质心垂向加速度理论计算结果。由图可知，在橇车加速段内，垂向加速度量值约为2～3g，在发动机燃烧完全(1.89 s)时垂向加速度达到峰值，约为8.8g。随后，2.47 s和2.9 s达到峰值16.2g和15.9g。橇车实际运行中，检测得到的垂向最大加速度为14.5g。计算值与检测值相差11.7%。
图9 橇车质心垂向加速度曲线
Fig.9 The vertical accelerations curve of sled centroid
图10为质心垂向位移计算结果。由图可知，在加速段内，垂向位移变化缓慢；在橇车运行速度达到200 m/s(1.5 s)时，垂向位移变化剧烈，这与质心垂向加速度逐渐增大的趋势保持一致。
图10 橇车质心垂向位移曲线
Fig.10 The vertical displacement curve of sled centroid
4 结论
1) 在开展火箭橇轨道不平顺检测的基础上，利用改进周期方法进行功率谱密度分析，可获取轨道不平顺的随机特征参数，并完成轨道不平顺重构。
2) 简化橇车结构并应用拉格朗日方程计算某型单轨橇车的动力特征参数，其最大速度的相对误差约为5.4%，质心垂向加速度数值与实际检测值基本一致。该方法可应用于试验方案编制及橇车设计。
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