1 引言
弹箭转动惯量是弹箭重要的综合评价参数之一，它可以作为评价质量在其尺寸上的分布是否合理，所采用的构造是否满足于其稳定飞行提供评判，同时，通过对转动惯量的测量，也可为弹箭的飞行姿态、速度、加速度的分析提供依据。目前，关于转动惯量测量的研究是国防工业、航空航天等相关领域的研究热点。多年以来，国内外一些单位：如美国空间电子公司、加拿大航空署、哈工大、西北工大、南京理工大学等单位一直在进行相关的技术研究和开发相关的测量设备，目前取得了丰硕的研究成果[1，2]。
转动惯量测量方法很多，各有优劣，常用的方法有扭摆法、三线摆法、单线摆法、落体法等，工程上常采用扭摆法进行测定[1]。目前市场上普遍应用的转动惯量测量设备常常暴露出工作效率低、检测精度不高等缺陷。为了提高弹箭转动惯量的测量精度，降低劳动强度，与南京理工大学一道针对原有测量设备在实际操作中出现的不足，基于扭摆法测量转动惯量的原理，根据误差产生的原因改进了相应的测量步骤和方法，研制了一系列高精度弹箭转动惯量测量系统，解决了以往测量设备中部分量程的误差较大，尤其是小口径弹丸测试设备，误差超标严重的问题。目前这些设备已投入了实际使用，经过历次的操作运行，各项指标均满足要求，圆满完成了各项试验任务。
2 弹箭转动惯量的测量原理
2.1 测量的物理基础
转动惯量测量是将被测物体绕指定轴自由摆动，测出摆动周期，再由摆动周期计算出被测物体转动惯量。与传统的转动惯量测试仪采用的扭杆扭摆法有所不同，新设备采用双弹簧扭摆法进行测量(见图1)，下面对其测量原理进行分析。
图1 双弹簧扭摆示意图
Fig.1 Schematic diagram of torsion pendulum of double spring
如图1所示，弹簧扭转力矩：M=2kr2θ。其中： k为弹簧胡克系数，θ为转盘的转角，r为转盘的半径。
转动惯量测试仪中是用扭杆或弹簧提供扭转力矩，根据转动定律可得摆动系统的运动方程为：
(1)
其中： J为弹体的转动惯量；α=c/2，c为空气阻尼系数，空气阻尼对测量结果的影响可以忽略，则
令
则：J=AT2
由此可以得到：
(2)
式中： Jd、Jb分别为被测物和标准样柱的转动惯量；T0、Tb、Td分别为空盘的摆动周期、标准样柱与托盘的共摆周期和被测弹体与托盘的共摆周期。
2.2 摆动周期测量原理
测量摆动周期时，遮光片跟随转轴振动，光电传感器的光敏三极管不断被光照和遮光，从而输出电平高低变化的信号，该信号送入信号调理电路，信号调理电路包括信号的比较电路、整形放大和二分频电路。信号经过调理后通过TTL信号长线驱动后经接口送入计算机进行周期测量，通过测得电平的变化周期，然后按照上述原理及公式计算，得到弹箭的极、赤道转动惯量。周期测量电路如图2所示。
图2 周期测量电路框图
Fig.2 Block diagram of periodic measurement circuit
3 测量装置及测量过程
摆式转动惯量测试装置是一种自动化的力学参数测试仪器。转动惯量测量装置主要由机座、恢复力矩的弹性扭杆、扭摆盘、夹环(赤道V型块)、光电转换器、角度锁定装置等组成，如图3所示。
图3 转动惯量测量装置示意图
Fig.3 Measurement equipment of moment of inertia
设备安装有自动触发电磁铁，在电磁铁断电的状态下，人工将转盘转到相应位置，然后推动手动拨杆，使卡块进入到转盘卡槽，即可完成转盘定位。弹丸测量时，电磁铁通电，带动卡块退出转盘卡槽，完成释放过程。
通过上述原理可知，由于机构的总输入动能与总耗损能恒定，在测试过程运用等效机构原理，扭摆测量转动惯量只与空盘扭转周期及放待测物的扭转周期有关，系统首先通过光电计时系统测量托盘的空摆周期，接着测出标准样柱与托盘的共摆周期，然后测出弹箭与托盘的共摆周期，最后通过式(2)计算出被测弹箭的转动惯量。
测量过程：
1) 在空盘状态将扭摆转轴转过一定角度，运用弹性机构储存动能，使待测物自由扭振，通过VXI测量系统可以计算出空盘扭转周期。
2) 将标准样柱放在托盘上使扭摆转轴转过同样的角度，通过VXI测量系统可以计算出放标准样柱后的扭转周期。
3) 将待测物放在托盘上使扭摆转轴转过同样的角度，通过VXI测量系统可以计算出放待测物后的扭转周期。
4 影响测量精度的因素[3-9]
本文采用的扭摆法所建立的测量模型是基于在系统无阻尼自由振动的基础之上，且被测弹箭处于理想装夹状态，但实际测量中光电传感器测量周期、被测弹箭的装夹、阻尼、操作人员的精细程度等都是误差来源，都会对测量结果产生影响，且在设备的研制过程中，部分量程的测量设备误差较大，尤其是小口径弹丸测试设备，相对误差最大达到了15%左右，远远超过了精度要求。影响设备测量精度的因素主要有以下几个方面：
1) 弹性释放机构误差[8，10]
测试中通过释放定位销，使扭摆盘带动弹体摆动，保证了弹体每次摆动的起始位置相同，由于以前设备中使用的定位销是机械结构，与角度锁定装置之间存在一定的摩擦，不同的试验人员，每次施加的作用力不同，造成快释放和慢释放的效果完全不一样，从而仪器每次测得的摆动周期值相差很大。
2) 周期测量误差
由式(2)可知，转动惯量与扭摆周期的平方成正比，扭摆周期测量的准确与否直接影响到转动惯量的测量精度。
设：
分别对Td，Tb，T0求导，得到：
可知，周期测量过程中的ΔTd、ΔT0、ΔTb会直接影响最终的测试结果。下面通过实例分析T0、Tb、Td对被测物体转动惯量的影响。
例如：测量23 mm样柱时，有 Td=0.294 371 3 s，Tb=0.294 376 32 s，T0=0.293 655 31 s，空盘的转动惯量J0=0.002 344 2 kg·m2， Jb=0.000 010 96 kg·m2，Jd=0.000 012 447 9 kg·m2，代入可得Δf=19.6%，由相对误差：
得到转动惯量相对误差δ=17.2%，远远大于国军标的精度要求≤0.5%。
如果要满足精度要求，同时考虑设备机械加工误差等因素，通过综合分析，设备误差必须满足Δf<0.388 43%。
1) T0对转动惯量的影响
设T0为变量，那么误差公式变为：
由于周期测量的精度仅取决于光电传感器和数据采集系统，因此ΔTd=ΔTb=ΔT0 =0.000 1 s。其中T=0.294 371 3 s，Tb=0.294 376 32 s，其关系如图4所示。
图4 空盘与被测物体转动惯量关系图
Fig.4 relationship of moment of inertia between empty disk and measured object
由图4可以看出，取T0<0.255 s时能满足精度要求，并且值越小相对误差越小。得出样柱和空盘转动惯量比值：
同理可得出弹丸和空盘转动惯量比值：
即样柱和弹丸的转动惯量值应该大于空盘时的转动惯量值的1/3，且在不影响量程的情况下，越大越好。
2) Td对转动惯量的影响
设Td为变量，那么误差公式变为：
其中：ΔTd=ΔTb=ΔT0=0.000 1 s，Tb=0.294 376 32 s，T0=0.293 655 31 s，这个函数曲线如图5。
图5 弹丸与样柱转动惯量的关系曲线
Fig.5 relationship of moment of inertia between projectile and sample
从图5中可以看出，无论Td为多少都不能满足精度要求，这是由于样柱转动惯量不足空盘的1/3造成的。但仍可以看出，在Td与Tb接近时误差最小，即弹丸与样柱的转动惯量接近时精度最高。因此，只要弹丸的转动惯量小于或等于样柱的转动惯量时即可满足精度要求，此时系统的精度较高。
3) 被测物体径向偏移误差
质心测量精度的高低，对弹箭转动惯量的测量有着重大影响，因为根据传统测量方法，在测量其赤道转动惯量时，要求弹箭的旋转轴线绝对通过其质心。如果质心测量有误差或弹体摆放位置不准确，那么按照测量赤道转动惯量的方法，弹体并非围绕真实的质心线旋转，从而造成误差传递，引起更大的误差。根据平行轴定理可知，如果旋转轴线偏离其质心线Δz，则对于质量为M的弹箭将会产生mΔz2的误差：
4) 被测物体转动轴线与水平面不垂直误差
由于被测弹箭的结构形状造成底部不平以及人员操作的原因，将被测物体安装在托盘上时发生了倾斜，从而造成在测极转动惯量时，旋转轴与被测物体的轴线不重合；或在测赤道转动惯量时，被测物体的轴线不水平，从而造成其转动轴线与水平面不垂直，因此导致测量误差的产生。
将转台转轴定义为H轴，设被测件坐标系为OXYZ，如图6所示，依据任意轴定理，被测件对H轴的转动惯量为
式中：
为惯性矩阵，Jxy=Jyx，Jxz=Jzx，Jyz=Jzy。转轴H与坐标系3个轴的夹角为α、β和γ，被测物对于3个坐标轴的转动惯量为Jx、Jy和Jz，对于3个坐标轴的惯性积为Jxy、Jxz和Jzy。
由于存在机械误差和弹丸安装误差，被测件的轴线相对于理论位置会存在倾斜，设样柱绕Y轴旋转角为β，以标准样柱为研究对象，根据被测件对H轴的转动惯量公式得到：
倾斜误差产生的主要因素包括：转台承载平面与转轴不垂直，转台的滚动轴承存在着缝隙以及被测物体安装误差等，由这些因素而引起的倾斜误差合成一般不会大于0.5°。其相对误差为
(3)
图6 被测物坐标系与转轴夹角示意图
Fig.6 Sketch map of the angle between the coordinate system of the measured object and the rotating axis
5 提高测量精度的措施
为了提高测量精度，减小误差，新的测量系统采取以下措施：
1) 由于被测弹箭的种类多，质量分布范围广(0.2～64 kg)，军标要求被测物的转动惯量测量精度：≤0.5%，如果利用同一套测量设备完成所有弹种的测量，其精度肯定无法得到保证，因此，按照弹箭质量的不同，分为0.2～8 kg，8～25 kg， 25～64 kg大中小三套设备，分别进行不同的结构设计，从而使不同的被测物的测量精度得到保证。同时在测量过程中，要求同一次试验由专人负责测量到底，并采用多次重复测量取平均值的方式，进一步降低测量随机误差和人为误差。
2) 在弹体上划质心线时，必须保证所划的质心线严格通过弹体真实的质心，要求测试人员在测质心、划质心线、摆放弹体对齐质心线时，必须高度精准，而在实际操作的过程中，由于设备的系统误差造成质心测量不准确或操作人员的人为误差，不可避免地会产生这方面的误差。
3) 采用电磁释放模式。针对以前释放机构的不足，改进后的电磁释放机构由转动部分、电磁离合器和弹性扭杆等装置构成。具体过程为先将被测弹箭放在V型支架上，在电磁铁断电的状态下，人工将转盘转到相应位置，然后推动手动拨杆，使卡块进入到转盘卡槽，即可完成转盘定位。测量时，电磁铁通电，带动卡块退出转盘卡槽，完成释放过程，使弹箭及其V型支架自由扭振，这样可以消除外界干扰，保证了扭摆盘带动弹体每次均在相同的位置起摆。
4) 由测量原理可得：
要使ΔJd值变小，需要将周期T值变大，也就是必须将k系数变小，尤其是在测量小口径弹丸时，要尽量选用k系数较小的弹簧，使其周期值变大。
5) 测量极转动惯量时，为减少由于被测物体的几何轴线相对扭摆体的理想轴线的径向偏移和倾斜而带来的误差，选用夹套夹住弹体头部和尾部，使弹体轴线垂直。测量赤道转动惯量时，通过水平仪进行调整或采用母线法，使弹体水平，并在测量仪加装限位装置，防止弹体的移动。
6) 测量时，一般尽可能选取样柱的转动惯量大于或等于弹丸转动惯量。样柱和弹丸的转动惯量值至少应该大于空盘转动惯量值的1/3，且在不影响量程的情况下，越大越好。
通过采用上述的措施方法，系统的精度大大提高。以100 mm标准样柱为例，测得周期测量误差小于0.1 ms，代入计算得到δ1< 0.1%。假设径向偏移量为0.5 mm， m=15.565 kg，极转动惯量J=0.019 451 250 kg·m2，赤道转动惯量J=0.092 808 053 kg·m2，利用公式
得到极转动惯量相对误差δ2=0.02%。利用公式：
(其中m为样柱质量，H为样柱高度)。Jx为极转动惯量，β < 0.5°，由式(3)可计算出δ3< 0.126%，可得其极转动惯量总误差：
δ=δ1+δ2+δ3=0.186%
测量小口径弹丸时，其极转动惯量总误差(设其径向偏移最大为0.2 mm)：
δ=δ1+δ2+δ3=0.258%
由此可见设备的精度均小于0.5%的技术要求。
6 试验结果
通过运用上述减少误差的方法，改进后的转动惯量测量装置主要由机座、恢复力矩的弹性扭杆、扭摆盘、夹环、角度锁定装置等组成，并且将以前极转动惯量测量设备和赤道转动惯量测量设备的功能集中在一台设备上，通过更换夹具能实现两个参数的测量，同时降低了成本，测量装置如图3所示。
由于目前我国尚无直接计量转动惯量的手段，而是采用间接计量方法，一般采用2种手段进行验证。
1) 将一个已知的圆柱体样柱作为标准样柱，利用该转动惯量测量装置对另一个相近的圆柱体样柱作为被测物进行测量，然后将该样柱的实测值与其标准值进行比较，从而得出转动惯量测量仪的测量精度。其测量结果如表1所示。
2)利用已知转动惯量的实弹在待测的测量仪进行实测，将其测量结果与已知值进行比较，从而得出两者误差。
表1 样柱的转动惯量测量结果
Table 1 Measured results of samples
标准样柱质量/g转动惯量标准值/(kg·m2)实测值/(kg·m2)相对误差/%样柱11 747极转动惯量0.000 785 442 60.000 785 049 80.05赤道转动惯量0.001 304 069 30.001 305 112 50.08样柱215 560极转动惯量0.019 438 720 60.019 421 225 70.09赤道转动惯量0.092 783 321 30.092 820 434 60.04样柱321 693极转动惯量0.040 345 933 30.040 358 037 00.03赤道转动惯量0.121 781 037 90.121 695 791 10.07
表2 实弹的转动惯量测量结果
Table 2 Measured results of moment of inertia of ammunition
实弹质量/g转动惯量已知值/(kg·m2)实测值/(kg·m2)相对误差/%实弹14 544极转动惯量0.003 815 879 30.003 810 462 40.142赤道转动惯量0.006 499 808 60.006 487 368 50.191实弹24 563极转动惯量0.003 825 035 20.003 830 274 90.137赤道转动惯量0.006 508 190 20.006 492 781 20.236实弹34 587极转动惯量0.003 798 240 10.003 807 289 30.238赤道转动惯量0.006 394 038 90.006 402 495 40.132
通过2种检测方式得到的试验数据可以看出，设备远远满足国军标规定的相对误差γ<0.5%的技术要求。目前该套设备已广泛投入各项试验之中，提高了试验精度、降低了劳动强度。
7 结论
本文针对相关设备使用过程中的主要因素，通过对测量理论的介绍、公式推导，详细分析了测量误差的来源，提出了减少误差的方法，并将之运用于具体测试设备中。所提出的各种减少误差的方法行之有效，可提高测试设备的精度，降低操作人员的劳动强度，满足军标的技术要求。
1) 按照弹箭质量的不同，分为大中小三套设备，分别进行不同的结构设计，从而使不同的被测物的测量精度得到保证。
2) 量程小于40 mm的极转动惯量测试仪更换k系数较小的弹簧，使用较小的托盘，并且尽量保证托盘的旋转轴线在中心位置。
3) 样柱和弹丸的转动惯量值至少应该大于空盘转动惯量值的1/3，且在不影响量程的情况下，越大越好。
4) 采用了电磁释放系统，通过测控软件控制电磁阀的释放操作，使得周期测量的一致性得到有效的保证，提高测量精度和测量效率。
5) 提出的减少误差方法具有移植性，同样适用于其他类似的测量设备，同时为今后相关设备的研发提供了技术基础。
[1] 王小三，刘云平，倪怀生，等.转动惯量测量研究的进展及展望[J].宇航计测技术，2019，39(02):1-5.
Wang X S，Liu Y P，Ni H S，et al.Progress and prospects for the measurement research on the moment of inertia[J].Journal of Astronautic Metrology and Measurement,2019，39(02):1-5.
[2] 程望斌，刘硕卿，全思燕，等.刚体转动惯量测量仪的设计与实现[J].成都工业学院学报，2019，22(01):26-29.
Cheng W B，Liu S Q, Quan S Y，et al.Design and Implementation of Measuring Instrument for rigid body moment of inertia measuring instrument[J].Journal of Chengdu Technological University,2019，22(01):26-29.
[3] 李慧鹏，唐文彦，张春富，等.导弹转动惯量测试系统及误差分析[J].兵工学报，2007，28(02):206-208.
Li H P，Tang W Y，Zhang C F，et al.A measuring system of inertia moment of missile and its error analysis[J].ACTA ArmamentarⅡ，2007，28(02):206-208.
[4] 王佳昌.弹箭模型质量特性参数一体化测量技术研究[D].重庆：重庆大学，2018.
[5] 徐向辉，陈平，唐一科，等.弹箭转动惯量的振复摆法测量及误差分析[J].弹箭与制导学报，2016，36(01):149-153.
Xu X H，Chen P，Tang Y K.The inertia moment of projectile measured by vibration pendulum method and error analysis[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance,2016，36(01):149-153.
[6] 秦艳芬.对三线摆测转动惯量实验的系统误差分析[J].宁波工程学院学报，2016，28(02):5-8.
Qin Y F.Systematic error analysis in measurement experiment of rotational inertia of rigid body with three-wire pendulum[J].Journal of Ningbo University of Technology,2016，28(02):5-8.
[7] 梁承栋,张贤椿,王军.炮口初速预测方法综述[J].兵工自动化,2020,39(08):10-15.
Liang C D.Zhang X C.Wang J.A summary of prediction methods of muzzle initial velocity[J].Ordnance Industry Automation,2020.39(08):10-15.
[8] 赵辉，姚国年，潘崇平.迫弹赤道转动惯量测量误差的分析及减小措施[J].弹箭与制导学报，2003，23(04):226-228.
Zhao H，Yao G N，Pan C P.The measure error analysis & methods of lessening it of moment of inertia mortar pill[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance,2003，23(04):226-228.
[9] ZHANG X M，WANG D M，LI J Y，et al.Deviation analysis of rotational inertia measurement based on torsion bar method[J].Vibroengineering Procedia，2018(12):178-183.
[10]孔刚鹏，孔维红，郝波涛，等.基于激光跟踪仪的火炮身管静态参数测量方法[J].兵器装备工程学报，2019，40(10):185-189.
Kong G P，Kong W H，Hao B T，et al.Researching on meassuring gun-tube static parameter based on laser tracker[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering，2019，40(10):185-189.