1 引言
近年来，变形飞行器成为国内外飞行器领域的研究热点，该类型飞行器通过改变自身几何外形进而确保在多种飞行环境和任务下能实现最优飞行性能[1-2]。翼面折叠作为一种新型变形理念被提出，成为最常用的变形方式之一[3-4]。折叠翼一方面可以缩小飞行器横向尺寸，减小其在运输、贮存和使用过程中所占用空间尺寸，有效解决舰载、机载等约束平台对运载规模和数量的约束[5]；另一方面可以根据不同任务剖面，通过翼面折展变形保持飞行效率和飞行性能最优[6]。
典型折叠翼主要由固定翼面、活动翼面、驱动机构以及锁紧机构组成。扭杆作为驱动动力来源在折叠翼中应用较为广泛，它具有结构简单、重量轻、扭矩大以及空间占比小等优点，是直接影响到折叠翼能否顺利展开的关键元件[7]。锁紧机构是折叠翼展开到位并可靠锁紧的关键机构，以弹簧为动力的弹簧锁紧机构具有简单可靠、通用性强等特点，在折叠翼中的应用也越来越广泛。驱动扭杆、锁紧弹簧等弹性元件对折叠翼运动特性，特别是对折叠翼展开过程中的展开时间、展开角速度等重要性能指标[8]，有着决定性影响。
在工程设计实践中，确定合理的扭杆和弹簧参数对折叠翼设计有着重要影响。现有工作主要集中在折叠翼结构设计、气动、强度分析等方面[9-16]，部分研究结果虽然得到了折叠翼的运动特性，但尚未针对弹性元件的设计参数对折叠翼运动特性的影响进行研究；需要从工程设计的角度重点研究弹性元件参数变化对性能指标的影响，从而为具体折叠翼设计提供指导。
针对工程设计当中迫切需要分析解决的问题，基于典型折叠翼机构，采用数学解析模型分析与动力学仿真相结合的方法，研究不同扭杆扭转刚度系数、剩余扭转角以及锁定弹簧刚度系数对折叠翼展开与锁紧过程中运动特性的影响，为驱动扭杆与锁定弹簧的具体设计提供有益的参考。
2 折叠翼工作原理及主要设计参数
2.1 工作原理
为了研究具有代表性，本文选择了基准模型，固定翼与机身连接，活动翼为折叠翼面，两部分机翼由转动铰链连接，以扭杆为动力来源，弹簧锁紧机构位于分离面并沿弦向分布。结构示意图如图1和图2所示。
图1 折叠与展开示意图
Fig.1 The folded and unfolded states
图2 驱动与锁紧机构布局示意图
Fig.2 The driving and locking mechanism
折叠翼的展开和锁定过程如下：活动翼刚开始处于折叠状态，选择折叠角度为110°；展开指令产生后，限位装置脱离，扭杆驱动活动翼绕转轴转动；在临近展开位置时，活动翼与锁定卡销头端发生碰撞，锁定卡销发生回退动作，回退过程中将自身内部限位销剪断，限位解除后，被压缩到一定程度的弹簧驱动锁定卡销伸出，进入到活动翼孔中，将活动翼锁定。
2.2 设计参数及主要影响的指标
扭杆作为展开动力来源，其扭力的计算公式如下：
(1)
式(1)中，
称作扭转刚度系数，
为剪切模量，
为扭杆截面极惯性矩，GIp称为扭杆的抗扭刚度，其中，E为弹性模量，υ为泊松比，D为扭杆横截面直径，L为扭杆长度，θ为翼面转动角度(折叠状态时定义为θ0=0°，展开状态时θfinal=110°)，θ0T为扭杆预扭角。
由式(1)可知，除了扭杆刚度系数Kt，预扭角θ0T也是决定扭杆驱动力矩的主要参数之一，为了使研究更具代表性，定义扭杆剩余扭转角度：
ε=θ0T-θfinal
(2)
由式(2)可知，当θfinal一定时，预扭角可由剩余扭转角ε衡量。
同时，锁紧弹簧是弹簧锁紧机构的重要元件，其刚度系数是决定弹簧锁紧机构性能的主要参数，分析不同弹簧刚度系数对折叠翼展开运动特性的影响是必要的。
综上，本文主要研究的弹性元件参数以及运动性能指标如表1所示。
表1 设计参数及主要影响的指标
Table 1 Design parameters and main impact indicators
设计对象主要设计参数影响指标扭杆弹簧扭转刚度系数Kt剩余扭转角ε弹簧刚度系数k展开时间t展开角速度 θ·
以下通过理论分析和仿真研究主要分析设计参数与性能指标的关系。
3 折叠翼展开过程的解析模型
忽略重力影响[15]，本文研究扭杆作用下的展开过程，其折叠翼转动微分方程如下：
(3)
其中，J为活动翼绕转轴转动惯量，进一步得到转动角度和时间关系：
(4)
对上式求导可得：
(5)
又由式(4)可得：
(6)
将上式代入式(5)：
(7)
分析式(6)和式(7)可知，展开时间与翼面转动惯量正相关，与扭杆刚度系数、预扭角度呈负相关，角速度与翼面转动惯量负相关，与扭杆刚度系数、预扭角度呈正相关。
特别地，当剩余扭转角度为ε=0°时，即θfinal=θ0T，展开时间和角速度的表达式变为
(8)
(9)
不同扭杆扭转刚度系数和转动惯量所对应的展开时间如图3所示。又由式(8)可知：当转动惯量一定时，展开到位时间仅与扭杆的扭转刚度系数有关。
图3 展开时间与扭杆刚度系数、转动惯量的关系图
Fig.3 Relation between deployment time and Kt and J
不同扭杆扭转刚度系数下展开角度和角速度随时间的变化关系如图4和图5所示。
图4 不同扭转刚度系数下展开角度随时间的变化规律曲线
Fig.4 The angle versus time in different Kt
图5 不同扭转刚度系数下展开角速度随时间的变化规律曲线
Fig.5 The angular velocity versus time in different Kt
4 结构动力学仿真分析
4.1 多刚体动力学方程与仿真模型建立
为真实有效模拟驱动扭杆与锁紧弹簧作用下的折叠翼展开与锁紧过程中的运动特性，建立结构动力学仿真模型作进一步分析。
4.1.1 多刚体动力学方程
多刚体系统建模采用拉格朗日方法，通过6个笛卡尔广义坐标描述单个刚体的位形。
(10)
Φi=0
(11)
其中，K为系统的动能，qj为系统广义坐标，λi为拉格朗日乘子，Φi为系统约束方程，Fi为各广义坐标上的广义力。
可将式(10)与式(11)写成矩阵形式：
(12)
动能K由下式表达：
(13)
将动能表达式代入式(12)后，通过引入广义坐标的微分
进行降阶处理，得到：
(14)
式中，
最终，在模型中可得到下列矩阵形式所描述的多刚体系统方程。
刚体运动方程：
(15)
系统约束方程：
(16)
系统外力方程：
(17)
其中，f由外力和约束力组成，t为时间。
4.1.2 多刚体系统求解算法
针对刚性系统，采用变系数的BDF(backwards differentiation formula)刚性积分程序，它是自动变阶、变步长的预估矫正法，在积分的每一步采用了修正的Newton-Raphson迭代算法。
4.1.3 仿真模型建立
将固定翼与大地固定，并与其连接的铰链固定；活动翼与其连接的铰链固定；活动翼与固定翼之间添加接触约束；转轴与铰链之间添加接触约束；铰链之间添加转动副；锁定卡销与卡销套筒间添加移动副，并与活动翼添加接触；在卡销和套筒之间添加压缩弹簧，并定义相关参数；最后在转动方向添加扭矩。
固定翼、活动翼以及其他部分结构材料设置为铝合金，主要参数如表2所示。
表2 主要物理参数
Table 2 Main physical parameters
参数数值密度/(kg·mm-3)2.74×10-6活动翼质量/kg5.7转动惯量/(kg·mm-2)9×104
4.2 扭转系数对折叠翼运动特性的影响
为了便于直观得到扭转刚度系数Kt对展开运动特性的影响，在不考虑锁定作用的情况下，通过Adams仿真得到不同扭转刚度系数下的展开时间和到位瞬间转动角速度，并与解析解得到的结果作比较。仿真时间为1 s，仿真步长为50 steps。
图6和图7给出了通过仿真和数学模型得到的展开时间和展开角速度随扭转刚度系数的变化关系，以扭转刚度系数450 N·mm/(°)情况为例，仿真和数学模型下得到的展开角度与角速度随时间变化关系如图8和图9所示。
图6 不同扭转刚度系数下的展开时间
Fig.6 The deployable time in different Kt
图7 不同扭转刚度系数下的到位瞬间角速度
Fig.7 The deployable angular velocity in different Kt
图8 扭转刚度系数450 N·mm/(°)的展开角度随时间变化关系
Fig.8 The angle versus time at Kt is 450 N·mm/(°)
图9 扭转刚度系数为450 N·mm/(°)的展开角速度随时间变化关系
Fig.9 The angular velocity versus time at Ktis 450 N·mm/(°)
由图6～图 9可知：通过数学模型和仿真模型得到的不同扭转刚度系数下的展开时间与到位角速度曲线基本一致，且展开过程角度与角速度变化规律一致，说明所建立仿真模型合理准确。当扭转刚度系数超过100 N·mm/(°)时，活动翼能在200 ms以内展开；当扭转刚度系数刚开始增大时，展开时间随着扭转刚度系数的增加而迅速减小，角速度则不断增大。当扭转刚度系数增加到一定值后，展开时间的变化速率下降，变化幅度并不明显，而到位后角速度变化幅度依旧较大，这就意味着一味增加扭转刚度系数不会有效缩短时间，反而会明显提升到位角速度，增大对弹体的冲击。
4.3 剩余扭转角度对折叠翼运动特性的影响
考虑锁定情况下，保持锁紧弹簧刚度系数一定，以扭转刚度系数450 N·mm/(°)为例，仿真剩余扭转角度ε为0°、-10°、-20°以及-30°的折叠翼运动情况，分析通过调节ε对降低到位瞬间角速度响应的影响情况。
仿真时间：0.5 s，仿真步长：50 steps。
由图10、图11以及表3可知：ε分别为0°、-10°、-20°时活动翼面能正常展开，-30°时活动翼无法展开到位并锁紧；相对于剩余扭转角为0°，当ε为-20°时，能将展开时间增加22.1%，展开到位角速度降低39.4%，说明通过增加扭杆展开后的反向转角，会一定程度增加展开时间，减小展开锁定瞬间角速度，从而降低冲击响应；但进一步增加扭杆展开后的反向转角可能使得折叠翼不能顺利展开，不同扭转系数有相对应的临界剩余反向扭转角，450 N·mm/(°)扭转刚度系数下的临界剩余反向扭转角不超过30°。
图10 不同剩余反向扭转角下的展开角度随时间变化规率
Fig.10 The angle versus time in different ε
图11 不同剩余反向扭转角下的展开角速度随时间变化规率
Fig.11 The angular velocity versus time in different ε
表3 剩余反向扭转角影响分析
Table 3 The influence on indicators in different ε
设计参数/ε/(°)性能指标t/sθ·final/((°)·s-1)影响分析00.098 2 1 205.9—-100.106 5887.9时间增加8.4%,角速度响应降低26.4%-200.12731.2时间增加22.1%,角速度响应降低39.4%-30——无法展开到位
4.4 弹簧刚度系数对折叠翼运动特性的影响
本文分别设置弹簧刚度系数k为200 N/mm、400 N/mm、500 N/mm、600 N/mm和700 N/mm。以扭杆扭转系数为 450 N·mm/(°)为例，剩余扭转角度为0°，仿真结果如下图显示。
仿真时间：0.5 s，仿真步长：50steps。
从图12、图13和表4中可知，弹簧刚度系数k为400 N/mm、500 N/mm和600 N/mm时，活动翼面可以顺利展开到位，相比于无锁紧情况下的展开时间分别增加了6.7%、11.7%和24.4%，弹簧刚度系数越大，展开到位时间也随之延长，但是变化幅度不大；展开到位角速度分别降低36.5%、43.5%和58.3%，弹簧刚度系数越大，弹簧吸收的能量越大，活动翼到位角速度随之减小，对弹体的冲击也相应减小，采用合适的弹簧刚度系数能有效降低到位角速度响应。
表4 弹簧刚度系数k影响分析
Table 4 The influence on indicators in different k
设计参数k/(N·mm-1)性能指标t/sθ·final/((°)·s-1)影响分析2000.307 11 474.8第一次到位无法被锁定4000.098 81 184.7时间增加6.7%,角速度响应降低36.5%5000.103 41 054.7时间增加11.7%,角速度响应降低43.5%6000.115 2777.7时间增加24.4%,角速度响应降低58.3%700——无法展开到位
图12 不同弹簧刚度系数下的展开角度随时间变化规律
Fig.12 The angle versus time in differentk
图13 不同弹簧刚度系数下的展开角速度随时间变化规律
Fig.13 The angular velocity versus time in different k
k为200 N/mm时，活动翼在0.096 s展开到位后出现了75°的角度反弹，在第二次到位后才被锁紧，说明此时k为200 N/mm的弹簧无法在活动翼面第一次展开到位后将卡销迅速推出并插入至活动翼孔中。k为700 N/mm时，活动翼始终无法展开到位并锁定，在活动翼与卡销碰撞后且到位前，角速度已降至为零，说明弹簧刚度系数过大，活动翼转动能量全部被弹簧吸收，而剩余扭力无法将活动翼驱动到位。
在一定扭转刚度系数下，当弹簧刚度系数过小时，弹簧不能让提供足够的弹力使卡销直接插入活动翼孔中，而弹簧刚度系数过大，活动翼的冲击作用不能使卡销发生回退进而无法展开到位；在一定扭转刚度系数下对应一定区间的弹簧刚度系数。通常工程上弹簧刚度系数是通过经验和试验来确定，研究得到在不同扭转刚度系数下的锁紧机构中弹簧刚度系数有效使用区间是必要的。图14给出了不同扭转刚度系数下的使用弹簧的刚度下限和上限。由图14可知：随着扭转刚度系数增加，其弹簧扭转刚度使用上限和下限参数基本线性增加，且使用上限增长幅度较大，其具体数值可为后续参数优化设计提供参考。
图14 不同扭转刚度系数下的弹簧刚度系数曲线
Fig.14 The range of spring stiffness coefficient in different Kt
5 结论
基于典型折叠翼机构，本文通过理论建模和仿真分析，获得了扭转刚度系数、剩余扭转角以及弹簧刚度系数与展开时间、展开角速度等运动参数之间的关系，通过对比不同参数对展开时间和展开角速度的影响，以及分析参数之间的相互影响关系，获得了以下结论：
1)扭转刚度系数对展开时间和展开到位角速度影响较为显著。但过度增大扭转刚度系数不会有效缩短时间，反而会明显提升展开到位瞬间的角速度，增大对弹体的冲击响应。
2)其他参数一定时，通过增加扭杆的剩余反向转角，可增加折叠翼的展开时间，大幅度减小锁定瞬间的角速度响应，但剩余反向转角存在临界值。
3)其他参数一定时，弹簧刚度的变化不能较明显改变折叠翼展开时间，但转动到位后的转动速度减小较明显。通过增加弹簧刚度系数，可在一定程度上减小展开锁定后的角速度响应。
4)一定扭转刚度系数下，当弹簧刚度系数过大或过小，活动翼都无法直接展开到位并锁紧；弹簧刚度系数有效使用上限和下限随扭转刚度系数变化基本呈线性变化。
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