1 引言
目前大量的研究工作将重点放在了侵彻弹侵彻弹道偏转分析与计算[1-3]，高旭东等[3]为研究弹体斜侵彻混凝土时弹体结构特征对弹道偏转的影响规律，计算并比较了弹体质心位置、弹体长细比等因素对侵彻弹道偏转的影响。大量资料[1-5]均用仿真和试验研究来说明各因素对侵彻弹道的影响，至于侵彻弹在目标介质中固有的静稳定特性，国内未查到相关资料。
本研究借鉴导弹/火箭弹飞行力学中静稳定性的表述方法和计算方法，创新性地提出侵彻弹在目标介质中的静稳定性概念。由导弹飞行力学[6]可知：导弹受外界干扰作用偏离平衡状态后，外界干扰消失的瞬间，若导弹不经操纵能产生空气动力矩，使导弹有恢复到原平衡状态的趋势，则称导弹是静稳定的。导弹的这种物理属性称为静稳定性，是指导弹在不加控制情况下的一种固有的力矩特性。火箭弹等飞行器也具有静稳定性这种物理属性[7]。导弹/火箭弹等飞行器自身的静稳定性决定了它的平衡特性。侵彻弹在目标介质中侵彻时也应具有这类固有的力矩特性，决定了侵彻弹在目标介质的平衡特性，故可用静稳定性来表征在侵彻目标过程中能否恢复原平衡状态的趋势。
本研究再利用侵彻动力学并结合侵彻测试数据给出了静稳定性的计算方法，并对静稳定性的影响因素逐一分析，提出保证静稳定性的设计方法，对侵彻弹设计具有很好的指导意义。
2 侵彻弹的静稳定性概念
2.1 侵彻弹静稳定性定义
借鉴导弹飞行力学静稳定性定义[6]，结合侵彻弹的受力情况等，提出以下侵彻弹的静稳定性定义。
侵彻弹在侵彻过程中受外界干扰作用偏离平衡状态后，外界干扰消失的瞬间，若能产生侵彻阻力矩，使侵彻弹有恢复到原平衡状态的趋势，则称侵彻弹是静稳定的。若产生的侵彻阻力矩将使侵彻弹更加偏离原来平衡状态，则称侵彻弹是静不稳定的；若是既无恢复的趋势，也不再继续偏离原平衡状态，则称侵彻弹是静中立稳定的。静稳定性只是说明侵彻弹偏离平衡状态那一瞬间的力矩特性，而并不说明整个侵彻过程侵彻弹最终是否具有稳定性。
判别导弹纵向静稳定性的方法是判断无量纲俯仰力矩系数mz的偏导数
(即力矩特性曲线相对横坐标轴的斜率)的性质[6]。俯仰力矩和附加升力引起的附加俯仰力矩定义如下：
(1)
(2)
式中：mz为俯仰力矩系数，为无量纲的比例系数；α为攻角；q为导弹与来流之间的动压(或称速度头或称动压头)，SM为导弹的特征面积；lk为特征长度。
同理，判别侵彻弹纵向静稳定性的方法是看无量纲俯仰力矩系数mz的偏导数
的性质。若侵彻弹以某个平衡攻角αB处于平衡状态下侵彻目标介质，由于某种原因使攻角增加了Δα，引起了作用在焦点上的附加法向阻力ΔY，由这个附加法向阻力引起的附加俯仰力矩ΔMz(α)。
若ΔMz(α)是个负值，它将使侵彻弹低头，力图使攻角恢复到原来值(即消除攻角增量)。侵彻弹的这种物理属性，称为静稳定性。静稳定的侵彻弹，在偏离平衡位置后产生的力矩使侵彻弹恢复到原平衡状态的侵彻阻力矩，称为静稳定力矩或恢复力矩。相反，若ΔMz(α)是个正值，它将使侵彻弹抬头，这附加俯仰力矩使侵彻弹更加偏离平衡位置，这种情况称为静不稳定的。静不稳定的侵彻阻力矩又形象地称为翻滚力矩。
若附加俯仰力矩为零，则是静中立稳定的情况。当侵彻弹偏离平衡位置时，由ΔY将导致的附加俯仰力矩等于零，干扰造成的附加攻角既不能被消除，也不会再增大。
偏导数
表示单位攻角引起的俯仰力矩系数的大小和方向，它表征着侵彻弹的纵向静稳定品质。把纵向静稳定性的条件总结起来有：
有时用俯仰力矩系数mz对升力系数cy的偏导数
作为衡量导弹是否具有静稳定的判据[6]：
(3)
由式(1)和式(3)联合推导可得：
(4)
由此得：
(5)
式中：cy为升力系数，无量纲的比例系数；
为全弹焦点的相对坐标，量纲为
为全弹质心的相对坐标，量纲为1。
由式(3)和式(5)可推导出偏导数的另一个表达公式，即静稳定力矩与法向阻力的比值：
(6)
同理，侵彻弹也可用该偏导数作为衡量侵彻弹是否具有静稳定的条件。
对于具有纵向静稳定性的侵彻弹，
全弹焦点位于质心之后，当焦点逐渐向质心靠近时，静稳定性逐渐降低；当焦点与质心重合时，侵彻弹是静中立稳定的；焦点移到质心之前时，
侵彻弹是静不稳定的。因此，工程上把偏导数称为静稳定度，焦点相对坐标与质心相对坐标之间的差值
称为静稳定裕度。
2.2 侵彻弹静稳定性的计算和改善方法
由式(6)可看出，静稳定度与质心和焦点的位置有关。轴对称的弹在侵彻目标介质中的焦点和压力中心(即压心)相重合。本文中均统一采用压心来代替焦点。
导弹/火箭弹飞行力学气动力及其压心是通过气动力计算和风洞实验确定[7]，图1给出了典型火箭的压心随飞行马赫数的变化。可以看出，当飞行马赫数接近于1时，压力中心位置变化较剧烈。
图1 压力中心与飞行时间t的关系曲线
Fig.1 The curve of pressure center and flight time t
侵彻弹在侵彻目标介质中所受的侵彻阻力、静稳定力矩可通过半经验公式或数值仿真来获取，本研究采用半理论半经验公式可实现快速计算。再根据式(6)可分析给出侵彻弹的静稳定度，以及压心，最后给出其静稳定性。
导弹的静稳定度与飞行性能相关[6]。同理，侵彻弹的静稳定度与侵彻弹道稳定性相关。为了保证导弹具有所期望的静稳定度，设计过程中常采用2种办法：一种方法是改善导弹的气动布局，从而改变焦点的位置，如调整弹翼的外形、面积及其相对前后位置、改变弹翼面积、添置反安定面等；另一种办法是改变导弹内部的部位安排，以调整全弹质心的位置。同理，侵彻弹的静稳定度可通过改变外形布局和质心的调整2种方式来获得较好的静稳定度。静稳定度
绝对值较大时，对侵彻弹的稳定性有好处，但它也会导致结构上有较大的弯矩，这对于大型侵彻弹是不允许的。
3 侵彻弹的静稳定性计算方法
3.1 基本假设
首先假设侵彻过程满足刚性弹侵彻条件。根据国内侵彻试验来看，以现有侵彻弹体材料结合一定的热处理工艺，在1 200 m/s的速度以下刚性弹侵彻的条件是可以满足的[8]。
其次假设侵彻弹体的运动在侵彻过程中始终在入射平面内运动，即弹体质心的运动是二维的、弹体的绕心运动是一维的，则可以通过理论分析的方法研究侵彻弹道的运动规律。
如图2所示，在刚性弹斜侵彻混凝土过程中，如果始终满足侵彻行为约束在射平面的假设条件，即可以采用如下假设来简化问题：射平面在弹体入射过程中方位不变，初始攻角和初始入射角在射平面内；弹体绕自身弹轴的旋转对射平面及入射角不造成影响。
图2 侵彻弹体三自由度运动示意图
Fig.2 3D sketch map of penetrator’s penetrating
3.2 侵彻阻力计算方法
导弹和其他物体一样，当其相对于目标运动时，目标则会在导弹的表面形成作用力。
侵彻弹与目标碰撞而急剧减速时，弹受到一个与其减速度方向相反的惯性力，实质上是目标介质对弹的阻力即反作用力，使载体减速、弹道发生变化、产生变形或破碎等。对于正侵彻弹，目标介质阻力作用在弹头部，可向弹质心分解为与弹道切线方向一致的正面阻力、垂直于弹道切线的法向阻力和力矩。轴向阻力使弹运动减速，法向阻力使弹弹道弯曲，使攻角变化。
当侵彻弹相对目标运动时，如何确定作用在侵彻弹上的侵彻阻力是一个颇为复杂的问题，很难通过理论计算准确确定。曹君蓬等[8]从侵彻实验找到了混凝土相对体积压缩量
与所受压力p的关系规律(见图3)，该曲线的数学拟合式为式(7)，其中υ=1/ρ，υ0=1/ρ0，ρ为混凝土界面密度，ρ0为初始密度。
图3 混凝土相对体积压缩量与压力的关系曲线
Fig.3 The curve of concrete’s relative amount of compression volume and pressure
p=
(7)
实验同时获取混凝土介质法向压缩速度um，对于固定种类的弹体和混凝土，p-um关系是固定的，它由弹体材料和混凝土的性质决定。利用p-um数据，可以得到侵彻弹侵彻过程中目标靶介质界面压力p。根据弹的侵彻头部外形，可求出微元所受的侵彻阻力Fi。
弹体表面微元侵彻阻力Fi可分解到弹体坐标系内的3个方向，将弹体表面所有微元受到的3个方向阻力累加，即可得到弹体坐标系内全弹的侵彻轴向力、法向力及横向力，以及侵彻阻力合力F。
锥形头部的侵彻阻力合力计算如下：
(8)
式中：Fm为锥面压力的合力；d为弹体直径；Lh为锥头母线长；πdLh/2为锥面面积； φ为锥形弹头部锥面法向与弹轴的夹角。
利用几个欧拉角(弹道倾角θ和攻角α)及方向余弦阵[7]进行坐标转换，可将侵彻阻力合力分解到速度坐标系o1-xvyvzv和地面坐标系下o-xyz的分力。
3.3 静稳定力矩计算方法
为了便于分析研究侵彻弹绕质心的旋转运动，通常以弹体坐标系来描述侵彻弹的转动。因此，用侵彻阻力对弹体坐标系三轴之矩来表示侵彻阻力矩。把侵彻阻力矩沿弹体坐标系分成3个分量Mx1,My1,Mz1(为方便书写，以后省略注脚“1”)，分别为滚动力矩(又称倾斜力矩)、偏航力矩和俯仰力矩(又称纵向力矩)。滚动力矩的作用是使侵彻弹绕纵轴作转动运动，偏航力矩的作用是使侵彻弹绕立轴Oy1作旋转运动，俯仰力矩的作用是使侵彻弹绕横轴作旋转运动。一般侵彻弹为回转体，在侵彻过程中不考虑滚动力矩和偏航力矩，仅考虑俯仰力矩。
侵彻弹相对于目标运动时，由于侵彻弹的对称性。故作用于侵彻弹表面的侵彻阻力F和力的作用点应位于侵彻弹纵轴x1上，该作用点称为压力中心，或简称压心，记为Oc.p。
在研究侵彻弹质心运动时，往往将侵彻阻力合力F简化到质心(即重心)上，因此就产生一侵彻阻力矩，这种力矩称为稳定力矩，记为Mst。
计算中将各微元所受到的侵彻阻力相对于质心的力矩累加，得到整个侵彻弹的静稳定力矩。
3.4 静稳定性计算方法
根据侵彻弹的压力中心定义，侵彻弹在目标侵彻过程中所受到的总的侵彻阻力的作用线与侵彻弹纵轴的交点称为压力中心。在攻角不大的情况下，常近似地把总法向阻力在纵轴上的作用点作为全弹的压力中心。由攻角α所引起的侵彻法向阻力在纵轴上的作用点，称为侵彻弹的焦点。轴对称的侵彻弹侵彻时焦点和压力中心相重合。
从侵彻弹头部顶点至压力中心的距离，即为压力中心位置，用xp来表示。对于侵彻弹，压力中心的位置与弹体外形、侵彻速度、攻角等相关。不同速度下的压心有所不同。
质心与压心之距离矢量可表示为
分别为压心、质心至侵彻弹头部理论尖端的距离，均以正值表示。则稳定力矩为
(9)
记作：
(10)
其中My1st,Mz1st分别为绕y1,z1轴的稳定力矩；
当侧滑角β=0，仅有攻角α存在时，稳定力矩可简化为：
(11)
记作：
Mz1st=-Y1(xp-xg)
(12)
前面已经计算出全弹的法向力Y1和静稳定力矩Mz1st，即可求出静稳定度：
(13)
或静稳定裕度：
xp-xg=-Mz1st/Y1
(14)
转换成压心的无量纲量(相对坐标，量纲为1)：
其中L为弹长。质心的无量纲量为
无量纲量
称为静稳定裕度，为压心和质心的一个相对关系，质心越靠前、压心越靠后，静稳定裕度越大。
从公式可以看出，静稳定裕度的影响因素有压心和质心，而压心由法向力的方向确定，法向力受弹目交会条件、弹的外形等影响。在弹目交会条件一定的情况下，可通过改变弹的外形布局和调整内部结构(即调整质心)的2种方式来获得较好的静稳定度。
4 侵彻弹的静稳定性程序与算例
根据上面的静稳定性计算公式，开发了一套侵彻弹静稳定性的Matlab计算程序。具体的计算流程如图4所示。程序输入侵彻弹的设计参数后，可快速获取不同攻角下不同速度范围内的静稳定裕度，可分析侵彻弹的静稳定性。
用该程序计算了2个不同侵彻弹的算例。针对同一目标介质，算例一为某弧锥形头部侵彻弹。算例二为某锥形头部侵彻弹，2种弹不同攻角时弹侵彻静稳定裕度随速度的变化曲线见图5和图6所示。
图4 侵彻弹静稳定裕度计算流程框图
Fig.4 The computing diagram of static stability of penetrator
图5 某弧锥形头部弹静稳定裕度曲线
Fig.5 The static stability margin of some arc-cone head shape penetrator
图6 某锥形头部弹静稳定裕度曲线
Fig.6 The static stability margin of some cone head shape penetrator
从计算结果可以看出：
1) 同一弹在某一速度范围内有较好的静稳定性；速度超过该范围时静稳定度下降。
2) 攻角越小静稳定性越好。高速时攻角对稳定性影响较大；低速下攻角的影响变得越来越弱，速度降到一定程度时不再受攻角影响。
故在设计中需要根据实际落速及静稳定性适应范围来综合选择静稳定性良好的弹。
5 侵彻弹的静稳定性影响因素
下面对侵彻弹静稳定性的影响因素逐一分析，包括侵彻弹头部形状、尾部形状、质心和目标介质强度等。
5.1 头部形状对静稳定性的影响
1) 弧锥形头部和锥形头部对比
弧锥形头部可认为是由无限个不同锥角的锥形部分组合而成的。由于弧锥形头部前端锥角大而后部锥角小，因而前端的界面压力大而后部相对较小；2种头型相比，锥形头的界面压力处处相等，而弧锥形头部压力随轴向位置变化。
以某小型侵彻弹为例，在总质量和外形包络不变的情况下，改变头部形状，计算弹不同头部形状对侵彻静稳定度的影响。结果如图5和图6所示。
从其中对比可以看出，弧锥形头部弹的静稳定性比锥形头部弹的更好。从静稳定性理论上进一步印证了弧锥形头部更有利于侵彻弹道的稳定[7]这一结论。建议在设计时满足侵彻能力和侵彻强度的情况下，尽可能采用弧锥头型，有利于侵彻弹道的稳定。
2) 弧锥形头部不同曲率半径对比
以某侵彻弹计算，在总质量和外形包络不变的情况下，改变弧锥形头部的半径，计算了3种不同头部曲率半径(小/中/大)的弹的侵彻静稳定度，结果如图7所示。
从图7中对比可以看出，大曲率半径的弧锥形头部弹的静稳定性要比中小曲率半径的弧锥形头部弹的差一些。这是因为曲率半径增大，虽然气动布局更有利，但质心也随之靠后，不利影响更大，总体下来使静稳定性变差。
设计时在满足侵彻能力和侵彻强度时，可采用大一点的曲率半径的弧锥头型，同时调整质心尽可能使之靠前，有利于侵彻弹道的稳定。
图7 弧锥形头部弹不同曲率半径的静稳定裕度曲线
Fig.7 The static stability margin of penetrators in diffirent curvature arc-cone head shapes
5.2 尾部形状对侵彻静稳定性的影响
与头部形状同样，尾部形状也是属于侵彻弹气动布局设计之一，旨在改变全弹焦点的位置，提高静稳定裕度。下面以某侵彻弹为例，在总质量和外形包络不变的情况下，改变尾部起锥角度和起锥长度，计算弹不同尾部形状对侵彻静稳定度的影响。计算了尾部无起锥和尾部起锥2种情况。计算结果如图8(a)和8(b)图。
从图8中对比可以看出，有尾部起锥弹的静稳定性明显要比尾部无起锥弹的好。这与数值仿真结论吻合较好。
相比无尾起锥，尾部起锥能改善侵彻阻力布局，提高静稳定性，尤其是在小攻角(0.5°和1°)、全速度范围内改善比较明显。
图8 不同尾部形状弹的静稳定裕度曲线
Fig.8 The static stability margin of penetrators in diffirent caudal region shapes
5.3 质心对侵彻静稳定性的影响
为了保证侵彻弹具有所希望的静稳定度，设计过程中常采用2种办法，其中一个是改变导弹内部的部位安排，以调整全弹质心的位置[1]。下面以某400 kg侵彻爆破战斗部为例，在总质量和外形参数相同的情况下，改变导弹内部的部位安排，计算不同质心对静稳定度的影响。计算结果如图8(质心靠前)和图9(质心靠后)。
图9 弹调整内部结构质心靠后的静稳定裕度曲线
Fig.9 The static stability margin of some penetrator of internal structure with large centroid
从图9中对比可以看出，质心越靠近弹头，侵彻静稳定裕度越高；反之，质心越靠近弹底，侵彻静稳定裕度越低，弹道越趋于不稳定。这与数值仿真结论吻合较好。
弹体的质心位置作为弹体重要结构特征参数，对侵彻静稳定裕度具有明显的影响。
5.4 目标介质强度对侵彻静稳定性的影响
下面仍以某弧锥形头部弹为例，对在不同强度的介质中弹的侵彻静稳定性进行了计算，上图9对应目标介质强度为40 MPa，图10为30 MPa。
从图10中对比可以看出，目标介质强度对静稳定性影响几乎无影响。这一点可从前面的计算公式得到印证，目标介质强度越大，作用在全弹上的介质阻力也越大，仅改变力的大小，不改变其在全弹上的力的分布，也就是说，不改变力的方向，故压心不受影响，故不影响侵彻静稳定性。
图10 目标强度30 MPa下静稳定裕度曲线
Fig.10 The static stability margin of some penetrators in 30 MPa compressive strength target
6 结论
本研究创新提出了侵彻弹在目标介质中的侵彻静稳定性概念，利用侵彻动力学并结合侵彻测试数据给出了侵彻静稳定性的计算方法，研究了头部形状(弧锥形头部/锥形头部)、尾部形状(无起锥/有起锥)、质心等因素对侵彻静稳定性的影响规律。通过编写的侵彻弹静稳定性程序，可在数分钟内完成一型侵彻弹的静稳定性计算，快速又高效。
侵彻弹深侵彻时，对稳定性要求高。建议对稳定性要求高的侵彻弹设计时在考虑侵彻能力和侵彻强度的同时，为保证较好的侵彻静稳定性，可参考本文提出的方法和建议：
1) 弧锥形头部弹的静稳定性比锥形头部弹的更好，建议采用弧锥形头部；
2) 有尾部起锥弹的静稳定性要比尾部无起锥弹的好，建议合理设计尾部形状；
3) 合理布局侵彻弹内部结构，尽可能使全弹质心前移。
侵彻弹的静稳定性只是说明侵彻弹偏离平衡状态那一瞬间的力矩特性，并不说明整个侵彻过程侵彻弹最终是否具有稳定性。侵彻过程的动态稳定性要通过侵彻弹终点弹道计算或试验获取。
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