1 引言
圆弧齿轮泵作为液压系统的动力元件，其有体积小，无困油、噪声低等优点，并广泛运用在军事、航天和农业等领域中。目前，为了提高圆弧齿轮泵的输出压力，需减少端面的泄漏流量，因此，对端面间隙需要补偿，补偿方式多采用压力补偿式的浮动轴套进行压力补偿，但是由于对浮动轴套和齿轮端面的动态平衡研究不足，导致圆弧齿轮泵出现浮动轴套磨损严重等问题，针对此类问题，考虑到端面间隙对浮动轴套的静液压载荷和流体动力载荷都高度依赖于润滑间隙的膜厚，而目前齿轮端面与浮动轴套之间的膜厚计算较大，设计中大都以通过反复的实验来确定润滑间隙，因此，针对圆弧齿轮泵端面油膜对浮动轴套和齿轮的流固的影响成为解决问题的关键所在，而现有文献资料却又较少涉及。
近年来，国内外部分学者发表了关于外啮合齿轮泵端面间隙流固耦合的相关研究论文，其中Maha流体电力研究中心的Rituraj Rituraj[1]发表了关于外啮合齿轮泵的能量流导致的流体温度的变化，并介绍了基于外啮合齿轮泵的总基参数热模型，考虑到流体的压缩/膨胀，内部不同间隙下流量和功率损耗对齿轮泵性能的影响，且预测了齿轮泵内流体温度的变化。此外，通过对外啮合齿轮泵进行的实验中获得的出口温度和体积效率测量来验证热模型。国外普渡大学的Andrea Vacca[2]教授及其团队，对openfoam进行了二次开发，并利用c++设计了HYGesim计算流体力学软件，并利用用该软件对外啮合齿轮泵端面油膜进行三维仿真，其次考虑了外啮合齿轮泵端面油膜的流固耦合效应，求解出了在一定负载压力下，不同转速下油膜的厚度，并与实验进行对比。Divya Thiagarajan[3]提出了一种航空燃油齿轮泵端面油膜流固耦合模型，并将其应用在不对称平衡的外啮合齿轮泵中的轴向润滑面中，然后在优化过程中使用新型流固耦合模型，用于设计(外啮合齿轮泵)的自动优化程序。通过设计变量来实现最佳的轴向的平衡，并为轴向补偿提供理论依据；浙江大学的吕程辉[4]在内啮合齿轮泵的补偿研究中，综合考虑了最佳端面油膜对浮动侧板和齿轮的单向流固耦合效应，提出通过改进浮动侧板结构的补偿方法，并通过实验验证了该补偿方法的正确性；上海海洋大学的刘巍[5]分析了外啮合齿轮泵浮动侧板的压紧力和反推力情况，软件解析齿轮泵内部流场并根据侧板结构特点建立压紧力和反推力的求解微分方程，求得一个轮齿啮合周期内的侧板倾覆力矩变化规律，并且提出了要想获得端面真实流动状况，必须结合流-固-热耦合状态来展开研究[6-9]。
针对以上问题，圆弧齿轮泵中摩擦副元件的磨损是评价摩擦副设计合理性的一个重要指标，但由于受到设备和经济条件的限制，高速高压条件下摩擦副内部的磨损量难以测量。高速高压下摩擦副内部流固热之间的耦合作用影响不容忽视。本文中研究了圆弧齿轮泵中端面润滑油膜，建立了端面油膜双向流固耦合模型，通过AMESim和ANSYS软件的应用，综合考虑油膜流场的流动情况和浮动轴套以及圆弧齿轮的摩擦磨损，并将该结果应用与端面补偿的研究中，为圆弧齿轮泵的高压化和设计制造提供新的思路。
2 端面油膜数学建模
对于圆弧齿轮泵而言，密封性能的好坏与否决定着泵运行过程中的可靠性与稳定性等，圆弧齿轮泵的主要泄漏路径如图1所示，径向间隙主要指的是齿轮与壳体之间的距离，轴向间隙主要指的是浮动轴套与齿轮之间的距离。本文中的主要研究内容是轴向间隙。
图1 圆弧齿轮泵结构示意图
Fig.1 Axial and radial clearance of arc gear pump
图2表示了圆弧齿轮泵油液泄露的方向，Q1和Q2表示某一时刻的径向间隙泄漏，Q3和Q4表示的是圆弧齿轮泵各个齿面的泄漏，Q5为轴承的泄漏。其中油液从齿面和齿腔部分逐渐流入齿面和轴承处，Q3、Q4和Q5泄漏的油液由于齿轮底层与浮动轴套的相对运动的动压效应，形成端面油膜。
图2 圆弧齿轮泵端面泄漏方向示意图
Fig.2 Leakage direction of arc gear pump end face
圆弧齿轮泵中的端面油膜的热建模涉及流体膜的精确热模型，横向衬套和齿轮。由于热能量的热传递，流体和固体域耦合。另外固体的热弹性模型也必须能够捕获固体组分的热变形，以及其对稳定润滑间隙膜厚度的终影响。
2.1 流体控制方程
圆弧齿轮泵中轴向泄漏的流量从高压区流向低压区的过程中，质量始终守恒。其连续性控制方程的微分形式为：
(1)
式中： ρ为密度；ux、uy、uz为3个坐标系的速度分量。
通过N-S方程推导的端面油膜三维流场的Reynolds方程为：
(2)
式中：vg底层齿轮转动时产生的速度； ρ为油液的密度；h为油膜厚度；▽为哈密顿算子。
为了计算端面油膜中的温度，必须在三维流体域中求解能量方程。
(3)
式中：左边第一项代表的是流体的焓所输送的热量；第二项代表油膜的压差热量和剪切热量；Cp为油液比热容；ρ代表油液密度。
当圆弧齿轮泵端面油膜压力场分布可知时，沿x和y方向上的压差流速u和剪切流速v为
(4)
(5)
式中：z为高度； μ为油液黏度。
2.2 固体控制方程
对于浮动轴套和齿轮而言，首先对其变形过程进行数学建模，选取连续性固体弹性力学控制方程，其主要阐述了浮动轴套和齿轮的变形随着流体的压力的变化过程。
(6)
式中： ρ1为固体密度；u为固体在形变下的位移；f为固体侧所受到的外力；Ι为单位张量。
对于浮动轴套和齿轮而言，传热为固体稳态传热问题。假设齿轮和浮动轴套内部无热源，其控制方程为
(7)
式中：K为浮动轴套和齿轮的传热系数；T1端面油膜的温度；T0为浮动轴套和齿轮的温度。
其中端面油膜与浮动轴套和齿轮之间的传热边界条件采用给定温度的第一类边界条件：
第一类边界条件称为Dirichlet条件，在边界上给定浮动轴套和齿轮的温度；
(8)
本文将从第一类边界条件展开研究，其中：x、y、z边界条件下的方向余弦；
为在浮动轴套和固体上给定的温度。
2.3 流固耦合控制方程
由流体所引发关于浮动轴套和齿轮关于振动、位移的固体控制方程为：
(9)
式中：Ms为浮动轴套和齿轮的质量矩阵；Cs为阻尼矩阵；Ks为刚度矩阵；u为浮动轴套和齿轮由于力变形产生的位移；τs为应力。
质量守恒定律是流固耦合遵循最基本的守恒原则，流固耦合交界面处满足流体与固体的位移、应力、温度、热流量等相等。
(10)
3 仿真计算
3.1 仿真整体流程
应用双向流固耦合的方法对圆弧齿轮泵端面油膜进行有限元仿真分析时，需同时建立浮动轴套、齿轮和端面油膜的三维模型，并设置流固耦合界面，并对固体域和流体域进仿真计算，基本流程如图3所示。
图3 仿真基本流程框图
Fig.3 Simulation flowchart
建模时，考虑到圆弧齿轮泵在结构上的对称性，所以只取其中从动齿的齿面油膜进行仿真。假设浮动轴套与齿轮之间为平行油膜，并设定油膜厚度为0.008 mm。
流体侧网格划分：为了得到更准确的端面油膜流场的压力和温度分布情况，所以在划分网格时，必须对油膜厚度进行加密处理，划分层数设为4层，更新后的端面油膜网格如图3和图4所示。共生成606 487个节点，1 136 452个网格。
图4 油膜网格示意图
Fig.4 Schematic diagram of oil film grid
固体网格划分：利用mesh统一对浮动轴套和齿轮进行网格划分，为了保证计算精度的准确性，必须保证流场的网格节点尺寸与固体场的网格节点尺寸一致，且网格畸变高，在计算动网格时才能保证数据传递的准确性，图5和图6分别为浮动轴套和齿轮的网格示意图。
图5 浮动轴套网格划分示意图
Fig.5 Schematic diagram of grid division of floating bushing
图6 圆弧齿轮网格划分示意图
Fig.6 Schematic diagram of arc gear meshing
3.2 边界条件
3.2.1 压力边界条件
由于轴向间隙的油膜形成是外啮合齿轮泵的运行过程中的泄漏导致的，齿轮和浮动轴套之间存在着相对运动，其属于动压支撑效应。其边界条件可以由图7所示的AMESim圆弧齿轮泵运行仿真模型来求得各个齿腔的平均压力。
1.增压阀，为齿轮泵提供负载，设置其为8 MPa，2为转矩模块，为齿轮泵提供转速，设置其为1 200 r/min，3为压力测试计，4为流量测试计
图7 AMESim圆弧齿轮泵运行仿真模型示意图
Fig.7 AMESim arc gear pump operation simulation model
仿真时间设置为0.6 s，待运行完毕后，得出如图8所示的主动齿齿腔压力图，并作为Fluent的压力边界条件。
图8 主动齿齿腔压力曲线
Fig.8 Drive tooth cavity pressure
3.2.2 温度边界条件
圆弧齿轮泵的温度边界条件根据圆弧齿轮泵内流场温度的仿真结果[10-14]表明。如图9所示，随着时间的变化，在圆弧齿轮泵的内流场仿真中，随着时间的变化出油口的油液温升在1～2 ℃之间变化，可以近似的认为温度不变。
图9 圆弧齿轮泵内流场温度随时间变化曲线
Fig.9 The change curve of flow field temperature in arc gear pump with time
3.2.3 计算方法
开启能量方程和黏性加热项，选择流动方式为层流，液压油的动力黏度为 0.048 Pa·s,密度为844 kg/m3，并设定油液温度为22 ℃。
设置油膜底层转速为1 200 r/min，设置流固耦合交换界面，压力-速度耦合方式选用SIMLPE方式，压力离散形式选用PRESTO!，动量离散形式、湍流动能离散形式和湍动耗散率离散形式都选用求解精度较高的二阶迎风格式，采用混合初始化方法。
4 仿真分析
4.1 润滑性能分析
对于压力8 MPa转速1 200 r/min工况下的油膜压力场如图10所示，各齿腔的压力沿着轴颈处向齿轮泵进口处逐渐泄漏，其压力值随着逐渐减小，符合齿轮泵端面泄露的现象。
图10 端面油膜压力云图
Fig.10 End face oil film pressure graph
油膜承载力代表油膜性能的重要指标，图11反映了油膜沿着膜厚方向的承载量，从图11中可以看出，膜厚方向的承载量在齿轮泵泄露的高压区和过渡区内较大，在低压泄漏区较小，轴向承载力最大值为0.434 8 N。
图11 油膜沿着厚度方向的承载量云图
Fig.11 The bearing capacity of the oil film along the thickness direction
4.2 流固耦合仿真分析
对于浮动轴套和齿轮之间的流固耦合润滑界面，浮动轴套的材料为多元复杂黄铜，圆弧齿轮的材料为弹性球墨铸铁，其参数设置如表1所示。
表1 材料参数
Table 1 Material parameter setting
(1)多元复杂黄铜材料密度/(kg·m-3)8 300杨氏模量/Pa9.96×109泊松比0.32弹性模量/Pa9×109 Pa剪切模量/Pa3.77×109线性膨胀系数/(W·(m·K)-1)92(2)弹性球墨铸铁材料密度/(kg·m-3)7 800弹性模量/Pa1.2×1011泊松比0.31剪切模量/Pa5.21×109杨氏模量/Pa1.09×109线性膨胀系数/(W·(m·K)-1)11.2
由图12(a)与图12(b)可知，浮动轴套与油膜润滑面之间的变形在力的作用下，最大磨损发生在油膜的低压区，变形量Δδ1=5.13 μm，最小变形在油膜的高压区部分Δδ2=3.96 μm，圆弧齿轮最大磨损在油膜的低压区和过渡区，Δδ3=8.96 μm，最小磨损量为Δδ4=3.98 μm。
图12 双向流固耦合变形云图
Fig.12 Bidirectional fluid-solid coupling deformation diagram
由图12(c)和图12(d)可知0.000 5 s时计算收敛后，浮动轴套、圆弧齿轮和油膜三者之间达到动态平衡，油膜压力载荷稳定，且整体磨损量较0.001 s时变小，浮动轴套最大磨损量在油膜的低压区，变形量达到Δδ5=7.56 μm最小磨损量达到Δδ6=5.25 μm，圆弧齿轮最大磨损量Δδ7=8.91 μm，最小磨损量为Δδ8=3.96 μm，从图12(a)中的0.001 s和图12(d)中的0.005 s时，浮动轴套变形情况来看，浮动轴套在高压区磨损面积相对较大，但磨损量较小，这是由于油膜在高压区的承载力约于浮动轴套在补偿区的补偿力相平衡，高压区压力造成的变形量相对较小，而过渡区和低压区由于油膜压力载荷不足，油膜压力载荷小于补偿力，浮动轴套和圆弧齿轮会在一段时间内产生在油膜低压区和过渡区的倾覆现象，也会导致浮动轴套与圆弧齿轮面的偏磨[15]，偏磨主要发生在低压区和过渡区。
一个周期内的考虑到受力磨损影响的油膜厚度为
h=h0+{δ,λ}
(11)
其中：h0为初始油膜厚度；δ代表浮动轴套的磨损量；λ代表齿轮磨损量。
代入仿真结果得出，油膜最大厚度约为hmax=24 μm最小厚度为hmin=17 μm。
图13(a)和图13(b)为固定工况下，浮动轴套和圆弧齿轮的等效应力云图，可以看出：浮动轴套的等效应力主要集中在与润滑界面接触的面上，且主要应力变化沿周向分布，且由边缘位置向中间位置递减，其最大接触应力为σ1=39.509 MPa。圆弧齿轮的等效应力高压区较小，在低压区和过渡区较大，最大应力为σ2=90.536 MPa。
图13 应力变化云图
Fig.13 Stress change graph
在定工况不考虑热变形情况下的双向流固耦合仿真，仅在力作用下的浮动轴套和圆弧齿轮的变形，求解出的端面油膜的最大变形量为hmax=24 μm。浮动轴套和圆弧齿轮最大应力分别为39.509 MPa和90.536 MPa,但在齿轮泵实际运行过程中，除了力对固体场的作用之外，端面油膜局部产生流体分子力之间的剪切和压差作用产生的局部高温，同样影响着齿轮泵的性能所以要得到油膜的真实情况，必须考虑热效应对浮动轴套和圆弧齿轮的影响。
4.3 双向流固热耦合仿真分析
利用FLUENT和System coupling搭建双向流固热耦合模块，一般情况下需要对热固耦合数据的传递进行一定的约束，需在(APDL)Transient Structural 模块中对浮动轴套和圆弧齿轮分别插入Commands命令，et,matid,226.et,matid,227。其中et,matid为调用网格类型，226代表四面体网格，227代表六面体网格。再次插入KEYOPT,matid,1,11为APDL中热固耦合模块命令，设定环境温度为22 ℃。
从图14可以看出，加载了热条件下的流固耦合，对比无热条件下的流固耦合过程，不难看出，图14(a)中，圆弧齿轮在润滑面的最大磨损量Δδ1=7.96 μm，最小磨损量Δδ2=5.31 μm在主要的磨损量集中在高压区和过渡区，高压磨损量较低压区较大，图14(b)中浮动轴套的最大磨损量Δδ3=9.90 μm，最小磨损量集中油膜的低压区Δδ4=7.632 μm，表明油膜低压区热量较低，对轴套的热膨胀影响不大，磨损也较小；高压区和过渡区的温度较高，热膨胀相应增大，在压力载荷和温度载荷的共同作用下，磨损量增大，在补偿力的作用下，浮动轴套和圆处齿轮同样有偏磨情况发生，偏磨现象逐渐发生在高压区和过渡区，且其他工况下也有此类的趋势，且在既有热效应特性下的膨胀，又有力作用下对浮动轴套的变形作用，同时也表明，齿轮泵端面磨损和运行的复杂性。
图14 双向流热固耦合磨损云图
Fig.14 Bidirectional fluid thermal-solid coupling deformation diagram
同理其油膜厚度h：
h=h0+{δ,λ}
(12)
代入仿真结果得最大油膜厚度约为hmax=26 μm,最小油膜厚度为hmin=20 μm。
对比流固耦合和流固热耦合下的最大膜厚得，后者相对于前者，油膜扩增量达到108.3%，最小油膜厚度扩增量达到117.6%，且最大膜厚在高压区以及过渡区变化，最小膜厚在低压区变化。
从图15中浮动轴套表面应力分布情况，对比无热条件下的应力分布情况可知，浮动轴套应力减小，最大等效应力σ3=33.391 MPa，其应力分布沿着轴套表面周向分布，分布情况较为均匀，最大应力集中在高压区附近。
图15 浮动轴套表面热应力分布云图
Fig.15 Thermal stress distribution on the surface of floating bushing
4.4 流量变化
将容积效率作为圆弧齿轮泵的失效指标，容积效率可等同为流量的泄漏，根据圆弧齿轮泵端面泄漏流量公式：
(13)
式中：q为单个接触面的端面泄漏流量(kg/s)； θh、θg为高压区和过渡区包角。
如表2所示，对比计算收敛后流固耦合以及流固热耦合下的端面油膜泄漏流量，可得出流固热耦合情况下的流量大于流固耦合情况下的流量，也在实际运行中更加符合实际情况。
表2 流量变化
Table 2 Flow change table
转速/(r·min-1)流固耦合流量/(kg·s-1)流热固耦合流量/(kg·s-1)1 2000.180.24
5 结论
本研究基于Reynolds方程和摩擦副双向流固耦合以及双向流固热耦合，建立了一种适用于圆弧齿轮泵的端面摩擦副磨损摩擦分析模型。
1) 通过分析得出，在压力8 MPa转速1 200 r/min工况下，端面油膜压力变化沿着周向递减，轴向承载力达到0.040 8 N。
2) 在不考虑热的双向流固耦合条件下，随着时间变化，圆弧齿轮与浮动轴套会由于补偿力的作用发生偏磨现象，偏磨主要发生在油膜低压区。应力沿着周向分布。
3) 双向流固热耦合条件下，由于热条件的引入，在油膜的高压区和过渡区由于流体黏性发热的影响，圆弧齿轮与浮动轴套会发生热膨胀，且最大油膜厚度发生在高压区与过渡区，应力对比流固耦合下减小，且分布均匀。
4) 对比双向流固耦合与热流固耦合条件下流量变化，由于油膜厚度的增加，其流量增值达到0.06 kg/s。
为进一步提高圆弧齿轮泵的容积效率，减小泄漏流量，可通过针对油膜厚度变化较大的区域，寻找合适的补偿方式，进行压力补偿或电磁补偿。
[1] Rituraj Rituraj,Andrea Vacca.,Mario Antonio Morselli.Thermal modelling of external gear machines and experimental validation[J].Energies,2020,13(11):1-8.
[2] Sujan Dhar,Andrea Vacca.A novel FSI-thermal coupled TEHD model and experimental validation through indirect film thickness measurements for the lubricating interface in external gear machines[J].Tribology International,2015,82(17):7-8.
[3] Divya Thiagarajan,Andrea Vacca,Enrico Sciubba.Mixed lubrication effects in the lateral lubricating interfaces of external gear machines:modelling and experimental validation[J].Energies,2017,10(1):111.
[4] 吕程辉.内啮合齿轮泵轴向间隙自动补偿研究[D].杭州：浙江大学,2015:25-27.
Lu C H.Research on automatic compensation of axial clearance of internal gear pumps [D].Hangzhou：Zhejiang University,2015:25-27.
[5] 刘巍,王安麟,单学文,等.齿轮泵浮动侧板端面密封失效机理分析验证[J].同济大学学报(自然科学版),2015,43(02):299-304,318.
Liu W,Wang A,Shan X W,et alAnalysis and verification of failure mechanism of gear pump floating side plate end seal[J].Journal of Tongji University (Natural Science Edition),2015,43(02):299-304,318.
[6] 杨永敏,卢前顺.基于CFD的商用航空发动机齿轮泵浮动侧板设计技术研究[J].制造业自动化,2016,38(04):49-53,62.
Yang Y M,Lu Q S.Research on CFD-based design technology of floating side plate of commercial aeroengine gear pump[J].Manufacturing Automation,2016,38(04):49-53,62.
[7] Andrea V,Marco G.Modelling and experimental validation of external spur gear machines for fluid power applications[J].Simulation Modelling Practice an Theory,2011,19(09):2007-2031.
[8] Li G W,Lu K L and Zhang W G.Tolerance constraints on reliability analysis of gear system[J].International Journal of Hybrid Information Technology,2015,8(02):211-220.
[9] 吴一飞.双圆弧斜齿齿轮液压泵的设计及其轴向力分析[D].济南：山东大学,2020.
Wu Y F.The design and axial force analysis of the double circular arc helical gear hydraulic pump [D].Jinan:Shandong University,2020.
[10]李书仪.圆弧螺旋齿轮泵动态性能仿真分析及实验研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学,2017.
Li S Y.Simulation analysis and experimental research on dynamic performance of arc spiral gear pump [D].Harbin：Harbin Institute of Technology,2017.
[11]宋宝玉,李书仪,周洋,等.高压高速小型化圆弧齿轮泵体的设计和优化[J].机械设计,2018,35(09):27-30.
Song B Y,Li S Y,Zhou Y,et al.Design and optimization of high-pressure,high-speed and miniaturized arc gear pump body[J].Mechanical Design,2018,35(09):27-30.
[12]李阁强,张龙飞,韩伟锋,等.双圆弧斜齿齿轮泵脉动特性分析及齿形设计[J].中国机械工程,2018,29(02):186-192.
Li G Q,Zhang L F,Han W F,et al.Pulsation characteristic analysis and tooth profile design of double circular arc helical gear pump[J].China Mechanical Engineering,2018,29(02):186-192.
[13]毛子强.基于FLUENT的外啮合斜齿轮泵内部流场的仿真与分析[D].兰州：兰州理工大学,2014.
Mao Z Q.Simulation and analysis of internal flow field of external helical gear pump based on FLUENT [D].Lanzhou：Lanzhou University of Technology,2014.
[14]张建卓,刘灿灿,于鹏飞,等.抗冲击低泄漏齿轮泵的研究[J].机械传动,2014,38(04):168-171.
Zhang J Z,Liu C C,Yu P F,et al.Research on impact-resistant and low-leakage gear pumps[J].Mechanical Transmission,2014,38(04):168-171.
[15]陈远玲,班成周,刘银水,等.航空柱塞泵配流副磨损模型与寿命预测[J].液压与气动,2020(12):1-7.
Chen Y L,Ban C Z,Liu Y S,et al.Wear model and life prediction of aviation piston pump valve pair[J].Hydraulics and Pneumatics,2020(12):1-7.