1 引言
惯性导航系统是一种具有抗干扰能力强、隐蔽性好等特点的自主导航系统，在军工和民用等多个领域有着广泛的应用[1]。但是在长时间工作后，系统内部的惯性测量单元(inertial measurement unit,IMU)参数受到环境等外部因素的影响，会发生变化，从而导致惯性导航系统精度逐渐下降[2-3]。因此对系统内部的参数进行估计和补偿，即对系统进行标定，是保证机载惯导系统性能的一项重要工作[4]。
为了保证机载SINS的导航精度，我国机载SINS的传统标定方法[5-6]主要是基于精密转台的实验室定期标定，有六位置法[7]和十二位置法[8]等。这种标定方式过程繁琐，耗费大量的人力、物力和时间，同时在拆装和转运过程中还可能引入新的误差，存在标定周期长、成本高、影响部队的日常维护和战机的快速反应等缺点[9-10]。为了便于维护、实现视情标定，提高长期稳定性，结合免拆卸标定的需求[11]，提升战机的快速机动性，本文对机载SINS的空中标定进行深入研究。
在进行空中标定前，有必要对系统进行可观测性分析[12]。可观测性与误差项能否被激励，进而成功被估计出来紧密相关，一般以可观测度定义捷联惯导系统误差项在机动方式下能否被激励[13-14]。
当系统模型为线性时变系统模型时，直接进行可观测性分析，需要计算Grammian矩阵[15]，计算量过大且不利于实际分析。以色列学者Goshen-Meskin等[16-17]将系统拆为多个分段线性定常系统(piece-wise constant system，PWCS)进行可观测性分析，很大程度上减少了计算量，但这个方法仅能对系统可观测性进行定性判断，不能对系统中各个状态量进行可观测性分析，同时也无法定量分析各状态变量的可观测程度。东南大学的程向红等[18]在上述理论基础上，提出对可观测性矩阵进行奇异值分解(singular value decomposition,SVD)，实现了对系统可观测性的定量分析。陆志东[19]提出了一种针对机载捷联式系统的空中标定方法，实现了SINS部分参数的标定，但是未对各种路径进行可观测性分析。Wu等[20]根据全局可观测性对捷联惯导系统可观测性进行分析，且对里程计辅助的车载捷联惯导系统进行可观测性分析[21]，但未考虑IMU的标度因数误差。夏宇强[22]对常规机动下的组合导航可观测性进行分析，在机载惯导标定时具有一定参考价值，但未考虑IMU标度因数误差，且在仿真验证时，必要的机动动作有所缺失。同时上述方法均存在卫星导航精度无法保证等问题。
针对上述问题，本文提出一种基于可观测性分析的机载SINS起飞阶段自标定方法。从系统状态可观测性分析出发，采用基于PWCS的奇异值分解方法，对飞机做不同机动时，各状态变量可观测度进行分析比较，找出不同的机动条件对各状态变量的激励效果。据此设计了一种充分利用机场附近差分GPS和起飞时机动条件的飞行轨迹。最后对3种基于不同观测量的惯导起飞阶段自标定分别进行仿真分析，验证了上述标定方法和结论的有效性，并得出基于速度匹配的自标定模型标定效果较好的结论，最后将本文提出的基于可观测性分析设计的飞起轨迹与基于常规起飞轨迹的空中标定算法进行了仿真分析，进一步验证了本文标定方法的有效性，为空中自标定系统模型选择和飞行轨迹的设计提供理论依据和应用参考，具有一定的实际意义。
2 惯导自标定系统滤波模型设计
2.1 IMU测量误差模型
惯性器件的输出精度[23]主要受到陀螺仪的常值漂移误差、标度因数误差和加速度计的零偏影响，假设安装误差为小量，且在定期标定周期内被认为是不变的。加速度计的测量误差模型[24]为：
(1)
式(1)中：上标b代表机体坐标系；
代表加速度计的实际输出误差；
代表加速度计的标度因数误差；
代表载体系中的理想比力输出值；
代表加速度计的零偏误差。
陀螺仪的测量误差模型[25]为：
(2)
式(2)中：
代表陀螺仪的实际输出误差；
代表陀螺仪的标度因数误差；
为载体系中的理想陀螺输出值；
为陀螺仪的常值漂移误差。
2.2 起飞阶段自标定原理分析
惯导起飞阶段自标定方法依据系统级标定的思想[19,26-27]，将机场附近差分GPS等外部高精度基准信息和惯导解算输出的导航信息之差作为系统的外部观测信息，根据可观测性分析设计飞行机动条件和轨迹，激励出各误差项，利用Kalman滤波实现待标定参数估计，从而对系统误差进行补偿，以此来提高导航精度，确保机载SINS性能的长期稳定性。
2.3 状态模型
自标定模型将姿态、速度、位置误差方程及陀螺仪和加速度计的常值误差、标度因数误差方程作为整个系统的状态方程，表达式为：
(3)
式(3)中：状态量X(t)=[φE φN φU δVE δVN δVU δL δλ δh εbx εby εbz ▽ax ▽ay ▽az δKax δKay δKaz δKgx δKgy δKgz]T,其中φE、φN、φU为平台角误差，δVE、δVN、δVU代表速度误差，δL、δλ、δh为位置误差；W(t)=[wgxwgywgzwaxwaywaz]T，其中wgx、wgy、wgz为陀螺仪的随机噪声，wax、way、waz为加速度计的随机噪声；F(t)为系统矩阵；G(t)为噪声驱动矩阵。
(4)
式(4)中：FN为9×9维惯导系统误差矩阵；
为姿态转移矩阵；
2.4 量测模型
自标定系统以差分GPS与惯导解算后的导航信息之差作为观测量，系统的观测值可以是单一量测，也可以是量测组合。本文采用位置/速度差分GPS方式，在惯导解算时，纯惯导高度通道易发散，所以本文采用水平方向速度和位置误差参数作为观测量。有以下3种不同的形式。
2.4.1 速度匹配量测模型
速度匹配以机场附近差分GPS与惯导解算的速度差值作为量测量，量测模型为：
ZV(t)=HVX(t)+V(t)
(5)
式(5)中：观测量
为量测噪声。
2.4.2 位置匹配量测模型
位置匹配以机场附近差分GPS与惯导解算的位置差值作为量测量，量测模型为：
ZP(t)=HPX(t)+V(t)
(6)
式(6)中：观测量
2.4.3 “速度+位置”匹配量测模型
“速度+位置”匹配以机场附近差分GPS与惯导解算的速度和位置差值作为量测量，量测模型为：
(7)
3 惯导起飞阶段自标定可观测性分析
3.1 基于PWCS的可观测性分析
若直接进行可观测矩阵求解，根据能观测性的判断条件，能够计算出Grammian矩阵为：
W0(t0,tf)=
φT(τ,t0)HT(τ)H(τ)φ(τ,t0)dτ
(8)
式(8)中， φ(τ,t0)是系统从τ到t0的状态转移矩阵。
该方法计算量过大并且结果无法理论分析。为了简化计算，Goshen-Meskin等[16- 17]提出了分段线性定常系统方法，该方法的主要思路是：将系统的运行时间按照适当的间隔进行分段处理，由于H、F在每个时间段内变化较为缓慢，因此将其近似为常量处理，则在该时间段内，该系统可以当作线性定常系统，那么，系统在整个运行时间内，能够被看作分段线性定常系统。这种近似处理对于系统精度和特性影响较小，并且能够较大程度上降低计算量，简化分析流程，因此PWCS能够用于空中标定系统的可观测性分析。
对系统整个时间段进行分段线性定常处理后，可求出系统在第i个时间段内的可观测性矩阵为：
(9)
式(9)中：Ai是系统第i个时段中状态矩阵常值：H即为系统观测矩阵。
将系统从第1个时间段到第r个时间段的可观测性矩阵组合到一起，即得到总可观测矩阵(TOM)为：
(10)
式(10)中，Δti是第i个时间段的时间长度。
式(10)中存在指数函数矩阵项，使得计算量变得较为复杂，引入Qs(r)作为系统的提取可观测矩阵(SOM)，有：
(11)
若null(Qi)⊂null(Ai)，1≤i≤r，则
(12)
式(12)中：null(·)代表矩阵的零空间；rank(·)代表矩阵的秩。
若系统满足上述条件，则可以利用SOM代替TOM，实现可观测性分析，此时系统的观测方程为：
Y=Qs(r)X
(13)
当Qs(r)的秩与系统阶数n相等时，整个系统的状态变量都可以被估计出来，即系统是完全可观测的；反之，当Qs(r)的秩比系统阶数n小时，系统只有部分状态量或状态量组合能够被估计出来，即系统不完全可观测。
3.2 基于SVD的可观测度分析
由3.1节分析可知，Qs(r)的秩可以确定一个系统是否完全可观测或部分可观测，但是对部分可观测系统，确定不了哪些状态可观测哪些状态不可观测。根据文献[18]提出的基于SVD的可观测度方法，将式中的Qs(r)奇异值分解，得：
Qs=USVT
(14)
式(14)中：
为矩阵Qs(r)的奇异值σi(i=1,2,…,n)组成的对角阵，其中
分别为l维和n维酉矩阵。
经过奇异值分解后，式(13)可转换为：
(15)
化简得：
(16)
易知，当m=min(l,n)时，X(0)存在唯一解，此时系统完全可观测；反之，当m
在定量分析各状态量时，根据式(16)，能够计算与奇异值相对应的状态分量，随后进行数值对比，奇异值较大时，该状态量能够得到较好的估计；反之，奇异值较小时，该状态量估计效果差或者不可观测。进一步分析，可以定义系统某个状态的奇异值σi与外部观测的状态相对应的奇异值σ0的比值为系统该状态的可观测度。
(17)
根据系统各时间段内状态的可观测度，对比分析空中自标定系统的状态估计效果。
4 惯导自标定可观测性计算分析
4.1 机动阶段和仿真参数设置
飞机的主要机动过程有静止、加速、起飞、爬升、改平、平飞、转弯、滚转等。主要分为6个阶段：
1) 静止阶段：飞机停在机场，此时系统为时不变系统。
2) 加速阶段：加速度设置为6.5 m/s2，将飞机速度从0 m/s提升至90 m/s。
3) 起飞阶段：设飞机以90 m/s速度起飞，首先进行变角度爬升，将飞机以2(°)/s的俯仰角拉升到30°；随后保持角度爬升一段时间；最后将飞机改平，起飞阶段完成。起飞和降落过程完全相反，可观测性基本一致，无需再单独分析。
4) 平飞阶段：飞机在机场附近保持100 m/s的速度匀速飞行。
5) 滚转阶段：飞机在机场附近以165 m/s速度飞行，首先将飞机以5(°)/s左滚转至45°，随后匀速飞行一段时间，最后将飞机以5(°)/s右滚转到水平。
6) 转弯阶段：飞机在机场附近以165 m/s速度飞行，首先将飞机以9(°)/s右转弯至90°，随后匀速飞行一段时间，最后将飞机以9(°)/s左转弯至原来的方向继续前进。
仿真参数如下：陀螺仪常值漂移为0.01(°)/h，随机游走误差为
加速度计零偏为50 μg，随机游走误差设为
陀螺仪与加速度计的标度因数误差均为100×10-6。GPS定位误差为1 m，测速误差为0.2 m/s。
4.2 计算结果与分析
本文采用上述飞行机动阶段和仿真参数，基于速度误差为观测量，对不同机动条件下状态变量的可观测度进行分析。基于速度匹配的起飞阶段自标定模型可观测度如表1所示。
表1 不同机动条件下各状态变量的可观测度结果
Table 1 Observability results of state variables under different maneuvering conditions
状态变量静止加速变角度爬升60°爬升匀速滚转转弯εx0.042 90.028 30.044 90.100 11.000 00.123 9 0.006 6εy0.042 90.032 90.036 00.099 21.000 00.126 1 0.113 1εz5.96E-079.71E-070.002 9 3.80E-078.70E-070.011 10.144 1▽x2.65E-073.29E-071.54E-071.77E-071.55E-073.03E-053.81E-08▽y3.71E-073.51E-071.02E-052.30E-071.41E-071.69E-071.02E-07▽z2.50E-122.93E-125.20E-081.21E-099.22E-126.71E-076.49E-12δKax3.66E-063.05E-061.89E-062.58E-061.84E-060.004 80.885 1δKay5.07E-060.012 30.001 1 3.51E-062.05E-061.76E-061.02E-06δKaz2.01E-085.53E-081.23E-060.00E+007.37E-089.66E-071.18E-07δKgx3.98E-081.91E-086.15E-084.59E-084.14E-082.92E-081.99E-08δKgy2.26E-081.55E-082.46E-081.74E-083.25E-083.31E-083.16E-08δKgz3.41E-126.42E-091.78E-092.86E-082.64E-113.72E-085.52E-08
根据表1中的奇异值，得如下结果：
1) 静止状态下各状态的可观测度都较差。
2) 整个系统本身的可观测度较差，但是可以通过不同的机动方式，实现对不同状态变量的激励，从而达到惯导误差标定的目的。
3) εx、εy在匀速阶段的可观测性提升显著，状态变量完全可观测；εz在爬升阶段的可观测度有所提高，在滚转和转弯阶段能够得到进一步的提高。
4) 后9个状态变量本身数值较小，使得对应的奇异值数值同样小，但是不同的机动条件，其奇异值也有较大差别。可以从中得出机动动作对状态变量的激励效果。
5) ▽x、▽y可观测性较弱，在滚转和变角度爬升阶段激励效果进一步提高。▽z在变角度爬升阶段和滚转阶段有一定的激励效果。δKax在转弯阶段能够得到一定的激励效果，δKay在加速阶段能够被激励出来，δKaz在爬升阶段激励效果有所提高。
6) δKgx、δKgy、δKgz的可观测度均在E-8以下，整体可观测度较差，但是在不同的动作激励下会有一定的改善。其中δKgx在爬升阶段激励效果有所提高，δKgy在滚转阶段有一定的激励效果，δKgz在转弯阶段有一定的改善。
5 惯导起飞阶段自标定仿真分析
5.1 飞行轨迹设计
通过飞行轨迹的设计，能够使得系统更好地激励出系统状态参数，从而使惯性器件的误差项能被更好地标定出来。
在飞行过程中，GPS存在精度要求无法长时间保证的问题，则充分利用起飞阶段飞机的机动以及机场跑道附件能够布设高精度GPS差分站的优势，将空中自标定的轨迹设置在机场附近。根据上述不同机动条件下的可观测性分析结果，设计恰当的飞行轨迹，且保证充分利用机场附近高精度的差分GPS。根据某型飞机的起飞机动特性以及机场的数据，在尽可能不增加飞行员额外操作的原则下设计起飞标定动作，如表2所示，共21个阶段，将起飞阶段和盘旋阶段相结合，共590 s。
表2 飞机机动动作要求
Table 2 Aircraft maneuver requirements
阶段机动动作阶段机动动作1静止60 s122(°)/s爬升30 s26.5 m/s2加速12 s1360仰角爬升20 s32(°)/s爬升15 s142(°)/s改平30 s430仰角爬升30 s15匀速30 s52(°)/s 改平15 s169(°)/s右转弯10 s6匀速100 s17匀速20 s79(°)/s右转弯10 s185(°)/s左滚转9 s8匀速30 s19匀速20 s99(°)/s右转弯10 s205(°)/s右滚转9 s10匀速30 s21匀速70 s11a=2.5 m/s2加速30 s
飞行轨迹图如图1所示，所设计飞行轨迹需要覆盖机场上空8 000 m高度，水平方向15 km，机场差分GPS适用于100 km以内区域，能够覆盖本文设计飞行区域。
图1 飞行轨迹图
Fig.1 flight path diagram
5.2 仿真结果分析
惯导起飞阶段自标定采用Kalman滤波器，仿真与可观测性分析仿真条件相同，其中惯性导航解算周期设置为0.04 s,滤波周期设为 1 s,系统各状态的初值设置为零，Kalman滤波初值设定如下。
初始误差协方差阵为：
P(0)=diag([20″；20″；30′；0.2 m/s；0.2 m/s；0.2 m/s；
1 m；1 m；1 m；0.01(°)/h；0.01(°)/h；0.01(°)/h；
50 μg；50 μg；50 μg；100×10-6；100×10-6；
100×10-6；100×10-6；100×10-6；
100×10-6]×10)2
系统噪声方差阵为：
Q=
观测量的匹配方式决定了系统的量测误差方差阵,有以下3种方式：
1) 以速度误差为观测量，有：
R=diag[0.2 m/s；0.2 m/s]2
2) 以位置误差为观测量，有：
R=diag[1 m；1 m]2
3) 以“速度+位置”误差为观测量，有：
R=diag[0.2 m/s；0.2 m/s；1 m；1 m]2
根据4.1节的仿真参数和5.1节设计的飞行轨迹，结合滤波初值条件，进行仿真，分别以速度、位置、速度+位置误差为观测量，利用Kalman滤波实现惯性器件误差项分离和估计，仿真结果如图2、图3所示，其中，红色虚线、青色实线和紫色点画线分别代表以“速度+位置”误差、速度误差和位置误差为观测量时惯性器件的误差估计曲线。
图2 机动条件下的陀螺仪漂移与加速度计零偏误差估计曲线
Fig.2 Gyro drift and accelerometer bias error estimation curve under maneuver condition
图3 机动条件下的陀螺仪与加速度计标度因数估计曲线
Fig.3 Scale factor estimation curve of gyroscope and accelerometer under maneuver condition
1) 从图2、图3中可以看出，以“速度+位置”误差为观测量时,εy、εz估计值较差；以位置误差为观测量时，陀螺仪3个方向估计值均较差；相比之下，以速度误差为观测量，除εz估计效果较差外，惯性器件其他各项误差均能被较好地标定出来。
2) 根据图2、图3结果分析，在参数相同情况下，以速度误差为观测量，标定结果精度较高。
3) 此处以对速度误差为观测量进行分析，根据图2、图3的标定结果，结合表2的飞行机动和表1的可观测度分析数据可得，静止时，仅▽x、▽y有一定的激励效果，但不能完全激励出误差值；大多数误差项需要机动条件去激励出来。在加速阶段, δKay能够被较好地激励出来；在飞机变角度爬升阶段, ▽y、▽z、δKgx、δKaz能够被激励出来；在飞机60°倾角爬升阶段,εy有一定的激励效果；在飞机改平阶段，εy、▽x的激励效果有进一步的提高；在飞机改平后的匀速飞行阶段，εx、εy均能被激励出来；在滚转阶段，δKgy能被激励出；在飞机左右转弯阶段，δKax、δKgz可以被激励出来。可观测度分析结果与仿真激励效果相一致。
4) 陀螺仪z轴的常值漂移未能较好地激励出来，原因为天向陀螺漂移可观测性较差。结合可观测性分析结论，在飞行轨迹设计阶段，可以考虑增加存在角运动的机动动作和时间，从而使上述误差量能更好地被激励出来，进而实现机载SINS全参数自标定。
为进一步验证所提方法的有效性，以速度误差为观测量，将常规起飞过程和本文所设计的机动过程仿真结果进行对比分析，常规起飞过程即飞机从地面静止到空中匀速飞行过程，通常情况下为表2机动动作中的前6个阶段，标定结果如表3所示。
表3 惯导器件误差标定结果
Table 3 Comparison of calibration results of inertial navigation deviceerror
标定误差项设定值标定值常规起飞过程设计起飞过程εbx/[(°)·h-1]εby/[(°)·h-1]εbz/[(°)·h-1]0.010.004 40.009 10.007 70.010 5——δKgx/×10-6δKgy/×10-6δKgz/×10-6100117.8784.86—83.03—74.69▽ax/μg▽ay/μg▽az/μg5032.8738.2035.2841.2822.3539.91δKax/×10-6δKay/×10-6δKaz/×10-6100—116.97105.08102.8980.1398.35
根据表3知，所设计的机动，相较于常规起飞过程，惯导误差标定精度均有所提高，且部分参数在添加一系列机动后，成功地被激励出来，进一步证明了本文所提方法的有效性。
根据上述分析知：可观测度高低能够直接反映观测模型对标定参数的估计能力，据此提出机载SINS起飞阶段的自标定方法，对比3种观测量起飞阶段自标定，以速度误差为观测量能够实现较好的标定效果，同时，将常规起飞过程和本文所设计的起飞过程的惯导系统自标定进行仿真对比分析，验证了本文标定方法的有效性。根据机动条件的可观测性，不同的机动条件可以提高状态变量的激励效果，也可以通过适当提高机动时间，提高状态变量的激励效果。
6 结论
机载SINS空中自标定能够满足惯导免拆卸的需求，能够提高飞机的日常维护效率。提出一种基于可观测性分析的机载SINS起飞阶段自标定方法，建立了惯导标定模型，采用基于PWCS的奇异值分解方法，对机动方式不同时，系统状态变量可观测度进行分析比较，不同的机动条件可以提高状态变量的激励效果，设计了一种充分利用机场附近差分GPS和机动条件的飞行轨迹。对3种基于不同观测量的惯导起飞阶段自标定分别进行仿真分析，基于速度误差观测量的惯导起飞阶段自标定方法精度较高，验证了本文标定方法和可观测性分析结论的有效性，具有实际意义。
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