1 引言
基于频谱分离的思想，制导控制系统设计的传统方法是将制导回路与控制回路视为两个完全独立的子系统，将二者分别进行设计，采用这种方法设计末制导弹药的制导控制系统时，系统的稳定裕度随着弹目距离的接近逐渐降低，经常存在弹体振荡甚至发散的现象；制导控制系统一体化设计能够充分考虑两个回路之间的耦合，在提高系统稳定性、降低脱靶量方面具有传统方法不可比拟的优势。Williams等 [1]最早提出了一体化的设计思路，基于最优控制的方法对捷联式导弹的制导控制系统进行了一体化设计，随后，国内外学者对于制导控制系统一体化设计做出了大量研究，其理论基础主要包括两方面：最优控制与滑模控制。在最优控制方面，文献[2]将系统模型线性化处理后，采用线性二次型最优控制理论得到了控制量的解析式，但该方法无法应用于气动不稳定弹体；文献[3-5]提出了基于状态相关Riccati方程(SDRE)进行一体化设计，SDRE的优势在于可将非线性系统控制问题转化为类似于线性二次型调节器(LQR)的设计问题，通过求解高阶代数Riccati方程进而完成控制量的解算。滑模控制具有滑模面可设计、鲁棒性强等特点，将其与反步法或动态面理论结合形成的反步滑模或动态面滑模控制，适合解决高阶非线性系统的多约束控制问题[6]，此外，还可利用扩张状态观测器对建模误差、参数摄动及目标机动等系统不确定性进行观测、反馈补偿[7]，降低对模型及参数准确度的要求，该方法是实现制导控制系统一体化设计的另一途径。
为提高末制导弹药的毁伤效果，通常要求末制导弹药能够以期望的攻击角命中目标[8]；另一方面，捷联导引头与传统框架式导引头相比，省去了框架结构与伺服装置，使导引头的体积、质量大大减小，对末制导弹药的小型化、低成本发展具有重要意义，然而捷联导引头的探测器直接固连于弹体，为制导控制系统设计引入了新的问题：导引头视场角受限[9]。针对上述问题，结合文献[9-10]的成果，本研究以动态面滑模控制及非线性扩张状态观测器为理论基础，对某末制导弹药的制导控制系统进行了一体化设计。
2 捷联制导控制一体化系统建模
定义qα、qβ分别为捷联导引头的体视线高低角和体视线方位角，其余物理量的符号定义见文献[11]。
为便于设计，所做研究基于以下假设：
假设1 末制导弹药速度矢量的前置角(速度方向与视线方向夹角)为小量，即弹体加速度在视线坐标系与弹道坐标系下的分量近似相等[12-13]；
假设2 末制导弹药在末制导段无动力飞行，目标静止或低速匀速运动，其机动加速度近似为0。
2.1 捷联导引头体视线角测量模型
由惯性导航系统、捷联导引头分别测量的弹体姿态角及目标体视线角，可通过构造“数字”平台的方法得到解耦弹目视线角。捷联导引头视线角的全解耦模型如下[8]：
(1)
其中：
A=cosϑ(cosγsinqα+sinγcosqαsinqβ)+
cosqαcosqβsinϑ
B=sinψ [sinϑ(cosγsinqα+sinγcosqαsinqβ) -
cosϑcosqαcosqβ]+cosψ(sinγsinqα-
cosγcosqαsinqβ)
C=sinψ(sinγsinqα-cosγcosqαsinqβ)-
cosψsinϑ(cosγsinqα+cosqαsinγsinqβ)-
cosqαcosqβcosϑ
某末制导弹药采用倾斜稳定控制，飞行过程中滚转角近似为0，捷联导引头视场角较小(≤10°)，体视线角满足“小角度假设”。基于上述分析，对式(1)求导并化简得到捷联导引头体视线角测量模型：
(2)
2.2 弹目相对运动模型
将末制导弹药与目标均视为质点，在假设1、假设2成立的条件下，弹目相对运动方程模型可简化为式(3)：
(3)
2.3 姿态控制模型
根据坐标系的转换关系，文献[10]推导了姿态控制系统的非线性模型。弹体在末制导段无动力飞行，该模型可简化为式(4)：
(4)
2.4 捷联制导控制一体化模型
选取系统状态变量：
系统输入变量：
综合式(2)～(4)得末制导弹药捷联制导控制一体化系统的数学模型：
(5)
式(5)中：
di表示由建模误差、气动参数摄动及目标机动等因素引起的系统不确定性，将在2.5节采用非线性扩张观测器对该项进行观测。
2.5 非线性扩张状态观测器
非线性扩张状态观测器(NESO)在观测非线性系统状态的同时，还能估计出施加于系统的干扰，利用观测值对系统的干扰进行实时补偿，可达到提高系统鲁棒性的目的；另一方面，通过估计系统的非线性因素并对其实施动态反馈补偿，将非线性系统转换为线性系统，从而可实现解耦控制，因此NESO被广泛应用于各类非线性复杂系统的鲁棒控制中。针对系统式(5)，设计如下NESO对系统的不确定性进行估计：
(7)
通过设计观测器参数 βi,1， βi,2，可实现
对系统状态xi及系统不确定性di的跟踪。
3 制导控制系统一体化设计
3.1 问题描述
所研究的制导控制系统一体化设计问题可描述为：通过设计一体化控制器u，使末制导弹药能够以特定角度命中目标，并使目标一直处于捷联导引头的视场内，同时弹体的所有状态参数全程保持稳定；该问题可进一步转化为：在控制器u的作用下，使系统式(5)能够渐进收敛，并满足弹目视线角约束及捷联导引头体视线角约束[14]。
3.2 控制器设计
1) 求x2的虚拟控制量
定义滑模面：
S1=x1
(8)
对其求微分可得：
(9)
设Q为捷联导引头的视场角，令：
针对式(9)，构造虚拟控制量[9]：
(10)
其中，K1、K11为设计参数。
基于动态面理论，采取将虚拟控制量x2c通过一阶滤波器的方式近似求其导数：
(11)
其中τ2为设计参数。虚拟控制量的导数为：
(12)
2) 求x3的虚拟控制量
设qyc为期望攻击角，增加状态变量：
定义滑模面：
S2=x2-x2d+C2x20
(13)
其中，C2为设计参数。
对式(13)求微分：
(14)
对于式(14)，构造如式(15)所示的虚拟控制量x3c。
(15)
通过一阶滤波器对虚拟控制量x3c求导：
(16)
(17)
其中，τ3为设计参数。
3) 求x4的虚拟控制量
定义滑模面：
S3=x3-x3d
(18)
对式(18)求微分：
(19)
构造如式(20)所示的虚拟控制量x4c：
(20)
对虚拟控制量x4c求导：
(21)
(22)
其中，τ4为设计参数。
4) 求一体化控制律u
定义滑模面：
S4=x4-x4d
(23)
对式(23)求微分：
(24)
针对式(24)，设计式(25)所示的控制量u：
(25)
式(15)—式(25)中，
为设计参数，sat(·)为连续的饱和函数，可改善滑模系统的抖振程度。
3.3 稳定性分析
本节利用李雅普诺夫稳定性理论对3.2节所设计控制器的稳定性进行分析。首先，定义滤波误差：
yi=xid-xic， i=1～4
(26)
其导数为：
(27)
构造李雅普诺夫函数：
V=V1+V2+V3+V4
(28)
其中：
V1 = 
(29)
(30)
(31)
对式(28)求导：
(32)
其中：
(33)
(34)
(35)
结合Young不等式[10,15]，将式(9)—式(10)、式(13)、式(27)代入式(33)中可得：
(36)
将式(14)、式(18)、式(23)、式(27)、式(15)、式(20)代入式(34)可得：
(37)
(38)
将式(24)、式(25)、式(27)代入式(35)可得：
(39)
将式(36)—式(39)代入式(32)中：
(40)
其中：
C = 
(41)
i=2～4
(42)
选择合适的参数，使式成立时下式成立：
(43)
假设
则
即当κ足够大，且设计参数满足式(42)的约束时，闭环系统式(5)总是渐进稳定的。
4 数学仿真及结果分析
将所提的制导控制系统一体化设计算法(IGC)应用于某型捷联末制导弹药，算法选取设计参数如表1所示，表中，i=1～4，diag(·)表示以(·)为主对角元的对角矩阵元素。
表1 设计参数
Table 1 Design parameters
参数取值参数取值β11diag(2.0)K1diag(0.1)β12diag(5.0)K2diag(3.0)β21diag(6.0)K3diag(3.0)β22diag(20.0)K4diag(20.0)β31diag(5.0)ρ2diag(0.1)β32diag(15.0)ρ3diag(0.05)β41diag(6.0)ρ4diag(0.02)β42diag(15.0)τidiag(0.05)K11diag(3e-10)Q10°C2diag(0.3)qyc-40°
为了验证设计策略的有效性，以末制导弹药的导引头捕获时刻作为末制导段的开始时刻，分别基于下述3个条件进行末制导段的六自由度弹道仿真。
条件1：目标静止、标称气动参数。将文献[10]中满足末端攻击角约束的一体化设计算法(简称TIGC)作为对比，弹道仿真结果如图1～图2所示。
图1 视线高低角曲线
Fig.1 Pitch line of sight angle
图2 导引头体视线角曲线
Fig.2 Body line of sight angle of seeker
条件2：目标机动正弦机动、标称气动参数。假设目标机动模型如式，利用非线性扩张状态观测器估计目标的加速度，仿真结果如图3～图6所示。
图3 弹目运动轨迹曲线
Fig.3 Trajectory of projectile and target
图4 视线高低角曲线
Fig.4 Pitch line of sight angle
图5 导引头体视线角曲线
Fig.5 Body line of sight angle of seeker
图6 目标加速度曲线
Fig.6 Target acceleration
VTx=10 m/s, VTz=1.2π·sin(0.4πt)m/s
(44)
条件3：目标机动正弦机动、气动参数摄动。假设目标作式(44)的正弦机动，且气动参数存在如表2所示的摄动，弹道仿真结果如图7～图8所示。
表2 气动参数摄动条件
Table 2 Perturbation condition of aerodynamic parameters
偏差项偏差值正偏差负偏差cαy-10%+10%cβz-10%+10%mδy-10%+10%mδz-10%+10%
在条件1下，TIGC和IGC的单次仿真脱靶量分别为0.22 m、0.13 m，由图1～图2可看出，2种方法的攻击角度误差均较小(0.5°)，能以给定角度对敌目标实现精确打击；但在接近过程中，TIGC的体视线角无法满足捷联导引头10°视场角的约束，存在目标失锁的风险，而所提的IGC算法能够保证目标始终处于导引头视场内。
在条件2下，IGC的单次仿真脱靶量为0.56 m，且由图6可看出，所设计的NESO能够较为准确地估计出目标加速度。
在条件3下，气动参数正向、负向摄动时单次仿真脱靶量分别为0.63 m、0.45 m，结合图7～图8可得， IGC能够适应目标机动与气动参数摄动同时存在的场景，可对敌目标精确打击，同时满足末端攻击角及捷联导引头视场角的约束条件。
图7 视线高低角曲线
Fig.7 Pitch line of sight angle
图8 导引头体视线角曲线
Fig.8 Body line of sight angle of seeker
5 结论
1) IGC算法使末制导弹药以特定的攻击角接近目标，能满足攻击角的约束条件，并具有较高的命中精度；
2) 在末制导段，IGC算法将体视线角一直约束在捷联导引头的视场内，可满足捷联导引头的使用需求；
3) 设计的NESO能够对建模误差、气动参数摄动及目标机动等系统不确定性实现精确观测，在控制律的设计中对观测值进行动态反馈补偿，有利于末制导弹药飞行稳定性及抗干扰能力的提升。
4) 所提算法对于解决末制导弹药的多约束、强鲁棒性的制导控制问题具有参考意义。
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