1 引言
武器装备效能评估在现代军事和作战问题研究中占据十分重要的地位，直接关系到对交战双方军事实力的认识。效能评估的方法有很多，比如AHP、幂指数法、ADC模型、对数法和模糊综合评价等等，其中AHP与幂指数法由于结构简单，易于计算，而得到广泛应用[1-5]。
AHP是美国匹兹堡大学Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种系统分析方法。近年来，许多学者对AHP做出改进，衍生出多种改进AHP，例如群组AHP、模糊AHP和区间AHP等等。夏亮等[6]提出了一种基于改进AHP和云模型理论评价方法，对雷达系统进行评估，并验证了该方法的可行性和科学性。尚柏林等[7]应用AHP确定指标权重，采用模糊综合评价法进行综合评判，对隐身飞机敏感性进行评估，为隐身飞机的论证、设计和作战使用提供了参考。赵彬等[8]以改进AHP确定权重，并结合模糊综合评价对指挥控制能力系统进行效能评估，并证明了该模型可以很好解决系统中存在的不确定问题。雷宁等[9]采用AHP确定武器导弹维修保障指标体系的权重，结合模糊综合评价法确定武器导弹维修保障效能。Song等[10]提出了一种基于云模型结合非线性模糊AHP的化工厂生产过程安全评价方法。Wang等[11]使用三角模糊AHP对煤矿开采风险进行评估，评价体系在评价过程中更加方便、准确和完整。Lee等[12]结合AHP和主成分分析法确定决策因素的权重，以确定武器系统的最佳选择。Sánchez-Lozano等[13]采用AHP和TOPSIS对备选方案进行评价，进而选择最佳军事训练飞机。姜进晶等[14]构建无人机协同控制下火箭炮作战效能评估指标体系，采用幂指数法评估效能。潘洪平等[15]采用AHP评估并联体系，幂指数法评估串联体系对装甲装备功能状态进行评估。
AHP广泛应用于效能评估中，把一个复杂的问题表示成一个有序的层次结构，计算权重，从而计算效能。目前，研究内容主要集中在判断矩阵、比例标度、一致性问题、可信度上，但并未改变经典AHP采用底层指标线性加权模型的本质，对于非线性体系效能评估误差较大。
幂指数模型广泛应用于串联体系效能评估中，经典幂指数法中指数为指标权重，而指标权重取值处于0～1，对于实际指数大于1的串联体系会产生较大误差。
为更加精准评估系统效能，提出二阶AHP模型和改进幂指数模型，并充分利用2种模型的优势，构建武器装备系统效能评估的非线性模型。该模型可用于串联、并联和混联体系的效能评估，对线性体系，可退化为经典模型。
2 非线性效能评估模型
由于经典AHP采用线性加权模型，无法从理论上保证“当任意底层指标效能为0时，体系效能为0”。因此，对于串联体系采用改进幂指数法，对于非串联体系采用二阶AHP，对于混联体系可将其拆分成非串联与串联部分，然后分别采用二阶AHP与改进幂指数对其进行评估。效能评估模型为
E=λ1Es+λ2EI
(1)
其中：Es为二阶AHP模型；EI为改进幂指数模型；当评估系统为非串联模型时，λ1=1,λ2=0；当评估系统为串联模型时，λ1=0,λ2=1。
2.1 二阶AHP模型
设顶层指标效能为Es，底层指标i的效能为ei∈[0,1]，则二阶AHP模型的数学表达式为
(2)
其中： f(ei)为底层指标ei的二次函数；当ei=0时， f(ei)=0；当ei=1时， f(ei)=1。
在ei=1/2处，对f(ei)进行二阶泰勒展开，为
(3)
当ei=0时
(4)
当ei=1时
(5)
将式(4)、式(5)相加，得
(6)
将式(4)、式(5)相减，得
(7)
将式(6)、式(7)代入式(3)，得
(8)
将式(8)代入式(2)得
(9)
式(9)为顶层指标效能与底层指标效能的二阶数学表达式。当ei=1/2时，
故
物理意义为：当底层指标效能均取1/2时，顶层指标的效能值。
底层指标效能函数f(ei)为二次函数，当二次函数对称轴处于[0,1]时，f(ei)可能取值为负数或大于1，而效能范围为[0,1]，因此需要对f(ei)进行修正。由式(8)可知，底层指标效能函数f(ei)的对称轴坐标eL为
(10)
当
时，f(ei)的二次项系数等于零，二阶AHP将退化成经典AHP；当
时，f(ei)的对称轴坐标eL小于等于零，且开口朝上；当
时，对称轴坐标eL大于等于1，且开口朝下；当
时，对称轴位于(0,1/4]，开口朝上，故f(ei)在[0,1]内会出现小于0的情况，故需要对其进行修正。修正方法为：二次函数采用直线进行代替，即当ei∈[0,1/2]时，
当
时，对称轴位于[3/4,1)，开口朝下，故f(ei)在[0,1]内会出现大于1的情况，故需要对其进行修正。修正方法为：二次函数采用直线进行代替，即当ei∈(1/2,1]时，
综上所述，f(ei)数学表达式如下：
当时
f(ei)=ei
(11)
当
时
(12)
当时
(13)
当
时
(14)
当分别取1/8、1/3、1/2、2/3和7/8时，函数f(ei)如图1。
图1 f(ei)与ei关系曲线
Fig.1 Graph of f (ei) and ei
2.2 改进幂指数模型
对于串联体系，当任意一个底层指标效能为零，则顶层指标效能为零，故顶层指标效能为底层指标效能乘积。设顶层指标效能为EI，底层指标i的效能为ei，则改进幂指数模型的数学表达式为
(15)
其中：c为待定常数。
从式(15)可知，改进幂指数模型与经典幂指数模型相差常数c，即改进幂指数模型可以更加精准评估实际指数大于1的串联体系效能。待定常数c的确定过程如下：当底层指标效能均取ei=1/2时，若顶层指标效能
已知，则可由式(15)求出c，即
2.3 基本步骤
1) 建立评价指标的层次结构；
2) 通过经典AHP或已有数据确定权重ωi；
3) 专家根据已有信息或系统非线性程度，打分确定当底层效能均取1/2时系统顶层效能值，即确定值；
4) 确定指标体系中各系统串并联关系，确定非线性效能评估模型中的λ1和λ2值；
5) 根据值，计算f(ei)和常数c；
6) 根据式(1)评估系统效能值。
通过以上步骤可知，本文以经典AHP和经典幂指数模型为基础，构建非线性评估模型。因此，非线性评估模型的应用领域与经典AHP和经典幂指数模型相同，既可以用于效能评估又可以用于能力评估，以及装备系统其他相关性能的评估。
3 算例
3.1 算例1
设某并联体系顶层指标效能E与底层指标效能e1和e2之间的关系为
(16)
1) 经典AHP
将e1和e2分别在0～1之间均匀生成10个样本点，组合构建出100个样本点并通过式(16)计算解析解，然后根据100个样本点以及解析解，通过优化得到权重。计算结果为
故经典AHP的数学表达式
E=e1/2+e2/2
(17)
2) 本文方法
由于该系统为并联体系，故λ1=1,λ2=0。当e1=e2=1/2时，顶效能解析解为E=1/4，即
故采用式(12)计算f(ei)，即
则本文方法数学表达式为
(18)
3) 结果讨论
分别采用经典AHP和本文方法评估文中构建的100个样本点效能值、并与解析解对比，如图2所示。由图2可知：采用本文方法给出的效能值比经典AHP更接近解析解，产生决策性错误的机率远低于经典AHP。
图2 评估结果(算例1)曲线
Fig.2 Results of evaluation (example 1)
3.2 算例2
该算例源自文献[16]为火力打击能力评估，为串联体系，火力打击能力CH计算数学模型为
CH=(1-tF/t)πr2PSDW/S
(19)
其中：火力反应时间tF为趋小型指标，tF∈[0,t]；弹药杀伤半径r、射击精度PS和弹药威力DW均为趋大型指标，
和DW∈[0,1]；t表示战斗持续时间，S表示目标覆盖面积。
1) 解析解
tF为趋小型指标，将趋小型指标转化成能力，即CtF=1-tF/t，r为趋大型指标，将趋大型指标转化成能力指标，即
将CtF，Cr代入式(19)得
(20)
2) 经典幂指数法
采用算例1相同的优化方法确定权重，则经典幂指数模型的数学表达式为
(21)
3) 本文方法
由于该系统为串联体系，故λ1=0,λ2=1。当CtF=1/2、Cr=1/2、PS=1/2和DW=1/2时，解析解为1/32，即
根据
可确定c=5，故本文方法数学表达式为
(22)
对比式(20)和式(22)可知，本文方法给出的表达式与解析解完全相同。
4) 结果讨论
文献[16]中假设在一个阵地上的作战时间为 5 min，射击目标幅员 100 m×100 m，并给出了M777轻型火炮、FH-77B牵引火炮、T-240 mm 榴弹炮以及66 式 152 mm 榴弹炮的性能指标，见表1所示。
表1 4种火炮性能指标
Table 1 Performance index of the four artillery
武器型号火力反应时间弹药杀伤半径射击精度弹药威力M77755600.981.0FH-77B65450.951.066-15260500.901.0T-24070400.921.0
将解析解、经典幂指数法以及本文方法的评估结果绘于图3所示。由图3可知：本文方法优于经典幂指数法，产生决策性错误的机率小于经典幂指数法。
图3 评估结果(算例2)图
Fig.3 Results of evaluation (example 2)
3.3 算例3
该算例源自文献[15]，为装甲装备功能状态评估，整装功能状态由火力功能状态、机动功能状态、防护功能状态和通信功能状态组成。该算例仅介绍本文方法计算过程，经典方法、权重以及底层功能状态评估结果详见文献[15]。
1) 火力功能状态—串联体系
火力系统由武器系统、火控系统和观瞄系统组成，则
(23)
当e11=e12=e13=0.5时，由专家打分确定e1=0.125，求解c1=3，则e1表达式为
(24)
2) 机动功能状态—串联体系
机动系统由动力装置、传动及其操纵装置和行动装置组成，则
(25)
当e21=e22=e23=0.5时，由专家打分确定e2=0.125，求解c2=3，则e2表达式为
(26)
3) 防护功能状态—并联体系
防护系统由车体及炮塔、三防装置、灭火装置和烟幕装置组成，当e31=e32=e33=e34=0.5时，由专家打分确定e3=0.5，则e3表达式为
e3=0.5e31+0.2e32+0.2e33+0.1e34
(27)
4) 通信功能状态—并联体系
通信系统由电台、车通和辅助工具组成，当e41=0.5=0.5=0.5时，由专家打分确定e4=0.75，则e4表达式为
e4=0.5f(e41)+0.4f(e42)+0.1f(e43)
(28)
(29)
5) 整装功能状态—并联体系
当e1=e2=e3=e4=0.5时，由专家打分确定E=0.6。则E的表达式为
E=0.44f(e1)+0.29f(e2)+0.16f(e3)+0.11f(e4)
(30)
其中：
装甲装备功能状态评估结果见表2所示。功能状态评估标准为：功能正常[0.7～1]、功能下降[0.5～0.7]、功能严重下降[0.3～0.5]和丧失功能[0～0.3]。
表2 装甲装备功能状态评估结果
Table 2 Evaluationresult of armor equipment functional status
方法火力功能状态机动功能状态防护功能状态通信功能状态整装功能状态经典方法[15]下降下降正常下降下降0.640.630.730.60.65本文方法丧失丧失正常下降严重下降0.260.250.730.60.45
6) 结果分析
火力系统由武器系统、火控系统和观瞄系统组成，三者为串联体系，由文献[15]中可知：火控系统功能状态为“严重下降”，因此火力功能状态必定为严重下降或者功能丧失，经典方法评估结果为“下降”，与实际不符。
机动功能状态为串联体系，由动力装置、传动及其操纵装置和行动装置组成，由文献[15]中可知：行动装置功能状态为“严重下降”，因此机动功能状态必定为严重下降或者功能丧失，经典方法评估结果为“下降”，与实际不符。
本文方法采用非线性模型，火力功能状态和机动功能状态评估结果均为“丧失”，符合串联系统的一般规律和基本原理。另外，由于各分系统评估结果不同，本文方法对整装功能状态评估结果为“严重下降”，而经典方法评估结果为“下降”，评估结果相差一个级别。若采用经典方法的评估结果，对于实际装备而言，在战争中无法完成作战任务的可能性增大，影响战争的胜率。
4 结论
1) 针对经典AHP和经典幂指数法的缺陷，基于泰勒展开建立二阶AHP加权模型以及改进的幂指数模型，充分利用2种模型的优势，构建武器装备系统效能评估的非线性模型。该非线性模型可用于串联、并联和混联体系的效能评估，对线性体系，可退化为经典模型。
2) 算例1和2表明，采用本文方法评估结果相比于经典方法更接近解析解。算例3表明，对于无解析解问题，本文方法相比于经典方法更符合实际。对于武器装备而言，若评估误差较大会给决策者提供错误的信息或带来负面影响，采用本文方法可减少产生决策性错误的机率，提高战争胜率。
3) 本文方法引入了
的物理意义为当底层指标效能均取1/2时，顶层指标的效能值。经典方法一般采用专家打分确定各指标的权重值。在打分过程中，专家可同时打分确定
不增加专家会评次数。
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