1 引言
钢筋混凝土结构在建筑工程、桥梁和交通工程、水利和海港工程、地下工程和特殊结构等领域具有广泛的应用[1]。钢筋混凝土结构在工作过程中除了承受正常的设计荷载外，有时还要承受爆炸、冲击和撞击等动态荷载[1-2]。爆炸、冲击类强动载以短历时、高幅值及变化剧烈为特征，这意味着结构材料将承受高应变率[3]。大量研究表明[4-5]，在高应变率下，钢筋和混凝土材料均表现出不同于静态荷载作用下的强度和变形特性。材料的动态力学性能是钢筋混凝土结构动态安全分析的重要基础，因此对不同荷载作用下钢筋材料动态力学性能得研究具有重要意义。
钢材的应变率效应很早就被发现，材料的屈服强度随应变率增大而提高，并存在屈服滞后现象，图1为软钢在不同应变率下的应力应变曲线[3]。Manjoine等[6]研究了欧洲使用的钢筋在应变率范围为3×10-4 s-1～1×101 s-1下的力学性能，发现随着应变率的增加，屈服强度增加，强屈比降低。CEB[7]研究了不同类型的钢筋在单调加载时的应变率效应，发现随着应变率的提高，屈服强度、抗拉强度和极限应变均提高，弹性模量不受影响，并给出了不同类型钢筋的动力提高系数表达式。Malvar等[8]和Soroushian等[9]拟合了前人的试验数据，分别提出了指数和对数函数形式的经验公式。
图1 软钢的动态应力应变曲线
Fig.1 Dynamic stress-strain curve of mild steel
我国的钢筋产品分为热轧钢筋、中高强钢丝和钢绞线以及冷加工钢筋三大系列，钢筋混凝土结构中以热轧钢筋使用最为广泛[1,2]。现行国标《混凝土结构设计规范(GB50010—2010)》[10]将建筑钢筋按牌号分为4种，分别为HPB300，HRB335和HRBF335，HRB400、HRBF400和RRB400，HRB500和HRBF500。其主要力学性能指标如表1所示[1]，普通钢筋屈强比在0.7～08，钢材强度等级越高，塑性变形越小，屈强比随着钢材强度的提高而增大并逐步趋近于1，超高强钢的屈强比约为0.90～0.95。我国建筑钢筋由低强钢发展为中强和高强钢种为主，其中低强度的HPB235钢筋已被提高为HPB300钢筋，但已建成的建筑结构中仍存在大量的HPB235等低强度钢筋混凝土结构，其动态力学性能的研究仍有现实意义。
表1 钢筋的主要力学性能指标
Table 1 The main properties of steel bars
牌号直径d/mm屈服强度/MPa极限强度/MPa弹性模量/GPa伸长率/%HPB3006～22300420210>10.0HRB3356～50335455200>7.5HRB4006～50400540200>7.5HRB5006～50500630200>7.5
钢材的动态力学性能和本构模型已有大量研究，但针对我国建筑钢筋的研究结果还相对较少。因此，本文中介绍了目前我国建筑钢筋动态力学性能的试验方法和主要研究成果，包括实验设备及其适用的应变率范围；总结了HPB235，HRB335，HRB400和HRB500等4种钢筋的动态力学性能指标，并讨论了钢筋的动态本构模型研究现状及模型参数取值，为钢筋混凝土结构动态响应的精细化数值模拟提供参考。
2 钢筋的动态力学性能试验
2.1 应变率范围与动态加载技术
钢筋混凝土结构在不同类型的动荷载作用下，材料响应的应变率变化范围很大，材料应变率的典型值如表2所示[1]。从表2可知，即使在同一类型荷载作用下，材料的应变率变化范围也很大。在核爆炸情况下，材料的应变率比材料力学性能标准试验的应变率高出数千倍；在超高速撞击作用下，材料的应变速率则达到102 s-1以上，变化范围达4个量级左右。从钢筋混凝土结构的实际工作情况来看，在爆炸、冲击等强动态荷载作用下，钢筋混凝土结构中材料应变率响应范围从近区的高应变率一直变化到远区的低应变率。钢筋混凝土结构中材料的应变率一般小于104 s-1。
表2 材料应变率的典型值
Table 2 Typical value of material strain rate
荷载类型应变率/s-1地震5×10-3～5×10-1打桩1×10-3～1×100核爆炸2.5×10-2～4×10-1飞机撞击5×10-2～2×100超高速撞击1×102～1×106混凝土材性试验1×10-5～2×10-5钢筋材性试验5×10-5～1×10-4结构试验5×10-7～5×10-6
按照试验设备动力源的特点以及所适用应变率的范围，主要包括：液压试验系统、落锤试验系统、SHPB试验系统和射弹试验系统等[4]。针对所研究问题应变率范围的不同，选用相应的动力试验设备，如表3所示。其中，低应变率的试验采用液压或气压设备。落锤试验系统构造比较简单，但无法考虑惯性效应，难以精确测量作用在试件上荷载，相关试验得不到应力应变曲线，所测得的试验数据只能进行相对意义上的比较。SHPB试验是研究应变率在10～103 s-1材料动态力学性能的主要试验手段，试验中材料处于一维应力和三维应变状态。为获得较高的加载速率，通常采用平板撞击试验，此时对应材料的三维应力和一维应变状态；平板撞击试验需要借助其他的试验装置进行动载试验，如轻气炮装置。不同应变率范围试验的难易程度也相差巨大，高应变率越高的试验数据越难得到。
表3 不同类型设备所适用的应变率范围
Table 3 Strain rate range applicable to different types of equipment
应变率/s-110-6～11～1010～103103～105设备类型液压落锤SHPB射弹
钢筋的力学性能试验一般采用光圆试件。在钢筋的准静态力学性能试验中，试件的标距长度L0通常为5d或10d，直径d一般为5～10 mm[11]。在动态力学性能试验中并无相应的规范，主要根据试验设备的特点和材料的性能进行设计。在低应变率范围的液压试验中，试件一般加工成与准静态试验相同的试件[12]。在SHPB试验中，试件长度的设计主要考虑试件中SHBP技术的2个基本假定，长径比可确定为：[11]
(1)
式(1)中：υ为泊松比，按式(1)确定的长径比通常在0.5～1.0范围；对压缩试验，试件直径d一般为0.8倍的杆径。在动态力学性能试验中，对试件的加工精度均要求较高，SHPB试验中一般要求平行度在0.01 mm公差范围以内。
结构中，钢筋在屈服后的应变率难以准确计算，目前的处理方法主要是将应变率
假设为定值或采用加载率取代应变率的方法[12]。在材料试验中，材料的应变率也通常按平均应变率计算，拉伸试验中一般将屈服前的应变率作为屈服阶段的应变率[3,12]；SHPB试验中，反射波信号可代表材料中的应变率时程曲线，通常，平均应变率取应变率时程曲线上升段拐点至曲线下降段与上升段拐点值相同的点这一段应变率的平均值[11]。孙文彬等[18]根据爆炸荷载的作用特征，用通用的单自由度模型，从Duhamel积分入手，研究爆炸荷载下钢筋混凝土梁任意截面应变率的分析方法，导出了跨中截面应变率的计算式。在结构分析中，不同位置材料的应变率变化范围大，只有在离散后的数值模型中才能计算得到结构中不同位置的应变率。
综上所述，在不同荷载作用下钢筋混凝土结构中的应变率响应范围大，开展钢材的动态力学性能试验，需要用到多种动力设备。动态加载技术的发展促进了材料动态力学行为的研究。在材料动力试验标准方面，尚无统一规范，但钢材的均质性较好，各类试件的试验具有较好的对比性。
2.2 钢筋的动态力学性能试验研究
2.2.1 普通钢筋
陈肇元等[12]在20世纪七八十年代采用自行研制的气压-液压式快速变形加载机，开展了A3、A5、16SiTi、25SiTi、16Mn、14MnNb、16MnNb、20MnNb和25Mnsi等9个钢种、34批钢筋，共计516个钢筋试件在快速变形下的抗拉性能试验研究。钢筋屈服强度在265～500 MPa，应变率在3×10-4 s-1～1×101 s-1，并以3×10-4s-1为准静态应变率，而钢筋屈服后的应变率以屈服前的应变率作为近似代表。通过大量的试验得到了我国早期建筑钢筋的动态力学性能变化规律为：随着应变率的增加，钢筋屈服强度显著提高，且静屈服强度越低的钢筋，提高的幅度越大；钢筋的上屈服强度比下屈服强度提高的大，但上屈服强度的数值离散性大；钢筋存在屈服滞后现象；钢筋的极限强度提高幅度远小于屈服强度的提高幅度，部分钢种基本没有提高；极限延伸率没有变化，断口形状均没有明显变化。
陈肇元等[12]还进行了钢筋抗压强度在快速变形下提高比值试验研究，认为拉、压试件在快速变形下的屈服强度提高比值，符合同一规律。并通过试验研究认为初始静应力对钢筋动态力学性能基本无影响。
宋军[13]在疲劳试验机上进行了循环加载下低碳钢在4.8×10-4 s-1～1.2×10-2 s-1的应变率效应试验研究。研究结果表明，随着应变率的提高，低碳钢的屈服强度提高，弹性模量不变，屈服平台变小，Baushinger效应减弱。
林峰等[14]采用静力和高应变率试验系统，研究了建筑钢筋HPB235，HRB335，HRB400在静载和应变率为2.0～80 s-1下的力学行为。结果表明：随着应变率的增大，建筑钢筋的屈服强度和极限强度提高，且屈服强度的提高幅度大于极限强度的提高幅度；屈服强度较低的钢种比屈服强度较高的钢种呈现更加明显的应变率敏感性。林峰等[15]还对HRB500的高强钢筋在应变率为4.9～59.0 s-1下的力学行为进行了试验研究。
李敏通等[16]对目前国内常用的建筑钢筋HPB235，HRB335，HRB400在2.5×10-4 s-1～0.1 s-1应变率范围的单调拉伸和拉压循环行为进行了试验研究，试验结果表明：随着应变率的提高，钢筋特征强度提高，强度低的钢筋比强度高的钢筋对应变率敏感。单调加载下，钢筋直径几乎不影响应变率的敏感性；并根据试验结果，建立了动力提高系数与应变率和准静态屈服强度的关系。
黄晓莹等[17]采用旋转盘冲击拉仲试验系统对HPB235，HRB335和HRB400钢筋进行了应变率为400～2 000 s-1的动态拉仲试验。结果表明：3种钢筋材料存在不同程度的应变率强化效应，随着应变率的增大，其屈服应力增大；静力屈服强度较低的钢筋材料比静力屈服强度较高的钢筋材料对应变率更敏感；并对典型Johnson-Cook本构模型中应变率项进行了修正。
高永红等[18]利用KCB-5型快速加载试验机对新III级钢筋进行了静载和应变率为1.5～100 s-1的动力性能试验，完整给出了材料的动态应力时程曲线；然后利用KG500型快速加载试验机对不同配筋率、不同混凝土强度的梁进行了快速加载条件下的抗弯性能试验，比较研究了新III级钢筋与普通II级钢筋混凝土梁的动态抗弯承载性能及其与配筋率及混凝土强度的变化关系。结果表明：新III级钢筋具有良好的动态力学性能，随变形速率增加，其屈服强度提高，但塑性保持不变；在防护结构中合理采用新III级钢筋具有良好的综合效益。同时指出了在使用中应注意与混凝土强度匹配的具体问题。
2.2.2 高强钢筋
目前，国内外对高强钢静态和准静态力学性能的大量研究表明：高强钢的屈强比随着钢材强度的提高而增大并逐步趋近于1，超高强钢的屈强比约为0.90～0.95；高屈强比与低延性、低韧性并无必然联系，高强钢具有与普通钢材几乎相同甚至更优的韧性。国内新研制的HHT600高强钢筋具有抗拉强度高的特点，在一些工程中开始替代普通钢筋[19]。侯小伟等[20]研究了高强钢筋混凝土板的抗爆性能。陈肇元[12]研究了400～500 MPa高强钢筋在快速变形下的性能，认为高强钢筋的动态力学性能随应变率的变化与普通钢筋的类似。乔燕等[25]开展了HRB600高强钢筋拉伸力学性能试验，并拟合得到HRB600高强钢筋在高应变率下的强度提高系数。李磊等[26]开展了HRB400、HRB500高强钢筋和 HTRB600、HTRB700 新型高强钢筋的静态、快速和高速拉伸试验，测得了不同应变率下的应力—应变曲线，并拟合得到动态力学性能参数。
然而，对于建筑结构用高强钢的动态力学性能研究，目前的研究成果相对较少，尚不能满足土木工程结构抗震、防撞和抗爆设计需要，在结构设计中未能广泛采用高强钢筋。防护结构中使用较多的是低碳热轧钢筋[2]，这种钢筋的应力应变曲线都具有明显的屈服平台，属“软钢”。对无屈服点的钢筋应用较少，由于冷加工处理的钢筋伸长率低、塑性变形能力差，防护结构一般不采用。
根据上述研究结果可得到以下结论：随着应变率的提高，钢筋的屈服强度显著提高，极限强度稍有增长，强屈比下降，初始应变硬化的应变单调增加，弹性模量保持不变；钢筋的静屈服强度越高，快速加载时强度提高越小。新型钢筋动态力学性能的变化规律与我国早期建筑钢筋的变化规律基本一致。但试验的应变率范围较小，主要在1×10-4 s-1～1×102 s-1的低应变率之间，且试验数据不多；缺乏HPB300级钢筋的动态力学性能试验；对断裂试验的研究开展较少。另外，钢材在使用时还会采用冷拔强化等工艺，在不同工艺处理后，钢筋的动态力学性能试验尚未见系统研究的报道。
3 钢筋的动态力学性能指标取值
钢筋在动态荷载作用下存在明显的应变率效应，钢筋的屈服强度、强度极限和极限应变等力学性能指标均随应变率的变化而变化。
3.1 动态屈服强度
在钢筋混凝土结构计算中，一般采用动力提高系数(dynamic increase factor，DIF)来表征材料的应变率效应，即材料动态极限强度与静态极限强度之比值[2]。钢材的屈服强度随应变率的提高而增加，增加幅度随钢材种类不同而不同。CEB[7]给出的热轧钢筋的屈服强度随应变率的变化规律为：
(2)
式(3)中：
为当前应变率；
为准静态应变率5.0×10-5 s-1； fys、 fyd分别为钢筋的准静态和动态屈服强度。
Malvar等[8]拟合了屈服强度为290～710 MPa钢筋在10-4～224 s-1的试验数据，提出了指数函数形式的计算公式为：
(3)
(4)
式(3)～(4)中， fys、 fyd分别为钢筋的静态和动态屈服强度。
林峰等[14-15]根据2.0～80 s-1的试验结果，根据不同钢筋提出的拟合公式为：
(5)
式(5)中：为当前应变率；为准静态应变率3.0×10-4 s-1； fys、 fyd分别为钢筋的准静态和动态屈服强度。HPB235、HRB335、HRB400、HRB500的D1值分别为10.05、8.73、8.72、9.72。
李敏等[16]对目前国内常用的建筑钢筋HPB235，HRB335，HRB400在2.5×10-4 s-1～0.1 s-1应变率范围的试验结果，提出了应用上更为简便的拟合公式为：
(6)
cf=0.1709-3.289×10-4fys
(7)
式(6)～(7)中： fys、 fyd分别为钢筋的准静态和动态屈服强度；为准静态应变率2.5×10-4 s-1。
黄晓莹等[17]根据应变率为400～2 000 s-1的动态拉伸试验的试验结果，提出了适用于高应变率下的拟合公式为：
(8)
式(8)中：为当前应变率；为准静态应变率3.0×10-4 s-1； fys、 fyd分别为钢筋的准静态和动态屈服强度；HPB235、HRB335、HRB400的C值分别为5.2、4.5、1.9×10-5；k值分别为0.455、0.490、0.510。
图2给出了各公式对钢筋屈服强度的预测，在2.5×10-3～80 s-1应变率范围，李敏[16]给出的预测公式精度较高；黄晓莹等[17]给出的公式虽然考虑了低应变率到高应变率，但仅对高应变率范围有一定适用性，对低应变率范围的预测值偏低。这是由于在不同应变率方位内的动力屈服强度的提高机理不同，而线性的预测公式只在一定应变率范围内有效。CEB[8]提出的公式对我国钢筋并不完全适用。我国钢筋动态力学性能试验数据仍较少，需要开展更多的试验研究。
图2 钢筋的屈服强度动力提高系数
Fig.2 Dynamic increase coefficient of yield strength
3.2 动态极限强度
CEB[7]给出了热轧钢筋进行强度随应变率的变化规律为：
(9)
式(9)中:为当前应变率；为准静态应变率5.0×10-5s-1； fus、 fud分别为钢筋的准静态和动态极限强度。
Malvar等[8]拟合了290～710 MPa钢筋在10-4～ 224 s-1的试验数据，提出指数函数形式的公式为：
(10)
(11)
式(10)～(11)中， fus、 fud分别为钢筋的准静态和动态屈服强度。
林峰[14-15]，根据不同钢筋提出的拟合公式为：
(12)
式(12)中：为当前应变率；为准静态应变率3.0×10-4 s-1； fus、 fud分别为钢筋的准静态和动态屈服强度；HPB235，HRB335，HRB400，HRB500的D2值分别为6.38、6.54、6.54、7.78。
李敏[16]根据不同钢筋提出的拟合公式为：
(13)
cu=0.027 38-2.982×10-4fus
(14)
式(13)～(14)中： fus、 fud分别为钢筋的准静态和动态屈服强度；为准静态应变率2.5×10-4 s-1。
图3给出了各公式对钢筋极限强度的预测，林峰等给出的拟合公式，综合考虑了更多的试验数据，具有较好的预测效果。
图3 钢筋的极限强度动力提高系数
Fig.3 Dynamic increase coefficient of ultimate strength
3.3 特征应变值
钢筋在一维应力状态下的特征应变包括：弹性极限应变、屈服平台长度、强化起始应变和极限强度对应的应变值等。为完整描述钢筋的单轴本构关系，这些特征应变值应该得到，但在动态荷载作用下钢筋的特征应变值的数据较少。研究表明[12,21]，高应变率下钢材的均匀延伸率明显降低，但断裂延伸率对应变率不敏感。林峰等[14-15]假设高应变率作用下钢筋屈服平台长度及极限强度对应的应变，与静力作用下其保持不变，并给出了静力作用下钢筋应力应变曲线上的特征值，如表4所示。
表4 不同钢筋的特征应变参数取值
Table 4 Values of characteristic strain parameters of steel bars
钢筋牌号屈服平台长度极限应变HPB2350.016 230.153HRB3350.008 170.153HRB4000.018 430.156HRB5000.008 400.095
注：屈服平台起始应变可按屈服强度与弹性模量之比得到。
Soroushian等[9]认为极限应变随应变率提高出现微量增加，可表达为：
(15)
式(15)中，εus、εud分别为钢筋的准静态和动态极限应变。
李敏[16]根据不同钢筋提出的动态应变硬化起始应变拟合公式为：
(16)
ch=0.932 4-2.12×10-3fys
(17)
式(16)～(17)中： fys、 fyd分别为钢筋的准静态和动态屈服强度；为准静态应变率2.5×10-4 s-1。
3.4 应变强化模量
一般认为初始弹性模量对应变率不敏感，而塑性强化模量显然会随应变率的提高而降低，因为同一钢材的屈服强度提高幅度要大于极限强度的提高幅度。塑性硬化模量通常不能从试验中直接得到，而是先得到应变硬化参数，通过式(18)给出，即：
(18)
式(18)中，Ep为应变硬化参数。
在动态荷载下，Soroushian等[9]认为钢材硬化模量与应变率成对数相关，即：
(19)
式(19)中，Ets、Etd分别为钢筋的准静态和动态塑性硬化模量。
黄晓莹[17]根据应变率为400～2 000 s-1的动态拉伸试验的试验结果，采用双线性模型进行拟合，得到不同应变率下的塑性硬化模量，并提出了拟合公式为：
(20)
式(20)中：为当前应变率；为准静态应变率3.0×10-4 s-1；Ep0、Ep分别为钢筋的准静态和动态塑性硬化模量；HPB235、HRB335、HRB400的C值分别为0.35、0.30、0.20。
4 钢筋的动态本构模型
在强冲击荷载作用下计算钢筋混凝土结构，需要考虑钢筋的大塑性变形以及在混凝土裂纹处作用纵向力、横向力和弯矩时钢筋的强度等问题。钢筋的本构模型应该能反映这些响应特征。钢材的动态本构模型主要包括修正的准静态模型、经验模型和基于位错动力学的本构模型。由于钢筋在混凝土结构中的主要作用是承受拉力，在大多数结构分析中只考虑钢筋的纵向拉压应力，钢筋往往采用较简单的本构模型。因此，本文中主要介绍修正的准静态本构模型和经验模型，基于位错动力学的本构模型可参考综述文献[21]。
4.1 修正的准静态模型
金属材料的准静态本构模型主要采用弹塑性模型，包括屈服准则、流动模型和硬化模型，文献[22]对宏观弹塑性本构模型进行了综述。根据钢筋的应力应变关系曲线上有无明显的屈服台阶，可将钢材分为软钢和硬钢等2个大类。曲线上的一些特征点反映了钢材受力破坏过程的各种物理现象。在实际计算中，广泛采用直线段来代替应力应变图中的曲线段的方法，图4为4种典型的简化准静态本构模型曲线。
图4 钢材的简化准静态本构模型曲线
Fig.4 Quasi-static constitutive model of steel
在材料本构模型中考虑应变率效应最简单的方法就是在准静态本构模型基础上进行修正。承受瞬间动力荷载的钢筋混凝土构件，在计算时，通常假定缓慢加载和快速加载时钢筋变形图的一般特征基本保持不变。因此，可以利用与静力加载时相似的变形图形，仅改变屈服强度和极限应变等主要参数。
4.1.1 理想弹塑性模型
对钢材屈服平台较长的低强度钢筋，且其极限应变较小的可采用理想弹塑性模型，其表达式为：
(21)
式(21)中：E为弹性模量；σ0为屈服应力；ε0为屈服应力对应的应变。
在理想弹塑性模型中关键参数有弹性模量、屈服应力和极限应变。弹性模量一般认为与应变率无关，屈服应力按动力提高系数确定，极限应变按表3中选取并认为受应变率影响较小。得到的应力应变曲线如图5所示。
图5 理想弹塑性本构模型曲线
Fig.5 Ideal elastoplastic model
4.1.2 双折线模型
对高强钢筋可采用双折线模型，用2个直线段表示钢筋的弹性段和硬化段。其数学表达式为：
(22)
式(22)中，Et为塑性强化模量。
双折线模型关键是强化段的描述。在准静态荷载下，强化段的斜率一般取为0.01E[1]。在动态荷载作用下，文献[17]采用拟合相交方法确定本构模型，将钢筋的静载弹性模量作为斜率，得到弹性段应力应变曲线。在考虑应变率效应的基础上，考虑强化段的描述。双折线模型主要是合理考虑硬化段的影响，应首先考虑屈服强度和极限强度的应变率效应，并假设弹性模量和极限应变的应变率效应，即可得到双折线本构模型曲线如图6。
图6 双折线本构模型曲线
Fig.6 Double polyline model
4.1.3 三段线模型
为更准确地估计屈服后钢筋的力学行为，对具有明显流幅的钢筋可采用三段线模型，分别为弹性段、屈服平台段和强化段，表达式为：
(23)
式(23)中：ε0,h为强化阶段的起始应变；其他符号含义同式(12)。
三段线模型的关键在于屈服平台长度的确定方法。文献[14]假设屈服平台的长度同静载作用下的长度相同。但试验表明，随着应变率的提高，屈服平台长度减小。采用三段线模型是为了更加精确描述，因此有必要更加准确地确定屈服平台的长度。可采用文献[14]方法确定硬化模量、极限应力和极限应变，即可得到屈服平台的长度。三段线模型如图7所示。
图7 三段线本构模型曲线
Fig.7 Three-segment model
为了将一维的本构关系推广到一般的三维应力状态，通常假定Mises准则随应变率提高继续成立[3]，只需把公式中的一维应力、应变和应变率等代之以等效应力、等效应变和等效应变率，就可以得到率型本构方程。等效应变率的表达式为：
(24)
式(24)中，ε1、ε2和ε3为主应变。
综上所述，修正的准静态本构模型，在形式上简单，考虑了应变率效应，在低应变率范围内具有较好的适应性。随着数值模拟技术的发展，还可以得到更加精细的应力应变曲线。
4.2 经验模型
由于钢材具有良好的弹塑性性质，只需要合理计及动态屈服强度和屈服准则的变化即可得到动态模型。经验模型主要是根据宏观试验结果建立经验公式基础上得到的本构模型，主要有Cowper-Symonds模型和Johnson-Cook模型等。
4.2.1 Cowper-Symonds模型
Cowper和Symonds[23]根据金属材料在不同应变率下屈服应力的大量试验数据，提出了如下形式的率相关本构方程，即：
(25)
式(25)中，D和q是材料常数，对于软钢分别取为40.4和5。
考虑应变强化特征的Cowper-Symonds模型本构方程为：
(26)
式(26)中，σeff为有效应力。
Cowper-Symonds模型提出的只是公式的形式，实际上是幂函数型的超应力模型[3]。但模型中的材料常数是根据试验数据拟合得到的，因此要将Cowper-Symonds模型应用于钢筋，必须对试验数据进行拟合确定其中的材料参数。表5给出了4种常用建筑钢筋的Cowper-Symonds模型参数取值。图8和图9分别表示采用表5中参数得到的屈服强度预测值和极限强度预测值与试验结果。
表5 不同钢筋的Cowper-Symonds模型参数
Table 5 Cowper-Symonds model parameter values of steel bars
钢筋牌号屈服强度Dq极限强度DqHPB23590 1667.17152 7914.52HRB33526 2314.93482 4034.77HRB40091 8689.2362 4583.95HRB50019 5564.05--
图8 屈服强度的Cowper-Symonds公式与试验结果曲线
Fig.8 Comparison of the Cowper-Symonds formula of yield strength with the test results
图9 极限强度的Cowper-Symonds公式与试验结果曲线
Fig.9 Comparison of the Cowper-Symonds formula of ultimate strength with the test results
4.2.2 JC模型
Johnson-Cook模型[24]同时具有材料的应变硬化效应、应变率硬化效应和温度软化效应等，又具有便于工程应用的简便形式，还基于大量试验提供了公式应用所需的材料常数，因而获得广泛应用。其表达式为：
(27)
式(27)中：ε为等效塑性应变；
为材料无量纲等效塑性应变率；
为参考应变率；T*=(T-Troom)/(Tmelt-Troom)为材料相对温度； A、B、C、n和m分别为弹体的屈服应力常数、应变硬化模量、应变率系数、应变硬化因子、热软化系数。
林峰等[14-15]，给出了建筑钢筋在应变率为2.0～80 s-1下的JC模型参数如表6所示。
表6 不同钢筋的JC模型参数
Table 6 JC model parameter values of steel bars
钢筋牌号A/MPaB/MPanCHPB235411.598.36×101111.280.018HRB335455.621.34×101211.500.020HRB400480.391.07×101211.340.020HRB500661.931.55×10129.250.010
JC模型实质上是将应变、应变率和温度这3个变量进行分离，用乘积关系来处理应变、应变率和温度对流动应力的影响。由于模型适应性强，JC模型提出后可以得到不同的修正形式。比如，针对钢筋应变率硬化项采用的是对数关系，不能描述应变率在103～104 s-1附近的金属流动应力明显增加的趋势。黄晓莹等[17]将应变率项
修正为
修正后的JC本构方程为：
(28)
式(28)中，k为材料参数。
文献[17]通过试验数据拟合得到不同强度等级钢筋的模型参数，如表7所示。
表7 不同钢筋的修正JC模型参数
Table 7 Modified JC model parameter values of steel bars
钢筋牌号A/MPaB/MPanCkHPB235376.11230.370.325.2×10-50.455HRB335398.89381.110.384.3×10-50.490HRB400512.12574.070.481.9×10-50.510
JC模型的另一个不足就是将应变率效应和应变硬化效应以乘积的形式进行了分离，没有考虑它们之间的耦合效应。陈俊岭等[21]根据试验结果提出了可以描述Q235钢应变率效应和应变硬化耦合的修正JC模型，其表达式为：
(29)
式(29)中，k为材料参数。
总结上述研究可以发现：准静态本构模型和经验模型主要考虑应变率效应和应变硬化效应，JC模型虽然可以考虑温度效应，但并没有温度效应方面的试验研究。JC模型的主要不足是没有考虑密度和压强的影响，只能适用于高压区，模型中的参数是通过乘积而相互耦合，一些参数拟合，没有明显的物理意义。一般认为[3,21]，金属材料位错是不可逆运动，不同温度和应变率下对应控制金属塑性流动的3种机制，在建立研究材料的动力学响应时，要么为某种机制建立不同的方程，要么建立能同时考虑多种机制的综合模型。虽然还有许多学者致力于冲击荷载下基于位错动力学的本构模型研究，提出了不同形式的本构模型，但均没有JC模型使用得广泛。这主要是由于建立不同的宏观本构模型需要试验数据，而JC模型中的参数能够较方便地从常规试验中拟合得到。在钢筋混凝土结构中，钢筋的主要作用是对混凝土形成约束作用和改善混凝土的破坏形态，采用修正的准静态模型或者JC模型就能实现较好地模拟效果。
5 结论
1) 钢筋材料存在不同程度的应变率效应，不同钢筋品种的屈服强度均随应变率的增大而增大。钢筋的动态本构模型应该能更精确反映钢筋的应变率效应。总结了修正的准静态模型参数的确定方法，拟合了HPB235，HRB335，HRB400，HRB500等4类钢筋的Cowper-Symonds模型参数，便于精细化数值模拟的应用。
2) 钢筋的动态本构模型及模型参数受应变率影响。修正的准静态模型适用范围在1×102s-1应变率以内，Cowper-Symonds模型和JC模型的适用范围在104 s-1应变率以内。在低应变率下，其试验结果不能直接外推到高应变率。
3) 钢筋的宏观本构模型参数需要通过数据拟合方法得到，我国的钢筋品种试验数量相对较少，且主要在低应变率范围，尚缺乏104 s-1以上的高应变率段试验数据，缺乏JC模型中钢筋热软化系数m的试验数据。
4) 钢筋混凝土结构的抗侵彻局部破坏，还涉及到钢筋的大塑性变形和动态断裂，亟待开展针对我国建筑钢筋动态断裂破坏的试验研究。
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