1 引言
近年来，随着现代化工业的快速发展，机械臂被广泛应用在众多领域中。在机械臂日常应用的场景中，往往需要高精度的轨迹跟踪控制。但由于机械臂动力学模型存在建模误差等许多不确定因素，难以建立精确的数学模型，不满足机械臂的精确控制的要求。针对上述问题，许多学者已经提出了先进控制方法，如PID控制[1-2]，自适应控制[3-4]，模糊控制[5-6]以及滑模控制[7-8]等方法。在众多控制方法中，由于滑模控制对模型不确定性、未知干扰和参数变化具有强鲁棒性，因此被广泛应用于机械臂的轨迹跟踪领域。然而当系统状态到达滑模面时，滑模控制方法就会表现出高频振荡，称为抖振。抖振的存在对控制系统具有负面影响，不仅会影响机器的使用寿命，还会影响轨迹跟踪精度问题。针对机械臂抖振问题，许多方法可以用来削弱抖振，在一阶滑模控制中，抖振可以通过饱和函数或双曲正弦函数替换符号函数[9-10]，但跟踪精度和鲁棒性也会随之下降。同时，采用线性滑模面会有响应速度慢，后期输出力矩有较大波动等问题。为此，张瑞民等[11]提出了一种自适应高阶滑模控制方法，提高了机械臂控制系统的收敛速度，削弱了系统中后期输出力矩的抖振。在高阶滑模控制中，建模误差和摩擦的存在会产生抖振，由于RBF神经网络能很好地逼近非线性函数，有学者提出采用神经网络来进行优化。徐传忠等[12]采用径向基神经网络自适应方法在线估计不确定因素的上界，解决了多关节机械臂控制系统存在的轨迹跟踪问题，但由于其依赖机械臂的模型，限制了实际应用场景。吴爱国等[13]采用径向基神经网络来逼近带有未知干扰的非线性动力学模型，并加入自适应项作为补偿机构，减小了逼近误差，实现无模型控制。刘凌等[14]提出了一种参数可调RBF神经网络控制方法，运用梯度下降法修正RBF神经网络的中心参数，并结合模糊补偿器对误差进行补偿，缩短了稳定时间，提高了控制过程中的精度和鲁棒性。RBF神经网络能够减小了建模误差和干扰带来的影响，但滑模控制的收敛速度和精度还取决于滑模面的选择。为解决上述问题，最近，Van等[15]提出了比例积分微分滑模控制器(SMC-PIDs)，将积分项引入了滑模面的设计中，利用积分滑模的积分特性和全局滑模特性消除稳态误差，对干扰具有很好的鲁棒性。Kali等[16]提出一种基于超螺旋算法(STA)的高阶滑模控制方法，其将不连续符号隐藏在积分项中，有效地抑制了抖振，并确保了闭环系统稳定。文献[17-18]提出终端滑模面，采用非线性项设计滑模面，相比传统线性滑模面，提高了系统的收敛速度。上述研究为多关节机械臂轨迹跟踪控制提供了理论基础和工程应用价值，但仍然存在跟踪精度低、收敛速度慢、无法有效抑制抖振等问题。
在上述研究的基础上，本文提出了基于径向基神经网络(RBF)超螺旋非奇异积分终端滑模(NFSTSM)轨迹跟踪控制方法。为克服干扰带来的不确定项，在RBF神经网络基础上加入自适应算法，从而准确地估计了系统的不确定性；为克服控制系统的抖振问题，采用高阶滑模面结合超螺旋算法并采用特殊幂次函数代替传统符号函数，有效地抑制了抖振的产生，提高轨迹跟踪精度。
2 机械臂数学建模
基于拉格朗日方程可以建立n关节机械臂的动力学方程：
(1)
在方程中，M(q)∈Rn×n为正定惯性矩阵，
为离心力和哥氏力，G(q)∈Rn为作用在关节上的重力项向量，τd∈Rn为干扰，具体有参数误差、模型误差及不确定干扰等，τ∈Rn为关节控制力矩；
分别为机械臂的实际的角度、角速度、角加速度。
机械臂轨迹跟踪的控制目标：使得关节输出q尽可能好的跟踪关节角矢量。qd∈Rn为期望轨迹且是一个连续二阶可微的函数。
定义系统跟踪误差及其导数为:
(2)
3 滑模控制器设计
控制器的设计共分为：① 设计非奇异积分终端滑模面；② 设计RBF神经网络来估计带有未知干扰的机械臂动力学模型；③ 采用自适应算法对逼近误差进行补偿。控制系统结构如图1所示。
图1 控制系统结构示意图
Fig.1 Control system structure diagram
3.1 滑模控制律设计
考虑系统(1)的结构，为了确保产生理想的滑动模态，加快状态跟踪误差的收敛速度，消除系统的稳态误差，设计一种新的非奇异积分终端滑模面：
(3)
式中: kp1、kp2、kd、ki均为正数,r1、r2、r3、r4为正奇数，1<r1/r2<2，r1/r2>r3/r4。
当跟踪误差靠近平衡点时，即时，忽略高次项，故式(3)可以改写为：
(4)
当到达滑模面时，即s=0，得到误差导数为：
(5)
故收敛速度远大于同参数的线性滑模面。同理可以得到当时，收敛速度高于线性滑模面。
建立了合适的滑模面，下一步设计控制率来使系统到达滑模面。式(3)对时间求导可得:
(6)
将式(1)和式(2)代入可以得到：
(7)
式中: f为机械臂未知非线性函数。
若机械臂未知非线性函数f精确可知则可取控制律：
τ=fNN+τeq+τsmc
(8)
式中: τeq为等效控制项，τsmc为切换控制项。
将式(7)代入式(6)中
kie(t)+kd(f-τ)
(9)
得等效控制律为：
τeq=
(10)
对于切换控制项部分，传统控制系统由于切换控制项函数的不连续而产生抖振。本文中提出了新型超螺旋算法，将不连续项放入积分项中，使得切换控制项函数更为连续，以增强系统的鲁棒性。设计如式(11)：
(11)
其中
可以提高算法在远离原点时的收敛速度。
传统的符号函数在边界层处切换不光滑，会加剧抖振的产生，为增强系统的鲁棒性。拟采用一种新型特殊幂次函数如式(12)代替传统符号函数:
(12)
其中0<δ<1,α>0。δ为fal函数原点附近正负对称线性的区间长度。
由上式可知当自变量s取不同值时，增益也会不同，当|s|<δ时，增益s/δ1-α较大。反之，当|s|≥δ时，增益
较小。所以fal函数不同于传统符号函数，可以有效削弱因边界处切换不光滑带来的抖振。
故切换项可改写为：
τsmc=
(13)
3.2 径向基(RBF)神经网络设计
在本文中控制系统中引入RBF神经网络算法来估计机械臂动力学模型的不确定部分。定义RBF神经网络估计机械臂模型的理想输出为
实际输出为fNN∈Rn，表示为：
(14)
fNN=wTδ(x)
(15)
式中: f 为神经网络的实际输出；w为神经网络最优权重w*的估计；δ为神经网络的基函数；L为神经网络隐含层的节点数。
基函数采用高斯函数，高斯基函数表达式为:
(16)
其中: 
ci=[ci1,ci2,…,ciL]T
bi=[bi1,bi2,…,biL]T
式中: xi为第i个神经网络的输入向量;ci为第i个神经网络的中心矩阵;bi为第i个神经网络的基宽向量。
由式(7)可得，机械臂未知非线性函数：
(17)
滑模控制需要提供精确数学模型，式(17)中包括建模误差和未知干扰，采用RBF逼近非线性函数可以做到在无精确模型下对机械手的控制。但由于神经网络存在逼近误差，特别是当中间层节点数过少时，严重影响控制系统的性能。故为了使fNN更好地逼近
设计权值更新律和自适应补偿更新律：
(18)
(19)
3.3 稳定性分析
对于整个闭环系统，可以取Lyapunov函数V
(20)
式中:
为神经网络的权重向量的最优值与估计值之间的误差，
为神经网络的逼近误差的最优值与估计值之间的误差。
V对时间t求导得
(21)
将式(9)代入到式(20)可得
(22)
令
(23)
(24)
对于
当k1、k2、k3取合适值时，
对于
根据F-范数的性质可以得到
(25)
由于f是有界的，则w*有界，取‖w*‖≤wimax,|ε*|≤εimax。故当
时，
闭环系统稳定，且
最终收敛到
最终收敛到εmax，故wi和εi是有界的。当且仅当s=0时，
即
时，s≡0。根据LaSalle不变性引理可知，当t→∞时，s→0，系统渐近稳定。故由式(20)知，闭环控制系统是渐近稳定的。
4 仿真
为了验证所设计的控制方法的有效性，使用一个2-DOF的机械臂结构作为仿真对象如图2所示。其动力学方程如下：
图2 二自由度机械臂结构示意图
Fig.2 Two-degree-freedom robotic manipulator structure diagram
(26)
(27)
(28)
(29)
其中：
分别为关节1，2的角度且初始值为
分别为关节1，2的角加速度且初始值为0.1，0.2；连杆的长度为：l1=l2=1 m；连杆的质量为m1=2.04 kg，m2=1 kg；2个关节的期望输出轨迹qd1和qd2均为0.1sin(t)，g=9.8。为验证系统的鲁棒性，加入干扰
利用Matlab进行仿真，仿真时间设置为10 s，仿真采用式(8)的控制律，自适应律采用式(18)、式(19)，系统仿真相关参数如表1，隐含层中心矢量c和高斯基函数b分别取为：
表1 仿真参数
Table 1 Simulation parameters
参数数值参数数值r1/r211/9r3/r45/3kp1diag(157;97)kp2diag(4;45)kddiag(4;5)kidiag(1.3;1.3)
为说明所设计的方法的有效性，设置以下2种控制方法对比。
控制器1：该控制器的滑模面为式(30)、控制律为式(31)，记为SMC-S-RBF。
(30)
τ=wTδ(x)+Kvs-(εN+bd)sgn(s)
(31)
控制器2：该控制器的滑模面为式(32)、控制律为式(33)，记为NET-S。
(32)
τ=
w1s+w2sr5/r6+w3sr7/r8)
(33)
图3表示利用RBF神经网络对带有未知干扰的机械臂非线性函数曲线。由图3可以看出，结合自适应律的RBF很好地估计了非线性模型。图4为各个方法的关节轨迹跟踪曲线。图5为各个方法的关节轨迹跟踪误差曲线。图6为各个方法的关节控制力矩曲线。为了便于比较控制器的性能，取均方根(RMS)为性能指标：
图3 不确定项估计曲线
Fig.3 Estimation of uncertainty
图4 关节轨迹跟踪曲线
Fig.4 Trajectory tracking curves of joints
图5 关节轨迹跟踪误差曲线
Fig.5 Tracking error curves of joints
图6 控制器控制力矩曲线
Fig.6 Controls torques of joints
(34)
式中: N为系统的总采样数。
对比控制器1和控制器2，由图6可以得出，控制器2产生了很大的抖振，这是受到建模误差和外部干扰所影响。又由图4、图5可以看出，控制器2虽然产生很大的抖振，但收敛速度，跟踪精度远好于控制器1。以上分析表明，控制系统的响应速度和跟踪精度在于滑模面的选取。
对比本文中所设计的控制器和控制器1，两者都采用了RBF神经网络对非线性函数进行估计，在存在建模误差和未知干扰的情况下，两者的控制力矩都较为光滑并且连续。说明采用RBF神经网络来估计系统模型可以大大削弱抖振的产生。由图5看出，SMC-S-RBF跟踪精度低，而由于在滑模面上选用非奇异积分终端滑模面，由表2可以看出，本文中所设计的控制器的跟踪误差最大值为9.287 1×10-4，远小于控制器1的最大值0.424 0。各关节的跟踪误差均方根分别降低了90.2%和81.2%。故本文中所设计的控制器具有更快的响应速度与更好的跟踪精度。综上所述非奇异积分终端滑模面提高了系统的响应速度和精度。
表2 控制器的性能参数
Table 2 Performance parameters for controller
性能参数控制器SMC-S-RBFNET-S本文方法关节1跟踪误差e1RMS/rad0.096 90.031 40.009 5关节2跟踪误差e2RMS/rad0.065 30.031 80.012 3关节1跟踪最大误差e1max/rad0.424 00.013 54.663 5×10-4关节2跟踪最大误差e2max/rad0.117 00.006 89.287 1×10-4
对比本文中所设计的控制器与控制器2，由图4可以看出，本文中所设计的控制器的调节时间在0.2 s以内，而控制器2的调节时间远大于0.2 s，故本文中所设计的控制器拥有良好的响应速度。其次，由表2可以得出控制器2的跟踪最大误差为0.013 5，远大于本文中所设计的控制器。相比之下，本文中所设计的控制器，跟踪误差均方根分别降低了69.4%和61.3%。故在滑模面中引入积分项，能很好地消除了系统的稳态误差。由图6中NET-S控制器的控制力矩图可以看出，控制器2的控制力矩产生剧烈的抖振。这是由于机械臂的建模误差和切换控制项函数的不连续造成的，而本文中所设计的控制器采用结合自适应律的RBF神经网络和新型超螺旋算法，控制力矩则更为平滑，同时控制力矩也更小。以上分析可以得出，本文中所设计的控制器能够有效地削弱系统抖振和消除系统的稳态误差。
仿真结果表明，本文中所提出的方法在存在建模误差和外界干扰情况下表现出更好的跟踪控制性能，提高了机械臂轨迹跟踪的响应速度和精度，并抑制了抖振的产生，增强了鲁棒性。
5 结论
针对具有不确定性和外部干扰的多关节机械臂系统，提出了径向基神经网络超螺旋非奇异积分终端滑模控制策略。在设计控制器时，采用非奇异终端滑模面，加入积分项消除系统的稳态误差，加快系统的响应速度。引入RBF神经网络并结合自适应律估计干扰作用下的机械臂动力学模型，提高了控制系统的鲁棒性。采用新型超螺旋算法作为切换控制项，并用特殊幂次函数代替符号函数，抑制抖振。仿真结果表明，相比线性滑模面，本文所设计的控制器调节时间在0.2 s内，响应速度快，跟踪误差均方根分别降低了90.2%和81.2%，跟踪精度高。本文所设计的控制器能较好地抑制系统的抖振，增强控制系统的鲁棒性和抗干扰能力。
[1] Shah P,Agashe S.Review of fractional PID controller[J].Mechatronics,2016,38(09):29-41.
[2] Sharma R,Rana K P S,Kumar V.Performance analysis of fractional order fuzzy PID controllers applied to a robotic manipulator[J].Expert Systems with Applications,2014,41(09):4274-4289.
[3] Chang W M,Li Y M,Tong S C.Adaptive fuzzy backstepping tracking control for flexible robotic manipulator[J].Ieee-Caa Journal of Automatica Sinica,2021,8(12):1923-1930.
[4] Lee J,Chang P H,Jin M L.Adaptive integral sliding mode control with time-delay estimation for robot manipulators[J].Ieee Transactions on Industrial Electronics,2017,64(8):6796-6804.
[5] 李德昀,徐德刚,桂卫华.基于时间延时估计和自适应模糊滑模控制器的双机械臂协同阻抗控制[J].控制与决策,2021,36(06):1311-1323.
Li D Y,Xu D G,Gui W H.Coordinated impedance control for dual-arm robots based on time delay estimation and adaptive fuzzy sliding mode controller[J].Control and Decision,2021,36(06):1311-1323.
[6] 吴爱国,吴绍华,董娜.机械臂非奇异快速终端滑模模糊控制[J].浙江大学学报(工学版),2019,53(05):862-871.
Wu A G,Wu S H,Dong N.Nonsingular fast terminal sliding mode fuzzy control of robotic manipulators[J].Journal of Zhejiang University(Engineering Science),2019,53(05):862-871.
[7] Xiao B,Yin S,Gao H.Reconfigurable tolerant control of uncertain mechanical systems with actuator faults:A sliding mode observer-based approach[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2018,26(04):1249-1258.
[8] Zhang J X,Yang G H.Robust adaptive fault-tolerant control for a class of unknown nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2016,64(01):585-594.
[9] 周涛.基于一种新型趋近律的自适应滑模控制[J].控制与决策,2016,31(07):1335-1338.
Zhou T.Adaptive sliding mode control based on a new reaching law[J].Control and Decision,2016,31(07):1335-1338.
[10] 姚来鹏,侯保林.随机振动机械臂的自适应鲁棒滑模控制[J].中国机械工程,2016,27(05):694-697.
Yao L P,Hou B L.Adaptive sliding mode control of Robotic manipulators with external uncertain stochastic vabration[J].China Mechanical Engineering,2016,27(05):694-697.
[11] 张瑞民,陈巧玉.基于光滑二阶滑模的机械臂轨迹跟踪控制[J].系统仿真学报,2021,33(06):1315-1322.
Zhang R M,Chen Q Y.Trajectory tracking control of robotic manipulators based on smooth second-order sliding Mode[J].Journal of System Simulation,2021,33(06):1315-1322.
[12] 徐传忠,王永初.基于反演设计的机械臂非奇异终端神经滑模控制[J].机械工程学报,2012,48(23):36-40.
Xu C Z,Wang Y C.Research on intelligent backstepping sliding mode control of nonlinear robots[J].Journal of Mechanical Engineering,2012,48(23):36-40.
[13] 吴爱国,刘海亭,董娜.机械臂神经网络非奇异快速终端滑模控制[J].农业机械学报,2018,49(02):395-404,240.
Wu A G,Liu H T,Dong N.Nonsingular fast terminal sliding mode control of robotic manipulators based on neural networks[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2018,49(02):395-404,240.
[14] 刘凌,李志成,张莹.面向双关节机械臂的参数可调RBF神经网络控制[J].西安交通大学学报,2021,55(04):1-7.
Liu L,Li Z C,Zhang Y.A RBF neural control method with adjustable parameters for 2-joint manipulators[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2021,55(04):1-7.
[15] Van M.An enhanced robust fault tolerant control based on an adaptive fuzzy pid-nonsingular fast terminal sliding mode control for uncertain nonlinear systems[J].IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2018,23(03):1362-1371.
[16] Kali Y,Saad M,Benjelloun K.Optimal super-twisting algorithm with time delay estimation for robot manipulators based on feedback linearization[J].Robotics and Autonomous Systems,2018,108(07):87-99.
[17] Zhang S,Yang P X,Kong L H,et al.Neural networks-based fault tolerant control of a robot via fast terminal sliding mode[J].Ieee Transactions on Systems Man Cybernetics-Systems,2021,51(07):4091-4101.
[18] Asl R M,Hagh Y S,Palm R.Robust control by adaptive non-singular terminal sliding mode[J].Engineering Applications of Artificial Intelligence,2017,59(04):205-217.