1 引言
防空旅是防空体系的重要组成部分，主要使命任务为保护我方指挥部等重要目标免遭敌方袭击[1]。在体系化作战条件下，防空旅装备体系正逐步实现“互联、互通、互操作”，在这一背景下，装备编配的合理科学，尤其是特定作战任务下的作战装备体系中装备数量的确定就显得尤为重要[2-3]。
毁伤效能是指作战力量在作战过程中发挥有效毁伤作用的程度[4]。对防空旅而言，装备数量增多使我方发现敌方目标并摧毁的概率增大，但我方阵地暴露并被摧毁的概率也会增加。防空旅要增强其完成使命任务的能力，就应在损失最小的情况下使毁伤效能最大化发挥，毁伤效能发挥程度是完成特项任务的关键[5]。
当前，针对装备毁伤效能优化的研究已有很多。文献[6-8]中研究了具体型号装备的毁伤效能；文献[9-13]中研究了装备毁伤效能的评估与优化方法。但当前研究存在的主要问题有：一是已有的研究大多没有指出武器的装备数量与毁伤效能之间的变化规律；二是大多聚焦于单个装备的毁伤效能评估或优化，缺少对装备作战体系毁伤效能的优化研究，在信息化条件的空袭作战背景下，如何确定防空旅的作战装备体系中的装备数量以达到最优毁伤效能成为亟待解决的问题。
基于上述分析，本文中所做的主要工作为：通过研究防空旅作战装备体系中装备数量对毁伤效能的影响，精确仿真与计算出装备的编配数量与毁伤效能之间的关系，从而达到高效能的防空作战目的。以防空旅作战装备体系构成与作战运用为基础，结合防空旅作战流程和装备全概率公式，得出了装备数量与装备毁伤效能之间的关系，并进一步推导出了作战装备体系在具有最高毁伤效能时所需要的装备数量计算方程组。算例分析中，运用本文中提出的方法分别计算得出毁伤效能最大时的雷达装备数量、防空导弹装备子系统数量和高炮装备子系统数量，进而为实战背景下最优装备实力方案的确定提供理论依据。
2 防空旅作战装备体系构成与作战运用
防空旅作战装备体系构成与作战运用是开展研究的基础与前提。防空旅作战装备体系主要由信息防护系统、预警侦察系统、指挥控制系统、火力打击系统四部分构成。四个主要系统下又包含众多子系统或装备，其体系构成如图1所示。
图1 防空旅作战装备体系结构框图
Fig.1 Combat equipment architecture of army air defense brigade
防空旅作战装备体系中，信息防护系统包括光电对抗装备子系统、雷达对抗装备子系统、敌我识别对抗装备子系统。实际作战时，信息防护系统内装备主要对敌方目标实施多种手段的干扰，用以削弱、破坏敌方武器的正常效能，保护我方阵地免遭侦察、干扰或攻击；预警侦察系统包含多种功能和型号的预警雷达装备，主要用于感知战场态势，及时准确地侦察探测各个方向的敌方目标或潜在威胁；指挥控制系统包括各类指挥控制装备，主要职责是在指挥控制系统的支持下，按计划组织作战行动；火力打击系统主要包括高炮装备子系统和防空导弹装备子系统，主要担负对敌方目标实施火力打击的任务。
在实际作战任务中，信息防护系统全程对敌实施干扰，当敌方目标到达预警侦察系统的侦察范围内时，预警侦察系统会将目标的详细数据传输至指挥控制系统，指挥控制系统对数据信息进行处理、判断，向火力打击系统发送作战指令，火力打击系统接收到作战指令后，防空导弹子系统的搜索雷达装备先对敌方目标进行搜索，确定目标的具体方位，然后将数据传输给跟踪制导雷达装备，对敌方目标实施跟踪，同时将数据传输给导弹发射装备，导弹发射装备发射导弹，跟踪制导装备辅助精确打击目标。如果搜索雷达装备没有成功搜索到目标或导弹装备未能成功摧毁目标，则由高炮装备子系统的火控装备锁定目标，高炮装备对目标进行火力打击。其中，防空导弹装备子系统与高炮装备子系统都具有独立搜索并锁定目标的能力。防空旅装备体系的具体作战流程如图2所示。
图2 防空旅作战流程框图
Fig.2 Air defense brigade combat flow
根据作战实践可知，指挥控制系统与信息防护系统的装备情况通常根据预警侦察系统与火力打击系统的装备数量与阵地配置来确定，因此，本文中重点研究预警侦察系统与火力打击系统的装备数量配置。
3 模型描述与假设
3.1 模型描述
以防空旅作战装备体系为研究对象，基于防空旅作战流程，借助装备全概率值，建立装备数量与毁伤效能之间的关系，目的是得到毁伤效能最大条件下的最优装备数量配置。
3.2 模型假设
1) 预警侦察系统中不同型号预警雷达的装备全概率计算方法相同。
2) 防空导弹、高炮弹丸之间对目标的命中与摧毁相互独立。
3) 不同装备之间完成预定作战任务相互独立。
4 模型构建
装备全概率是指装备不被摧毁且能够在理想状态下正常发挥作用的概率。与毁伤效能的内涵不同，装备全概率仅考虑本装备的作战情况，而毁伤效能还要考虑上一作战流程中的装备正常发挥作用的概率。根据防空旅作战流程，分别构建预警侦察系统中的预警雷达装备、火力打击系统中的防空导弹装备子系统和高炮装备子系统的全概率模型，再借助实际作战流程和阵地暴露函数计算三类装备的毁伤效能。
4.1 预警侦察系统全概率计算
假设预警侦察系统中有可供使用的预警雷达n部，各型号预警雷达发现目标与出现故障相互独立，其发现目标的概率为P，故障率为η。理想状态下预警雷达完成预警的概率为L=P(1-η)，因此，预警侦察系统中的n部预警雷达全部处于理想状态的概率LJ为:
LJ=1-[1-P(1-η)]n
(1)
假设预警雷达阵地暴露后，被摧毁的概率为Pα，预警雷达阵地暴露的概率与预警雷达数量之间的函数关系式为E(n)。因此，预警雷达阵地被摧毁的概率PJC为:
PJC=Pα·E(n)
(2)
故预警侦察系统装备全概率YJ为:
YJ={1-[1-P(1-η)]n}·[1-Pα·E(n)]
(3)
4.2 防空导弹装备子系统全概率计算
假设每枚防空导弹之间对目标的命中互不影响，单枚防空导弹对某空袭兵器的命中率为ρ，毁伤概率为μ，故理想状态下独立发射m枚导弹对某空袭兵器的摧毁概率LDC为:
LDC=[1-(1-ρ)m]·μ
(4)
每辆防空导弹发射车可以同时发射x枚导弹，防空导弹装备子系统阵地暴露的概率与发射车数量之间的函数关系为D[ceil(m/x)]，其中ceil(·)表示向上取整。阵地暴露后，防空导弹装备子系统被摧毁的概率为Pβ，故防空导弹阵地被摧毁的概率PDC为：
(5)
故防空导弹装备子系统全概率YD为：
(6)
4.3 高炮装备子系统全概率计算
假设某型高炮单发弹丸对某空袭兵器命中率为ω，毁伤概率为σ，则理想状态下一次发射k发炮弹时对某空袭兵器的摧毁概率LGC为：
LGC=[1-(1-ω)k]·σ
(7)
每门高炮在一个点可以发射b发炮弹，高炮装备子系统阵地暴露的概率与高炮数量之间的函数关系为G[ceil(k/b)]，阵地暴露后，被摧毁的概率为Pγ，则高炮装备子系统阵地被摧毁的概率PGC为：
(8)
故高炮装备子系统的全概率YG为：
(9)
4.4 装备毁伤效能计算
毁伤效能是指作战力量在作战过程中发挥有效毁伤作用的程度。在装备全概率的基础上，需要确定阵地暴露函数的形式，再结合防空旅作战流程便可求出各类装备的毁伤效能。防空旅装备体系毁伤效能评估指标体系如图3所示。
图3 防空旅装备体系毁伤效能评估指标体系框图
Fig.3 Damage effectiveness evaluation index system of air defense brigade equipment system
鉴于本文中主要研究预警侦察系统与火力打击系统，故主要关注预警侦察能力与对抗打击能力中的防空导弹装备拦截能力、高炮装备拦截能力。
根据文献[15]与文献[16]中相关内容可知，我方阵地暴露函数符合文献[15]中(1.40)的指数分布规律，即：
E(n)=1-e-τ1n
(10)
(11)
(12)
其中: τ1、τ2、τ3分别为预警雷达阵地、防空导弹装备子系统阵地与高炮装备子系统阵地的装备数量与暴露概率函数的影响系数，该影响系数的具体参数值与阵地所处的地理位置、装备分布的几何形状等有关[17]。
由于预警侦察系统位于作战流程的第一环节，所以，预警侦察系统的作战效能为：
ZJ=YJ
(13)
防空导弹拦截目标成功可认为是两次“或”事件：事件一，预警侦察系统发现目标，防空导弹装备子系统成功拦截目标；事件二，预警侦察系统未发现目标而防空导弹装备子系统发现并成功拦截目标。两次事件具有相互独立性。假设防空导弹装备子系统独立发现目标的概率为ψ1，因此，防空导弹装备子系统的毁伤效能为：
ZD=ZJ·YD+(1-ZJ)·ψ1·YD
(14)
在防空导弹装备子系统拦截目标失败后，高炮装备子系统发现目标并成功拦截可认为是三次“或”事件：事件一，预警侦察系统未发现目标且防空导弹装备子系统未发现目标，但高炮装备子系统发现目标并成功拦截目标；事件二，预警侦察系统未发现目标，防空导弹装备子系统发现目标，但防空导弹装备子系统未能成功拦截目标，高炮装备子系统最终成功拦截目标；事件三，预警侦察系统发现目标，防空导弹装备子系统未能成功拦截目标，高炮装备子系统最终成功拦截目标。三次事件具有相互独立性，假设高炮装备子系统独立发现目标的概率为ψ2，因此，高炮装备的毁伤效能为：
ZG=(1-ZJ)·(1-ψ1)·ψ2·YG+
(1-ZJ)·ψ1(1-ZD)·YG+ZJ(1-ZD)·YG
(15)
由装备全概率式(3)、式(6)、式(9)可知，装备数量的增多，会在一定程度上增加发现并摧毁目标的概率，但是，根据阵地暴露函数，这也会增加我方阵地被敌方发现并摧毁的概率[18]。因此，装备的数量从理论上来讲并非越多越好。在所属同类装备范围内，当毁伤效能最大时，完成任务的概率最大，即：
(16)
其中，T1、T2、T3分别表示预警侦察系统的作战效能、防空导弹装备子系统、高炮装备子系统的最高毁伤效能。在此条件下，需要预警雷达数量为n0部、防空导弹m0枚、高炮炮弹k0发，因此，出动装备最优化数量分别为:
(17)
其中，Q1、Q2、Q3分别代表出动的预警雷达、防空导弹装备子系统、高炮装备子系统的最优数量。
5 算例分析
各类武器装备的参数的取值大小，与装备的使用环境、阵型配置、敌方空袭兵器种类与性能等有关，在上述因素确定后，装备参数也随之确定。下面通过列举4组不同的参数值进行算例分析。
表1给出预警侦察系统中预警雷达的部分经验参数，利用Matlab进行仿真分析，将表1中的4组数据代入式(13)仿真出预警雷达数量与该装备的作战效能关系，如图4所示。
表1 预警雷达部分经验参数
Table 1 Some empirical parameters of early warning radar
PiηiPατ1算例10.760.080.790.1算例20.660.060.690.09算例30.560.040.590.08算例40.460.020.490.07
图4 预警雷达装备数量与作战效能关系曲线
Fig.4 Relationship between the number of early-warning radar equipment and operational effectiveness
当参数值确定后，预警侦察装备发现目标的全概率都会出现最大值，在全概率最高时所需的装备数量为最优装备数量。通过Matlab对各组数据求最大值后，根据式(16)、式(17)得出最优雷达装备数量为2、3、4、5，最高作战效能分别为0.779、0.790、0.800、0.813。同时根据图4可以看出，当雷达装备数量大于最优值后，由于我方阵地被敌方发现并摧毁的概率会大幅增加，因此预警雷达装备的作战效能会迅速下降。
表2给出防空导弹的部分经验参数，将数据分别代入式(14)仿真出防空导弹数量与该装备系统的毁伤效能关系如图5所示。
表2 防空导弹装备部分经验参数
Table 2 Some empirical parameters of air defense missile equipment
ρμPβxτ2ψ1ZJ算例10.840.960.7740.30.320.779算例20.740.860.6740.20.270.790算例30.640.760.5730.10.220.800算例40.540.660.4730.10.170.813
图5 防空导弹数量与毁伤效能关系曲线
Fig.5 Relationship between the number of air defense missiles and damage efficiency
通过Matlab对各组数据求最大值后，分别代入式(16)、式(17)得出最优防空导弹数量为4、4、3、6，进而得出防空导弹装备子系统数量为ceil(4/4)=1、ceil(4/4)=1、ceil(3/3)=1、ceil(6/3)=2。4个算例下最高毁伤效能分别为0.652、0.636、0.578、0.505。同时根据图5可以看出，当防空导弹数量大于最优值后，防空导弹装备子系统数量会增加，进而我方阵地被敌方发现并摧毁的概率会大幅增加，因此防空导弹装备子系统的毁伤效能呈现阶梯下降趋势。
表3给出高炮装备部分经验参数，将表3的数据分别代入式(15)仿真出高炮弹丸数量与该装备的毁伤效能关系，如图6所示。
表3 高炮装备部分经验参数
Table 3 Some empirical parameters of antiaircraft gun equipment
ωσbPγτ3ψ2ZD算例10.080.6180.780.20.120.652算例20.060.5670.730.180.10.636算例30.040.5160.680.160.080.578算例40.020.4650.630.140.060.505
图6 高炮弹丸数量与毁伤效能关系曲线
Fig.6 Relationship between the number of high projectile and damage efficiency
通过Matlab对各组数据求最大值后，分别代入式(16)、式(17)得出算例1—算例3的最优高炮弹丸数量为24发、28发、36发，通过算例4的高炮弹丸数量与毁伤效能的曲线可知，当高炮弹丸的数量大于150发时，毁伤效能几乎没有增长，这说明此时再增加高炮弹丸数量对于毁伤效能的增长作用十分有限，故算例4最优高炮弹丸数量为150发。高炮装备子系统数量分别为ceil(24/8)=3、ceil(28/7)=4、ceil(36/6)=6、ceil(150/5)=30。最高毁伤效能分别为0.107、0.093、0.084、0.07。同时根据图6可以看出，当高炮弹丸数量大于最优值后，高炮装备子系统数量会增加，进而我方阵地被敌方发现并摧毁的概率会大幅增加，因此高炮装备子系统的毁伤效能呈现急剧下降趋势。算例4中，由于阵地暴露后被摧毁的概率较低，因此高炮弹丸的数量大于150发后，其数量的增加对毁伤效能的影响较为微弱。
6 结论
基于防空旅装备体系构成与作战运用，结合防空旅作战流程，推导出了装备在具有最高毁伤效能时所需要的装备数量计算方程组。通过案例分析可得出以下结论：
1) 将经验参数值导入方程式后，可得出防空旅作战装备体系中装备数量与毁伤效能之间的关系，为防空旅完成特定任务而制定装备实力方案时提供理论支撑。
2) 在体系作战中，装备毁伤效能并非随着装备数量的增加而增大，当毁伤效能达到最大值后，装备数量的增加反而会使毁伤效能增长十分有限甚至下降。
本文中是在各毁伤事件具有独立性的基础上进行研究，如何在相关事件的基础进行更加精确的研究是下一步工作的重点。
[1] 万佳庆,王鹏飞,唐俊林,等.基于多武器平台的要地防空混合部署策略与模型研究[J].系统仿真学报,2021,33(08):1754-1765.
Wan J Q,Wang P F,Tang J L,et al.Research on mixed deployment strategy and model of air defense in important places based on multi weapon platform[J].Journal of System Simulation,2021,33(08):1754-1765.
[2] 杜敏,程中华,董恩志.防空旅装备体系贡献率评估理论研究[J].系统工程与电子技术,2022,44(01):209-217.
Du M,Cheng Z H,Dong E Z.Theoretical research on evaluation of contribution rate of equipment system of army air defense brigade[J]Systems Engineering and Electronics,2022,44(01):209-217.
[3] 裴益轩,李斌,王峰,等.陆军机动伴随防空作战装备体系探讨[J].火炮发射与控制学报,2021,42(03):106-110.
Pei Y X,Li B,Wang F,et al.Discussion on army mobile accompanying air defense combat equipment system[J].Journal of Gun Launch and Control,2021,42(03):106-110.
[4] Geng H,Lu H,Sun S Z,et al.Experimental study and damage effect analysis of concrete structures under the combined loadings of penetration and explosion[J].Shock and Vibration,2020,2020.
[5] 徐豫新,蔡子雷,吴巍,等.弹药毁伤效能评估技术研究现状与发展趋势[J].北京理工大学学报,2021,41(06):569-578.
Xu Y X,Cai Z L,Wu W,et al.Research status and development trend of ammunition damage effectiveness evaluation technology[J]Journal of Beijing University of Technology,2021,41(06):569-578.
[6] 王玉,卢熹,张方方,宋佳平.反潜鱼雷战斗部对典型潜艇目标毁伤效能研究[J].兵器装备工程学报,2021,42(12):112-116.
Wang Y,Lu X,Zhang F F,Song J P.Study on damage efficiency of anti submarine torpedo warhead to typical submarine targets[J]Journal of Ordnance Equipment Engineering,2021,42(12):112-116.
[7] 李鑫,王伟力,梁争峰,等.复合结构活性破片对双层靶标毁伤效能[J].兵工学报,2021,42(04):764-772.
Li X,Wang W L,Liang Z F,et al.Damage efficiency of compositestructure active fragment to double-layer target[J]Acta Armamentarii,2021,42(04):764-772.
[8] 孙盛智,侯妍,裴春宝.面向作战需求的卫星应用装备组合优化研究[J].电光与控制,2018,25(05):7-11,16.
Sun S Z,Hou Y,Pei C B.Research on combination optimization of satellite application equipment for operational requirements[J].Electro Optic and Control,2018,25(05):7-11,16.
[9] 李妮,李玉红,龚光红,等.基于深度学习的体系毁伤效能智能评估及优化[J].系统仿真学报,2020,32(08):1425-1435.
Li N,Li Y H,Gong G H,et al.Intelligent evaluation and optimization of system damage effectiveness based on deep learning[J]Journal of System Simulation,2020,32(08):1425-1435.
[10] 罗小明,陈浩光,周威.武器装备体系毁伤效能评估及结构优化方法研究[C]//第四届中国青年运筹与管理学者大会论文集.北京：中国运筹学会,2001:10.
Luo X M,Chen H G,Zhou W.Research on damage effectiveness evaluation and structure optimization method of weapon equipment system[C]//Proceedings of the 4th China Youth operations research and management scholars conference.Beijing:China Operations Research Society,2001:10.
[11] 朱雪平.基于排队论的地面防空系统服务概率研究[J].指挥控制与仿真，2013，35(01)：85-88.
Zhu X P.Research on service probability of ground air defense system based on queuing theory[J]Command Control and Simulation,2013,35(01):85-88.
[12] 刘新顺，赵建鹏，原晓波.基于制空效能的防空兵火力分配方案评估方法[J].防空兵学院学报，2014，21(05)：4-5.
Liu X S,Zhao J P,Yuan X B.Evaluation method of firepower distribution scheme of air defense forces based on air control efficiency[J]Journal of Air Defense Academy,2014,21(05):4-5.
[13] 朱雪平，顾方平，成洪俊.防空毁伤效能相关概念分析[J].防空兵学院学报，2015，12(02)：100-102.
Zhu X P,Gu F P,Cheng H J.Analysis on related concepts of air defense damage effectiveness[J]Journal of Air Defense Academy,2015,12(02):100-102.
[14] 崔向照，李春.概率论与数理统计[M].石家庄：军械工程学院，2016，5(06)：4-128.
Cui X Z,Li C.Probability theory and mathematical statistics[M].Shijiazhuang:College of Ordnance Engineering,2016,5(06):4-128.
[15] 胡晓慧，李敏，陈捷.防空作战模型及毁伤效能计算[M].北京：蓝天出版社，2014，36(10)：89-94.
Hu X H,Li M,Chen J.Air defense operation model and damage effectiveness calculation [M].Beijing:Lantian Publishing House,2014,36(10):89-94.
[16] 王如君.均匀分布和指数分布相关统计量的性质[D].新乡:河南师范大学，2017.
Wang R J.Properties of correlation statistics of uniform distribution and exponential distribution [D].Xinxiang:Henan Normal University,2017.
[17] 樊延平，郭齐胜，穆歌,等.装备作战需求论证流程规范化建模[J].装甲兵工程学院学报，2014，13(02)：1-6.
Fan Y P,Guo Q S,Mu Ge,et al.Standardized modeling of equipment operational requirements demonstration process[J].Journal of Academy of Armored Force,2014,13(02):1-6.
[18] 左文博,赵英俊,张建行,等.防空反导装备抢修任务分配建模[J].装甲兵工程学院学报，2018，24(04)：7-11.
Zuo W B,Zhao Y J,Zhang J X,et alModeling of emergency repair task allocation of air defense and anti missile equipment[J]Journal of Academy of Armored Force,2018,24(04):7-11.