1 引言
火炮属于火力压制武器，因具有结构可靠、技术成熟、弹药充足、杀伤威力大等诸多优势，在现代战场中处于不可替代的位置[1-2]。射击精度是当前火炮研究和设计所涉及的重要技术指标，对弹丸落点散布程度进行优化，缩小弹丸落点散布范围是提高火炮射击精度的重要内容。
近年来，学者们在降低弹丸落点散布程度，提高火炮射击精度问题上做了大量研究。王丽群等[3-4]基于随机模型和RBF神经网络模型，开展了随机参数的变化与火炮射击密集度之间关系的研究，并获得了各因素对射击密集度的影响规律。雷晓云等[5]基于Monte-Carlo法对影响火炮射击精度的因素进行研究，得到了各因素的变化对弹丸落点散布程度的影响。柏迅等[6]应用Monte-Carlo法对火炮外弹道仿真模型进行了弹丸落点分布的统计与分析，为后续对弹丸落点散布问题进行优化提供了理论支撑。Durson[7]借助PRODAS弹道软件分析了影响弹丸落点散布的关键参数对弹丸落点散布产生的影响，为后续开展弹丸落点散布的区间优化提供了数据保障。在火炮外弹道优化过程中，很多研究人员通过建立代理模型来描述参数与弹丸落点散布之间的映射关系，用高效的代理模型取代复杂而耗时的仿真模型[8-11]，并基于代理模型对火炮系统进行多目标优化设计。常见的代理模型有多项式回归模型[12-13]、Kriging模型[14]、径向基函数模型[15-16]等。刘朋科等[17]结合了Kriging模型和NSGA-Ⅱ优化算法，对坦克的结构参数进行优化设计，改善了炮口的响应状态。侯捷等[18]基于径向基函数神经网络建立火炮底架各结构参数的代理模型，并应用MOGA和SQP的组合算法对代理模型进行优化计算。
尽管学者们围绕火炮结构优化、代理模型构建等方面开展了很多工作，但在不确定性条件下开展火炮外弹道弹丸落点散布的优化研究还鲜有提及。为解决这一问题，本文中建立了火炮外弹道不确定参数与弹丸落点散布的映射模型，并基于该模型，在不确定条件下对弹丸落点散布进行区间多目标优化设计，从而降低弹丸落点的散布程度，提高火炮的精确打击能力。
2 基于外弹道理论的弹丸运动轨迹数值仿真模型
由于火炮实验存在成本高昂、条件苛刻、设备特殊等难题，通过实验手段获取火炮实验数据效率低、效果差，而数值模拟是一种有效的分析手段，在火炮外弹道领域受到广泛应用。本节基于外弹道理论建立了非标准弹道、气象和地形地球条件下的弹丸质心运动微分方程组，并通过龙格库塔数值算法对方程进行解算，得到了弹丸运动轨迹的仿真模型。考虑到弹丸在外弹道运动过程中，攻角δ很小，即认为δ≡0；另外，考虑到弹丸外形不对称或者由于质量分布不对称造成质心不在弹轴上，也会产生对质心的力矩，使得弹丸产生围绕质心的自转运动。为了简化弹丸在火炮外弹道复杂的运动过程，现做以下基本假设：
1) 在整个弹丸运动过程中，攻角为零，即δ≡0；
2) 弹丸的外形和质量分布关于纵轴呈轴对称的。
基于以上基本假设，在建立火炮外弹道数值仿真模型时，可以将弹丸视为质点再研究其运动状态。考虑到初速、弹重、药温、气象条件、地理纬度在内的诸多因素都会对弹丸运动产生影响，并且这些因素在模拟战场或者实际战场中各不相同，为了研究和比较不同条件下弹丸的运动情况，依据3种国家标准条件(标准弹道条件，标准气象条件，标准地形、地球条件)[19]，依次探究弹丸在不同条件下的运动响应。基于此，在外弹道理论的基础上，建立非标准弹道、气象和地形地球条件下弹丸质心运动微分方程组为：
(1)
式(1)中：c=id2×103m-1Z；H(y)=ρ/ρ0N； ρ=p/Rτ； G(vr,cs)=4.737×10-4cx0N(Ma)v；Ma=v/cs；Λ为纬度；Ω为地球自转角速度；α为x轴与正北方向的夹角；wz为横风，其方向平行于射击平面；wx为纵风，其方向垂直于射击平面。
通常无法直接求得这类非线性微分方程组的解析解，所以在综合考虑误差、精度、稳定性等方面后，采用4阶Runge-Kutta数值算法[20-22]对火炮外弹道弹丸质心运动微分方程组(1)进行求解，Runge-Kutta算法是一种在工程上应用十分广泛的高精度单步算法，主要用于数值求解微分方程组。应用Runge-Kutta算法对该方程组进行求解的微分初始条件为：vx=0=v0cosθ0,vy=0=v0sinθ0,vz=0=0。应用于火炮外弹道微分方程组的4阶Runge-Kutta算法的推导见附录1。基于MATLAB编程得到弹丸在火炮外弹道的运动轨迹，如图1所示。
图1 火炮外弹道运动轨迹示意图
Fig.1 External ballistic trajectory
3 基于AHDMR的弹丸落点散布映射模型
影响火炮外弹道弹丸落点散布的参数有很多，这些不确定参数与弹丸落点散布之间的映射关系比较复杂。应用传统的代理模型，难以对火炮外弹道这类高非线性问题的不确定参数与弹丸落点散布之间复杂映射关系进行表达，为了描述二者之间复杂的映射关系，本节基于近似高维模型表达 (approximate high dimensional model representation,AHDMR) 建立了弹丸落点散布的映射模型，应用基于AHDMR的代理模型构建方法，在不确定性条件下对火炮外弹道弹丸落点散布进行优化设计，适应于传统代理模型难以处理的炮口状态参数、弹丸特征参数和空气动力学参数等不确定参数与火炮外弹道弹丸落点散布之间高非线性映射关系的问题。
3.1 基于近似高维模型表达的代理模型算法推导
假设系统的输入变量x=(x1,x2,…,xn)∈Mn，输出响应f(x)平方可积，则可以将输入变量与输出响应之间的映射关系写成高维模型表达(HDMR)[23,24]的形式,即：
(2)
HDMR的各阶函数子项可以通过积分计算得到，有：
(3)
式(3)中： f0是一个常数，表示函数的期望； fi(xi)、 fij(xi,xj)、 fijk(xi,xj,xk)分别表示1阶、2阶和3阶函数子项；dx～i表示除了变量xi之外所有变量的微分；dx～ij表示除了xi,xj之外所有变量的微分；dx～ijk表示除了xi,xj,xk之外的所有变量的微分。
高维模型中各阶函数子项具有以下性质：
s∈{i1,i2,…,im}
(4)
(5)
高维模型中各阶函数子项都是通过积分运算进行独立求解的，然而对于火炮外弹道这类高非线性问题，其概率密度函数和函数表达式都是未知的，通过积分手段难以对各阶函数子项进行计算。
因此，引入系数和正交基函数，来近似表示高维模型中的各阶函数子项，代替积分求解函数子项的方式。近似表示的低阶函数子项以及高阶函数子项共同组成了近似高维模型表达(AHDMR)，其特点是各阶函数子项对系统响应的贡献程度随阶次的升高而降低。对于一般非线性问题，近似高维模型表达的函数子项最高阶次取2～3，即可获得较好的精度。
在构建近似高维模型表达时，首先对式(2)中各阶函数子项进行近似表示，有：
(6)
式(6)中：h1、h2、h3、h4、h5、h6是整数；
是为了对子函数进行近似表示而假定的函数子项系数；{λ}是基函数。表1列出了2种分布下的基函数，基函数具有以下的性质：
(7)
表1 均匀分布和高斯分布下基函数
Table 1 Representation of basis function under Uniform
distribution and Gaussian distribution
基函数均匀分布正交多项式高斯分布正交多项式λi1(xi)3(2xi-1)xiλi2(xi)65(x2i-xi+16)x2i-1 λi3(xi)207(x3i-32x2i+35xi-120)x3i-3xi ………
因此，AHDMR的表示形式为：
(8)
通过利用式(3)、式(6)中HDMR和AHDMR各阶函数子项近似相等的关系，可以对各阶函数子项系数
分别进行求解，求解公式如式(9)所示，详细推导证明见附录2。
(9)
根据上述推导，可以将AHDMR 2阶代理模型表示为：
(10)
AHDMR 3阶代理模型表示为：
(11)
以上即为基于AHDMR的代理模型构建过程，为了进一步论证所提代理模型构建方法的优势，以下将通过2个数值算例对所建模型的准确性和适用性进行验证。
3.2 数值算例
3.2.1 算例Ⅰ
为了验证所提代理模型构建法处理复杂非线性问题的能力，构造了一个含多变量交叉作用的非线性函数f(x)为：
f(x)=(x1·x2·x3)3,{x1,x2,x3}∈[0,1]
(12)
基于2阶AHDMR、3阶AHDMR方法，以及2次响应面和3次响应面法[25]，分别建立近似模型，并验证其模型精度，精度结果如表2所示。观察表2中数据发现，4种近似模型的精度都随着采样数量的增加而增加；在样本点数量相同时，AHDMR精度高于响应面法的精度；3阶AHDMR精度高于2阶AHDMR的精度，且在采样点为2 000时，3阶AHDMR精度较高，R2≈98%，RMSE≈0.01。从以上分析可以看出，相比其他近似模型，3阶AHDMR模型具有较好的建模精度，且采样数量越大，模型精度越高。为了更直观地对4种方法的建模精度进行对比，图2中详细比较了500个采样量的预测值与理论值之间的差异程度。对比结果表明，应用AHDMR方法对含多变量交互作用的函数建立代理模型，精度较高，尤其是3阶AHDMR方法精度更好，匹配性更高。
3.2.2 算例Ⅱ
为了进一步验证AHDMR方法建代理模型的精确性和适用性，对含有多输入变量的高非线性函数g(x)应用2阶AHDMR、3阶AHDMR、2次响应面和3次响应面法建立4种近似模型。函数g(x)表达式为：
(13)
计算4种方法建立的代理模型精度，计算结果如表3所示，从表3中数据对比可以看出，随着采样数量的增加，4种近似模型精度都随之增加；在建模样本点相同时，AHDMR法建模精度更好，且2阶AHDMR的精度始终高于3阶AHDMR的精度。通过图3中样本数量为500时4种方法的建模精度比较可知，2阶AHDMR法具有更好的建模精度。对比结果再次表明，响应面法不适合用于高非线性问题；AHDMR 3阶方法不适合解决高非线性问题，在对这类问题进行拟合时，容易出现过拟合现象，影响其建模精度，这时采用2阶AHDMR方法进行模型构建，反而会得到一个较好的拟合精度。综上所述，为保证代理模型精度，优先采用2阶AHDMR构建高非线性问题的代理模型。
表2 算例Ⅰ的4种代理模型精度
Table 2 Comparison of accuracy of the four agent models in example I
样本数量2阶AHDMRR2RMSE3阶AHDMRR2RMSE2次响应面R2RMSE3次响应面R2RMSE1000.8360.0120.8760.0110.7640.0190.8030.0185000.8370.0200.9430.0140.5910.0280.9320.0141 0000.7840.0230.9680.0090.5200.0290.9090.0152 0000.7940.0220.9820.0060.5730.0270.9120.014
图2 算例Ⅰ中4种方法预测值与准确值曲线
Fig.2 Comparison of predicted value and accurate value under four methods for example Ⅰ
图3 算例Ⅱ中4种方法预测值与准确值曲线
Fig.3 Comparison of predicted value and accurate value under four methods for example Ⅱ
表3 算例Ⅱ的4种代理模型精度
Table 3 Comparison of accuracy of the four agent models in example Ⅱ
样本数量2阶AHDMRR2RMSE3阶AHDMRR2RMSE2次响应面R2RMSE3次响应面R2RMSE1000.8348.4190.84411.1300.7848.3890.8188.3375000.8696.5380.8567.2380.7508.3310.8516.7461 0000.8706.5390.8566.9380.7218.5690.8526.6462 0000.8616.8060.7746.7740.7048.7470.8416.833
3.3 基于AHDMR的弹丸落点散布映射模型
影响弹丸落点散布的关键参数包括弹长d、弹径L、弹重m、炮口初速度v0、发射角度θ、横向风速wz和纵向风速wx，将其作为输入变量，将x、z方向上弹丸的落点位置坐标作为2元输出响应，用2元组[f(x),g(x)]表示弹丸落点的响应。在建立输入参数与2元输出响应的模型时，样本的采取十分重要，它关系到代理模型的稳定程度，一般在建立代理模型时有4种较为常用的采样方法，分别包括蒙特卡洛采样法(monte carlo sampling)[26]、拉丁超立方采样法(latin hypercube sampling)[27]、Sobol’采样法[28]和Halton采样方法[29]。用以上4种方法对影响弹丸落点散布的关键参数x=[d,L,m,v0,θ,wx,wz]归一化后分别进行采样，为了更加直观清晰地对比各采样方法的优势，在图4中展示了应用4种方法对变量d,L采样的分布情况。由图4可知，基于Sobol’采样法得到的样本点分布最均匀，故采用Sobol’法对影响弹丸落点散布的关键参数进行采样。
图4 4种采样方法弹丸落点散布示意图
Fig.4 Comparison of four sampling methods
根据公式(10)，构建包含2个响应的火炮外弹道弹丸落点散布近似模型如式(14)所示，x、z 2个方向上的输出响应分别用f(x),g(x)表示。
(14)
式(14)中: f0、g0分别表示2个函数对应的期望值。根据式(6)计算得到其数值为[1.46×104,2.90×102]。{λ}采用表1中均匀分布下的基函数表达式。基于Sobol’采样法得到2 000个训练样本点、400个测试样本点，将训练样本点代入到式(14)，计算得到各阶函数子项的系数，并通过测试样本点进行验证，2个响应函数的拟合精度R2分别为
其均方根误差RMSE分别为[RMSE(x),RMSE(z)]=[142.39,2.79]。结果表明，基于2阶AHDMR法建立弹丸落点散布映射模型具有较高的模型精度，可以进一步用于后续优化设计的迭代计算。
为了方便理解基于AHDMR弹丸落点散布映射模型的构建过程，现将其主要步骤进行总结，如图5所示。
4 弹丸落点散布区间多目标优化
由于加工精度、测量误差和认知水平的限制，导致弹丸落点散布程度不可避免地会受到不确定因素的影响，使得采用传统的确定性方法无法对弹丸落点散布进行优化设计。因此本节将结合区间理论对火炮外弹道弹丸落点散布进行多目标优化设计，以降低弹丸落点散布程度，提高火炮精确打击能力。优化火炮外弹道弹丸落点散布等不确定性问题[30]，通常将其先转化为确定性优化问题，进而利用确定性优化方法进行求解。
确定性问题的多目标优化模型[31]表示为：
(15)
式(15)中：fi(X)表示优化目标函数；gj(X)表示优化约束函数；m,n表示目标函数和约束函数的个数；X表示多维设计变量。关于设计变量X的取值范围，有2种表示形式为：
XI=[XL,XU]={X∈R|XI≤X≤XU}
(16)
XI=[Xc-Xr,Xc+Xr]=Xc+[-1,1]Xr
(17)
式(16)、式(17)中：XU,XL分别是区间数XI的上下界；Xc,Xr分别是区间XI的中心和半径。
图5 基于AHDMR的弹丸落点散布映射模型
构建流程框图
Fig.5 The flow chart of approximate high-dimensional model
for artillery external ballistics
在满足约束条件情况下，对式(15)多目标优化模型进行求解，可以得到设计参数最佳值Xopt和目标函数最优值fopt。然而通过确定性问题的优化模型难以对受不确定因素影响的弹丸落点散布程度进行优化求解，因此，针对火炮弹丸落点散布的不确定性优化问题，拟基于区间理论，建立其考虑不确定因素影响的区间多目标优化模型[32]，具体构建过程如下：
步骤1 需要先将不确定因素加入到确定性优化模型中，建立不确定性区间优化模型，即：
(18)
步骤2 不确定性优化目标转化为2个确定性优化目标，即：
(19)
(20)
式(19)、式(20)中： ξ为区间设计变量的评价系数；γi为某一设计变量的不确定性水平。ξ的值增大，即区间内设计变量的不确定性水平在提高，进而表示允许出现的误差越大，综合成本相应会降低。
步骤3 引入区间可能度p对约束条件进行不确定性转换，有：
根据式(19)—(21)的计算，可以将不确定性优化模型式(18)转化为：
(22)
式(22)中， λj表示约束条件的可能度系数。λj值越小，对约束条件的要求越低，满足约束条件的可能性就越大，其计算公式为：
(23)
式(23)中：
为约束条件的区间半径；
为约束条件的下边界。
根据文献[7]对影响弹丸落点散布参数的敏感性分析结果可知，弹长L、弹重m、发射角度θ的敏感性程度较高，故将其作为优化变量，而敏感性程度较低的变量d,v0设定为设计初值，风速wx,wz为不可设计变量。将弹丸落点射程和偏差的平均值xa,xz和公算偏差Ex,Ez作为对变量进行优化时的评价准则，关于4个评价准则Ex,Ez,xa,xz的计算公式分别为[19]：
(24)
(25)
式(24)、式(25)中：xi,zi分别表示n发弹中任意第i发弹的射程和侧偏；xa,za分别表示n发弹的射程均值和侧偏均值；Ex,Ez分别表示射程和侧偏的公算偏差。
基于上述所构建的火炮外弹道弹丸落点散布近似高维模型，以弹丸落点在x、z方向上散布程度的评价指标Ex,Ez为优化目标，以xa,xz为约束条件，构建弹丸落点散布的区间多目标优化模型，即：
(26)
式(26)中：xa0为不确定性水平为0时，弹丸在x方向上的落点坐标xa0=14 233 m；xz0为不确定性水平为0时，弹丸在z方向上的落点坐标xz0=285.66 m；XU,XL分表表示区间的上下界；Xc,Xr分别表示区间中心和区间半径。
基于非支配序列优化算法(NSGA-Ⅱ)对上述区间多目标优化问题进行优化求解，设置种群数目为200、迭代次数为200，迭代循环终止后，生成70个优化解集，从中选出10组优化数据进行分析，其数据如表4所示。
由表4中数据显示，ξ的值不同时，各个设计变量区间中心和区间半径的值也各不相同，且随着评价系数ξ增加，设计变量的区间中心值在减小，区间半径的值增加，即-ξ的减小会使设计要求降低。
表4 火炮外弹道系统区间多目标优化设计部分解集
Table 4 Partial solution set of interval multi-objective optimization design for artillery external ballistics
L+ΔLm+Δmθ+ΔθExEzξ0.617±0.000 729.345±0.171 743.723±0.034 4372.1169.0120.0080.617±0.000 929.702±0.538 943.683±0.023 6372.4309.0390.0200.616±0.001 429.920±0.772 643.770±0.080 6373.9299.0620.0300.616±0.002 929.966±0.816 743.781±0.100 0374.3029.0870.0340.616±0.006 229.926±0.795 743.187±0.104 0375.2119.1370.0400.608±0.010 029.949±0.806 043.785±0.083 3376.1429.1790.0450.606±0.011 329.990±0.853 243.840±0.147 6377.3559.1950.0510.603±0.015 129.977±0.821 643.807±0.150 4377.6749.2110.0560.600±0.017 629.998±0.855 343.822±0.161 8378.5219.2210.0620.600±0.017 429.976±0.847 844.012±0.322 8381.2749.2340.065
图6为火炮外弹道系统Pareto最优解对应的优化目标与评价系数的关系图，由图6可知，随着评价系数的增加，优化目标的值Ex,Ez也随之增加，即弹丸落点散布程度减小。
图6 火炮外弹道系统的Pareto最优解示意图
Fig.6 Pareto optimal solution of artillery external ballistics
为了比较优化前后的变化，将火炮外弹道关键变量的初值作为优化前的参数设计，选择评价系数ξ最大时，即对应优化结果的第10组数据作为优化后的参数设计。通过优化前后对比分析，Ex降低了11.4%，Ez降低了1.13%。在不影响射程的前提下，弹丸落点散布程度得以减小，弹丸击打目标的精确性得到很好的改善。
5 结论
在火炮外弹道研究中，精准打击能力是衡量火炮作战能力的重要指标。然而由于不确定性因素的存在导致弹丸落点散布增大，火炮击打能力降低。因此为了提高火炮的精准打击能力，在不确定性条件下，对火炮外弹道弹丸落点散布进行优化，研究结论如下：
1) 在理想弹道条件下，应用外弹道理论建立了考虑不确定性影响的火炮外弹道仿真模型，发展了一种基于AHDMR的代理模型构建方法，并通过数值算例验证了其准确性与适用性。
2) 以弹丸落点在x、z方向上的公算偏差Ex,Ez为优化目标，以弹丸落点的散布中心xa,xz为约束条件，开展考虑不确定性影响的火炮外弹道区间多目标优化设计，结合非支配序列优化算法(NSGA-Ⅱ)求解优化结果，结果表明弹丸落点散布的评价指标Ex降低了11.4%，Ez降低了1.13%，即通过本文的优化，火炮的精准打击目标能力有明显提高。
本文研究结果对提高弹丸精准打击能力和优化火炮综合性能具有重要的指导意义和应用价值。
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的求解过程为：
进行求解，有：
可以表示为：
可以通过类似计算得到，其表达式为
