1 引言
目前，高速目标检测是雷达信号处理领域研究的热点。高速目标会导致距离徙动和多普勒徙动现象的出现，严重影响动目标检测性能。因此，要提高雷达对此类目标的检测能力，必须要校正距离徙动和多普勒徙动[1-2]。
Keystone变换(keystone transform,KT)算法[3-5]、Radon傅里叶变换(radon fourier transform,RFT)算法[6-8]、基于坐标轴旋转的动目标检测(axis rotation-moving target detection,AR-MTD)算法[9]是校正距离徙动的几类典型算法。它们都能够在低信噪比条件下对一阶距离徙动进行校正，但是对高速高机动目标造成的高阶距离徙动和多普勒徙动无能为力。针对此类问题，一些学者在算法的基础上进行了改进，如二阶Keystone变换(second-order keystone transform,SKT)算法[10]可以校正二阶距离徙动；KT-去调频处理(KT-dechirp process,KT-DP)算法[11]、Radon分数阶傅里叶变换(radon fractional fourier transform,RFRFT)和基于改进AR-分数阶傅里叶变换(improved AR-FRFT,IAR-FRFT)算法[12]可以校正低阶距离徙动和多普勒徙动；广义KT-广义去调频处理(generalized KT-generalized DP,GKTGDP)算法[13]、广义RFT(GRFT)算法[14]和基于改进AR-离散调频傅里叶变换(IAR-discrete chirp fourier transform,IAR-DCFT)算法[15]可以校正更高阶距离徙动和多普勒徙动。但上述方法包含参数搜索过程，尤其是当目标运动参数增多时需要进行多维度搜索，运算量巨大，不利于雷达的实时检测。
针对上述问题，文献[16]提出了一种基于迭代相邻互相关函数(adjacent cross correlation function,ACCF)算法的高速目标检测方法。该方法能够同时校正距离徙动和多普勒徙动，并舍弃了传统方法所需的参数搜索过程，仅通过复乘、快速傅里叶变换(FFT)和快速傅里叶反变换(IFFT)就可实现对目标的快速检测，但要求的信噪比较高。为了解决该问题，本文中提出了一种基于加权核范数最小化的高速目标检测优化算法。该算法首先通过迭代ACCF操作校正距离徙动和多普勒徙动，其次在校正后的回波通过加权核范数最小化(weighted nuclear norm minimization,WNNM)[17]对噪声进行抑制，最后通过FFT实现对目标的运动参数估计。仿真结果验证了该算法能够有效降低噪声对信号回波的影响，从而增强了算法的抗噪性。
2 目标回波信号模型
假设雷达发射信号为线性调频(LFM)信号，则发射信号的表达形式为
(1)
式中: rect(·)为门函数，Tp为矩形脉冲宽度，
为调频率，B为调制带宽，fc为载波频率，
为快时间，tm=mTr(m=0,1,…,N-1)为慢时间，Tr为脉冲重复时间，N为脉冲积累数目，
为全时间。
假设雷达探测单个运动目标，则运动目标与雷达的距离是随着tm变换的，忽略其他高阶分量，目标的距离R(tm)为
(2)
式中: R0为初始时刻目标与雷达之间的距离，ν为目标径向速度，a为目标径向加速度，g为目标径向加加速度。
雷达接收到目标的基带回波信号可表示为
(3)
式中: σ为目标的反射率，c为电磁波在空气中的传播速度。脉冲压缩通过匹配滤波器完成，其时域响应为
(4)
计算目标回波信号
和
的卷积即得到脉冲压缩后的结果
(5)
式中，
为脉冲压缩后的回波幅度，TpB为时宽带宽积，sinc(x)=sin(πx)/πx，τ(tm)=2R(tm)/c。
通过式(3)和式(5)可以看出，脉压后回波信号峰值和相位都和目标运动参数有关。高速高机动目标会使回波信号能量在积累时间内分布在不同距离单元，同时回波信号相位是关于tm的三阶函数，将会导致出现距离徙动和多普勒徙动现象，给雷达检测目标带来很大困难。
3 基于WNNM的迭代ACCF优化算法
本节提出了基于WNNM的迭代ACCF优化算法来实现高速目标检测。首先介绍迭代ACCF原理，其次阐述了WNNM算法降噪原理，最后阐述了本文中算法实现高速高机动目标运动参数估计的步骤。
3.1 迭代ACCF原理
只考虑单个目标脉冲压缩后的回波信号，即
(6)
信号
的相邻互相关函数(ACCF)定义为
(7)
式中: *表示对信号取共轭。2个信号的时域求和于频域响应乘积的逆傅里叶变换，即
r1(τ1,tm)=IFFT[S(f,tm)S*(f,tm+1)]
(8)
式中
(9)
(10)
FFT表示沿方向的傅里叶变换，IFFT表示沿f方向的逆傅里叶变换，A2为经过傅立叶变换后的信号幅度。
把式(9)和式(10)代入式(8)，得
(11)
式中，A3为r1(τ1,tm)的幅度。
(12)
(13)
(14)
(15)
如式(11)所示，多普勒徙动被消除，信号峰值落在
(16)
(17)
(18)
式中: fr为脉冲重复频率； fs为采样频率。如果满足式(17)和式(18)的条件，式(16)的峰值位置便会落于同一位置单元。因此，通过ACCF算法可以同时校正距离徙动和多普勒徙动。
对比式(6)和式(11)可以看出，回波的距离徙动和多普勒徙动阶数都从3阶变为2阶，说明ACCF算法对回波具有降阶作用。对第一次ACCF运算的结果再进行ACCF运算，可以再一次对回波进行降阶。一般称两次及以上的ACCF运算为迭代ACCF算法。
对r1(τ1,tm)再进行一次ACCF运算，可得第二次ACCF变换的结果
(19)
式中，A4为第二次ACCF运算后信号的幅度
(20)
M2=2N4Tr
(21)
易知M1和M2的数值比较小，因此目标的距离单元可确定在τ2=0或相邻单元处，此时沿着tm的方向做FFT即可完成对回波的相参积累，积累后的结果如下：
(22)
3.2 WNNM降噪算法
迭代ACCF算法的每一次ACCF运算都能够使回波信号的阶数降低一阶，但该运算是非线性的，会增加噪声干扰项，导致算法不能够适用于低信噪比条件。针对此问题，本文采用WNNM算法来对校正后的回波信号进行降噪，从而提升迭代ACCF算法的抗噪声性能。
由图1(a)可知，对校正后的回波矩阵进行奇异值分解后，矩阵的奇异值明显趋近于0，具有低秩性；由图1(b)可知，对纯噪声矩阵进行奇异值分解后，矩阵的奇异值虽然在下降但明显大于0，不具有低秩性。因此，可以使用低秩矩阵近似(low-rank matrix approximation,LRMA)来分离信号和噪声，从而提升信噪比。
图1 不同矩阵奇异值大小曲线
Fig.1 Singular value size of different matrices
WNNM算法是低秩矩阵近似中一种去噪效果较优的算法，能够在信噪比较低的情况下分离信号回波和噪声，通常被定义为
(23)
式中: Y=X+N为校正后的含噪信号回波矩阵；X为纯信号矩阵；N为噪声矩阵；
为σi(X)的非负权重，σi(X)为矩阵X奇异值降序排列时的第i个奇异值。其中
(24)
(25)
在式(24)中，c为正常数；n为矩阵奇异值的个数；ε=10-16。在式(25)中，σi(Y)为矩阵Y奇异值降序排列时的第i个奇异值；
为噪声的方差。WNNM的解可通过奇异值分解来求得
(26)
其中，SW(∑)ii=max(σi(X)-wi,0)；由于信号回波矩阵为复数矩阵，此处需要对奇异值分解进行变换，
代表对矩阵取共轭，VT代表矩阵转置。
3.3 所提算法检测目标过程
使用本文中算法实现目标检测过程如下。
步骤1 对目标回波信号进行迭代ACCF运算，分别得到第一次ACCF运算的结果和第二次ACCF运算的结果；
步骤2 在第二次ACCF运算后，通过WNNM对校正后的信号回波矩阵进行降噪处理；
步骤3 根据步骤2的结果沿慢时间方向进行FFT得到目标加加速度g的估计值；
步骤3 根据加加速度g的估计值和第一次ACCF运算后的结果沿tm方向进行FFT运算得到加速度a的估计值；
步骤4 根据加加速度g、加速度a的估计值和第一次ACCF运算的结果先沿ftm方向进行IFFT，再沿tm进行FFT，得到速度v的估计值。
4 仿真实验
4.1 基于WNNM的ACCF优化算法仿真分析
本节通过仿真实验验证基于降噪处理的迭代ACCF算法的性能。设有效脉冲数为256，目标速度为500，加速度为80，加加速度为30。
设定雷达系统参数为：载频为1 GHz，带宽为5 MHz，脉冲宽度为10μs，脉冲重复频率为200 Hz，采样率为10 MHz。分别设定信噪比为-5 dB和5 dB两种情况，仿真结果如图2、图3所示。
从图2(a)和图3(a)可以看出，传统方法检测目标时会出现距离徙动和多普勒徙动现象。通过图2(b)、(c)和图3(b)、(c)可得，迭代ACCF算法能够有效校正距离徙动和多普勒徙动，使信号回波能量集中在同一距离单元。通过图2(d)与图2(b)、(c)比较以及图3(d)与图3(b)、(c)比较可知，本文中的优化算法明显抑制了噪声，尤其是在低信噪比条件下可以对淹没在噪声中的信号回波进行较好的恢复。有利于后续的目标检测与运动参数估计。通过图2(e)和图2(f)比较以及图3(e)和图3(f)比较可知，本文中的优化算法能够抑制噪声形成的峰值，使得目标能量经过积累后形成明显的峰值，有利于后续的目标运动参数估计。
图2 信噪比为-5 dB条件下，本文算法的检测结果图
Fig.2 Detection results of algorithm at SNR=-5 dB
图3 信噪比为5 dB条件下，本文算法的检测结果图
Fig.3 Detection results of algorithm at SNR=5 dB
4.2 图像熵比较
图像熵可以反应图像的信息丰富程度，从而定量的判断出噪声的情况。对于一个M×N的图像K，图像熵可表示为
(27)
式中
(28)
本小节对迭代ACCF算法图像熵和基于降噪处理后的迭代ACCF算法图像熵列表，如表1所示。
表1 算法图像熵
Table 1 Algorithm image entropy
算法图像熵-5 dB5 dB迭代ACCF11.628 111.041 8本文优化算法9.845 59.828 3
从表1可以看出，在信噪比相同的条件下，本文中算法的图像熵均明显小于传统的迭代ACCF算法，由此可以验证出所用方法能够提升传统ACCF算法的抗噪声性能。除此之外，随着信噪比的增大，2种算法的图像熵都在变小，从而验证了图像熵会随着噪声的增大而减小。综上，图像熵的比较进一步验证了本文中优化算法的有效性。
4.3 运动参数估计比较
本小节分别设置信噪比-8 dB和8 dB两种情况，按照3.1节仿真参数进行100次蒙特卡洛实验得到2种算法的运动参数估计结果。所得结果如表2—表4所示。
表2 速度估计结果
Table 2 Comparison of speed estimation results
算法速度估计结果/(m·s-1)-8 dB8 dB迭代ACCF513.0500.0本文优化算法493.5502.1
表3 加速度估计结果
Table 3 Comparison of acceleration estimation results
算法加速度估计结果/(m·s-2)-8 dB8 dB迭代ACCF99.181.1本文优化算法83.582.0
表4 加加速度估计结果
Table 4 Comparison of jerk estimation results
算法加加速度估计结果/(m·s-3)-8 dB8 dB迭代ACCF15.630.0本文优化算法28.129.1
从表2—表4可以看出，当信噪比较低时，传统算法进行运动参数估计时偏差较大，而本文的优化算法依然能够较为准确估计目标运动参数；当信噪比较高时，2种算法都能够较好的估计目标运动参数，但所提算法估计准确度略低于传统算法，这是由于在分离噪声的同时会损失部分信号分量。综上所述，本文优化算法能够在低信噪比条件下实现对目标运动参数的有效估计。
5 结论
提出一种基于加权核范数最小化的高速目标检测优化方法提高算法在低信噪比背景下的检测能力。实验结果表明：相比于传统方法，该算法不仅能够校正距离徙动和多普勒徙动，还能够在低信噪比条件下有效恢复出淹没在噪声中的信号回波，有利于后续的目标检测与参数估计。此外，该算法虽然在分离噪声时会损失部分信号回波，但仿真结果表明算法依然能够对目标运动参数进行有效估计。本文提出的优化算法在保证目标运动参数估计精度的情况下，提升了算法的抗噪声性能，对高速目标的检测具有重要意义。
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