1 引言
复杂金属弯曲管件因具有介质输运和结构承载等功能，被广泛应用于航空航天、核能工程、轨道交通以及化工能源等行业[1-2]。常规空间管件弯曲成形方法主要包括压弯、拉弯、绕弯、推弯、滚弯等传统弯曲成形技术。但上述方法难以实现复杂轴线弯管构件一次整体成形，常需采用分段近似成形后焊接，容易造成构件轴线精度不高，缺陷形式多样等问题。三维自由弯曲成形技术通过控制弯曲模的空间运动轨迹，结合管材轴向进给运动，能够实现三维复杂空间构型弯管一次整体成形[2]。
由于三维自由弯曲过程中管材处于少约束状态，材料性能以及工艺参数对最终成形管材的形状尺寸精度以及成形缺陷影响非常显著。近些年来，相关学者就自由弯曲过程中不同材料类型、弯曲模与管材间隙、内支撑芯棒、管材进给速度等对管材弯曲变形行为的影响规律进行了探索。熊昊[3]通过实验和理论分析研究了不同材料参数对U-R关系的影响，研究表明相同偏心距下，屈服强度和硬化指数越大弯曲半径越大；而杨氏模量越大，弯曲半径越小。郭训忠等[4]研究了弯曲模与管材间隙及管材进给速度对自由弯曲成形质量的影响，研究表明弯曲模与管材间隙的轻微增加，将导致弯曲半径的显著增大，较小的间隙值可降低截面畸变程度，同时研究发现推进速度对壁厚分布与截面畸变的影响并不明显。程旋等[5]关于不同内支撑材料对自由弯曲成形质量的研究表明，内支撑材料可显著改善管材内\外侧壁厚的分布情况，降低截面畸变率，同时内支撑材料分布越均匀，壁厚减薄\增厚与截面畸变程度越小。Beulich等[6]通过在管材内部设置内支撑以防止薄壁管在自由弯曲过程中发生轴向失稳等缺陷，并分析了材料模型、内支撑结构以及摩擦条件等对有限元模拟精度的影响。吴建军等[7]分析了推进速度、周向扭转速度及弯曲模运动速度对管材弯曲弧段过渡区的影响，并建立了管材弯曲角与稳定区曲率的关系。
此外，三维自由弯曲过程中弯曲模与管材始终处于接触状态，弯曲模对管材附加的摩擦效应会影响塑性变形过程中管材内部的应力应变分布状态，进而影响管材自由弯曲变形行为。目前很少有学者研究自由弯曲过程中摩擦效应对管材成形质量的影响，都是基于传统弯曲成形工艺分析摩擦因素。Chen等[8]关于不同摩擦形式对弯曲成形的影响表明，滑动摩擦可显著降低成形力，提高壁厚分布均匀性，降低截面畸变。Yang等[9-10]研究了数控绕弯过程中模具与管材之间的附加摩擦力对弯曲成形质量及成形极限的影响，结果表明增大弯曲模、压紧模与管材间的摩擦系数可抑制壁厚减薄和截面畸变。吴义旺等[11]通过对大径厚比小弯曲半径不锈钢管进行推弯成形实验，发现降低内侧成形区摩擦力可改善变形区金属流动，减小弯曲半径；增大内侧引导区与变形区间摩擦系数，可引导材料向变形区流动，减少金属堆积，降低管材起皱风险。徐竹田等[12]研究发现增加微型板材滚弯成形过程中的摩擦系数，可限制板材的滑动变形，增强材料的拉伸变形量，提高微尺度下板材滚弯成形精度。
在本文中主要研究三维自由弯曲成形过程中摩擦效应对管材成形质量的影响。首先分析了考虑摩擦效应的管材内部应力应变分布情况，揭示处于不同摩擦条件下管材自由弯曲成形机理；其次，基于Cr12MOV材料的弯曲模结构，对比了不同偏心距条件下的弯曲成形实验与数值模拟结果，验证了数值模拟方法的可靠性；最后，分析不同摩擦效应对自由弯曲成形过程中管材U-R关系、壁厚分布以及截面畸变的影响规律。
2 考虑摩擦效应的管材自由弯曲成形机理分析
2.1 三维自由弯曲成形原理
三维自由弯曲成形原理图如图1所示。自由弯曲成形装备主要部件包括弯曲模、球面轴承、导向机构和推进机构。在自由弯曲过程中，球面轴承在平面内的水平和垂直运动会带动弯曲模发生相应平移和旋转运动，配合推进机构对管材的轴向推进作用，位于导向机构和弯曲模之间的管材发生相应的塑性变形，进而形成弯曲弧段。其中弯曲模中心点与导向机构最前端沿Z轴方向的距离称为成形区长度A，弯曲模中心点与导向机构最前端在X-Y平面内的投影距离成为偏距U。弯曲过程中，推进机构对管材施加的推进力为PL，弯曲模对管材的成形力为PU，弯曲模对管材的摩擦力为Ff,导向结构对管材的支撑力为PN。在这4种作用力的共同作用下，管材发生弯曲变形，弯矩可以表示为：
图1 三维自由弯曲成形原理示意图
Fig.1 Schematic diagram of 3D free bending
M=PNA+PLU
(1)
2.2 考虑摩擦效应的管材应力应变分析
自由弯曲过程中，处于弯曲模和导向机构之间的管材应力应变状态和几何参数[13]如图2所示，其中各符号的含义如表1所示。
图2 弯曲段管材应力应变状态
Fig.2 Tube bending stress and strain analysis
表1 管材理论参数对照表
Table 1 Comparison of theoretical parameters of tubes
参数含义σρ、σθ径向应力、切向应力ερ、εθ、εφ径向应变、切向应变、周向应变R0、Ri弧段最外侧和最内侧弯曲半径Rξ应力中性层
根据Hencky应力应变关系[14]，管材径向方向的力平衡方程可以写为：
(2)
结合von Mises屈服准则，等效应力可以表示为：
(3)
根据管材环向应变等于0和体积不变假设，管材弯曲圆弧段等效应变可以表示为：
(4)
在轴向推力作用下，自由弯曲过程中应变中性层将会向外偏移，弯曲管材的切向应变为：
(5)
其中，ρ为管材任意位置处沿径向弯曲半径。
采用Hollomon方程来拟合管材轴向应力应变曲线：
σ=kεn
(6)
结合式(3)—式(6)，可以得到：
(7)
其中，当ρ≥Rξ，管材的弯曲弧段外侧处于拉应力状态，上述公式中“±”取“+”；当ρ<Rξ，管材的弯曲弧段内侧处于压应力状态，上述公式中“±”取“-”。
根据式(2)和式(7)，可以获得：
(8)
式中，C是常数。由于弯曲弧段最内侧和最外侧的径向力等于0，因此弯曲弧段内侧和外侧的径向应力和可以推导为：
(9)
(10)
将式(9)和式(10)代入到式(7)中，弯曲弧段内、外侧的切向应力可以表达为：
(11)
(12)
结合式(9)—式(12)和式(3)，管材自由弯曲过程中不同区域等效应力可以确定为：
(13)
(14)
3 三维自由弯曲成形有限元模拟和成形实验
3.1 单向拉伸实验
采用外径19 mm，壁厚1 mm，经退火处理的20#无缝碳钢管进行三维自由弯曲成形实验研究。为了能够准确模拟碳钢管自由弯曲过程中的塑性变形行为，需要获得其基本力学性能参数。根据ASTM standard E8-08标准[15]，对金属管材进行室温单向拉伸试验。拉伸试样沿着管材轴线方向进行截取，图3所示为纵向弧形拉伸试样具体几何尺寸和截取示意图。经室温单向拉伸所得纵向弧形拉伸试样的流动应力应变曲线如图4所示。
图3 纵向弧形单向拉伸试样
Fig.3 Longitudinal uniaxial tensile test samples
为了能够准确描述管材的加工硬化现象，采用Hollomon硬化方程对流动应力应变曲线进行拟合，如式(1)所示。图4对比了实验和拟合曲线，从其中可以发现实验数据与拟合结果高度一致，可以较为真实地反映20#无缝钢管在弯曲变形过程中的应力应变状态。根据拟合结果及相关应力应变数据，获得式(15)本构模型和表2所示20#无缝钢管力学性能参数。
表2 20#无缝管材力学参数
Table 2 Mechanical parameters of the 20# seamless pipe
材料参数测量结果杨氏模量E/GPa217延伸率δ/%11.9屈服强度σ0.2/MPa293抗拉强度σb/MPa377强度系数k/MPa444应变硬化指数n0.0744屈强比0.777
图4 碳钢管材流动应力应变曲线及拟合结果
Fig.4 The true stress-strain curve and fitting results of the carbon steel pipe
σ=444ε0.074 4
(15)
3.2 三维自由弯曲有限元模型建立
为研究摩擦效应对管材三维自由弯曲成形U-R关系、壁厚分布及截面畸变的影响，基于管材弯曲有限元仿真软件，建立20#无缝钢管三维自由弯曲弹塑性有限元模型。如图5所示，三维自由弯曲成形有限元模型主要包括弯曲模、球面轴承、导向结构、压紧装置以及管材等部件。因在本文中仅研究摩擦因素对管材弯曲成形的影响，为排除无关因素的影响，将除管材以外的所有部件约束为刚性体，其中弯曲模、导向结构和球面轴承定义为刚性实体，压紧装置采用刚性壳体，管材采用可变形壳体，并分别对以上部件和管坯进行网格划分。
图5 管材三维自由弯曲有限元模型
Fig.5 FE modeling of 3D free bending
在本文中主要通过改变管材与弯曲模之间的摩擦系数来研究摩擦效应对管材自由弯曲变形行为的影响。由于实验所用弯曲模和导向结构的材料均为Cr12MOV，根据WANG[16]和M[17]关于Cr12MoV与碳钢摩擦之间摩擦磨损的研究结果，确定有限元模拟摩擦系数 f =0.2，随后按照表3所设定工艺参数进行三维自由弯曲有限元模拟成形实验。
表3 三维自由弯曲有限元模拟实验工艺参数设置
Table 3 Geometrical and setting parameters of the 3D free bending finite element model
参数数值管径D/mm19壁厚t/mm1推进速度v/(mm·min-1)600偏心距U/mm4、6、8、10、12相对弯曲半径R/D6.5、4.2、3.6、2.9、2.6管坯与弯曲模间隙a/mm0.1摩擦系数f0.2
3.3 三维自由弯曲实验
为验证所建立有限元模型的可靠性，基于南京航空航天大学所研发的三维自由弯曲成形工程样机(见图6)进行自由弯曲成形实验。其中弯曲模在球面轴承和导向机构的配合下，将X-Y平面内的平动转化为围绕导向机构的旋转运动，以实现弯曲模空间姿态的变换，Z轴则用以实现管坯的进给运动。X、Y、Z三轴在中央控制器的统一控制下，以一定的匹配速度进行运动，即可实现具有空间结构特征的管材整体弯曲成形。
图6 三维自由弯曲成形工程样机
Fig.6 3D free bending experimental samples
参照表3，采用与有限元模拟相同的工艺参数进行弯曲成形实验，图7分别为有限元模拟和成形实验所获得的平面单弯构件。从其中可以初步总结出，有限元模拟方法所获得的弯曲管材整体形状尺寸与试验结果比较接近。图8对比了实际成形实验和数值模拟获得的回弹后弯曲管材U-R关系、不同偏心距下的截面畸变率情况(由式(16)计算)。可以发现，随着偏心距的逐渐增大，弯曲半径R呈现减小的趋势，而截面畸变表现出逐渐上升的趋势。说明随着偏心距U的增加，自由弯曲过程中管材的塑性变形程度增加，变形更加剧烈。此外，由实验和数值模拟方法获得的U-R关系曲线以及截面畸变变化趋势基本一致，其中U-R关系最大误差为11.33%，截面畸变最大误差为13.56%，表明在本文中所建立的三维自由弯曲有限元模型可以较为准确地预测金属管材三维自由弯曲塑性变形过程，能够用于探究摩擦效应对金属管材弯曲成形质量的影响。
图7 三维自由弯曲成形结果
Fig.7 3D free bending forming results
图8 U-R关系曲线和截面畸变率对比
Fig.8 U-R curves and comparison of section distortion rates
(16)
式中：Dmax为管材横截面最大尺寸；Dmin为管材横截面最小尺寸；Do为管材横截面原始直径，具体测量方式如图9所示。
图9 管材截面畸变测量方法
Fig.9 Method for measuring cross section distortion of tube
4 结果分析
三维自由弯曲成形过程中，管材的U-R关系曲线、壁厚减薄率和截面畸变率是影响管材最终服役性能的关键指标参数。弯曲模与管材之间的摩擦效应会改变管材塑性变形段应力应变分布状态，进而影响已成形管材弯曲半径、壁厚增厚及减薄和截面畸变。基于所建立的20#薄壁无缝管弹塑性有限元模型，采用0.02、0.05、0.1、0.2、0.3摩擦系数，分别研究摩擦效应对管材弯曲半径、壁厚增厚\减薄和截面畸变的影响规律。
4.1 摩擦效应对U-R关系的影响
图10对比了不同摩擦系数条件下U-R关系曲线演化趋势。从其中可以发现，数值模拟获得U-R关系曲线明显高于理论U-R关系曲线。这是由于理论模型下，假设弯曲模和导向机构之间管材为标准圆弧段；而在实际弯曲成形过程中，存在管材弯曲回弹以及圆弧逐渐过渡现象，导致实际圆弧曲率半径要大于理论计算结果。此外，随着摩擦系数的升高，不同摩擦系数所对应的U-R关系曲线整体下移。在相同偏心距条件下，摩擦系数越大，可获得的弯曲圆弧曲率半径越小。如图11所示为管材在不同摩擦系数条件下的切向应力分布云图。
图10 不同摩擦系数对U-R关系的影响
Fig.10 Influence of different friction coefficients on U-R relationships
图11 不同摩擦系数应力分布云图
Fig.11 Strain cloud diagram with different friction coefficients
由图11可见,随着摩擦系数的增加，峰值应力分别向弯曲段内外侧转移，使得切向应力形成的旋转力矩随之增加。管材的弯曲变形主要是由切向应力在弯曲平面内所形成的合力矩使管材横截面围绕弯曲轴进行刚性旋转和塑性流动而形成[18]，因此在相同的偏心距条件下，摩擦系数越大，所形成的弯曲半径越小。同时，图11中管材应力分布由应变中性层向两侧逐渐增加的趋势，与式(13)、式(14)中对应力分布规律相吻合，进一步证明了有限元模拟结果的可靠性。为了能够准确获得自由弯曲过程中管材轴线的尺寸形状，需要考虑摩擦效应对U-R关系的影响，针对相同曲率半径圆弧，需根据不同摩擦系数条件对弯曲模偏距U进行调整补偿。
4.2 摩擦效应对壁厚分布的影响
图12为不同摩擦系数下弯曲弧段内凹侧壁厚分布情况，结合图13所示管材应力分布云图。
图12 弯曲段内凹侧壁厚分布(U=12 mm)
Fig.12 Wall thickness distribution of the concave side in a bending section(U=12 mm)
图13 不同摩擦系数对应壁厚分布云图
Fig.13 Wall thickness cloud diagram with different friction coefficients
不同摩擦系数下的壁厚分布均呈现显著的三段式演化规律，分别与三维自由弯曲圆弧形成过程中的起始过渡段、稳定圆弧段、终止过渡段相对应。在起始过渡段中，壁厚近似线性增加，达到峰值壁厚后有所降低，并在稳定圆弧段平缓波动，直至终止过渡段快速降至原始壁厚。弯曲圆弧曲率半径随弧长的演化情况也被显示在图12中。从其中可以发现，弯曲弧段内侧壁厚增加区域与圆弧曲率半径减小区域所对应，说明壁厚增加是由于应变中性层随弯曲半径减小向弯曲外侧移动所导致的。而壁厚减小弧长区域内弯曲半径逐渐增大，塑性变形程度越来越小。此外，弯曲弧段内凹侧壁厚随着摩擦系数的增加显著增厚，且摩擦系数越大，壁厚增厚趋势越明显，弯曲内凹侧最大壁厚增厚率达到26.5%。由于摩擦力的存在，导致管材内凹侧切向压应力增大，由于管材周向变形受弯曲模具约束，因此管材径向应变进一步增大以转移由切向压缩积累的材料，从而导致弯曲弧段内凹侧壁厚进一步增加。
图14显示了不同摩擦系数下弯曲弧段外凸侧壁厚分布情况。可见，当摩擦系数较小时，弯曲弧段外凸侧壁厚小于原始壁厚，管材呈现壁厚减薄现象。随着摩擦系数的增加，管材稳定圆弧段的壁厚呈现逐渐上升的趋势，管材外凸侧由壁厚减薄向壁厚增厚转变。这是由于当摩擦系数较小时，弯曲弧段外凸侧切向处于拉应力状态，并产生拉伸变形，为补偿切向金属流失，管材横截面产生径向压缩，从而导致弯曲弧段外侧壁厚减薄。随着摩擦系数的增加，管材进给弯曲过程中所受摩擦阻力增大，导致弯曲弧段外凸侧逐渐由拉应力状态向压应力状态转变，从而出现与弯曲弧段内凹侧类似的壁厚增厚现象。
图14 弯曲段外凸侧壁厚分布(U=12 mm)
Fig.14 Wall thickness distribution on the convex side of a bending section(U=12 mm)
4.3 摩擦效应对管材截面畸变的影响
如图15所示，为不同摩擦系数条件下，弯曲弧段管材横截面畸变情况。由图15可以发现，横截面畸变随着摩擦系数的增加逐渐增大，且主要表现为短轴缩短，而长轴的变化并不明显。管材弯曲时弯曲弧段外凸侧直接与弯曲模接触，在径向压应力的作用下迫使外侧管壁径向移动，从而截面在短轴方向缩短较为明显。随着摩擦系数的增加，弯曲所需成形力逐渐增大(见图16)，径向应力随之变大，导致截面畸变程度不断增加。图16中截面畸变率随着摩擦系数的增加，存在明显转折点，当摩擦系数超过0.1后，截面畸变率随着摩擦系数的增加，上升速度有所降。这是因为当摩擦力超过某一临界值后，与弯曲模接触部位，沿管壁周向的摩擦效应开始凸显，并表现出阻碍金属周向流动的特征，从而对截面畸变起到一定的抑制作用。
图15 稳定圆弧段截面畸变情况
Fig.15 Section distortion of stable arc section
图16 弯曲段形成过程中成形力变化
Fig.16 The forming force changes during the forming of a bending section
5 结论
综上所述，通过理论分析与有限元模拟相结合的方法，探究了三维自由弯曲成形过程中，弯曲模具与管材之间的摩擦系数对管材弯曲半径、壁厚分布以及截面畸变的影响规律，结果表明摩擦效应对管材三维自由弯曲成形过程中材料塑性变形行为影响显著：
1) 随着摩擦系数的增大，材料塑性流动受阻，切向应力幅值升高，弯曲力矩随之增大，导致在相同的偏心距条件下，管材的弯曲半径更小。
2) 随着摩擦系数的增大，弯曲弧段内凹侧切向压应力增大，外凸侧切向应力减小，管材弯曲内侧壁厚进一步增大，而弯曲外侧由壁厚减薄逐渐转变为壁厚增厚。
3) 随着摩擦系数的增大，径向压应力的增加导致管材横截面畸变逐渐增大；而摩擦系数的进一步增大又阻碍了管材沿周向流动，从而延缓了截面畸变率上升速率。
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