1 引言
光电分布式孔径系统(electro-optical distributed aperture system，EODAS)是F-35战机的重要任务系统，具备弹道导弹预警能力[1-3]。美军于2010年11月完成对800英里外亚轨道卫星发射过程的探测、识别、跟踪，2018年完成对“民兵”洲际战略导弹的预警，探测距离达到1 600 km[4-6]。美军已经将F-35战机纳入其导弹预警体系中，对我导弹突防带来新的威胁。
国内的研究主要集中在制空作战、对地攻击中EODAS的作战能力[7-8]，对其导弹预警能力鲜有报道。因此开展EODAS对弹道导弹的预警能力研究，为提出针对性的对抗措施提供依据，对提高弹道导弹突防能力具有重要意义。
2 弹道导弹动力学模型
2.1 助推加速度
以某单级固体发动机弹道导弹为对象来建立其动力学模型。设弹头质量为 WPay，燃料质量为 WFu和燃料舱质量为 WCan，助推段燃料质量的减少率为常量，助推时间为 tBurn，助推器比推力为Isp，则t时刻助推段推力加速度大小为：
(1)
2.2 气动阻力加速度
气动阻力加速度的方向与弹道导弹速度方向相反，它的大小为[9]：
(2)
式中：v(t)为导弹在t时刻的速度大小；h(t)为导弹在t时刻的水平高度； β为弹道系数； ρ(h)为空气密度，它是高度h的函数。
ρ(h)=ρ0e-kh
(3)
式中：k为常数。
2.3 运动方程
在地面坐标系中建立弹道导弹质心移动方程[10]：
(4)
式中，导弹在自由飞行段时aT(t)取0，当导弹位于大气层外时aD(t)取0。
3 弹道仿真算例与分析
根据上述模型进行了弹道仿真，结果如图1—图3所示。仿真时WPay取2 800 kg、WFu取10 000 kg、WCan取2 200 kg、Isp取300、tBurn取65 s, β取6 116，导弹高仰角发射。
图1 射程随飞行时间变化曲线
Fig.1 The curve of missile range with flying time
图2 飞行高度随飞行时间变化曲线
Fig.2 The curve of missile height with flying time
由图1中可知，该导弹飞行时间为517 s，射程800 km。由图2可知，导弹最大飞行高度为280 km，在发动机关机时高度为58 792 m，高度为85 000 m时飞行了78 s。
从图3中可以看到，在发动机关机时速度达到7.89 Ma，在击中目标时速度达到最大，为8.46 Ma。
图3 飞行速度随飞行时间变化曲线
Fig.3 The curve of missile speed with flying time
4 红外辐射模型
导弹的红外辐射包括尾焰红外辐射、尾喷管口红外辐射和气动加热的蒙皮红外辐射。在助推段EODAS探测不到尾喷管口，因此下面不讨论。在自由飞行段导弹的红外辐射只考虑弹头蒙皮的红外辐射。
4.1 尾焰红外辐射模型
尾焰可分为稳定区和混合区，如图4所示[11]。稳定区内温度恒定。稳定区向外直至尾焰边界为混合区，温度逐渐下降。设尾喷口直径为DP，混合区尾焰最宽处直径为Dw，稳定区的长为L1，尾喷口到混合区最宽处的长度为L2。可将稳定区看为长轴为L1，短轴为DP/2的半个长轴椭圆体，混合区看为长轴为L2+L0，短轴为Dw/2的长轴椭圆体。图4中L0为：
(5)
图4 尾焰红外辐射模型
Fig.4 IR model of missile tail flare
4.1.1 尾焰温度
1) 稳定区温度
稳定区温度为尾焰在尾喷口处的温度。尾焰在尾喷口处的温度与尾喷口的温度有关，计算公式为[12]：
(6)
式中：T2为尾焰在尾喷口处温度；T1为尾喷口温度；P2为膨胀后的气体压力；P1为尾喷口内的气体压力；γ为气体的定压热容量和定容热容量之比。
2) 混合区温度
将混合区划分成若干个离心率相同的长轴椭圆体，如图5中的a1、a2…an。设a1、a2…an表面积分别为S1、S2…Sn，且认为椭圆体表面上温度相同，分别为T1、T2…Tn。a1、a2…an都不是完整的长轴椭圆体，需补充完整，如图中点状虚线所示。对于a1、a2…an，补全部分不完全一样，但其表面积相差不多。
图5 尾焰混合区红外辐射模型
Fig.5 IR model of tail flare unstable region
设第n个长轴椭圆体表面距喷口的最远距离为ln，则其短轴Dn和表面积Sn为：
(7)
补全部分的表面积S′为：
(8)
稳定区的表面积A0为：
(9)
设a1与稳定区的温差为ΔT，an与an-1的温差为ΔTn，则有：
(10)
式中: Tn为第n个长轴椭圆体表面温度。
4.1.2 尾焰辐射面积
稳定区在视线方向上的投影面积为：
(11)
第n个长轴椭圆体在视线方向上的投影面积An为：
(12)
式中: θ为视线和辐射面法线的夹角。
4.1.3 尾焰辐射亮度
尾焰可以认为是具有一定发射率的灰体，因此稳定区或第n个长轴椭圆体辐射面的光谱辐射亮度可表示为：
(13)
式中：ε为尾焰的发射率； M(λ,Tn)为普朗克定律。
4.2 蒙皮红外辐射模型
4.2.1 蒙皮温度
1) 大气层内
在大气层内蒙皮的温度可用下式计算[13]：
Ts=Ta(1+0.164V2)
(14)
式中: Ts为蒙皮温度； Ta为周围大气的温度； V为目标飞行的速度。但当蒙皮温度达到一定程度后，导弹的烧蚀层开始烧蚀，则蒙皮的温度为[14]：
Ts=Th+k·(T0(1+0.164V2)-Th)
(15)
式中： Th为烧蚀层开始烧蚀的温度，k与烧蚀层的材料和烧蚀速度有关的系数。
2) 大气层外
在大气层外，导弹与周围环境存在热交换，包括自身辐射、太阳辐照和地面辐照等。一般来说在大气层外，导弹蒙皮温度随飞行时间逐渐下降直至热平衡。对于全日照弹道，蒙皮温度可由式(16)计算[15]。
式(16)中, ta和 Ta分别为导弹飞出大气层时的时间和蒙皮温度，t1至t7对应蒙皮温度分布下降为1 273.15、1 173.15、1 073.15、973.15、873.15、773.15、673.15 K时的时间。需要指出的是(16)式是根据蒙皮在大气层外热传导偏微分方程计算数据拟合的结果。
(16)
4.2.2 蒙皮辐射面积
1) 燃料舱蒙皮辐射面积
设燃料舱长为LF，导弹直径为D，则燃料舱蒙皮在视线方向上的投影面积AF为：
AF=LF·Dcosθ
(17)
当导弹抛弃燃料舱AF取0。
2) 弹头蒙皮辐射面积
设弹头为锥体，弹头长为LB，则弹头蒙皮在视线方向上的投影面积AB为：
(18)
蒙皮一般被认为是具有一定发射率的灰体，因此可由式(13)、(17)和(18)计算蒙皮的光谱辐射亮度，其中式(16)ε取蒙皮的发射率。
5 红外辐射仿真算例与分析
根据上述模型进行了导弹红外辐射仿真，结果如图6—图9所示。仿真时DP取0.8 m、Dw取2.8 m、L1取6 m、L2取18 m、T1取958 K、γ取1.3、P2/P1取0.5、Th取1 473 K、k取0.1。D取1.2 m、LF取13 m、LB取6 m、尾焰的ε取0.85。蒙皮的ε取0.65。
5.1 尾焰红外辐射亮度
由图6可知，混合区沿轴向温度逐渐下降。另外尾焰红外辐射只在助推段存在，且红外辐射亮度变化不大，如图7所示。
图6 混合区轴向温度分布曲线
Fig.6 Temperature change curve of unstable region along missile axis
图7 尾焰红外辐射亮度随飞行时间变化曲线
Fig.7 The curve of tail flare infrared radiance with flying time
5.2 蒙皮红外辐射亮度
5.2.1 蒙皮温度
在整个飞行过程中，蒙皮温度如图8所示。
图8 蒙皮温度随飞行时间变化曲线
Fig.8 The curve of skin temperature with flying time
由图8可知：
1) 在助推段，导弹处于大气层内，随着速度的增加，蒙皮的温度急剧增加，在65 s时速度和温度达到最大值。在该过程中，当蒙皮温度达到1 473 K后(飞行时间44 s)，由于烧蚀层烧蚀带走部分热量，温度上升速度与之前相比有所减缓。
2) 在自由飞行段初始阶段，飞行时间在65～78 s，导弹仍处在大气层内，由于空气阻力使导弹速度减小，再加上烧蚀层烧蚀，导弹温度下降较快。78 s后，由于蒙皮温度很高，导弹自身辐射带走的热量远超过太阳辐照增加的热量，蒙皮温度仍保持快速下降趋势。但随着蒙皮与环境温差的减小，下降速度越来越慢。
3) 当进入自由飞行段，由于弹头速度很大，气动加热使蒙皮温度发生跃升。
5.2.2 蒙皮红外辐射亮度
蒙皮的红外辐射亮度与蒙皮的温度和蒙皮的辐射面积相关，其变化趋势与温度变化相似。由图9可知红外辐射亮度在飞行时间65 s时有一个阶梯式下降，其原因是在助推段结束时，导弹抛弃了燃料舱蒙皮面积减小的缘故。
图9 蒙皮红外辐射亮度随飞行时间变化曲线
Fig.9 The curve of skin infrared radiance with flying time
比较图7和图9可知在助推段初段，由于导弹速度较小，气动加热的蒙皮红外辐射也小，尾焰红外辐射占据主要地位，但随着速度增大，蒙皮红外辐射也迅速增大，蒙皮的红外辐射会超过尾焰的红外辐射。
5.3 导弹红外辐射亮度
由图7和图9可知，在助推段大部分时间内蒙皮红外辐射比尾焰红外辐射高1个数量级，因此导弹的红外辐射亮度与蒙皮的红外辐射亮度很相似，如图10所示。
图10 导弹红外辐射亮度随飞行时间变化曲线
Fig.10 The curve of missile infrared radiance with flying time
6 EODAS导弹预警模型
6.1 红外系统探测模型
红外系统探测目标的SNR由下式求得[16-17]：
(19)
式中： J(λ)为目标光谱辐射亮度；τ(λ)为大气透过率；A0为红外系统光学窗口的面积；τ0为红外光学系统窗口至探测器间的光谱透过率；D*为探测器归一化的探测度；Ad为探测器的面积；Δf为等效噪声带宽；R为目标到红外系统的距离。
6.2 红外大气传输模型
不考虑气象条件(雨、雪)的衰减，红外辐射大气透过率为：
τ(λ)=τ1(λ)·τ2(λ)·τ3(λ)·τ4(λ)
(20)
τ1(λ)、τ2(λ)、τ3(λ)和τ4(λ)分别为H2O吸收、CO2分子吸收、O3分子吸收和大气中分子、气溶胶、微粒的散射的大气光谱透过率[18-20]。
6.2.1 水汽的吸收
水汽的含量随海拔高度和气象条件的变化比较明显，水汽的含量采用可降水分φ表示：
φ=0·D·Hr
(21)
式中：D为水平传输距离；Hr为相对湿度； φ0表示在一定温度下，空气相对湿度为100%时每千米(海平面水平路程)大气中可降水分，已知温度时可通过查表得到。求出φ后就可以根据光谱透过率表得到海平面不同水蒸气含量对应的大气平均透过率。
考虑大气传输分为水平传输和倾斜传输2种情况，式(21)修正为：
(22)
式中： φe为修正后的可降水分；α为常数；H为水平传输高度；H1为探测系统高度；H2为目标高度；θ为天顶角。
6.2.2 CO2的吸收
CO2在大气中的含量相对稳定，由CO2造成的辐射衰减可认为与气象条件无关，则CO2的吸收采用等效传输距离来表示。
(23)
式中： De为修正后的等效距离， β为常数。CO2的大气平均透过率可以根据光谱透过率表查出。
6.2.3 O3的吸收
臭氧在3～5 μm和8～14 μm波段内主要有4.75 μm和9.6 μm吸收带。在低空由于臭氧浓度很低通常可忽略其吸收。随着高度的增加，在5～10 km处开始慢慢增加，而后增加较快，在10～30 km处含量达到最大值。再往上浓度又重新减小，到40～50 km含量几乎为0[21]。可见从海平面到O3浓度最大值的处，O3吸收的衰减作用与水汽和CO2相反。从浓度最大值处到大气层外，O3吸收的衰减作用与水汽和CO2相同。
在水平面上臭氧的浓度约为亿分之三，所以在海平面16 km的水平路程上，才勉强探测到臭氧9.6 μm的吸收带。因此需用MODTRAN软件计算O3浓度最大值的处的光谱透过率，再根据Elterman模型，构建类似式(23)的公式来计算等效传输距离。
(24)
式中: γ为常数;H0为O3浓度最大时的高度。由于观察条件的不同测得的臭氧含量随高度的分布也是不一致的，因此γ的值要根据臭氧高度分布曲线来计算。
6.2.4 大气的散射
大气的散射衰减采用气象能见度来描述。
(25)
式中: μ(λ)为大气散射系数; Vm为大气能见度; q为修正因子。
(26)
则大气散射造成的透过率为：
τ4(λ)=e-μ(λ)·D
(27)
6.3 大气中的传输距离
设红外辐射从O点开始传输，传输距离为S，O点距地面为h1，大气中间层顶距地面为h2，如图11所示。图中S大于h2-h1。由图11可知,此时传输方向从OA变化至90°时，有部分传输路径在大气中间层外。由于大气中间层顶外大气浓度特别稀薄，对红外辐射的衰减可以忽略。因此红外辐射在大气中的传输距离为：
(28)
式中: θ为天顶角。
图11 红外辐射传输方向图
Fig.11 Transmission direction of IR
7 导弹预警算例与分析
7.1 光学窗口上的红外辐射功率密度
设EODAS载机位于导弹落点上方10 000 m处，根据红外辐射大气传输模型得到EODAS光学窗口上的红外辐射功率密度如图12所示。计算时地面温度取300 K，湿度为20%，大气能见度为15 km。
图12 光学窗口上的红外辐射功率密度 随飞行时间变化曲线
Fig.12 The curve of IR power density with flying time on optical window
可见EODAS光学窗口上的红外辐射功率密度随着导弹与EODAS距离的缩短基本上保持着持续增加的态势。由图12可知：
1) 在助推段弹道导弹的红外辐射虽然很强，但由于其距EODAS载机很远，再加上红外辐射完全在大气层中传输，大气吸收特别强，导致EODAS光学窗口上的红外辐射功率密度仍然很小。
2) 在自由飞行段初始段，飞行时间为65～100 s时，导弹的红外辐射虽比助推段小，但仍然较强，同样由于距EODAS载机相对较远和主要在大气层中传输，EODAS光学窗口上红外辐射功能密度虽有所增加但仍然很小。
3) 在自由飞行段后半段，虽然导弹的红外辐射已经变小，但此时距EODAS载机相对较近且在大气层中传输距离较短，EODAS光学窗口上的红外辐射功率密度却能急剧上升。
4) 在再入段，由于弹头的红外辐射很强、距EODAS载机很近和在大气层中传输距离很短，EODAS光学窗口上的红外辐射功率密度发生跃升变化。
7.2 EODAS输出的信噪比
由EODAS红外探测模型，得到其输出的信噪比(SNR)如图13所示。计算时A0取0.2 m，D*取6×1012 cm·Hz1/2·W-1，τ0取0.9，Ad取25 μm×25 μm，Δf取700。
由图13可知，如果EODAS探测阈值SNR取3.78(5.8 dB)[22]，此时弹道导弹距EODAS载机水平距离约为342 km，弹道导弹飞行了310 s，EODAS可提供预警时间为207 s。
图13 EODAS信噪比随飞行时间变化曲线
Fig.13 The SNR change curve of EODAS with flying time
显然当EODAS前伸部署时会增加预警时间，为此计算了不同前伸距离时EODAS的预警时间，如图14所示。
图14 预警时间随前伸部署距离变化曲线
Fig.14 The curve of warning time with forward deployment distance
由图14可知，当前伸距离小于400 km时，预警时间随着前伸距离的增加基本呈线性增加。前伸部署距离在400～500 km变化时，预警时间虽随着距离的增加有所增加，但增加的速度很慢。当前伸距离在500 km附近时，预警时间会再现跃升式的增加。前伸距离大于503.5 km后，预警时间不再增加。因此可将EODAS载机前伸部署400 km，预警时间可达470 s，基本实现了导弹的全程预警。
8 结论
本文中根据射流流场理论建立了一种导弹尾焰红外辐射的椭圆体模型，并根据Elterman臭氧分布模型在红外辐射大气传输模型中增加了臭氧吸收衰减。在此基础上，利用固体弹道导弹动力学模型仿真了EODAS弹道导弹预警过程。研究表明EODAS具备很强的弹道导弹预警能力，给战术弹道导弹突防带来了新的挑战。因此在面对F-35构建的导弹预警体系时，一方面需要发展新的电子对抗手段，削弱EODAS导弹预警能力，另一方面在制空和防空作战中，通过夺取制空权，迫使F-35战机后撤，从而提高弹道导弹的突防概率。
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