0 引言
升阻特性作为飞行器的基本气动特性,对总体射程指标以及滑翔方案弹道设计等影响较大,因此在项目前期论证以及飞行试验中被重点关注[1-4]。在得到飞行试验数据之后,工程实践中常用2种方法进行参数辨识:一种方法是弹道复合法,即在弹道程序中对气动插值结果乘以修正系数,以使速度、弹道倾角、弹道等外弹道参数接近实测值,这种方法工作量较大且过程繁琐,辨识过程依赖工程师的经验判断,辨识结果精度有限;另一种辨识方法是通过外弹道数据求得弹体的受力信息,根据质心动力学方程直接求解升力阻力,从而得到阻力系数与升力系数的辨识值,该方法简单方便,但需要对观测数据直接进行微分,辨识噪声及辨识误差较大。
目前常见的气动辨识算法有最小二乘法[5-7]、极大似然估计[8-9]、卡尔曼滤波[10-11]以及神经网络[12-13]、蜂群算法[14]、基于学生心理的启发式优化算法[15]等智能算法。这些智能算法模型复杂且对观测量及其误差分布等信息需求较多,不利于工程应用。
本文中的辨识算法受模型预测静态规划(MPSP)[16-17]启发,该算法多用于带有终端约束的制导律设计,通过状态灵敏度矩阵建立了控制变量与终端误差的联系。本文中将待辨识气动参数类比制导律中的控制量,将辨识误差类比制导律中的终端约束误差,建立起辨识气动参数与外弹道数据误差之间的联系,通过算法自动调整气动参数,从而实现仿真弹道与外弹道数据误差小于指定精度。本文中提出的气动辨识方法简单新颖,可通过编制程序自动执行,无需通过人工手动复合弹道,减少辨识工作量,提高辨识精度,为飞行试验的参数辨识提供了一种新思路。
1 建立辨识模型
1.1 辨识动力学模型
暂时不考虑有助推发动机的情况,使用简化的纵向弹体质心动力学方程作为辨识模型,即:
(1)
式中: V、θ、x、y、q、S、cx、cy、m、g分别为速度、弹道倾角、发射系射距、发射系高度、动压、参考面积、阻力系数、升力系数、质量、重力加速度。
1.2 归一化处理
由于状态变量存在量级差异,先进行归一化处理。使用最大、最小标准化处理,归一化处理算子为:
(2)
式中:
为归一化后的状态变量;Φ为归一化前的状态变量;Φmin为状态变量下界;Φmax为状态变量上界。
将归一化后的变量代入式(1)中,即得到归一化后的纵向质心运动模型。
2 MPSP气动参数辨识算法
2.1 算法原理
首先确定辨识步长,在每个辨识步长内应用MPSP算法进行迭代计算,使状态误差收敛至误差阈值以下,即得到待辨识参数的估计值。算法流程图如图1所示。
图1 算法流程
Fig.1 Algorithm flow chart
2.2 提供辨识输入
提供外弹道数据、理论气动参数以及弹体结构参数等辨识输入。
2.3 设置辨识步长
辨识步长设置要根据飞行状态确定。若弹体全程飞行状态变化范围不大,辨识步长可以适当取长;若飞行状态变化剧烈,辨识步长需减小。
2.4 MPSP算法用于气动参数辨识
假设辨识步长p内,时间区间为
归一化后的纵向质心运动模型为:
(3)
式中:
为归一化后的状态变量矩阵;
为归一化后的辨识量。
采用欧拉法对式(3)进行离散处理(为简化表示,忽略步长上标p,不失一般性,下同),得:
Xk=Xk-1+hf(Xk-1,λk-1)=Fk-1(Xk-1,λk-1)
(4)
式中:h为数值积分步长;k=1,2,…,N为离散点。
考虑式(4)全微分形式为:
(5)
式中,
(6)
式中,
为式(3)对归一化状态量和待辨识量的雅克比矩阵,其具体表达式为:
(7)
令归一化终端观测量为YN,由于速度、弹道倾角、射距、弹道高均可由外弹道数据提供,因此状态量均可被作为终端观测量,即Yk=Xk。令终端时刻N时的实际观测为
则可定义终端观测误差为:
(8)
式中,将YN在
处泰勒展开并忽略高阶项后得:
(9)
令k=N,N-1,…,2,将式(5)循环代入式(9)中可得终端误差近似为:
(10)
式(10)中,
(11)
由于初始状态量为常量,故dX1=0。式(10)可简化为:
(12)
式(12)通过灵敏度矩阵Bk建立了终端误差ΔYN与待辨识参数变化量dλk之间的联系。其物理含义是,当实际外弹道数据与辨识模型的状态量间存在误差时,可通过调整辨识模型中的待辨识参数去减小该误差,直到其满足精度要求。理论上满足误差要求的辨识参数组合并不唯一。但存在一组既满足误差要求,同时与辨识初值相比变化量又最小的一组解作为“较优”的辨识结果。因此可以通过构造带有误差要求约束、最小化辨识参数变化量的优化问题。其目标函数为:
(13)
式中,Rk为权重矩阵,可对辨识参数的调整量影响进行加权。对式(12)和式(13)组成的优化问题,可通过拉格朗日乘子法转化为无约束优化问题求解。省去求解过程,直接给出最优解的解析形式为:
(14)
式中,
待辨识参数更新为:
(15)
式中,
为前一个迭代周期的待辨识参数。
至此,基于MPSP的气动辨识算法推导完毕。将其整理为:
步骤1 提供辨识算法需要的外弹道数据、初始气动参数及弹体相关参数作为辨识输入。
步骤2 设置辨识步长。
步骤3 将初始气动参数作为初值,即
在每个辨识步长内对辨识模型进行状态预测,计算每个辨识步长的终端误差ΔYN。若终端误差小于指定精度,则退出算法,将此时得到的λk(k=1,2,…,N-1)进行反归一化处理即得到的待辨识参数序列;否则进行下一步。
步骤4 计算矩阵Bk、Aλ、Bk。
步骤5 计算dλk并更新λk,令
代入步骤3进行状态预测,继续进行迭代计算。
3 仿真结果与分析
3.1 仿真条件设置
以某型155 mm制导炮弹为例,验证本文中辨识算法的有效性。主要弹体参数及仿真参数设置如表1所示。其他仿真条件设置为:大气模型使用理想大气。使用真实阻力系数和升力系数进行弹道仿真,生成的速度、弹道倾角、射程、弹道高作为辨识输入。阻力系数初值使用零攻角和马赫数进行插值计算,并将插值结果拉偏+30%作为辨识初值。升力系数的初始迭代值设为零。权重矩阵Rk设为:
表1 参数设置
Table 1 Parameter setting
参数值弹重/kg110初速/(m·s-1)710射角/(°)45程装时间/s40攻角指令/(°)7+sin(2π·0.01·(t-30))无控辨识步长/s4有控辨识步长/s2状态误差精度1e-5
3.2 仿真结果与分析
3.2.1 辨识精度分析
根据以上设置的仿真条件进行参数辨识。辨识步长与每个辨识步长对应的迭代次数如图2所示。总辨识步长为47步。每个步长内迭代次数在4～6次,且迭代5次的情况占多数。可见算法在弹道全段均具有较好的收敛性与一致性。
图2 辨识步长及每个步长内的迭代次数
Fig.2 Identification step size and the number of iterations in each step size
辨识后的弹道状态量与实际弹道状态量对比如图3—图6所示。可见辨识后的弹道速度、弹道倾角、射距、弹道高与真实实际值基本重合,收敛误差小于指定精度要求。
图3 真实速度与参数辨识后的速度对比
Fig.3 Comparison of real speed and speed after parameter identification
图4 真实弹道倾角与参数辨识后的弹道倾角对比
Fig.4 Comparison of the real ballistic inclination and the ballistic inclination after parameter identification
图5 真实射距与参数辨识后的射距对比
Fig.5 Comparison of the real range and the range after parameter identification
图6 真实射高与参数辨识后的射高对比
Fig.6 Comparison of the real height and the height after parameter identification
阻力系数与升力系数辨识结果如图7、图8所示。
图7 阻力系数(真实、初始值以及辨识值)对比
Fig.7 Comparison of drag coefficients (true,initial and identified values)
图8 升力系数(真实、初始值以及辨识值)对比
Fig.8 Comparison of lift coefficients (true,initial and identified values)
由图7、图8可见,在初始阻力系数、升力系数存在误差的情况下,经过迭代,辨识结果可以较好地收敛至真值。辨识误差如图9所示,无控段阻力系数误差除,在开舵等个别点达到2%,其余绝大部分飞行段误差均在1%以内。有控段阻力系数误差在0.5%以内甚至更小。升力系数误差基本在0.5%～1%以内。
图9 阻力系数、升力系数辨识误差
Fig.9 Identification error of drag coefficient and lift coefficient
3.2.2 算法在线计算能力分析
从算法复杂度的角度来看,假设每个辨识步长内算法迭代次数为n,每个辨识步长内的节点数记为N,则本文中算法的复杂度为O(n·N)。由于MPSP算法收敛性较快,通过几次迭代一般即可满足要求,因此迭代次数n通常较小。本文中的仿真案例对阻力系数初始值进行了30%的拉偏,升力系数初始值直接赋值为零,此时迭代次数为4～6次。考虑实际情况气动参数初值误差一般小于文中的仿真设置,因此迭代次数会更少,算法复杂度可降至O(N),具备在线计算的潜力。
从算法耗时的角度来看,在CPU为AMD Ryzen 7 4800H@2.9Hz、内存为16G的计算机上,采用Matlab 2019a编制程序对本文中算法的耗时进行了统计。结果如图10所示。横轴表示全弹道的辨识步长序号,总共47步。其中前10步为无控段辨识,每个步长为4 s,平均耗时约0.34 s;后37步为有控段辨识,每个步长为2 s,平均耗时约0.17 s。可见算法耗时较低。
图10 每个步长的耗时
Fig.10 Time consumption of each step size
4 结论
本文中提出的基于MPSP算法的气动辨识方法,是一种类比带有终端约束制导律设计思想的一种辨识新思路。通过在某型155mm制导炮弹的升阻力系数的辨识应用中证实了其有效性,并有如下结论:
1) 在仅依赖输入外弹道数据及弹体质量等必要信息的前提下,本文中算法可对升、阻力系数进行辨识,且辨识精度较高,阻力系数辨识误差小于2%,升力系数辨识误差小于1%。
2) 本文算法对待辨识气动参数初值精度要求不高。在阻力系数拉偏30%、升力系数未知的情况下,通过数次迭代即可收敛至真值附近。
3) 本文辨识算法设计简单、运算速度快,有利于工程实现。
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