0 引言
近年来随着无人机技术飞速发展,无人机以及无人机编队在众多领域受到越来越广泛的应用。尤其是无人机编队,在各种不同的场景中能够遂行各种不同的任务,且具有高效率、高容错率、高置信度等显著优势,因而对其的理论研究和实践应用就具有很重要的意义[1-3]。随着理论的发展,用于研究多智能体系统(multi-agent system,MAS)的一致性理论在无人机编队相关研究中逐渐受到更多的关注和应用。文献[4]研究了一种基于多变量自适应控制的无人机编队一致性飞行方式,考虑了参数不确定性和外部干扰。文献[5]在一致性方法中引入人工势场,以解决系统内无人机之间和无人机与外部障碍物之间的避障问题。文献[6]运用级联系统理论和输入约束一致性算法,以解决多无人机系统的编队控制问题。一致性理论为解决编队控制问题提供了新思路,而在这个过程中一致性理论也得到了促进和发展。
在实际工程应用中,任何系统都不可能是一个完全理想的系统,而通信时延在一个多无人机系统中是一个不可避免的问题。在MAS一致性问题中,也有许多与通信时延相关的研究。文献[7]针对具有通信时延的二阶多智能体的动态一致性问题,在常规的异步耦合一致性算法中加入了时延补偿部分。但在系统内多智能体数量较大时,其算法的解算复杂度较大,对于编队的实时控制还不够理想。文献[8]研究了含单一领导者的多无人机系统存在通信时延时的编队控制问题。但其考虑的是固定通信时延,与实际情况仍有一定差距。文献[9]研究了多无人机系统在有向通信拓扑和存在通信时延条件下的时变编队控制问题,并能实现在较大通信时延条件下有效控制。但其考虑的也为固定通信时延,同时其结论在系统内无人机数量较大时也具有较大的计算量。本文着眼于研究时变的通信时延和有向的通信拓扑结构,并寻求一种在系统内无人机数量增加对解算难度影响较小的控制方法。
在实际应用中,常常会根据具体任务分工和通信拓扑关系,将一个系统中的无人机分为领导者和跟随者。并根据一个编队中是否含领导者,可以将编队分为含领导者编队和不含领导者编队。对于含单一领导者的无人机编队来说,编队追踪控制问题是一类颇具研究价值的问题。编队追踪控制要求一个多无人机系统中的领导者能够追踪期望轨迹,跟随者能够追踪领导者轨迹并形成期望编队。在实际工程应用中,只需控制或者设定领导者无人机的期望轨迹,就可以对整个多无人机系统的运动轨迹进行把控,具有较低的控制难度和控制成本。文献[10]针对固定翼无人机的仿射编队追踪问题,提出了一种基于应力矩阵的分布式控制律。文献[11]研究了基于事件触发机制的欺骗攻击下多无人机系统的时变编队追踪控制问题。文献[12]针对固定拓扑和切换拓扑的一般线性多智能体的时变编队追踪控制问题,设计了一种基于自适应耦合权值的Riccati不等式的分布式控制协议。然而以上文献均未考虑通信时延。本文在研究多无人机系统的编队追踪控制时考虑系统的通信时延,更具一般意义和实际意义。
本文研究的是在时变通信时延条件下,含单一领导者和有向通信拓扑结构的多无人机系统的编队追踪控制问题。首先对系统中的无人机建立动力学模型,并根据一致性理论设计领导者和跟随者的控制器。设置了中间变量将系统进行等价转换,并将原系统的编队追踪控制问题转化为低阶系统的渐近稳定问题。接着给出能够利用求解线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)组来判别系统稳定性的方法,并使得解算复杂度不随系统内无人机数量的增加而变化,同时通过设计Lyapunov-Krasovskii函数给出证明。
1 预备知识
1.1 图论知识
假设在一个多无人机系统中存在N架无人机,并且系统具有有向的通信拓扑结构。可以用G=(V,E,A)表示该系统的通信拓扑图,其中V={v1,v2,…,vN}表示图中的节点集合,E⊆V×V代表图中的边集合,A=[aij]N×N代表该图的邻接矩阵。对于邻接矩阵A有如下定义:若无人机j能够向无人机i发送状态信息,并能被成功接收到,则在图G中存在一条以节点vj为起点,以节点vi为终点的有向线段,此时A中的元素aij=1,否则aij=0。在图G中,若存在某个节点vi,以其为起点,以任意其他节点为终点,都存在至少一条由有向线段顺次连接的路径,则称图G存在一条以节点vi为根节点的有向生成树。并定义D=diag(d1,d2,…,dN)为通信拓扑图的度矩阵,其中di表示图中终点为节点vi的有向线段数量,也即系统中能够发送状态信息给无人机i的无人机的数量。在此基础上给出通信拓扑图所对应的Laplacian矩阵的定义:L=D-A。由邻接矩阵和度矩阵的定义易知,对于一个多无人机系统通信拓扑图所对应的Laplacian矩阵,其各行行和均为零。
1.2 相关引理
引理1[13]:设L为图G的Laplacian矩阵,则零必为L的一个特征值,且所有的特征值均具有非负的实部。如果图G含至少一条有向生成树,则零为其单特征值,1N为零特征值对应的右特征向量,且其余特征值均具有正实部,其中N为L的阶数。
引理2[14]:Schur补定理:设S=ST为一对称矩阵,且其一种分块描述形式为:
其中S11∈Rr×r。若S11为非奇异矩阵,则称
为S11在S中的Schur补。同时下列3个条件等价:
1) S<0;
引理3[15]:存在一对称矩阵X,使得
和
同时成立的充要条件为:
2 问题描述与说明
现对如下的多无人机系统考虑编队追踪控制问题:所研究的系统中含N架无人机,同时有且仅有一架无人机为领导者无人机,其余均为跟随者无人机。领导者需要追踪期望轨迹,跟随者需要追踪领导者轨迹并形成期望编队。对系统中无人机进行编号,且令领导者无人机编号为1。将系统中各架无人机视为质点,其内环的姿态运动属于短周期运动,可视为在极短的时间内达成一致性,并假设其在各个维度上的运动相互解耦,故在分析过程中只需考虑任意一个维度的情形,就可把结论推广至三维空间。下面建立系统中各架无人机的二阶积分动力学模型,即:
(1)
式(1)中,zi(t)、vi(t)、ui(t)分别表示无人机i在t时刻的位移、速度以及输入控制量。选取状态量
则上述模型可以改写为:
(2)
式(2)中:
定义领导者期望轨迹函数
其中rx(t)和rv(t)分别为期望轨迹位置函数和期望轨迹速度函数。定义无人机i的期望编队函数
其中hix(t)和hiv(t)分别为无人机i的期望位置和期望速度。hi(t)表示了各跟随者相对于领导者的状态。于是可定义系统的期望编队向量为:
特殊地,对于领导者无人机,上述函数值取零。
定义1:对于一多无人机系统,若在任意初始状态下,存在函数r(t)对i=1,2,…,N,都有
(4)
则称该系统实现了期望编队h(t)。对于单一领导者多无人机系统的编队追踪控制问题,函数r(t)恰好为领导者期望轨迹函数。
对本文所研究的系统作如下说明与假设:① 领导者仅向跟随者发送状态信息,不接收跟随者的状态信息;② 仅有领导者能够获取准确的自身状态信息,而跟随者只能获取其相对领导者的状态信息;③ 领导者在获取自身状态信息后,能够在较短时间内将信息传递给邻居跟随者,此时通信时延忽略不计,而邻居跟随者之间的信息传递都存在不可忽略的时变通信时延。根据领导者与跟随者之间的传递关系,可对所研究系统的通信拓扑图所对应的Laplacian矩阵作如下分块:
(5)
式(5)中,L1为非奇异矩阵,且满足L11N-1+L2=0(N-1)×1,1N-1为各元素均为1的列向量。
3 控制器设计
为达成编队追踪控制的要求,对本文所研究系统设计如下一致性控制器为:
(6)
式(6)中:K1、K2为待定的反馈系数矩阵;aij为系统通信拓扑图所对应邻接矩阵的元素;τ(t)为邻居无人机之间的通信时延函数,且满足
为辅助输入变量。
定义系统中无人机实际状态与所追踪状态的误差向量为:
θ1(t)=x1(t)-r(t)
(7)
θi(t)=xi(t)-hi(t)-x1(t), i=2,3,…,N
(8)
将控制器的领导者部分代入系统状态方程,可得:
(9)
取辅助输入变量
则有
于是得到新系统为:
(10)
将控制器的跟随者部分代入系统状态方程,可得:
Axi(t)+Bu1(t)+Bwi(t)+
(xi(t-τ(t))-hi(t-τ(t))))
i=2,3,…,N
(11)
引入中间变量,有:
(12)
(13)
考虑到L11N-1+L2=0(N-1)×1,则有:
ξ(t)=
(L1⊗I2)θ(t)
(14)
式(14)中,
仿照上一步选取辅助输入变量
则有
进而可得:
(15)
联立
消项可得:
(IN-1⊗A)θ(t)-(L1⊗BK2)θ(t-τ(t))
(16)
于是可以得到一个新系统如下:
(17)
当系统(17)渐近稳定时,可以推导得到:
(18)
符合定义1关于形成期望编队的定义(4)。经过上述变换,原系统的编队追踪控制问题就变为新系统的渐近稳定问题。
下面给出原系统在时变时延条件下能够实现编队追踪控制的条件:
存在对称正定矩阵
矩阵V和常数a、b使得如下的线性矩阵不等式组成立:
(A+BK1)TP1+P1(A+BK1)≤0
(19)
(20)
其中
ω11 =
并且可以通过上述判别式求出反馈系数矩阵
证明:构造领导者部分Lyapunov-Krasovskii函数VE(t):
(21)
易知VE(t)正定函数。对其沿系统(10)求导,可得:
(22)
故当且仅当式(19)成立时,有
这说明当满足所给条件时,领导者能够追踪所给期望轨迹。
下面讨论跟随者部分。
若存在非奇异矩阵U,使得U-1L1U=J,其中矩阵J为矩阵L1的Jordan标准型,则不妨令ζ(t)=(U-1⊗I2)θ(t),于是有:
(23)
那么对于单架跟随者无人机,则有:
i=2,3,…,N
(24)
式(24)中,λi为矩阵L1的特征值。
为方便接下来的讨论,作以下定义:
1) 对于向量x,定义
2) 对于矩阵X,定义ΛX=diag(X, X)。
3) 对于λ∈C,定义
考虑到矩阵L1并非对称矩阵,其特征值虚部可能不为零,于是建立如下的等价系统:
i=2,3,…,N
(25)
由Newton-Leibniz公式,有如下关系式成立,即:
(26)
对于矩阵M1和M2,有:
(27)
同时构造如下等式:
(28)
式(28)中,Λij=τ(Xij-Xij),并且矩阵
为对称矩阵。
构造跟随者部分的Lyapunov-Krasovskii函数VF(t),有:
VF(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)
其中
(30)
(31)
(32)
式(30)—式(32)中,矩阵P、Q、R均为对称正定矩阵。
易知VF(t)为正定函数。对跟随者部分VF(t)沿着系统(25)求导,则有:
(33)
(34)
(35)
联立式(27)、式(28),若令
(36)
(37)
可得:
i=2,3,…,N
(38)
其中
那么,当
成立时,系统(25)渐近稳定,从而系统(16)渐近稳定。
由引理2可知:
(39)
其中
另外,
(40)
式(40)中,
由引理3,欲使式(39)和式(40)同时成立,则其充要条件为:
(41)
也等价于
(42)
由于式(42)中含有非线性项,故需进一步处理。若定义:
则可有
不妨令M1=aP,M2=bQ,其中b≠0,此时W可逆,且有:
(43)
使用矩阵
对矩阵Ωi进行合同变换,得到:
(44)
式中,
(W-1)Tdiag(Q,(1-τd)Q)W-1
将式(43)代入式(44),并令
可得:
(45)
式(45)中,ωij的表达式与式(20)中相同。
若式(20)成立,那么由引理2,CTΩiC<0成立,从而有Ωi<0。此时根据引理3,可以推得
同时成立,也即
这说明当满足所给条件时,跟随者能够追踪领导者并形成所给期望编队。
值得注意的是,并不需要针对所有矩阵L1特征值λi对上述线性矩阵不等式进行解算,只需要考虑4个等价数值
即可,这样就大大减少了计算量[16],并且与系统中的无人机数量无关。定义如下:
综上所述,可以得到在时变通信时延条件下,系统实现编队追踪控制的充分条件。在最终得到的线性矩阵不等式组中,并不包含Kronecker乘积项,因此其解算的复杂度不会因为系统中无人机数量的增加而增加。在大规模编队的飞行任务中,关于跟随者部分只需要求解至多4个线性矩阵不等式,大大减少了解算工作量,这个特点对于无人机编队的实时控制是十分有利的。
4 仿真结果与分析
在本节中对一多无人机系统进行可行性仿真实验。在该多无人机系统中共有5架无人机,1号无人机为系统中唯一的领导者无人机,其余4架无人机为跟随者无人机。领导者与跟随者的设定符合前文所述的说明与假设。所研究系统的通信拓扑图如图1所示。
图1 系统通信拓扑图
Fig.1 System communication topology graph
由图1可以得到,其所对应的Laplacian矩阵L为:
从而可得矩阵L的分块L1为:
并在表1中给出系统中各无人机的三维初始状态。
表1 无人机三维初始状态
Table 1 UAV 3D initial states
无人机编号位置/m东北天速度/( m·s-1)东北天135-20002207000354100043520005323000
接下来给定领导者的期望轨迹函数以及跟随者的期望编队向量,即:
(46)
式(46)中,
利用Matlab中的LMI工具箱可以对给出的线性矩阵不等式判别条件进行求解。求解式(19),得:
求解(20),可以得到系统的通信时延上界τ=0.26 s,设定系统的通信时延函数τ(t)=0.2|sin(2t)|,利用参数a、b,进而求得:
通过解算出的控制器参数,我们可以对所给系统进行飞行仿真实验,得到各个无人机在各个时刻的状态量。根据所得的数据绘制出15 s内系统编队队形变化情况。图2为系统编队在三维空间中的队形变化图。图3、图4分别为系统编队队形变化的俯视图、侧视图。
图2 系统三维空间队形
Fig.2 System 3D space formation
图3 编队队形变化俯视图
Fig.3 Vertical view of formation transformation
图4 编队队形变化侧视图
Fig.4 End view of formation transformation
在15 s仿真过程中,图2、图3、图4将全过程按时间平均分为8段,并用黑色实线标注出了每段过程起止时间的编队队形。黑色点划线和蓝色虚线分别表示领导者和跟随者的轨迹。综合上述图2—图4可以发现,在整个仿真过程进行到四分之一时,系统编队队形已经初具雏形;过程进行到一半时,系统编队队形已基本形成。此时4架跟随者无人机大致形成一个正方形编队,领导者无人机位于正方形编队的几何中心。同时绘制出系统中领导者和跟随者在3个维度上的控制量变化图,如图5所示。由图5可知,领导者无人机在大约5 s时控制量趋于稳定,而领导者无人机也在大约5 s 时开始以正弦规律波动,两者基本一致。这说明在大约5 s 时,领导者可以实现追踪期望轨迹,跟随者也可以实现追踪领导者并形成期望队形。
图5 系统各无人机控制量
Fig.5 The control amount of each UAV in the system
为了更加精确、直观地呈现系统编队的生成与保持情况,绘制系统在东北天3个方向上的位置误差和速度误差曲线。
图6为系统的位置误差曲线。由图6可以看出,在大约10 s时,系统在东向、北向和高度上已经实现了期望状态的追踪,这说明着系统在此时达成一致性,编队正式形成。
图6 系统位置误差
Fig.6 System position errors
图7为系统的速度误差曲线。由图7可以看出,在大约7 s时,系统中各无人机大致达到了期望速度。综合上述仿真图像,在本文所设计的控制器作用下,系统能够实现编队追踪控制。
图7 系统速度误差
Fig.7 System velocity errors
为更好地说明上述方法的有效性,采用文献[17]中的方法对同样的情境和参数进行仿真,选取系统在东北天3个方向上的位置误差进行比较(以2号无人机为例)。比较结果如图8所示。其中黑色粗实线代表1号无人机的位置误差,蓝色虚线表示采用文献[17]方法的2号无人机位置误差,红色实线表示采用本文提出方法的2号无人机位置误差。
图8 2种控制方法效果比较
Fig.8 Comparison of the effect through two control methods
文献[17]针对无时延条件下多无人机系统的编队追踪控制问题设计了控制器。从图8可以看出,与其相比,本文所设计的控制器使得3个方向上的系统位置误差超调更小,收敛更快。因而在文中所述的时变时延条件下,本文中所涉及的控制器更具优势。
5 结论
本文研究了时变通信时延条件下含单一领导者的多无人机系统的编队追踪控制问题。针对此问题设计了一致性控制器,使得系统中的领导者能够追踪期望轨迹,跟随者能够追踪领导者并形成期望队形。同时有以下结论:
1) 使用Matlab中的LMI工具箱,可以求得系统的时延上界。并且一致性控制器中待定的反馈系数矩阵也可以通过求解本文所给出的线性矩阵不等式组来确定。
2) 跟随者对应的线性矩阵不等式中不含Kronecker乘积项,这意味着求解线性矩阵不等组的难度不会随系统中无人机数量的增加而急剧增大,有利于系统编队追踪控制的实时性,为无人机大规模编队飞行提供了有益的思路。
3) 本文所研究的系统为有向通信拓扑,所设定的条件为时变通信时延,相比于无向通信拓扑和固定通信时延更具一般性。且含单一领导者的多无人机系统只需对领导者施加指令即可控制整个编队的飞行,控制难度和控制成本较低。
本文的研究内容为无人机外环运动的一致性,对于内环的姿态一致性则没有阐述。为更紧贴实际,对于姿态一致性的研究也是以后所需要解决的问题。
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