0 引言
推进轴系是舰船推进系统的最重要设备之一。舰船轴系确保将发动机扭矩传递到螺旋桨,轴系的破坏将直接导致舰船失去动力。而舰船运行过程中,轴系可靠性很大程度上取决于轴承的可靠运行。
常见舰船推进轴系如图1所示,其中轴系尾端轴承的主要作用是支撑尾轴和螺旋桨,根据材料分类,尾轴承主要有木质、金属、陶瓷以及高分子材料轴承。尾轴承除了承受推进轴和螺旋桨不平衡激励引起的交变载荷作用外,还需要考虑水密和环境污染问题,相对轴系中间轴承要长、相对弯曲要大,尾轴承磨损会显著,因此轴系尾端轴承被认为是轴系最脆弱的部件[1]。
图1 舰船推进轴系简化图
Fig.1 Simplified diagram of ship propulsion shafting
轴承磨损增加了螺旋桨轴在振动过程中与轴承分离的长度,从而影响轴的振荡过程,进而加速轴系的磨损,因此研究轴系轴承磨损允许值,对提高舰船轴系运行可靠性、增加船舶维修间隔期、降低轴系维修成本、提升舰船战斗力具有重要意义。
舰船推进轴系是一个复杂的动态系统,在各种静态和动态负载条件下运行,已有很多学者对船舶轴系振动进行了深入研究。许得水等[2]结合能量方程、Rayleigh-Ritz方法并改进傅里叶级数方法,分析了粘弹性边界条件轴系横向振动特性;覃会等[3]研究发现可以通过改变轴承的等效支承刚度,来改变轴系振动特性和传递规律;李永哲等[4]基于动力学方程进行了平行轴系偏斜、不对中量等因素对轴系非线性振动影响进行了分析;闫东[5]利用有限元法建立了一种复杂的空间分支轴系模型,研究了轴承刚度和轴承阻尼对整个系统横向振动特性的影响;邵明玉等[6]对建立了时变流固耦合系统的运动方程,对悬臂梁振动的频率和阻尼特性进行了分析;国玉阔等[7]研究了在螺旋桨等效激振力作用下的电机传动轴系,分析轴系运行参数对轴系振动特性的影响;李天匀[8-9]等构建了单点、多点和连续分布式支撑的多种等效形式轴系横向振动计算模型,研究了不同等效形式轴系横向振动特性的影响。
同时,轴系轴承作为最脆弱的部件,也有很多学者结合轴承磨损情况进行了轴系振动研究。曹宏瑞等[10]考虑滚道表面形貌和轴承间隙的变化,建立中介轴承磨损故障动力学模型,结果表明轴承出现磨损后,振动响应频率会出现若干随机成分;田晶[11]基于非线性Hertz接触理论,建立中介轴承多点故障4自由度动力学模型,分析了缺陷宽度、径向载荷和转速比对典型故障特征参数的影响;吴庭苇[12]通过对运动状态下的轴承进行受力特性分析,建立轴承非刚性连接的转子模型,数值计算并分析转子在轴承摩擦磨损影响下的动力响应特性。
从以上研究成果可以看出,学者们在轴系振动和轴承磨损问题方面获得了诸多有价值的研究成果,这为轴系和轴承设计、轴系故障诊断、维修保障以及服役寿命评价提供了重要的理论依据。然而,目前关于轴系振动特性与轴承磨损之间的关系研究还比较少,特别是基于轴系振动特性评估轴承磨损允许值的研究很少。因此,本文中针对考虑轴系轴承表面不均匀磨损情况下的轴系振动计算方法进行研究,提出一种考虑轴系轴承表面不均匀磨损情况下的轴系振动计算理论模型理论,基于振动计算理论建立了一种轴承磨损允许量计算方法,同时针对船舶轴系轴承长度、刚度和磨损对船舶轴系固有频率的影响进行分析研究。
1 船舶轴系振动计算的理论基础
轴系弯曲振动方程的类型取决于支撑点数量、分布、轴系长度和跨度以及集中质量的大小等系统的所有特征,在计算不同轴系系统时,需要解决不同的微分方程。以下主要针对点支撑、长支撑以及考虑长支撑磨损轴系振动固有频率计算方法。
1.1 硬点支撑轴系振动固有频率的计算
两点硬支撑轴系的振动计算简化示意如图2所示。
图2 两点硬支撑轴系简化示意图
Fig 2 Simplified schematic diagram of two-point hard support shafting
以上轴系的自由弯曲振动微分方程如下
(1)
式(1)中:m为其中轴的质量; M为端部螺旋桨负载;ξ为轴系垂向位移;z为轴向位移;E为杨氏模量,MPa; J为截面惯性矩;EJ为弯曲刚度,kg·m2;m为轴系线质量,kg/m;t为时间,s。
使用KrylovA.N.函数[13],方程(1)的一般解如下:
ξ=y(z)sin(ωt)
(2)
其中
(3)
式(3)中:K1、K2、K3、K4为KrylovA.N.函数;y0、φ0、M0、Q0为弯曲幅度、转角、弯曲力矩、扭矩初始值,其中y0和φ0是几何参数,M0和Q0是机械参数;y(z)为轴在z点的弯曲幅度,m;ω为轴旋转频率,rad/s,与振动频率f(1/s),ω=2πf。其中:
K1=(ch(αz)+cos(αz))/2
K2=(sh(αz)+sin(αz))/2
K3=(ch(αz)-cos(αz))/2
K4=(sh(αz)-sin(αz))/2
(4)
(5)
式(2)和式(3)适用于轴系系统的每个部分,以上方程的边界条件如下
(6)
根据每个区段的方程(3)和A点铰链支架的边界条件,对于B点左端的负载M,我们得到了均匀方程组:
(7)
其中:A11～A33—方程组系数,构成方程(7)的行列式W;R0、RA支反力。
(8)
(9)
齐次方程组(7)的非零解存在条件是其行列式W为零,求解方程(9)即可得到Krylov函数中的α1值,最后得出轴系固有频率p：
(10)
1.2 弹性长支撑轴系振动固有频率的计算
采用点支撑轴系计算其振动固有频率的主要缺陷是未考虑船尾轴系支架的设计特点,仅采用硬点支撑取代实际支架,而实际轴系的振动应该考虑轴系轴承的长度和刚度,对于轴承段轴系振动应考虑为一个固定截面的梁,并且该梁由Winkler弹性基底支撑[14],其中Winkler基底模型是一系列相同刚度的弹簧,它们依赖于绝对刚度的基底,彼此独立作用。
弹性长支撑轴系振动计算简化示意如图3所示,O点为联轴器端的简支、A点和B点为支撑轴承的弹性简支,其中轴的质量为m,弯曲刚度为EJ,M为端部螺旋桨负载,轴系分为1、2、3段,分段长度分别为l1、l2、l3,轴系区间2即为轴系的轴承支撑位置。
图3 长支撑轴系简化示意图
Fig.3 Simplified schematic diagram of long support shafting
区间1和3的振动微分方程如方程(1)所示,位于弹性基座上轴系区间2,其振动微分方程如下
(11)
采用方程(1)的计算算法,将方程(11)转换为常数线性微分方程:
(12)
其中
(13)
利用Krylov的初始参数方法和函数,方程(11)任意一点y(z)处的挠度为
(14)
其中
V1=ch(α2z)·cos(α2z)
V2=(ch(α2z)·sin(α2z)+sh(α2z)·
cos(α2z))/2
V3=(sh(α2z)·sin(α2z))/2
V4=(ch(α2z)·sin(α2z)-sh(α2z)·
cos(α2z))/4
(15)
轴系区间1振动的弯曲方程与方程(3)的解相同:
(16)
轴系区间2振动的弯曲方程:
(17)
通过旋转角和铰链固定支架反作用力来表示弹性基座上一点上的边界条件,得到:
yB=
(18)
轴系区间3振动的弯曲方程:
(19)
利用共轭条件,弹性基梁均匀振荡方程组包含2个未知参数。
φ0A11+R0A21=0
φ0A12+R0A22=0
(20)
如前所述,对于齐次方程组(20),非零解的存在条件即为其行列式为零,从而可以求解得到α2,最后根据方程(13)求解到频率p。
1.3 弹性长支撑磨损下轴系振动固有频率的计算
弹性长支撑磨损下轴系振动计算简化示意如图4所示,其中yk是弹性长支撑端部B点处的径向磨损间隙。
图4 弹性长支撑磨损情况下轴系振动计算简化示意图
Fig.4 Simplified schematic diagram of shafting vibration calculation under wear of elastic long support
弹性长支撑磨损情况下,轴系区间2的弯曲振动微分方程如下
(21)
其中:y0是描述长支架工作表面磨损形状的曲线,该函数被发现可以由四阶抛物线[15]进行拟合:
y0=a0+a1z+a2z2+a3z3+a4z4
(22)
方程(21)的一般解是其偏解和齐次方程(11)的一般解之和,在此可以将方程(2)作为一个特殊解,因此得到弹性长支撑磨损下轴系区间2的弯曲方程为
y2=
(23)
考虑到共轭条件和计算方案的边界条件,具有2个未知数的非齐次方程组如下
φ0A11+R0A21=B1
φ0A12+R0A22=B2
(24)
为了使以上非齐次方程组有解,必须使行列式W的平方和等于零:
(25)
其中
(26)
因此,求解方程(26)从而可以求解得到α2,最后根据方程(13)求解到轴系固有频率p。
2 弹性长支撑轴系参数对振动频率的影响分析
2.1 支撑刚度的影响
为了分析轴承刚性对船舶轴系固有振动频率的影响,将图1中的硬点支撑替换为弹性点支撑,如图5所示,其中l1=1.2 m,l2=0.75 m,M=1.45 t,轴系直径D=0.65 m,E=2.2×109 Pa。
图5 弹性双支承轴系振动计算简化示意图
Fig.5 Simplified schematic diagram for vibration calculation of elastic double-support shafting
A点支反力RA表达式如下
RA=cyA
(27)
其中:c是A点弹性支撑的刚度系数(N/M)。
首先,分别对硬点支撑和弹性点支撑进行了计算分析,在支撑刚度系数c=0.36×108 N/m的情况下,轴系固有频率为p=37.8 Hz;硬点支撑情况轴系固有频率p=43 Hz,频率差异约为12%;然后,为了评估弹性点支撑刚度系数对轴系固有频率的影响,弹性点支撑刚度系数104～1014 N/m之间变化,基于第1部分的理论基础分别进行计算,建立了轴系固有频率与弹性点支撑刚度系数之间的关系,如图6所示,弹性点支撑刚度系数对轴线频率有很大影响,随着刚度系数的增加,固有频率值增加,并在轴系绝对刚性支撑时振动固有频率达到峰值。
图6 轴系固有频率与弹性点支撑刚度系数之间的关系
Fig.6 Relationship between shafting natural frequency and elastic point support stiffness coefficient
最后,为研究弹性长支撑刚度系数对轴系固有频率的影响,针对图2所示的长支撑轴系进行了计算分析,其中l1=1.13 m,l2=0.65 m,l3=0.45 m,M=1.45 t,轴系直径D=0.65 m,E=2.2×109 Pa,弹性长支撑刚性系数κ从0.1～109 N/m增加到2～109N/m,轴系固有频率从40 Hz增加到87 Hz,如图7所示。
图7 轴系固有频率与弹性长支撑刚度系数之间的关系
Fig.7 Relationship between natural frequency of shafting and stiffness coefficient of elastic long support
因此,轴承刚度系数对轴系固有频率有显著影响,固有频率随着轴承刚度系数的增加而增加。
2.2 支撑长度的影响
考虑到弹性长支撑的长度和刚度对轴系固有频率有显著影响,为了分析轴承长度对轴系固有频率的影响,针对图2中的l2从0.65 m缩短到0.10 m,缩短间距为0.05 m,其轴系固有频率计算如图8所示,当弹性支撑长度减小时,轴系固有频率逐渐降低,支撑长度从0.65 m缩短到0.10 m,固有频率降低36.48%。
图8 轴系固有频率随弹性长支撑长度的变化情况
Fig.8 Change of shafting natural frequency with elastic long support length
2.3 长支撑磨损的影响
为比较分析长支撑磨损对轴系固有频率的影响,将弹性长支撑简化成如图9所示的2个弹性点支,轴系初始阶段,其支承刚度系数为c1=c2=0.36×108 N/m,其初始固有频率值约为53 Hz。考虑到轴系轴承磨损的不均匀性,B点刚度系数c2小于A点的刚度系数c1。因此,为了评估长支撑磨损对轴系固有频率的影响,将c2降低10%～50%。
图9 弹性长支撑简化双点弹支承轴系振动 计算简化示意图
Fig.9 Simplified schematic diagram for vibration calculation of shaft system with elastic long support and simplified two-point elastic support
基于以上假设对长支撑磨损情况下的固有频率进行了计算,结果如图10所示,当刚度系数c2降低时,固有频率值降低;当刚度系数c2降低50%时,轴系固有频率降低了约13%。
图10 弹性长支撑简化双点弹支承轴系振动 计算简化示意图
Fig.10 Simplified schematic diagram for vibration calculation of shaft system with elastic long support and simplified two-point elastic support
3 船用轴系轴承允许磨损量计算方法
许多研究表明[16],轴系轴承在长度方向的磨损不均匀,最大磨损通常发生在尾轴承的末端,在这种不均匀的磨损下,在船用轴系运行期间,轴与轴承间的接触不完全,因此在螺旋桨轴的工作频率下可能发生共振现象。在共振状态下,轴系处于不稳定状态,轴系与轴承反复接触—分离,反过来又可能导致尾部轴承加速磨损。因此,共振条件下轴系长时间运行是不可接受的,这不仅是因为运行不平稳,而且还因为轴系轴承磨损加快,轴系可能因此发生疲劳破坏等故障。
因此,可以通过计算轴系振动固有频率,与轴系工作频率,评估二者无共振条件,从而确定轴系轴承的允许磨损量。其中轴系工作频率是由驱动螺旋桨的流体力矩激发而产生的,轴系工作频率为
ν=z·n
(28)
式(28)中:z为螺旋桨叶片数,n为螺旋桨旋转频率。
因此,轴系固有频率与轴系工作频率之间的无共振条件如下:
(29)
以某船轴系参数为基础,进行轴系轴承磨损允许值得计算。轴系尾轴承l2=0.824 m,螺旋桨转速n=7.3 s-1,轴系直径D=0.2 m,其中轴承刚度系数根据KleinerA.B.[16]方法得到κ=0.815×109 N/m,计算简化示意如图11所示。
图11 轴系轴承磨损计算简化示意图
Fig.11 Simplified schematic diagram of shafting bearing wear calculation
根据方程(28),该船轴系工作频率:
ν=z·n=4×7.3=29.2 Hz
(30)
根据方程(21),假定该船轴承磨损形状近似线方程如下:
y=0.002 2-9×10-5z-4.45×10-4z2-2.1×10-14z3
(31)
将方程(22)a0的系数提高10%～50%,方程(22)的其他系数保持不变,用于描述不同磨损状态下轴承的磨损形状。表1给出了轴系固有频率计算结果,其中包括考虑与不考虑螺旋桨附连水质量p,pi,随着轴承磨损的进一步增加,轴系固有频率降低;而且,螺旋桨附连水质量对船舶轴系固有频率的影响很大,考虑附连水质量的轴系固有频率下降约9%。
表1 轴承允许磨损量评估计算结果
Table 1 Evaluation and calculation results of bearing allowable wear
编号a0提高比例允许间隙值Δ/mm磨损形状表达式p/Hzpi/Hz110%4.11y=0.002 42-9×10-5z-4.45×10-4z2-2.1×10-14z332.129.9220%4.33y=0.002 64-9×10-5z-4.45×10-4z2-2.8×10-14z331.829.6330%4.55y=0.002 86-9×10-5z-4.45×10-4z2-1.4×10-14z331.729.5440%4.77y=0.003 08-9×10-5z-4.45×10-4z2-4.3×10-14z331.629.4550%5.00y=0.003 3-9×10-5z-4.45×10-4z2-4.3×10-14z331.529.3
根据给定的船舶参数及其方程(29)、(30),可以得出该船轴系尾轴承的最大允许间隙为Δ=5.0 mm,结合轴系与轴承之间的安装间隙Δ0=1.3 mm,因此该船轴系轴承允许最大磨损量δ：
δ=Δ-Δ0=5.0-1.3=4.7 mm
(32)
4 结论
本文中针对船舶轴系轴承磨损问题,建立一种基于船用轴系弹性长支撑振动特性的轴承磨损允许量计算方法:
1) 建立弹性长支撑轴系振动计算理论模型,模型考虑弹性长支撑刚度,支撑间距、表面不均匀磨损量对轴系固有频率的影响;
2) 采用所建立的理论模型,分析船舶轴系轴承磨损情况下的轴系振动,发现轴系振动固有频率随轴承刚度系数的降低而降低、随轴承长度的减小而降低、随磨损量增加而降低;
3) 考虑螺旋桨附连水质量,船舶轴系固有频率会降低约8%～10%。
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