0 引言
通过先进结构设计来实现力学性能的精确调控已成为材料设计的重要手段,利用阵列胞元结构得到的周期性有序多孔结构材料因其高比性能[1-2]的特性,近年来引起越来越多的研究人员的关注[3]。相对于传统的多孔结构材料(如泡沫[4],等)由于微观结构参数很难直接描述,只能通过相对密度[5]或者孔隙率[6]这类宏观统计学参数作为调控因子,而有序多孔结构材料可以直接建立起微观结构参数与弹性模量等力学性能之间的关系,真正实现结构-性能一体化设计。
三周期极小曲面[7](triply periodic minimal surface,TPMS)是在三维方向上呈周期性变化的平均曲率为零的曲面[8],将其在单个周期内的曲面实体化作为胞元结构进行周期性拓展可以设计出TPMS结构材料。因其轻质高强、连通性好、较小的应力集中、散热性好、形状美观等优势,被广泛应用在组织工程、航空航天、建筑结构等各个领域,在武器装备领域也有极大的应用潜力[9-11]。另外,TPMS可以通过数学公式[12]进行描述,且相对其他典型结构(如蜂窝结构、点阵晶格结构等)仅需很少的结构参数就可以实现胞元结构的准确调控,是通过微结构参数对力学性能进行调控的理想研究对象。
目前已有很多学者针对TPMS结构材料的结构-力学关联关系开展研究。Abueidda等[13]针对6种不同类型的TPMS结构材料(相对密度范围为0.02～0.3)进行有限元模拟,结合进一步实验研究发现,与其他胞元结构相比,TPMS胞元结构具有较高的弹性模量[14]。Lee等[15]通过研究周期性边界条件下的Schwarz Primitive(P)类型TPMS胞元结构的弹性性能发现,在单轴载荷作用下,P型TPMS胞元结构的变形机制是拉伸和弯曲的综合作用。Guo等[16]研究发现当相对密度为0.05时,开口直径越小的P型TPMS胞元结构的杨氏模量更高。Wang等[17]的研究表明,基于TPMS的点阵材料能够表现出比传统的桁架点阵材料更高的模量和更均匀的应变能分布。
然而,目前大部分报道的TPMS结构材料都局限在较窄相对密度范围,并且在较低的相对密度下,TPMS结构材料符合Gibson-Ashby模型[1],而在较宽的相对密度范围内TPMS几何结构特征如何变化(特别是开闭孔附近),进而对力学性能产生影响的研究则很少有相关报道。
针对宽相对密度范围下TPMS结构材料的几何特征与等效弹性模量如何变化的问题,本研究中分析了4种典型TPMS结构的结构参数与相对密度之间的几何特征关系,特别分析了结构参数如何影响不同类型TPMS结构的开闭孔临界相对密度。结合实验和数值模拟方法在宽相对密度范围内分析了几何结构参数与等效弹性模量的关系,给出了结构参数对等效弹性模量的影响。
1 结构设计
三周期极小曲面(TPMS)作为一种周期性曲面,可以通过傅里叶级数和的形式表达[18],即:
(1)
式(1)中:ψ(r)是曲面的表达式; r是欧几里得空间中的位置向量;Ak是与k相关的幅值因子;hk是在倒空间中的第k个单元矢量;λk是周期波长;αk是相位偏移[19];C是结构参数,表征曲面的偏移程度。
基于此,可以写出常见的4种TPMS,即Schwarz Primitive(P)[7]、Gyroid(G)[20]、Schwarz Diamond(D)[21]、I-Wrapped Package(IWP)[22]的一阶近似值[23]的隐式表达式:
FP=cos(X)+cos(Y)+cos(Z)=C
(2)
FG=cos(X)sin(Y)+cos(Y)sin(Z)+
cos(Z)sin(X)=C
(3)
FD=cos(X)cos(Y)cos(Z)-
sin(X)sin(Y)sin(Z)=C
(4)
FIWP=2[cos(X)cos(Y)+
cos(Y)cos(Z)+cos(Z)cos(X)]-
[cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)]=C
(5)
其中:X、Y、Z是笛卡尔空间坐标系中3个方向上胞元形状的控制函数;x、y、z是笛卡尔空间坐标系下的坐标。当胞元形状不发生畸变时,式中的控制函数可以表示为X=2πx/LX, Y=2πy/LY, Z=2πz/LZ,其中LX、LY、LZ分别代表胞元在三维方向上的长度参数。
为了得到TPMS实体化胞元结构,常见的方式是基于一对互为相反数的结构参数C[24],得到2个新的同族的极小曲面作为边界曲面[25],将其与胞元空间共同围成的实体区域作为面片型网格(Sheet-networks)[26]。在后续的讨论中仅需讨论C大于0时的情况。表1展示了4种类型TPMS在C=0.5时对应的2个通过偏移得到的曲面边界及其与胞元所处空间所围成的面片型网格。
表1 C=0.5的边界曲面及对应的面片型网格
Table 1 Boundary surfaces and sheet-networks with C=0.5
PGDI-WP曲面边界曲面边界(主视图)面片型网格面片型网格(主视图)
为了便于后续的分析,引入连通性与存在性[24]的概念来分析TPMS的几何特征。连通性表征的是TPMS能够将其所在空间分割成2个互不连通的空间的特性,存在性是通过上述参数方程可以在三维坐标系中得到完整的曲面(一个或多个曲面)。这2种性质存在一定的关系,连通性是存在性的充分不必要条件。
当TPMS通过实体化得到面片型网格时,存在性是必要的,是否具备连通性会决定其结构是开孔结构还是闭孔结构。存在性是通过TPMS的隐式表达式求极值所得到的极大值与极小值作为边界条件。而连通性的计算方式是结合了空间几何结构,当曲面边界无法在各个胞元边界的表面上取到值时,说明胞元之间互不连通,即为闭孔结构,由此可以得到曲面边界与胞元边界有且仅有一个交点的情况,此时C值恰好处于开闭孔转换的临界点。在开孔结构的范围内,TPMS结构可以保证其孔洞完全连通的特性;而在闭孔结构范围内,某些区域原本是孔洞的位置被实体占据。表2总结了TPMS面片型网格的结构参数C的有效取值范围。
表2 面片型网格的结构参数取值范围
Table 2 The range of sheet-networks’ structural parameters
P-SheetG-SheetD-SheetIWP-Sheet开孔(0,1)(0,2)0,22 (0,3)闭孔[1,3)[2,1.5)22,1 [3,5)
TPMS胞元实体结构的孔隙参数还可以通过相对密度或孔隙率来表示。其中相对密度是指胞元空间中实体的体积与整个胞元空间的体积之比,而孔隙率是指胞元空间内孔隙的体积与整个胞元空间的体积之比,二者的关系为:
ρ=1-p=V/V0
(6)
式(6)中: ρ是胞元结构的相对密度;p是胞元结构的孔隙率; V是胞元空间中实体的体积;V0是结构所处的胞元空间的体积。
2 实验和数值模拟方法
2.1 样品制备与实验方法
本研究中样品是使用重庆摩方精密科技有限公司(BMF)的nanoArch®P150-3D打印系统,平面打印精度为25 μm,选择低黏度超韧性的光敏树脂(UTL)作为基体材料进行打印。结构材料制备流程如图1所示。首先,建立数字模型并通过切片软件转化为匹配打印软件的图片;然后,将图片导入打印系统,设置好相关参数(紫外光强,曝光时间等)后进行实体样品打印;最后,对打印完成的样品进行二次固化操作[25-27]。
图1 制备流程示意图
Fig.1 Schematic diagram of preparation process
样品尺寸设置为胞元尺寸为2 mm,三维方向上胞元数量为4×4×4,以此近似模拟多个胞元的情况[28]。综合考虑仪器的制备条件及需求,选取P类型相对密度为0.2、0.3、0.4、0.5的4种样品,每种样品做3次实验,样品如图2所示。
图2 实验样品示意图
Fig.2 Schematic diagram of experimental samples
利用台式电子万能试验机按照国标GB/T 18942.2—2003测试样品在准静态单轴压缩条件下的力学性能,与仿真模拟结果进行对比分析。在压缩实验过程中,实验台与压头表面均匀涂抹凡士林,加载速度设置为1 mm/min。测试温度25℃,空气湿度60%。
固化后的光敏树脂基体材料的弹性模量和泊松比由单轴压缩实验得到。实验曲线如图3所示。
取图3中线弹性段的弹性模量作为基体材料参数,并通过称重测量得到其密度,如表3所示。
为了能够更好地对比不同类型的结构材料的压缩性能,基于力和位移的关系,定义等效弹性模量为
(7)
式(7)中:E*是不同相对密度的结构材料的等效弹性模量;F是结构所受支反力;A0是胞元空间的横截面积;x是在z轴方向上施加的位移;l0是胞元空间的长度。在小变形线性区间情况下,可以认为该式能够准确表征材料的压缩力学性能。
图3 基体材料单轴压缩应力应变曲线
Fig.3 Uniaxial compression stress-strain curve for matrix material
表3 基体材料的应力-应变曲线
Table 3 The stress-strain curve of matrix material
材料名称密度/(t·mm-3)弹性模量/MPa泊松比UTL1.27E-93800.45
2.2 有限元模拟方法
本研究中利用有限元方法完成准静态加载条件下TPMS结构材料的力学性能的数值模拟。通过MSLattice[26]插件中的implicit function功能,结合式(2)—式(5)构建不同的数字模型,利用ProPeMax软件将三维模型划分为C3D4四面体网格,得到可用于有限元计算的有限元模型,将其导入有限元软件中完成模拟计算。
有限元的模型尺寸与实验中样品尺寸保持一致。又因为不同TPMS类型的结构参数取值范围无法统一,所以利用相对密度对不同样品进行区分。为了尽可能覆盖尽可能宽的相对密度范围,在保证胞元结构可以阵列的前提下,在相对密度为0.1～1时(相对密度为1时模型即为8 mm×8 mm×8 mm的纯材料立方块),每隔0.1的步长建立有限元模型。
针对边界条件的设置,建立两个刚性板,分别与模型的上下表面耦合,对下面的刚性板施加固定的边界条件,对上面的刚性板施加0.08 mm的位移(1%应变),施加位移的方向默认为z轴。通过隐式求解器计算应变为1%的小变形状态下结构的压缩变形和上表面刚性板的支反力,进而通过式(7)计算其等效弹性模量。
3 结果与讨论
3.1 不同TPMS类型的几何结构特征
为了探究结构参数TPMS实体化胞元几何结构的影响,对结构参数C取间隔相同的点进行建模,利用三维建模软件计算其体积,得到基于不同类型TPMS的面片型网格实体胞元结构的结构参数与相对密度(孔隙率)的关系如图4所示。
图4 结构参数与相对密度的关系
Fig.4 Relationship between structural parameters and relative density
由图4可以得知,基于TPMS得到的胞元实体结构,其结构参数C与相对密度(孔隙率)均是一一对应的。不同TPMS类型的结构参数取值范围是不同的,D结构的结构参数取值范围最小,IWP结构的结构参数取值范围最大,这是由于不同类型的隐式表达式不同所导致的。理论上,每种类型在结构参数为零的位置所对应的相对密度为零,这是因为在结构参数为零时,2个边界曲面重合,无法形成实体胞元;而在结构参数取到其对应类型的存在性范围内的最大值时,每种类型的实体胞元结构的相对密度均为1,此时实体胞元结构即为纯材料的立方块。
值得注意的是,对于IWP-Sheet的结构参数与相对密度的关系,在C=3附近处,相对密度的变化速率发生了一个明显的突变,这是因为IWP类型的TPMS在C>3时无法形成曲面,所以IWP-Sheet在结构参数C>3时,仅有一个边界曲面,导致了相对密度的明显突变。恰好在此时,IWP-Sheet由开孔结构转换成为闭孔结构。而其他3种类型的TPMS-Sheet也会在开闭孔转换位置出现相对密度随结构参数变化速率的改变。
4种TPMS类型的结构参数取值范围的大小关系是:IWP>P>G>D,具体的数值分别为5、3、1.5、1;在开孔阶段,其结构参数取值范围的大小关系是:IWP>G>P>D,具体的数值分别为
而且其对应的开闭孔转换位置的相对密度的大小关系是:G>IWP>D>P,具体的数值分别为:0.967 1、0.899 8、0.839 4、0.573 4。
3.2 不同TPMS类型结构材料的等效弹性模量
通过3.1节的实验方法,可以得到不同相对密度下的TPMS胞元结构的力-位移曲线,取其线弹性阶段的实验数据,通过式(7)进一步得到其等效弹性模量如图5所示。将得到的实验结果与有限元仿真结果进行对比,可以发现,实验结果与有限元结果能够较好地贴合。由此可以在开孔范围内验证有限元结果的准确性,并且得出后续结论。
图5 实验结果与有限元结果对比
Fig.5 Comparison of experimental results and finite element results
根据3.2节中所介绍的有限元模拟方法,由数值仿真得到的力-位移数据,利用式(7)计算,可以得到不同TPMS类型胞元实体结构在不同相对密度下的等效弹性模量,由于TPMS结构材料可以看作是一种多孔结构材料,其相对密度与等效弹性模量之间的关系可以利用式(8)中的Gibson-Ashby模型[29]进行较好地拟合。
(8)
式(8)中:E*是不同相对密度的结构材料的等效弹性模量,而E是与结构材料宏观尺寸一致的纯材料的立方块体的弹性模量;A、n是表征不同类型的常数。
图6是4种不同类型的TPMS胞元实体结构通过有限元模拟计算得到的结果。图6中横坐标是相对密度,纵坐标所表示的归一化弹性模量是其对应相对密度胞元实体结构的等效弹性模量与相同宏观尺寸的纯材料立方块的弹性模量之比,而相对密度为1时对应的归一化模量即为1,这样得到的归一化模量能够更好地对比其等效弹性模量之间的关系,后续的分析结果均采用归一化模量。由图6和表4中数据可知,有限元模拟得到的结果在从0.1～1之间的宽相对密度范围内都可以很好地与Gibson-Ashby模型进行拟合。与已知的其他工作相比,从相对密度的范围上拓宽了4种典型的TPMS胞元结构的Gibson-Ashby模型的适用范围。
拟合曲线的决定系数均大于0.99,这表明拟合所用的公式与得到的参数是可靠的,拟合后的曲线表达式的参数如表4所示。
图6 4种类型的归一化模量及拟合曲线
Fig.6 Normalized modulus and fitted curves of four types
表4 Gibson-Ashby模型拟合曲线参数
Table 4 Gibson-Ashby model fitting curve parameters
胞元结构AnR2P-Sheet0.997 861.836 460.999 52G-Sheet0.986 101.811 730.996 64D-Sheet0.989 801.625 880.997 31IWP-Sheet0.987 861.476 800.998 84
可以看出,这些胞元结构的等效弹性模量随着相对密度的增加而增加。并且归一化后的等效弹性模量与相对密度呈幂函数关系。同时,指数的大小决定了等效弹性模量随相对密度的变化速率。在基于4种不同类型TPMS的实体胞元结构中,IWP结构的最小指数意味着它们的抗压模量随着密度的降低而以较低的速度减少,受相对密度变化的影响最小,在低密度范围内放大了其优势[30]。为了更好地对比4种TPMS胞元实体结构,将其等效弹性模量与相对密度的关系图绘制成图7。随着相对密度的增加,4种不同类型的TPMS胞元实体结构的归一化模量均随之增加。在相同的相对密度下,IWP结构的TPMS实体结构具有最高的等效弹性模量,在相对密度低于0.5时,4种结构在同样相对密度下的大小关系为:IWP>D>G>P,而相对密度在0.6以上时,P的等效弹性模量要高于G的等效弹性模量,4种结构在同样的相对密度下的大小关系为:IWP>D>P>G。不同结构在相同的相对密度下的等效弹性模量不同是因为结构材料的力学性能不仅与基体材料的特性有关,在很大程度上取决于胞元的拓扑结构[31]所导致的。
通过相对密度作为中间变量,可以得出TPMS面片型网格胞元结构的结构参数与等效弹性模量之间的关系。如图8所示,4种不同类型的TPMS胞元实体结构随着结构参数的增加,其归一化模量均有不同程度的增加。
图7 相对密度与归一化弹性模量关系
Fig.7 Relationship between relative density and normalized elastic modulus
图8 结构参数与归一化弹性模量关系
Fig.8 Relationship between structural parameters and normalized elastic modulus
由图8可以看出,4种类型的TPMS结构材料的结构参数与归一化弹性模量的变化规律大致相同。等效弹性模量随结构参数的变化速率均是先增加后减少,而且速率发生改变的位置恰好是开闭孔转换位置附近。改变的原因是因为TPMS胞元结构发生了变化,由开孔结构转换成为闭孔结构,而且3.1小节中讨论的开闭孔转换位置会出现相对密度随结构参数变化速率的改变是原因之一。此处的速率突变在有限元模拟结果中也可以通过变形机理的改变进行解释,不同的胞元结构在开闭孔转换位置附近均会出现变形形式的改变,压缩变形的主导趋势均有不同程度的增加。
4 结论
主要研究了4种典型的TPMS结构材料,在不同的结构参数和较宽范围的相对密度下,TPMS结构材料的几何特征与等效弹性模量的变化规律,得到如下结论:
1) 通过调控隐函数控制方程的结构参数,实现了TPMS结构材料相对密度(孔隙率)的精确控制,确定了结构参数的取值范围以及发生开闭孔转换处的结构参数与相对密度;
2) 有限元的结果表明:TPMS结构材料等效弹性模量随相对密度的变化趋势可以利用Gibson-Ashby模型拟合,从相对密度的范围上拓宽了Gibson-Ashby模型对于TPMS结构材料的适用范围;
3) 利用面投影微立体光刻(PμSL)技术,制备了以低粘度光敏树脂(UTL)为基体材料的胞元结构材料。对比实验结果与有限元结果,可以初步相互印证可靠性,但后续仍需大量实验验证;
4) 进一步得到了结构参数与等效弹性模量之间的关系,在开闭孔转换位置附近,等效弹性模量随结构参数变化速率会发生突变。
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