0 引言
机械设备长期运行在重载、疲劳、高温等恶劣环境下,不可避免地会出现不同程度的故障,造成经济损失或安全事故。因此,及时、准确地诊断故障是非常重要的。在机械故障诊断的文献中,对于机械故障的检测和识别方法有很多,其中对故障振动信号的时频分析方法最为典型,可以通过提取振动信号的瞬时频率特征诊断机械故障。机械故障的振动信号本身具有强时变非平稳的特点,因此可以利用时频分析在刻画非平稳信号方面的优势对振动信号进行特征提取,从而获得滚动轴承不同阶段非平稳信号的时变特征。李飞行等[1]利用一种基于时域滑窗的短时傅里叶变换对航空发动机振动信号进行特征提取,证明了该方法的有效性。傅文君等[2]利用小波分析对航空发动机振动信号的特征频率提取,以此来判别其是否发生故障。符娆等[3]将希尔伯特-黄变换引入到航空发动机试飞中转静子碰摩故障信号处理中,验证了该方法的有效性。胡义凡等[4]提出了一种基于EMD-SVD和模糊神经网络的故障诊断新方法,该方法能够对航空发动机早期故障进行识别,提高了故障诊断精度。张忠强等[5]定义了一种对强冲击干扰鲁棒性的重加权谱峭度方法,验证了该方法在强冲击干扰下提取航空发动机故障特征的有效性。吕作鹏等[6]针对航空试验器轴承故障信息难以识别的问题,提出一种基于小波包、经验模态分解和Hilbert-Huang变换组合的轴承振动信号分析方法,对轴承的早期故障特征进行识别。虽然上述方法对机械故障诊断提供了不同的思路,但是对故障进行处理时提取的能量聚集性太低、时频特征不明显。近期,于刚等[7]在时频重排算法和同步挤压变换算法的启发下,为达到理想时频分析这个目标,旨在摆脱海森堡不确定性原理的影响,提出了一种新颖的时频分析方法—同步提取变换,该方法是在短时傅里叶变换(short-time fourier transform,STFT)的基础上,构建出同步提取算子(synchroextracting operator,SEO),提取出原始时频谱时频脊线的时频系数,从而大大提高了时频分析精度。该方法有效降低了噪声的影响,解决了能量发散、特征模糊的问题,此外,该方法计算复杂度低,运算速度快,易于机械振动信号的信号处理和特征提取,能够识别轻微损伤的故障特征[8]。由于SET算法存在以上优势,该方法一经提出,就得到了广泛的改进与应用[9-11]。李志农等[12]针对SET处理故障信号易发生频率混叠的问题,将非线性调频模态分解引入SET中。唐蕾等[13]结合变分模态分解和SET的优点解决了SET不能分离频率成分间隔相近的多分量信号的问题。这些对SET进行改进的算法一定程度上可以解决SET方法存在的问题,但是这些改进算法都是停留在信号预处理上,基本思想都是在SET之前选择合适的信号处理方法进行预处理,然后,对预处理后得到的各个分量进行同步提取变换,最后将所有分量的SET结果叠加。这种SET改进思路受制于预处理算法,现有的预处理方法都涉及参数选择的问题,如何合理地选择参数也缺乏依据,只能根据经验或者通过试凑来选择,这些改进算法没有对SET算法进行本质上的改进,因此,有必要寻求新的方法增强SET的自适应性。
基于时频分析的后处理算法得到的时频分辨率受限于时频分析所用到的方法[14],同步提取变换是STFT的后处理过程,由于STFT存在窗函数固定的问题,这将导致SET时频谱的分辨率不能达到最佳,因此可知选择一种更高精度的时频分析方法来代替短时傅里叶变换是可行的。与短时傅里叶变换相比,广义S变换(generalized s-transformation,GST)具有窗函数灵活多变、可以自适应选择窗宽和时频分辨率更高等优势,因此,结合SET和GST的优点,提出了SEGST方法,同时,进行了仿真验证,与STFT、GST和SET进行了对比研究,最后,将该方法应用于航空发动机故障诊断中,验证该方法的有效性。
1 同步提取广义S变换(SEGST)
1.1 单分量信号的SEGST推导
由Stockwell等[15]的研究可知,信号f(t)的S变换(S-transform)定义为
(1)
其中: f表示频率; τ表示时间位移因子;t表示时间;w(τ, f)为高斯窗函数,定义为:
(2)
在高斯窗函数中引入2个尺度调节因子k和p来使窗口可缩放滑动,并基于时间-频率集中准则选择参数的最佳值,从而提高信号的时间和频率分辨率,从而可以实现多分辨率分析的特性。在这里,k>0,p>0,因此,GST可以表示为:
GST(τ, f)=
f(t)·w(τ-t, f)·e-i2πftdt=
(3)
高斯窗函数w(τ, f)相应变为:
(4)
这里令
(5)
标准的S变换是广义S变换的特例。由式(4)可知,当p=k=1时,广义S变换即变成了标准的S变换。根据帕西瓦尔定理,GST可以写成
(6)
式(6)中:
为信号f(t)的傅里叶变换;
是φ(τ, f)的傅里叶变换;()*表示复共轭。
这里,采用具有不变幅度的纯谐波信号(频率为ω0)的模型作为待分析信号:
f(t)=A·ejω0t
(7)
f(t)的傅里叶变换可表示为:
(8)
把式(8)代入式(3),可以得到f(t)的GST
(9)
为了提取GST结果的瞬时频率,首先计算式(9)中GST相对于τ的导数为
i2π·(ω0-f)·GST(τ, f)
(10)
如果在式(10)中对于任何(τ, f),都有GST(τ, f)≠0,则GST结果的瞬时频率为
(11)
由胡英等[16]的研究可知,原始的时频表示可以在GST时频谱上的时频脊线处获得最大值,且此时的时频系数也具有最大的噪声鲁棒性,在这种情况下,基于GST和SET方法的时频方法可以用f=ω0(τ, f)的时频轨迹和GST的时频系数共同描述,SEGST表达式写成
Te(τ, f)=GST(τ, f)·δ(f-ω0(τ, f))
(12)
这里的δ(f-ω0(τ, f))是SEO,它只提取GST(τ, f)的时频系数,能降低噪声的影响,让能量更聚集,大幅提升信号处理结果的分辨率。
根据delta函数,SEO应该由式(13)计算
SEO(τ, f) = δ(f-ω0(τ, f))= 
(13)
然而,考虑到实际过程中的计算误差和SEO的实部在实际中的应用[17-18],将式(13)中的SEO改写为
(14)
其中,Δf=Δf1-Δfi-1表示离散频率间隔,Re(·)表示进行取实部操作。此时,SEGST可以这样表示
考虑到单分量信号的重构,根据式(12),得到SEGST方法对于单分量信号的重构
(16)
1.2 基于SEGST的多分量信号分析与重构
以上描述是针对单分量信号f(t)来进行推导的,但是实际被评估的信号成分复杂多变,且大都是由多分量混合信号组成,为了探究SEGST的一般普适性,现对多分量信号的分析和重构进行推导。
多分量信号由多个单分量调频-调幅信号叠加而成,因此多分量信号表达式为
(17)
式(17)中:k为每个单分量信号的序列号,k可以取任意正整数;Ak(t)为每个单分量信号的瞬时幅值;φk(t)为每个单分量信号的瞬时频率。由于多分量信号时频结果易发生频率混叠,为了克服此缺点,要求各分量的瞬时频率满足以下分离条件[19]
(18)
其中,Δ被称为窗函数的频率宽度。依据单分量信号的证明过程可知,假设存在足够的小的ξ和ε,对于∀t, A′k(t)≤ξ和φ″k(t)≤ε′[20],这时候多分量信号的GST可以近似为:
(19)
根据单分量信号求瞬时频率的公式(11),可以有效求得多分量信号的瞬时频率是每个单分量信号瞬时频率之和:
(20)
SEGST结合瞬时频率和GST时频谱,是比较理想的时频表示:
Te(τ, f)=GST(τ, f)·δ(f-φ′(τ, f))
(21)
SEGST最核心操作是对广义S变换时频谱提取时频脊线,那么原始信号则可以利用SEGST的脊重建,根据式(19)、式(21)可得:
Te(τ, f)|f =φ′(τ, f)=GST(τ, f)|f =φ′(τ, f)≈
(22)
式(22)中:
为常数。根据式(22)可以得知多分量信号的重构形式近似为:
(23)
以上分析可知, SEGST可以有效识别单分量信号和多分量信号的故障特征,图1为SEGST分析振动故障信号的流程。
图1 SEGST方法流程框图
Fig.1 Flow chart of SEGST method
2 仿真研究及分析
为了验证所提方法的高时频分辨率和高抗噪性,首先选择如下调幅-调频信号进行验证,并与其他时频分析方法进行比较。
(24)
其中: 采样点为1 000,采样时间为1 s。根据仿真信号x(n)表达式绘制信号的时域波形如图2所示。
图2 仿真信号的时域波形
Fig.2 Time domain waveform of simulation signal
为了证明SEGST方法的优势,分别使用STFT、GST、SET和SEGST对仿真信号进行处理。由图2和图3结果可知,由于窗函数固定和海森堡不确定性原理的限制,对比STFT和GST的时频特征图,可以发现STFT和GST都存在分辨率不高、时频域能量集中度不高等问题,STFT提供了最为模糊的时频分析结果。相比较而言,GST采用的是依靠调节因子灵活控制窗口长度的高斯窗函数,因此GST提取到的时频图更为清晰。由于SET是基于STFT计算的一种后处理技术,因此STFT的时频精度会直接影响到SET时频分析结果。理论上,SEGST是以更高精度的GST作为基准,故对信号分析的时频分辨率会更高,对比图4和图5可以看出SEGST能量浓度程度高于SET,结果验证了之前的理论。因此可以得出所提出的方法有着较高的时频分辨率如图6所示。
图3 仿真信号的STFT
Fig.3 STFT of the simulation signal
图4 仿真信号的GST
Fig.4 GST of the simulation signal
图5 SET及其局部放大结果
Fig.5 SET of the simulation signal and its local amplification results
上述结论都是在仿真信号没有受到噪声污染的情况下得到的,现探究噪声对各种时频分析方法鲁棒性的影响。Rényi熵是用来评价时频能量紧凑性和噪声鲁棒性的客观指标,Rényi熵值越小,说明窗长选择越具有优势,时频表征能力和越强,反之越弱[7]。Rényi熵是一种特殊的信息熵其计算公式为
(25)
其中,α≥1为Rényi熵的阶数,当α→1时,阶Rényi熵为Shannon熵; pi (i=1,2,…)为概率密度。
为了测试所提出方法的噪声鲁棒性,对仿真信号添加了信噪比从1～30 dB的白噪声,观察不同时频分析方法的Rényi熵如图7所示。通过分析图7可以看出不同的时频分析方法都会被噪声影响,随着信噪比的增大,所有方法的Rényi熵的值越来越小,且在各种噪声水平下STGST的Rényi熵都是最低的,即可以表明STGST处理这种加噪声信号具有最好的时频能量聚集性,从而证明SEGST方法有很好的噪声鲁棒性和很大的能量紧凑性。
图6 SEGST及其局部放大结果
Fig.6 SEGST of the simulation signal and its local amplification results
图7 不同噪声水平下4种时频分析方法的Rényi熵
Fig.7 The Rényi entropies of four TFA methods under different noise levels
为测量不同噪声水平下SET和SEGST对信号的重构能力。这里使用重构后的信噪比作为评价重构能力的衡量标准。不同噪声水平下2种时频分析方法重构结果的信噪比如图8所示,SET和SEGST 2种方法得到的重构信号如图9。对图8和图9内部SET和SEGST结果对比分析可知,在信噪比较低的情况。SET和SEGST提供的重建结果差别较小。但在很高的噪声水平情况下,SEGST的信号重建能力相比于SET要强很多,这是因为SET重建仅利用一阶导数信息来恢复这种强调频-调幅信号,不可避免地会产生严重的误差。可以得出结论,SEGST具有更好的信号重建能力且重建误差较小。
图8 不同噪声水平下2种时频分析方法 重构结果的信噪比
Fig.8 The SNR of the reconstructed results by two TFA methods under different noise levels
图9 2种时频分析方法的重构结果对比图
Fig.9 Reconstruction results of two time-frequency analysis methods
3 实验研究及分析
为了对SEGST的有效性进一步验证,将该方法引入到航空发动机高速运行状态下滚动轴承故障诊断中,使用信号是滚动轴承的振动加速度信号,故障轴承测试台[21]如图10(a)所示,主要由高速主轴、加速度传感器、动力系统等组成,所使用的主轴如图10(b),振动数据收集始终主要集中在轴承支架和电主轴的加速度上。安装的加速度计为三轴IEPE型,频率范围为1～12 000 Hz,灵敏度为1 mV/ms。加速度传感器采集轴端轴承的振动数据,采样频率为51 200 Hz。主轴转速的加减速由变频器的控制面板设置,无负载条件下转速近似等于为12 000 r/min。使用Rockwell工具在元件上产生局部故障,导致滚动体上出现锥形压痕,由此产生的圆形区域的大小近似测量直径为450 μm的压痕。压痕示例如图10(c)所示。轴承的局部故障特征频率可以根据轴承具体结构参数和转速计算,可以算出滚动体局部故障特征频率为1 098 Hz。
图10 航空发动机试验台
Fig.10 Aero-engine test rig
滚动体故障信号的时域波形图和频域波形图如图11所示,从频谱可以看出,振幅较高的部分集中在1 000 Hz和4 000 Hz附近,但是无法准确获得故障频率,为了进一步揭示与设备运行状态相关的特性,分别采用STFT、GST、SET和GSSET方法得到的滚动体故障信号的时频分布如图12所示。由图12可知,4种时频分析方法均能反映出滚动体故障信号的特征频率在1 100 Hz附近,但由于方法本质的差别,在变频带和倍频方面时频精度有很大的区别。
图11 轴承滚动体故障时域波形、频域波形和包络谱图
Fig.11 Time domain waveforms, frequency domain waveforms and envelope spectra of bearing rolling element failure
图12 轴承滚动体故障时频分布
Fig.12 Time-frequency distribution of bearing rolling element fault signal
STFT生成的时频分布最模糊,能量分散在很大的区域(见图12(a)),因此很难提取有效信息。GST结果(见图12(b))比STFT更清晰,但是展示的时频曲线仍然粗糙,并不能为确定故障频率提供准确的时频信息。SET结果(见图12(c))时频特征基本能识别,此时在故障特征频率1 098 Hz和3倍频3 300 Hz频带上具有明显的峰值,但是其余倍频和边频带轨迹模糊,并且伴随虚假频率成分,时频精度还有待进一步提升。基于GST时频分析的SEGST结果(见图12(d))显示的故障频率最接近真实值,且具有很高的时频集中性能,时频分析结果中可以很清晰地观察到特征频率的3倍频现象、变频带及其高阶倍频冲击特征。对比结果再次证明SEGST比其他算法具有更令人满意的集中的能量表示。在SEGST方法的分析下,轴承的故障特征在时频平面上清晰地表现出来,且分辨率较好。
表1所示的Rényi熵结果, SEGST的Rényi熵为6.053 4,在4种方法Rényi熵的对比中为最低值,这意味着该算法具有最佳的能量聚集性。故无论是从Rényi熵方面还是频精度方面考虑,在这4种时频分析方法中SEGST处理故障信号的效果最好、具有最好的时频表征能力。通过以上的分析,证明了GSSET在噪声鲁棒性和时频分辨率方面都优于STFT、GST和SET,由此可以得出SEGST具有较好的故障检测潜力。
表1 不同时频分析方法的Rényi熵
Table 1 Rényi entropy of different time-frequency analysis methods
时频分析方法STFTGSTSETSEGSTRényi熵17.234 415.487 08.326 16.053 4
4 结论
针对SET方法精度不高、抗噪性能差和重构能力不足的问题,利用GST基于信号的频率特性自适应地确定窗口宽度的特点,结合GST和SET的优点,提出了一种新的时频分析方法(即SEGST方法),经过仿真和实验研究可知:
1) 仿真结果表明,SEGST方法与STFT、GST和SET相比,该方法不仅在时频表征上更精确、时频分布更加集中,而且在0～30 dB不同噪声干扰条件下都具有最低的Rényi熵值、提供更为精确的重构结果。
2) 将SEGST方法应用到航空发动机高速滚动轴承故障实验的分析中,与传统时频分析方法相比,该方法具有较高的时频分辨率和良好的噪声鲁棒性,可以有效地提取航空发动机滚动轴承故障瞬时频率。
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