0 引言
四旋翼飞行器是一种广泛应用于多个领域的无人机。相较其他类型的旋翼无人机,其结构更为简单且普及程度更高。该飞行器由4个旋翼组成,通过控制旋翼转速来控制其飞行。此外,其结构小巧,易于维护,具有卓越的机动性和安全可靠性。四旋翼无人机的成本较低,且可根据任务需求进行附加装置,如机械臂等。
四旋翼无人机应用广泛,但由于其仅通过4个旋翼控制六自由度飞行即有4个控制输入和6个空间自由度输出,因此四旋翼无人机是一个强耦合、欠驱动、非线性系统,因而,对四旋翼无人机进行建模及设计控制系统有一定的难度。
基于上述存在的问题,研究人员提出了许多针对四旋翼无人机控制算法,如PID控制[1]、分数阶PID控制[2]、反步控制[3]、自抗扰控制[4-5]、滑模控制[6]、模糊控制[7]等。由于四旋翼无人机具有欠驱动的特性,导致其在受到振动、噪声干扰时,模型的稳定性以及动态模型复杂性问题逐渐凸显。此外,在无人机高机动过程中轴线的重叠会导致奇点[8]问题,因此使用四元数建立无人机模型可有效避免万向锁。
Islam等[9]使用模型预测控制(MPC)对基于四元数的四旋翼运行进行轨迹跟踪控制。使用四元数为MPC控制器开发了一个新的成本函数。仿真的结果表明,使用MPC方法对四旋翼进行轨迹跟踪可有效避免方向奇异性。
Muro等[10]基于超级扭转算法的滑模控制算法,在四旋翼无人机的动态模型中使用单位四元数反馈。使用精确的一阶微分器获得虚拟控制输入的导数,并通过滑模观测器估计作用于四旋翼的空气动力和力矩,以确保对外部干扰和模型不确定性的鲁棒性。结果显示,基于四元数的控制方法所用时间小于使用欧拉角法的一半。
陈鹏云等[11]提出了一种专家S面控制器,将其引入无人机的运动控制系统中。该控制器结合专家控制思想,具有良好的非线性控制效果,可实现无人机的良好运动控制。在此基础上,设计了UAV的运动控制系统。外场试验表明,所提出的控制器具有控制精度高、响应速度快、动态性能好的特点,对环境干扰有较强的适应力,适用于无人机的运动控制。
ekara等[12]研究了分数阶PD控制器控制Furuta摆的稳定性问题。推导了旋转倒立摆的数学模型,并引入了分数阶PD控制器以使其稳定。在此,D-分解法可以成功地用于解决由分数阶控制器控制的倒立摆系统的渐近稳定性问题。说明了分数阶控制器可以很好地应用于欠驱动系统控制中。
刘通[13]在四旋翼无人机的模糊控制器中引用分数阶算子,构成了自适应模糊分数阶PID控制器,在无人机控制系统中使用该方法。试验证明该方法与PID和分数阶PID控制器对比获得了更优的控制性能。
为克服风扰对四旋翼无人机轨迹跟踪控制的影响,提出了一种新的控制方法。该方法基于传统的PID控制,在传统PID基础上提出一种基于分数阶PID和S面的四旋翼无人机跟踪控制方法。文章结构如下:首先根据四旋翼无人机受力和力矩,使用四元数法建立无人机运动学和动力学方程。然后设计分数阶S面控制。最后使用Matlab/Simulink进行仿真试验。
1 四旋翼无人机四元数模型
为了描述一个具有6个自由度(DOF)的四旋翼无人机运动状态,一般使用牛顿-欧拉公式来建立无人机运动学和动力学模型。而建立运动学方程需要建立坐标系,因此需要构建大地坐标系和机体坐标系。大地坐标系Oexeyeze为惯性坐标系,坐标系原点可设定为无人机起飞的初始位置,机体坐标系Obxbybzb为固连坐标系,坐标原点为无人机重心位置。四旋翼的位置可以用[x,y,z]T来描述,并且沿轴线的旋转(即横滚、俯仰和偏航)可以分别用[φ, θ, ψ]T表示。
大地坐标系与机体坐标系的转换矩阵为Q,通常,使用欧拉角法得到的大地坐标系到机体坐标系的旋转矩阵如下:
(1)
由于无人机在飞行过程中需要不断求解三角函数,式的转换矩阵会增加机载处理器的运行时间,若使用四元数转换矩阵表示机体的旋转,不但可以减少无人机处理器运行时间,也可以有效避免在飞行过程中产生万向锁。
四元数是一种用于表示仿射变换、旋转和投影的数学工具,在飞机控制[14]、机械臂定位和转换控制[15]、自主水下航行器控制[16]、直升机姿态控制等方面应用广泛。四元数是复数的扩展,由1个实部和3个虚部组成,表示为:q=q0+q1i+q2j+q3k。其中,ijk=-1。
根据四元数的基本定义,可以推导出四元数在旋转变换上的重要性质:任意向量
沿着以单位向量定义的旋转轴
旋转θ角度,得到新的
可由单位四元数乘法获得:
v′=qvq*
(2)
式(2)中:v和q代表四元数;q*表示
的共轭;
因此,由上式可推出大地坐标系到机体坐标系的旋转矩阵为
(3)
式(3)与式(1)联立可得欧拉角与四元数的转换关系,欧拉角由四元数表示如式(4)所示。
(4)
同样的,四元数也可由欧拉角解得:
(5)
要得到四元数的运动学方程,还需要将四元数导数与四旋翼的角速度ω=[p,q,r]T结合起来,如式(6)所示。
(6)
由上述转换矩阵,运用牛顿-欧拉公式,最终建立基于四元数的四旋翼无人机的运动学方程:
(7)
式(7)中:K1、K2、K3为空气阻力系数;Ix、Iy、Iz分别为四旋翼无人机在机体坐标系沿3个坐标轴的转动惯量;K4、K5、K6为空气阻力矩系数,影响四旋翼无人机在3个坐标轴方向上所受的空气阻力矩;u1为无人机4个旋翼产生的总升力;u2为左右旋翼升力差形成的滚转力矩;u3为前后旋翼升力差形成的俯仰力矩;u4为顺时针旋转的旋翼与逆时针旋转的旋翼扭转力矩之差形成的偏航力矩。u1、u2、u3、u4表达式[17]如下:
(8)
式(8)中:ωi分别为第i个旋翼的转速;b为旋翼的升力系数;l为旋翼轴到四旋翼质心的距离;d为旋翼扭矩系数。
2 控制器设计
2.1 S面控制
由于S平面函数是一种非线性函数,因此可以适用于四旋翼无人机控制算法中。所需的控制输出是一个平滑的曲面。曲面被直接用来表示控制力的系数,即曲线表示偏差、偏差导数和控制力之间的关系。当偏差和偏差导数很大时,控制输出也很大,当偏差和偏差导数很小时,控制输出也很小,最终偏差、偏差变化率和控制力都为零。在偏差和偏差变化率的变化过程中,由于实际运动的平滑性,控制力的输出也是平滑的,其功能是减少偏差和偏差变化率。同时,控制力本身的大小也在减小。
一般地,Sigmoid曲线函数为
y=2/(1+e-kx)-1
(9)
那么,Sigmoid曲面函数为
z=2/(1+e-k1x-k2y)-1
(10)
S面控制方法的控制模型[20]为
(11)
式(11)中:e和
为偏差和偏差变化率;k1和k2为控制参数,用于调整控制收敛速度或超调量;u为控制输出;Δu为偏差调整项,用于表示外部环境的干扰。在式(11)中,Δu=0。比例-微分(PD)控制器的参数定义与此类似。S面控制器的参数定义可参考PD控制器的调参思想,调节k1和k2 2个参数,以实现对目标的最优控制。S面控制器的输出u的取值范围是u∈[-1,1]。因此,S面控制器的实际输出为U=K·u,其中K是输出增益。S面控制的三维结构如图1所示。
图1 S面三维结构
Fig.1 3D structure diagram of S plane
2.2 分数阶微积分
分数阶微积分是一种对实数阶微积分的扩展,它可以描述非整数阶的微积分运算。和整数阶微积分不同,分数阶微积分的导数和积分可以有任意阶数。整数阶动态系统的未来状态取决于当前状态(无记忆)。然而,对于分数阶系统,当前状态取决于整个历史状态[18](长时记忆)。现代控制领域常用的分数阶微积分定义主要有Riemann-Liouville、Grunwald-Letnicov以及Caputo定义[13]。对于函数f(t),其分数阶Cauchy积分公式为
(12)
式(12)中:阶次γ可以是任意正实数,而对于统一的分数阶微积分算子
的定义为
(13)
式(13)中:α≥0且t0=0时,则可以省略记号t0,如果自变量为t且没有其他变量,则t也可以省略;若
算子表示函数对自变量t的α阶导数,α=0表示原信号;若α<0,则表示-α阶积分。
给定函数f(t)的α阶导数的Grunwald-Letnikov分数阶微分的定义如下
(14)
式(14)中:[·]表示取最接近的整数。
由于Caputo分数阶定义仅需要已知信号极其整数阶导数在初始时刻的值,在分数阶控制领域得到广泛的研究,其具体定义为
(15)
式(15)中:
是分数阶微积分算子,在零初始条件下,对Caputo定义进行拉普拉斯变换得:
e-stDαf(t)dt=sαF(s)
(16)
2.3 分数阶PID控制模型
传统PID控制模型为
(17)
其传递函数为
(18)
式(18)中:kP、kI和kD为3个可调参数。
分数阶PIλDμ控制器比传统PID控制器多了2个参数λ和μ[19],该控制器传递函数为
(19)
其中,需要调节的参数有kP、kI、kD,以及阶次λ和μ。实际分数阶PIλDμ控制器中,由于积分环节由滤波器逼近,在λ<1时不能完全消除稳态误差,因此需要重建积分器,新的分数阶PIλDμ控制器传递函数为
(20)
针对四旋翼无人机,采用分数阶S面融合控制系统。具体控制系统如图2所示。
图2 四旋翼无人机双闭环控制系统结构
Fig.2 Structure of quadrotor dual closed-loop control system
在图2所示的控制系统中,qid代表四元数中qi的期望值,qia代表经过模型运算后得出的四元数。误差四元数qe代表从测量姿态到期望姿态,可以由下式表示:
(21)
3 仿真与结果分析
为了验证所提出方法的有效性,基于螺旋线轨迹开展轨迹跟踪控制仿真试验。试验条件为:Simulink(Matlab 2021a),给定无人机的起始点为[0,0,0],即初始状态为零,仿真时间设定为40 s。给定参考轨迹如下:
(22)
对四旋翼无人机参数进行初始化如下:无人机的质量为m=0.65 kg,重力加速度为g=9.8 m/s2,四旋翼绕机体坐标系Obxb轴的转动惯量为Ix=7.5×10-3,绕Obyb轴的转动惯量为Iy=7.5×10-3,绕Obyb轴的转动惯量为Iz=1.3×10-2,四旋翼的臂长为l=0.32 m,四旋翼的升力系数为:b=3.1×10-5,扭矩系数为7.5×10-7,空气的阻力系数为K1=K2=0.1,K3=0.15。模拟仿真整体结果如图3所示。
图3 螺旋线路径跟踪图
Fig.3 Spiral trajectory tracking plot
四旋翼无人机在x、y、z方向的轨迹跟踪效果如图4—图7所示。
图4 各坐标轴轨迹跟踪图
Fig.4 Tracking diagram for each coordinate axis
图5 仿真前0～6 s跟踪效果
Fig.5 Tracking results from 0～6 seconds after simulation
图6 扰动部分放大图
Fig.6 Disturbance part magnification image
图7 各坐标轴轨迹跟踪误差图
Fig.7 Graph of tracking errors for each coordinate axis
由图4可以看出,所设计的控制器整体跟踪效果较好,将图4中的0～3 s跟踪效果放大,得到如下图形:
将图4中的扰动部分放大,得到如下图形:
将轨迹跟踪的结果与期望路径相减,得到各个方向的跟踪误差图如下:
本文中使用式(23)定量计算分数阶S面控制器的整体抗干扰品质
Qi=
|ei|dt
(23)
式(23)中,Qi表示在i方向上的跟踪误差累积。计算结果如表1所示。
表1 FOPID与FOPID-Splane控制抗干扰品质对比
Table 1 Comparison of anti-interference quality between FOPID and FOPID-Splane control
QxQyQz∑QiFOPID200.5698.3633.8332.72FOPID-SPlane90.5453.5926.14170.27
从表1可以看出,分数阶S面控制在跟踪累计误差上要明显小于分数阶PID控制,约为分数阶PID的51.18%。
从图3螺旋线轨迹跟踪图中可以看出,分数阶S面控制相比于传统PID控制不光能以很高的精度快速跟踪期望路径,还具有跟踪精度高的优点。从图5可以看出分数阶S面控制在初始时的跟踪效果明显好于分数阶PID控制效果。在第15～20 s时加入外界风干扰,从图4各个坐标轴的轨迹跟踪图和图7各个坐标轴的轨迹跟踪误差图中可以看出所设计的分数阶S面控制在抗风干扰方面具有优异的性能。
4 结论
针对四旋翼无人机轨迹跟踪控制问题,提出了一种基于四元数的分数阶S面融合控制策略,使用Matlab Simulink进行仿真试验。可得到以下结论:
1) 基于四元数的控制模型可有效避免奇异值问题,方便姿态角的解算。
2) 设计的分数阶S面控制器继承了常规PID控制器的优点,能够微调控制系统阶次,使控制过程更加平滑。
3) 仿真结果表明,与分数阶PID控制作为对比,分数阶S面控制器能够使控制系统具有更高的控制精度和更强的鲁棒性。
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