0 引言
数字液压缸具有控制简单、抗污染和抗干扰能力强等优点。刘有力等[1]建立了数字液压缸的非线性模型,并研究了数字液压缸的定位精度问题。王慧等[2]基于AMESim仿真,研究了数字液压缸的刚度问题。齐潘国等[3-4]建立了含有反馈机构动力学特性的数字液压缸系统框图,并研究反馈机构间隙对数字液压缸稳定性和静态误差的影响。Changlin Ma等[5]研究了单级螺旋反馈数字液压缸的联合仿真分析。
液压六自由度并联机器人具有高刚度和高推动比的特性,广泛应用于各种重载系统。因此,刚度特性对于液压六自由度并联机器人尤为重要,直接影响并联机器人的控制精度。汪满新等[6]建立了3-RRS型并联机构的静刚度模型,研究了所有部件重力和铰链弹性对刚度特性的影响。崔志伟等[7]提出了索驱动并联机构静态刚度分析及索力分配方法,并研究其可控刚度特性问题。谢志江等[8]建立了某型三自由度并联平台的静刚度解析模型,并研究了静刚度分布规律。郑良辰等[9]基于3-PCR并联机构,提出了等效刚度概念,并采用遗传算法进行优化设计。仇鑫等[10]基于虚功率原理建立了一种可重构Stewart型并联平台的静刚度模型。罗辉等[11]基于虚拟材料法的六自由度并联机床静刚度研究。
数字液压缸驱动的六自由度并联机器人不仅可以达到与电液伺服缸驱动的六自由度并联机器人相同的控制精度和响应速度,而且具有更强的抗污染能力和更高的可靠性[12]。杨世祥[13]和肖志权等[14]联合研制一台数字液压缸驱动的六自由度平台,并针对平台不平稳现象进行了研究。朱石坚等[15]研究了数字式6-DOF运动平台控制系统设计。
综上所述,目前关于数字液压缸驱动的六自由度并联机器人的刚度特性研究未见文献报道。结合数字液压缸的闭环刚度和六自由度并联机器人的误差模型,推导出刚度矩阵,并通过AMESim仿真研究数字液压缸驱动的六自由度并联机器人的刚度特性。
数字液压缸驱动的六自由度并联机器人,结合其成本低、可靠性高、抗污能力强和结构简单等优点,不但可以应用在飞行模拟器、空间对接机构及并联机床等良好环境中的设备上,也可应用在诸如盾构机、掘进机等环境恶劣的地下及矿井设备上。研究对数字液压缸驱动的六自由度并联机器人研制及应用有一定的理论价值和实际意义。
1 数字液压缸刚度特性
1.1 数字液压缸原理介绍
数字液压缸的结构原理如图1所示。步进电机与阀芯右端通过滑动平键相连接,阀芯左端与反馈螺母通过螺纹副相连接。反馈螺母轴向固定在阀体上,只能实现周向转动。反馈螺母的另一端与丝杠尾端相固连,丝杠另一端伸入活塞内部,丝杠上的螺母固连在活塞上。滚珠丝杠的丝杠也只能周向转动,滚珠丝杠的螺母可以跟随活塞移动。
1-步进电机; 2-滑动平键; 3-阀体; 4-阀芯; 5-反馈螺母;6-丝杠螺纹; 7-活塞; 8-缸体; 9-滚珠丝杠
图1 数字液压缸原理图
Fig.1 Schematic diagram of digital hydraulic cylinder
对步进电机输入驱动信号,步进电机通过滑动平键带动阀芯转动。反馈螺母将阀芯的转动变为轴向移动,开启可变节流口,高压油进入液压缸中,推动活塞杆进行伸缩。滚珠丝杠将活塞的轴向转化为丝杠的转动,并通过反馈螺母使阀芯反向移动,关闭阀芯的可变节流口。阀芯回到零位时,活塞杆停止,系统达到新的平衡。
1.2 步进电机的数学模型
理想的情况下,认为步进电机的输入电脉冲信号数量与电机轴输出转角成正比关系,其数学模型为
(1)
式(1)中:θm为电机轴转角;N为输入电脉冲数;步进电机与伺服阀之间的滑动平键,由于质量轻、间隙小,可以认为步进电机的转动到阀芯的传动比为1∶1的理想传动。
1.3 非对称阀控非对称缸的数学模型
非对称阀控非对称缸的原理如图2所示。液压缸为双作用单杆活塞缸,无杆腔有效作用面积为A1,有杆腔有效作用面积为A2,有无杆腔有效面积比m=A2/A1,与无杆腔相通的节流口面积梯度为W1,与有杆腔相通的节流口面积梯度为W2,面积梯度比n=W2/W1,且m=n。考虑加工误差的影响,按小正开口四边滑阀建立其数字模型。
图2 阀控缸原理图
Fig.2 Schematic diagram of valve controlled cylinder
根据文献[4],建立非对称四边滑阀的阀口流量线性化方程为
QL=KqXv-KcPL=(Q1+mQ2)/(1+m2)
(2)
式(2)中,Kq为滑阀的流量增益:
(3)
Kc为滑阀的流量压力系数:
(4)
PL为负载压力:
(5)
其中:QL为负载流量;Q1为无杆腔流量;Q2为有杆腔流量;Xv为阀芯位移;PS为供油压力,Cd为滑阀的流量系数;U为阀芯正开口量。
非对称液压缸流量连续性方程的拉氏变换为
(6)
式(6)中:XP为活塞位移;Vt为液压缸有效体积;βe为有效体积弹性模量;m为有无杆腔面积比;Ce为液压缸泄漏系数。
活塞力平衡方程的拉氏变换为
A1PL=MtXPS2+BtXpS+FL
(7)
式(7)中:Mt为活塞和负载的总质量;Bt为活塞粘性阻力系数;FL为外负载力。
1.4 反馈机构的数学模型
数字液压缸的反馈机构主要包括阀芯、反馈螺母和滚珠丝杠,由于它们的质量很小,可以忽略其动态响应,并将滚珠丝杠和反馈螺母视为简单的比例环节。
滚珠丝杠的数学模型:
(8)
式(8)中:θs为丝杠转角;Psg为滚珠丝杠导程。
反馈螺母的数学模型:
(9)
式(9)中:θv为阀芯转角;Plm为反馈螺母导程。
1.5 数字液压缸的闭环刚度特性
根据式(1)、式(2)、式(6)、式(7)、式(8)和式(9),可以绘制数字液压缸的方块图如图3所示。
图3 数字液压缸方块图
Fig.3 Block diagram of digital hydraulic cylinder
由图3可以推出负载力引起的稳态误差,即活塞位移到外负载力的闭环传递函数:
(10)
式(10)中,Kce为总流量压力系数:
(11)
若忽略液压缸的泄漏系数,则:
ωh为液压固有频率:
(13)
ζh为液压阻尼比:
(14)
通过终值定理可以计算出外负载力引起的负载误差为
(15)
则,数字液压缸的闭环刚度可以表示为
(16)
结合式(4)和式(11)将上式展开,可以写成:
(17)
由式(17)可见,反馈螺母导程越大,活塞有效面积越大,滚珠丝杠导程越小,阀芯正开口量越小,供油压力越大,负载压力越小,数字液压缸的闭环刚度越大。
2 六自由度并联机器人的刚度矩阵
如图4所示,数字液压缸驱动的六自由度并联机器人主要由上下平台、虎克铰、6个数字液压缸及电控系统组成。上平台与数字液压缸的活塞杆通过虎克铰相连,数字液压缸的缸筒与下平台通过虎克铰相连,下平台固定于地面上。六自由度并联机器人工作时,通过控制6个数字液压缸的伸长量,进而控制上平台和负载按照设定轨迹。在上铰圆的圆心处建立动坐标系Os-XsYsZs,在下铰圆的圆心处建立静坐标系Ob-XbYbZb。
图4 六自由度并联机器人结构图
Fig.4 Structure diagram of 6-DOF parallel robot
上平台的位置可以利用动静坐标系原点间的位置矢量t描述:
(18)
式(18)中:x为横移;y为纵移;z为升沉。
上平台的姿态可以选择的ZYX组合欧拉角描述,3次旋转矩阵为
(19)
上述3个旋转矩阵求导得:
(20)
式(20)中:φ为横滚角;θ为俯仰角;ψ为偏航角。
上述的3个旋转矩阵依次相乘,得到动坐标系到静坐标系的旋转矩阵R:
R=RzRyRx
(21)
设定欧拉角速率为
(22)
欧拉角速率是绕旋转轴
的角速度,这3个坐标轴不是纯粹的正交基,需要将其投影到动坐标系中,再通过旋转矩阵得到上平台在静系中的角速度ω:
(23)
由空间矢量关系,可以推出某一个数字液压缸的长度矢量li:
li=t+Rai-bi
(24)
式(24)中:ai为对应上铰点动系中的位置坐标向量;bi为对应下铰点静系中的位置坐标向量。
对上式进行微分:
dlnili+lnidli=dt+dRai+Rdai-dbi
(25)
式(25)中,lni为该数字液压缸的方向向量。
对上式左右同时乘
(26)
主要分析式子中的
项,其中旋转矩阵R的导数dR为
(27)
设Rai=[axi ayiazi]T,则项可以表达为
(28)
由静系中上平台的角速度ω和欧拉角速率ω′的关系,上式可以表示为
(29)
综上,可以得到6个液压缸的长度的全微分方程,即误差传递公式:
(30)
上式可以简记为
(31)
式(31)中,Jlq为雅可比矩阵:
(32)
dl为液压缸长度误差组成的向量;dq为并联机器人位姿误差;Ln为液压缸方向向量组成的矩阵;A为动系中上铰点的位置坐标组成的矩阵;B为静系中下铰点的位置坐标组成的矩阵。
通过数字液压缸的闭环刚度和六自由度并联机器人的误差传递公式,得到并联机器人位姿误差和负载力之间的关系,从而推出并联机器人的刚度矩阵。根据式(17),把数字液压缸闭环刚度写成矩阵形式:
(33)
结合六自由度并联机器人的误差传递公式,得到并联机器人位姿误差和负载力之间的关系:
(34)
则数字液压缸驱动的六自由度并联机器人的刚度矩阵为
(35)
由式(35)可见,六自由度并联机器人的刚度不仅与数字液压缸的闭环刚度有关,还与并联机器人的位姿相关。根据式(17),数字液压缸的闭环刚度与正开口量、反馈螺母导程、滚珠丝杠导程、活塞面积及负载力有关,即这些因素会影响六自由度并联机器人的刚度。从刚度矩阵的形式还可看出,刚度矩阵为非对角阵,因此,对应刚度矩阵主对角线上的元素为单自由度刚度,对应刚度矩阵非主对角线上的元素为耦合自由度刚度。以下建立数字液压缸驱动的六自由度并联机器人AMESim模型,并分别研究正开口量、反馈螺母导程、滚珠丝杠导程、活塞面积、负载力及并联机器人位姿对并联机器人刚度的影响。
3 AMESim仿真模型
数字液压缸驱动的六自由度并联机器人可以分为信号源、数字液压缸和六自由度并联机器人3部分。信号源包括输入信号和负载力信号,设定输入为0;在Z方向设定外负载力,其余方向外负载力均设定为0。
数字液压缸是一种内部机械反馈的液压伺服控制机构。根据文献[4],建立数字液压缸的AMESim模型如图5所示。其主要包括步进电机、液压缸、四边滑阀、滚珠丝杠和反馈螺母5个部分。
图5 数字液压缸AMESim模型
Fig.5 AMESim model of digital cylinder
六自由度并联机器人是空间并联机构,主要由上下平台和6个支腿组成,需要使用AMESim软件中的3D机构库进行建模。采用M6DOFBODY00模型表示上平台,其上端接口表示上平台重心并接受外负载力,下端6个接口表示上平台的6个虎克铰。采用6个固定点M6DOFGROUND00模型表示下平台的6个虎克铰,上下虎克铰确定了支腿的空间位置矢量。采用6个M6DOFJACKWA00模型表示六自由度并联机器人的6个支腿,其输入为数字液压缸的输出力,并沿着虎克铰确定的方向将力传递给上平台,控制上平台运动。
综上,建立数字液压缸驱动的六自由度的AMESim模型如图6所示。
图6 数字液压缸驱动的六自由度并联机器人AMESim模型
Fig.6 AMESim model of 6-DOFparallel robot driven by digital cylinder
设定数字液压缸驱动的六自由度平并联机器人的AMESim仿真主要参数如表1所示。
表1 主要仿真参数
Table 1 Main simulation parameters
序号主要参数参数值1油源压力/bar1102油液密度/(kg·m-3)8503油液体积弹性模量/MPa6904数字液压缸比例环节36
续表(表1)
序号主要参数参数值5电机惯性环节时间常数1×10-26反馈螺母导程/mm17反馈螺母直径/mm68滚珠丝杠导程/mm109滚珠丝杠直径/mm2010滚珠丝杠转动惯量/(kg·m2)5×10-411滚珠丝杠转动摩擦力/(N·m)112液压缸活塞直径/mm9013液压缸活塞杆直径/mm6314中位时,无杆腔长度/mm76015中位时,有杆腔长度/mm76016活塞移动摩擦力/N30017阀芯面积梯度/mm818阀芯面积梯度/mm419阀芯质量/g5020阀芯滑动摩擦力/N1021阀芯台肩直径/mm2022阀芯杆径/mm1023阀芯预开口量/μm524上平台质量/kg8×10325绕X、Y轴转动惯量6.9×10326绕Z轴转动惯量1.4×10427上铰圆半径/m2.40528上铰点短边距/m0.3429下铰圆直径/m2.69530下铰点短边距/m0.8431液压缸中位长度/m3.14
4 刚度特性研究
4.1 正开口量对并联机器人刚度的影响
设定并联机器人处于中位,承受升沉方向承受负载力8×104 N,参数设定如表1所示。改变阀芯正开口量,仿真得到并联机器人位姿误差的变化曲线,如图7所示。由图可见,随着阀芯正开口量的增大,升沉方向误差增大,并联机器人的刚度减小。分析原因,根据数字液压缸的闭环刚度式(17)可知,正开口量增加,数字液压缸闭环刚度减小,数字液压缸的负载误差增加,且中位时6个数字液压缸所受负载力相同,导致并联机器人的升沉方向误差增加。
图7 正开口量对并联机器人位姿误差的影响
Fig.7 Effect of positive opening on position and attitude error of parallel robot
4.2 反馈螺母导程对并联机器人刚度的影响
设定并联机器人处于中位,承受升沉方向负载力8×104 N,参数设定如表1所示。改变反馈螺母导程,仿真得到并联机器人位姿误差的变化曲线,如图8所示。由图可见,随着反馈螺母导程的增大,升沉误差减小,并联机器人的刚度增加。分析原因,根据数字液压缸的闭环刚度式(17)可知,反馈螺母导程增加,数字液压缸的闭环刚度增加,数字液压缸的负载误差减小,且中位时6个数字液压缸所受负载力相同,导致六自由度并联机器人的升沉误差减小。
图8 反馈螺母导程对并联机器人位姿误差的影响
Fig.8 Effect of feedback nut guide on position and attitude error of parallel robot
4.3 滚珠丝杠导程对并联机器人刚度特性的影响
设定并联机器人处于中位,承受升沉方向负载力8×104 N,参数设定如表1所示。改变滚珠丝杠导程,仿真得到并联机器人位姿误差的变化曲线,如图9所示。
图9 滚珠丝杠导程对并联机器人位姿误差的影响
Fig.9 Effect of ball screw guidance on position and attitude error of parallel robot
由图9可见,随着滚珠丝杠导程的增大,升沉误差增加,并联机器人的刚度减小。分析原因,根据数字液压缸的闭环刚度式(17)可知,滚珠丝杠导程增加,数字液压缸的闭环刚度减小,数字液压缸的负载误差增加,且中位时6个数字液压缸所受负载力相同,导致六自由度并联机器人的升沉误差增加。
4.4 活塞面积对并联机器人刚度的影响
设定并联机器人处于中位,承受升沉方向负载力8×104 N,参数设定如表1所示。改变活塞面积,仿真得到并联机器人位姿误差的变化曲线,如图10所示。由图可见,随着活塞面积的增大,升沉方向误差减小,并联机器人的刚度增加。分析原因,根据数字液压缸的闭环刚度式(17)可知,活塞面积增加,数字液压缸的闭环刚度增加,数字液压缸的负载误差减小,且中位时6个数字液压缸所受负载力相同,导致并联机器人的升沉方向误差减小。
图10 活塞面积对并联机器人位姿误差的影响
Fig.10 Effect of piston area on position and attitude error of parallel robot
4.5 负载力对并联机器人刚度的影响
设定并联机器人处于中位,参数设定如表1所示。改变并联机器人升沉方向负载力,仿真得到并联机器人位姿误差的变化曲线,如图11所示。由图可见,随升沉方向负载力的增加,升沉误差曲线的斜率增加,即并联机器人的刚度降低。分析原因,根据数字液压缸的闭环刚度式(17)可知,负载力增加,数字液压缸的负载压力增加,数字液压缸的闭环刚度减小,数字液压缸的负载误差增加,且并联机器人处于中位时,6个数字液压缸所受负载力相同,导致六自由度并联机器人的升沉误差增加。
图11 负载压力对并联机器人位姿误差的影响
Fig.11 Effect of piston area on position and attitude error of parallel robot
4.6 并联机器人位姿对并联机器人刚度的影响
根据式(35)并联机器人位姿变化会导致雅可比矩阵变化,使并联机器人的刚度矩阵发生变化。设定并联机器人承受升沉方向负载力8×104 N,参数设定如表1所示。并联机器人由中位开始,沿某个位姿方向变化,仿真得到并联机器人位姿误差随并联机器人位姿的变化曲线,如图12所示。
图12 并联机器人位姿对并联机器人位姿误差的影响
Fig.12 The influence of parallel robotpose on parallel robot pose error
由图12(a)可知,并联机器人位姿沿横移方向变化时,在升沉方向负载力的作用下,并联机器人位姿误差主要出现在横移、升沉和俯仰方向。其中横移误差中位时为零,正向横移时,误差为正,且随横移量增大而增大,负向横移时,误差为负,也随横移量增大而增大,说明升沉方向与横移方向的耦合刚度正负与横移方向一致,大小随横移量的增大而减小。升沉误差均为负值,大小随横移量增大而增大,中位时最小,说明升沉方向的单自由度刚度随横移量增大而减小,中位时最大。俯仰方向的规律与横移方向相同。
由图12(b)可知,并联机器人位姿沿纵移方向变化时,在升沉方向负载力的作用下,并联机器人位姿误差主要出现在纵移、升沉和横滚方向。其中纵移误差中位时为零,正向纵移时,误差为正,且随纵移量增大而增大,负向纵移时,误差为负,也随纵移量增大而增大,说明升沉方向与纵移方向的耦合刚度正负与纵移方向一致,大小随纵移量的增大而减小。升沉误差均为负值,大小随纵移量增大而增大,中位时最小,说明升沉方向的单自由度刚度随纵移量增大而减小,中位时最大。横滚方向的规律与纵移方向相反。
由图12(d)可知,并联机器人位姿沿横滚方向变化时,在升沉方向负载力的作用下,并联机器人位姿误差主要出现在升沉和横滚方向。其中升沉误差均为负值,大小随横滚量增大而增大,中位时最小,说明升沉方向的单自由度刚度随横滚量增大而减小,中位时最大。横滚误差中位时几乎为零,正向横滚时,误差为正,且随横滚量增大而增大,负向横滚时,误差为负,也随横滚量增大而增大,说明升沉方向与横滚方向的耦合刚度正负与横滚方向一致,大小随横滚量的增大而减小。
由图12(e)可知,并联机器人位姿沿俯仰方向变化时,在升沉方向负载力的作用下,并联机器人位姿误差主要出现在升沉和俯仰方向。其中升沉误差均为负值,大小随俯仰量增大而增大,中位时最小,说明升沉方向的单自由度刚度随俯仰量增大而减小,中位时最大。俯仰误差中位时几乎为零,正向俯仰时,误差为正,且随俯仰量增大而增大,负向俯仰时,误差为负,也随俯仰量增大而增大,说明升沉方向与俯仰方向的耦合刚度正负与俯仰方向一致,大小随俯仰量的增大而减小。
由图12(f)可知,并联机器人位姿沿偏航方向变化时,在升沉方向负载力的作用下,并联机器人位姿误差主要出现在升沉和偏航方向。其中升沉误差均为负值,大小随俯仰量增大而减小,中位时最大,说明升沉方向的单自由度刚度随偏航量增大而增大,中位时最小。偏航误差中位时几乎为零,正向偏航时,误差为正,且随偏航量增大而增大,负向偏航时,误差为负,也随偏航量增大而增大,说明升沉方向与偏航方向的耦合刚度正负与偏航方向一致,大小随偏航量的增大而减小。
5 结论
本文中推导出数字液压缸驱动的六自由度并联机器人的刚度矩阵,建立了数字液压缸驱动的六自由度并联机器人的AMESim模型,分析并联机器人的刚度特性,并得出以下结论:
1) 数字液压缸的正开口量越大、滚珠丝杠导程越大、反馈螺母导程越小、活塞面积越小和负载力越大并联机器人各自由度的刚度越小。
2) 数字液压缸驱动的六自由度并联机器人承受升沉方向负载力,当并联机器人沿升沉方向运动时,升沉方向的单自由度刚度随并联机器人的位置升高而增加,升沉自由度和其他自由度之间不存在耦合。当并联机器人沿其他方向运动时,除升沉方向外,升沉自由度和其他自由度之间存在耦合,且耦合刚度会随并联机器人位姿的变化而变化。
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