0 引言
在自动武器射击过程中,膛内高速运动下的弹丸激励是激发枪管振动的一个重要因素。枪械外弹道性能与枪管振动有着密切的关系,而影响枪管振动的因素有枪管本身结构、火药气体压力、弹丸运动和弹丸质量偏心等。弹枪耦合状况下分析枪管动力学特性对于提高枪械射击精度有着重要作用。
在研究弹枪耦合振动问题时,一般思路是转化成移动质量作用下的悬臂梁问题进行求解[1-5]。多数振动模型都将武器身管看成一端固定一端自由的欧拉悬臂梁,从欧拉悬臂梁的振动方程出发,分析身管受力情况,计算弹丸惯性效应后,推导出解算身管在竖直平面内振动的动力学方程。然后采用龙格库塔法或Newmark逐步积分法进行数值求解[6-8]。此类方法能够比较快速地求解身管横向振动,但其从梁振动方程出发的性质就已经决定其适用范围较窄,当枪管和枪械组合体在做轴向运动或绕某点旋转时,不能够求解弹丸/枪管耦合系统总体的运动规律。陈强等[9]基于欧拉梁理论推导出移动集中质量下的系统动力刚度矩阵。周奇郑等[10]推导出连续射击过程中的炮管振动响应,并采用小参数法进行求解。姚天乐等[11]采用迭代计算方法,考虑弹丸惯性效应和梁曲率的条件下推导出枪管的振动响应。Fryba[12]主要通过谱分析对移动力模型进行分析,研究了影响梁的挠度动态响应系数的主要因素。在谱分析法中,傅里叶变换和小波变换是较常用的算法,但是由于谱分析法对数学技巧的要求较高,对于复杂的系统不易得到解析的形式,不适用于工程中的许多问题。Rieker等[13]分析了在梁上运动的物体产生的惯性力,分析了移动质量产生对于梁产生的附加质量和阻尼矩阵,采用有限元法分析并求解了振动方程。
在研究枪管振动问题时也可以从拉格朗日动力学方程出发进行分析求解。岳鹏飞等[14]为了研究火炮中身管和摇架在弹丸射击时的振动规律,根据哈密顿原理,对系统进行能量分析,推导整个系统的动力学方程,并采用假设模态法对方程进行离散与求解,其动力学模型将弹丸运动、身管轴向后坐运动和弹丸射击后身管上跳的运动耦合起来,得到具有参考意义的动力学模型。方建士等[15]着重对柔性梁进行分析,当旋转悬臂梁上有集中质量,且梁做大范围旋转时需要考虑动力刚化效应,利用拉格朗日方程推导出系统的振动,并进行固有频率的分析。华洪良等[16]将机枪置于三脚架上射击的状态抽象为偏心旋转梁模型,根据拉格朗日动力学方程推导出系统的动力学方程,并进行求解,但没有考虑移动弹丸在身管内的运动。
在枪械的实验射击过程中,有些枪械俯仰运动的转动中心不能近似成枪管内膛一端,而是枪架立柱与地面固定点或者枪架夹具的夹持点。此时,枪管与转动中心存在偏置情况,在研究枪管振动响应时需要同时解算枪械整体的转角。将研究的枪管振动模型看作是一个带有移动质量的偏心旋转梁模型,推导出弹枪耦合状态下的时变系数动力学方程,并进行求解。为掌握枪口振动规律,减小枪口振动,提高射击精度提供依据。
1 动力学建模
将枪械在金属固定枪架射击状态简化成一个偏心旋转阶梯梁模型,并作出以下假设:因自动武器枪管长径比较大,属于细长梁,横截面积较小,忽略横截面切应变,仅考虑枪管的横向弯曲变形,将枪管看作欧拉-伯努利梁来处理。枪管在进行振动时,因振动幅度较小,其轴向长度保持不变。
根据假设,进行模型建立,弹枪耦合的偏心旋转梁模型如图1所示。在竖直平面内建立惯性直角坐标系XOY,OX方向固定于地面,且保持水平。X1O1Y1为与枪管左端固连的随动坐标系。初始状态时,枪管、O1X1轴、OX轴三者平行。身管长度为L,密度为ρ,杨氏模量为E。质量为md的移动质量在身管内从O1向X1方向运动,当运动t时刻时,运动的距离、速度、加速度、自转角速度以及此时膛内的压强分别为s、v、a、ω、p,这些参数都由内弹道数值计算得到。O为整个系统的旋转中心,旋转半径OO1、刚度、阻尼、转角分别为r、k、c、θ。枪管简化成i段阶梯梁,如图2所示,每段横截面积,截面惯性矩,转动惯量分别为Ai、Ii、Ji。枪管振动时,其上任意一点P的挠度为y(x,t)、转角为α(x,t)。当枪械射击时,火药气体开始做工,推动弹丸运动,弹丸对枪管产生作用力,并且伴随火药气体后坐,使枪管开始振动,整个系统也围绕O点开始转动。
图1 弹枪耦合的偏心旋转梁模型
Fig.1 Eccentric rotating beam model with gun firing coupling
图2 枪管阶梯梁
Fig.2 Barrel stepped beam
根据图1几何关系,枪管上任意一点的P的位置矢量可以表示为
RP=ROO1+RO1P
(1)
其中:
ROO1=-rsinθi+rcosθj
(2)
(3)
式(1)—式(3)中: i、 j为X轴与Y轴方向的单位向量;由于枪管振动时转角很小忽略不计,因此α取0。整理得到枪管上点P的位置矢量为
ΡP=(xcosθ-ysinθ-rsinθ)i+
(xsinθ+ycosθ+rcosθ)j
(4)
式(4)中, y、θ为关于时间的变量。将Rp对时间求导得到P点的速度为
(5)
因弹丸在枪管内运动,其本质仍然为枪管上的一点,所以弹丸的位置矢量Rd与速度矢量
可以根据Rp和
得到,即:
Rd=(scosθ-(y+r)sinθ)i+
(ssinθ+(y+r)cosθ)j
(6)
(7)
系统总动能由系统转动动能、枪管弯曲振动时的动能和弹丸随枪管横向振动时的动能等3个部分相加得到,计算枪管弯曲振动动能时分别对每段枪管动能进行积分并求和。根据式(5)和式(7)可以得到系统动能为
(8)
式(8)中,δ(x-s)为狄拉克函数。其定义为
取枪管水平时的位置为零势能点,势能由刚体转动的弹性势能、枪管各段弯曲的应变能、枪管各段的重力势能和弹丸的重力势能等4个部分相加得到,即:
U=
(9)
外力对系统的做功包括2个部分:一部分为弹丸对枪管的作用,另一部分是弹丸击发后火药气体对系统的后坐。
弹丸对枪管的作用Qd由弹丸的惯性作用与弹丸的质量偏心2个部分构成:
Qd=
(10)
式(10)中:弹丸的惯性作用包括弹丸重力、运动的牵连惯性力、科式惯性力、向心力和相对惯性力;e为弹丸的质量偏心。
火药气体对系统的作用Qp为
(11)
式(11)中: η为后坐力损耗的系数,用来衡量火药气体产生的力最终有多少使枪械后坐;rg为枪管内膛半径。
在对系统的动能、势能和外力做功进行表示后,可对系统列出拉格朗日动力学方程,进而得到系统的动力学响应。
2 运动方程的求解
由于枪管挠度y是时间t和位置x相关的量,可以采用假设模态法,将y进行解耦,从而转化为2个独立变量的函数乘积,即:
y(x,t)=N(x)q(t)
(12)
N(x)=[N1(x),N2(x),…,Nn(x)]
(13)
q(t)=[q1(t),q2(t),…,qn(t)]T
(14)
式(12)—式(14)中:N(x)为模态函数;q(t)为模态坐标;n为离散阶数。
根据模型结构,可以将系统的模态函数N(x)假设为悬臂梁的模态函数,且悬臂梁的第i阶模态函数Ni(x)已知,有:
Ni(x)=
i=(1,2,…,n)
(15)
式(15)中,λi为超越方程cosλichλi+1=0的第i个根。
整理得到将枪管振动y离散后的系统动能与势能表达式,并根据拉格朗日动力学方程得到系统的动力学方程为
(16)
式(16)中:
Mθ =
qTm1q + f2q + mds2 + mdr2+
Cq=0
Kθ=k
Fθ = 
sinθ·f3q
Qq = 
得到关于广义坐标θ、q的时变系数的非线性刚柔耦合动力学方程组。其质量、刚度和阻尼项包括梁本身的各项系数和含有弹丸质量md引起的各项系数等2个部分之和。在计算时从零时刻位置开始计算广义坐标的各项系数,采用龙格库塔法进行数值求解,将当前时刻结果代入下一时刻进行求解,可以求出系统运动时任意时刻的θ、q。将q代回到式(11)可以求得枪管内弹道时期枪管横向振动。
当弹丸出膛后,将整个系统的运动简化为自由振动。此时将动力学方程中的md取零,并且将弹丸出膛时刻的θ、q作为初值并继续进行数值计算,可以得到弹丸出膛后枪管上任意时刻任意一点的位移。
3 模型验证
为了验证本研究推导的动力学方程的正确性,分别从弹丸出膛前、出膛后的动力学模型计算结果2个方面进行验证。计算枪口处在Y方向振动。验证模型参数如表1所示。
表1 验证模型参数
Table 1 Setting of design parameters
参数数值E/GPa210ρ/(kg·m-3)7900c/(N·m·rad·s-1)10k/(N·m·rad-1)5000e/mm0rg/mm2.9L/m0.463
采用文献[17]中进行实验的枪管,将枪管简化为6段阶梯梁,得到每一段的截面积Ai和惯性矩Ii。转动半径r为0.1 m,计算阶梯梁每段的转动惯量Ji。考虑弹丸惯性效应的影响和弹丸第一冲量的影响,其大小与弹丸内弹道参数有关,本文中使用的枪弹内弹道数据如图3、图4所示。依据压力-时间曲线和速度-时间曲线提供的数据,计算出Qq、Qθ。在计算后坐力矩Qθ时取η为0.35。将模型计算的数值与文献[17]实验得到的5组单发射击数据的平均值进行比较,结果如图5所示。
图3 压力-时间曲线
Fig.3 Pressure-time curve
图4 弹丸速度-时间曲线
Fig.4 Velocity-time curve of the projectile
图5 枪口振动位移曲线
Fig.5 Muzzle vibration displacement curve
由图5可以看到,计算值与文献实验值趋势相同,在0.2～0.6 ms时,弹丸在挤进过程中,坡膛受弹头撞击,枪管受挤进力作用,产生横波并向枪口处传播,从而得到文献曲线的波动,但在0.8 ms以后,由于弹头在枪管内高速运动,弹/枪相互作用力使枪管下沉,在弹头出膛时,模型值与文献实验值逐渐贴合。文献[17]中弹丸出膛前瞬间的枪口位移为0.170 04 mm,通过动力学模型计算得到的枪口位移为 0.164 75 mm,二者相差3.11%,计算结果与文献[17]中的实验值基本一致。
出膛后系统进入自由振动阶段,依据文献[18]的实验,实验所用枪械与文献[17]相同,实验时在枪的尾部利用四面定位夹具,弹膛处采用三点定位夹具,保证枪管能够进行小范围运动,由于枪架夹持枪械的位置变化,将转动半径调整为0.07 m,其他参数保持不变。将模型计算结果中前200 ms的数据与文献[18]中的实验数据进行比较,得到枪口竖直方向位移、系统转角和角速度数据。结果如图6所示。
图6 弹头出膛后枪口位移与系统转角对比
Fig.6 Comparison of muzzle displacement and system rotation angle after the projectile exits the barrel
弹头出膛后,枪管振动位移幅值达到近1 mm,比弹头出膛口时振动大很多,在振动的第1个周期内文献值与计算值的波谷相对误差为0.6%,波峰处的相对误差为1.7%。计算结果与文献中的实验值基本一致。
根据文献[17]与文献[18]的实验条件与实验参数,计算弹丸出膛前的振动,弹丸出膛后的振动,模型计算值与文献实验值吻合较好。进一步说明了本计算模型的正确性。
4 参数变化对枪口振动的影响
弹丸与枪管的相互作用是影响枪管振动的重要因素。弹丸对枪管的作用包括弹丸的惯性效应、弹丸质量偏心和弹丸射击后对系统的第一冲量作用。而在弹丸对枪管的惯性效应,第一冲量与弹丸在枪管内的速度和加速度有关,同一款枪弹,其内弹道参数几乎相同,所以考虑弹丸质量偏心对枪管振动的影响。由于枪管膛线的作用,弹丸在膛内高速旋转,产生的离心力作用于枪管上。离心力大小为:
Qe=mdeω2sin(ωt)
(17)
式(17)中,弹丸的角速度ω由内弹道数据计算得到。对于等齐膛线枪管,弹头在枪管内得角速度与其当前沿枪管方向的速度有关,角速度为:
(18)
式(18)中: η为膛线缠度;d为枪管内径,由内弹道数据可知弹丸在枪管任意位置的速度。
仍然取文献[17]中枪管参数与内弹道数据,但改变弹丸的质量偏心,代入计算模型。得到质量偏心为0、0.25、0.5 mm 时质量偏心变化对枪口振动的影响,如图7所示。
图7 改变弹丸质心偏心距结果
Fig.7 Results of changing the eccentricity of the projectile’s center of mass
从图7(a)可以看到,随着弹丸质量偏心从0增加到 0.5 mm,弹丸击发后在0.6 ms时,由于弹头质量偏心产生的离心力中有正弦量部分,枪口振动幅度有一个较小的波动,但在0.7 ms之后,具有弹头质量偏心的枪口迅速下沉,且质量偏心越大,下沉的越快,最终在出膛时,弹头质量偏心为 0.5 mm 的弹头其枪口下沉量达到了0.21 mm。图7(b)为不同质量偏心下的系统转角,有质量偏心的系统转角曲线在无质量偏心系统转角曲线附近摆动,质量偏心越大,偏离的幅度也越大。弹丸出膛瞬间,枪口竖直方向位移和系统转角如表2所示。弹丸质量偏心从0增加到0.5 mm,弹头出膛时枪口位移分别增加了14.2%、30.3%。表明减小弹丸的质量偏心能显著减少弹丸出膛时枪口位移。
表2 不同质量偏心下枪口位移与系统转角对比
Table 2 Comparison of muzzle displacement and system rotation angle under different mass eccentricities
弹丸质量偏心e/mm枪口位移/mm系统转角/rad0-0.164750.0004970.25-0.188140.0005010.5-0.214580.000508
图8为弹丸出膛后,整个系统进行自由振动阶段,枪口振动位移和系统的转角。由图8可以看到,弹丸质量偏心对于枪管的振动和系统转角变化的频率影响不大,但对于振动和转角的幅值有较大影响,当弹头质量偏心为0.5 mm时,枪管振动最大幅值达到了1.6 mm。弹头质量偏心从0到0.5 mm变化时,枪口竖直方向的位移与系统转角如表3所示。可以看到在第1个周期处,振幅最大值分别增加了42.7%、83.01%。
表3 自由振动阶段枪口最大位移与转角对比
Table 3 Comparison of maximum displacement and rotation angle at the muzzle during the free vibration stage
弹丸质量偏心e/mm枪口位移/mm系统转角/rad0-0.791070.004360.25-1.21780.004960.5-1.62200.00561
图8 弹丸出膛后系统振动
Fig.8 System vibration after the projectile exits the barrel
5 结论
本研究简化了枪械在金属固定枪架上射击的状态,将其抽象为一偏心旋转梁模型,并采用拉格朗日动力学方程推导出了枪管偏置情况下的振动特性。通过应用假设模态法,得到了枪管振动与系统转角的耦合数值解。此外,还对弹丸是否具有质量偏心这2种情况进行了分析。
研究结果显示,弹头膛内运动时期枪口向下有小幅运动,但弹头出枪口后,枪口振动位移大幅度增加,并呈自由衰减振动形态。当弹丸具有较大的质量偏心时,枪管振动的位移在弹丸出膛时显著增大,并且在弹丸离开枪管后,枪口的最大位移也明显增加。这表明弹丸的质量偏心会对枪管振动产生重要影响。
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