0 引言
目前,四旋翼无人机已广泛应用于各行各业,特别是在战场上[1],它可以替代人类在危险和复杂的环境中执行任务,将战争成本大大降低,因此成为研究热门。
四旋翼无人机因其灵活小巧,机动性强,能实现更多更复杂的任务。但是在执行任务时,驱动过程是通过控制电机实现的。由于电机的转速存在上限,四旋翼无人机动力系统的最大控制力就会受到饱和限制。输入饱和的存在向系统中引入了非线性,这导致闭环系统的性能下降,甚至使系统不稳定。
输入饱和问题在过去已经进行了广泛的研究,最优控制解决方案[2]可以处理输入约束,然而,它们的推导通常具有挑战性。非线性系统的递归时域控制律[3]也考虑输入约束,然而,它们的在线计算量太大,可能无法实现实时计算。还有研究将飞行器转速饱和考虑在内,进行抗饱和控制器设计[4]。基于三自由度模型,研究了垂直起降飞行器在输入约束下的轨迹跟踪控制[5]。最近发表了嵌套饱和控制(nested saturation control,NSC)在无人机控制中的应用进展[6-8]。Nicotra等[9]还将NSC应用于无人机,用于运输吊挂载荷。他们证明了吊挂运输系统存在小摆角时的稳定性。针对嵌套饱和系统,设计了基于系统输出的抗饱和补偿器[10],扩大了闭环系统吸引域。考虑浮空器的输入约束,设计了基于嵌套饱和函数的非线性控制器[11]。
同时,四旋翼无人机需要较强的鲁棒性,来保证任务完成的质量。Tran等[12]提出了一种无人机全局稳定的控制算法,且该控制策略是自适应的,可以处理未知的系统参数。对于具有输入约束的四旋翼无人机,学者设计了基于反步法和Nussbaum函数的位置跟踪控制器[13],然而,惯性参数完全已知且动力学扰动为常数的假设在实践中并不成立。滑模控制技术应用于补偿未建模的动力学,并设计了自适应鲁棒跟踪控制器[14]。浸没和不变性技术[15]被应用于设计具有参数不确定性的四旋翼机的自适应控制器。基于主动抗扰控制技术,开发了一种容错控制器[16],用于存在执行器故障和阵风的情况下四旋翼的姿态控制。自耦PD(self-coupling PD,SC-PD)控制律[17]很好地解决了调节时间与超调量的问题。最近提出的补偿函数观测器[18](compensation function observer,CFO)对扰动的估计精度高,系统误差收敛速度快。
综上所述,当前四旋翼无人机同时考虑系统鲁棒性和输入饱和的研究较少。针对嵌套饱和控制律需要对各层饱和函数幅值进行严格限制的问题,改进嵌套饱和控制律,将各层饱和函数幅值要求放松,并进行了稳定性证明。其次,现有基于输入饱和的控制方法较少对系统性能进行分析,本文基于嵌套饱和控制思想,引入SC-PD和CFO,提出了一种新型四旋翼无人机鲁棒嵌套饱和控制(robust nested saturation control,RNSC)方法,并对系统稳定性证明。
1 问题描述
要研究空中四旋翼无人机刚体的动力学和动力学,需要建立惯性坐标系{E}-(Oe,xe,ye,ze)和机体坐标系{B}-(Ob,xb,yb,zb),四旋翼结构模型如图1所示。电机1和电机4分别位于x正半轴和y正半轴,
为无人机在{E}下的位置,
为无人机的3个欧拉角。
图1 四旋翼无人机结构模型
Fig.1 Structure model of quadrotor UAV
无人机模型通过欧拉-拉格朗日法建立,其中平动动能Ttrans和转动动能Trot为
(1)
式(1)中:m为无人机质量; J为无人机全旋转动能的惯性矩阵;考虑重力势能mgz,可得拉格朗日算子:
(2)
并从具有广义外力的欧拉-拉格朗日方程中得到了完整的动力学模型。
(3)
式(3)中:
为平移力;τ为 力矩;R为坐标变换矩阵;FD=(dx dy dz dψ dθ dφ)T为总扰动,包括未建模动态和外部扰动。并且:
(4)
式(4)中:k>0、d>0分别为升力系数和反扭力矩系数;l为旋翼到无人机质心的距离;ωi为电机i的转速。
2 控制器设计
飞行控制方案由3部分组成: SC-PD控制律控制偏航角和垂直高度z,提出的RNSC控制俯仰角和x轴上的位移,以及滚转角和y轴上的位移。
式(2)可以化简并展开[6]为
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
式(5)—式(10)中:
为总推力;
和
分别为偏航力矩、俯仰力矩和滚转力矩。
2.1 控制(z,ψ)
通过下式的控制输入可以实现高度的位置
f=(r+mg)/cosθcosφ
(11)
式(11)中,SC-PD控制律设计为
(12)
式(12)中:zd为期望高度;zz>0为速度因子常量;ez=zd-z为跟踪误差;bz为控制增益。
类似地,偏航角的控制输入为
(13)
式(13)中:ψd为期望高度;zψ>0为速度因子常量;eψ=ψ-ψd为跟踪误差;bψ为控制增益。
2.2 控制(x,θ)和(y,φ)
相较于经典NSC,将收敛条件放松,并且在定理1中给出证明。在此基础上,为了提高系统的动态响应性能以及补偿式(3)中可能出现的未知有界扰动,提出了RNSC,并在定理2中给出证明。
首先,让ψd=0,由于ψ和f会很快收敛到0,式(5)和式(6)可以化简为
(14)
(15)
记
下标d代表期望状态。
是饱和函数,其中θi>0。
定理1 控制律
能保证(x,θ)全局稳定跟踪。
证明 要控制(x,θ),结合式(9),取
(16)
选取李雅普诺夫函数
求导可得
也就是
(17)
是式(17)唯一稳定的平衡点,定义
(18)
对式(18)求导可得
(19)
因为
会在有限时间内收敛到-M2,所以存在一个时刻T1,当t>T1时,对于任意的θ1>0都有
成立。因此式化简为
(20)
接下来,取ρθ1=v1+Sθ3(ρθ2)并代入式(20)可得
(21)
类似地,存在一个时刻T2,当t>T2时,对于任意的θ2>0都有|v1+Sθ3(ρθ2)|<θ2成立,因此有
(22)
另外,定义
(23)
对式(23)求导,并结合式(14),式(18)和式(22)可得
(24)
然后取ρθ2=v2+Sθ4(ρθ3),代入式(24),得
(25)
同样地,存在一个时刻T3,当t>T3时,对于任意的θ3>0都有|v2+Sθ4(ρθ3)|<θ3成立,因此有
(26)
取
并求导可得
(27)
将式(14)、式(18)、式(23)和式(26)代入式(27),可得
取ρθ3=v3,那么ρθ3和v3会在有限时间内收敛到零,并且ρθ2、v2、ρθ1和v1会依次收敛到零。因此,
和ex会最终收敛到零。
基于以上的分析,有如下的控制律
(28)
同样地,(y, φ)的跟踪能通过如下控制律保证全局稳定
(29)
证毕。
备注1 文献[6]中提出的NSC控制律在满足条件θ1≥2θ2≥4θ3≥8θ4和φ1≥2φ2≥4φ3≥8φ4时,才能保证系统全局稳定。然而,在定理1中系统全局稳定的条件放松到θi>0和φi>0,这里的
和
分别是俯仰力矩和滚转力矩的幅值限制。
下面进行RNSC设计。为了不赘述,以(x,θ)通道控制为例,(y,φ)通道类似。系统表达式(3)在控制律表达式(28)作用下,可以将闭环系统写为状态空间的形式
(30)
式(30)中:
是通过式(28)求得。D是包括未建模动态和外部扰动在内的总扰动,并且
考虑被控系统表达式(30)不受扰动时,其参考模型为
(31)
是参考系统的跟踪误差,
和
是参考系统的状态变量。um是参考控制量,将参考系统跟踪误差Xm代入式(28)即可求得,并且
定理2 控制律
保证误差e=Xm-X渐进收敛到零。其中B*=(BTB)-1BT是矩阵B的伪逆,
是CFO对总扰动D的观测值,K是误差反馈矩阵。
证明 控制目标是让误差e=Xm-X收敛到零,使受扰系统的控制效果与参考系统的控制效果相同,由式(30)和式(31) 可得
(32)
取u=uRNSC满足下式
(Am-A)X+Bmum-BuRNSC-D=Ke
(33)
将式(33)代入式(32)有
得到误差动态,此时只需找到满足式(33)的uRNSC即可。然而,通常系统控制输入的维数比状态变量的维数少,因此,uRNSC的近似解为
(34)
将式(34)代入式(30)进行验证,得到
(36)
结合式(31)和式(35)得
(36)
当式(37)成立时
(37)
可以得到误差动态为显然当Ae是赫尔维茨时,误差会渐进收敛到零。接下来说明式(37)必然成立。
为了不失一般性,考虑系统表达式(30)和表达式(31)的维数为n,因为系统表达式(30)和表达式(31)是标准型,可将式(37)中矩阵分块如下
(38)
式(38)中:
是(n-1)×1维零矩阵。In-1是n-1维单位矩阵, Amn、An和Kn均为1×n维矩阵。因此,式(37)可以写为如下形式
(39)
并且可得
(40)
式(40)中In是n维单位矩阵,将式(39)和式(40)代入式(37)可得
(41)
式(41)中,0n是n×1维零矩阵。在式(37)成立的条件下,由式可以得到
也就可以通过误差反馈矩阵K来间接配置Ae,使误差e=Xm-X渐进收敛到零,证毕。
误差e=Xm-X收敛到零意味着系统在扰动下的跟踪效果与系统未受扰动时的跟踪效果相同,最终设计的鲁棒嵌套饱和控制律uRNSC为:
并且该控制律适用于低阶级联积分系统。
所开发的飞行控制系统的结构如图2所示。
图2 飞行控制系统结构
Fig.2 Structure of the flight control system
3 仿真结果与分析
为了评估本文提出控制算法的性能,将RNSC算法,经典NSC算法以及PD算法在相同风扰条件下进行矩形轨迹跟踪仿真试验对比,风的模型在3.1节中给出,轨迹跟踪结果在3.2节中详细展示。四旋翼无人机的参数见表1。
表1 四旋翼无人机参数
Table 1 Parameters of quadrotor
参数数值质量m/kg2.2沿x轴转动惯量Ixx/(kg·m2)3.904×10-2沿y轴转动惯量Iyy/(kg·m2)3.904×10-2沿z轴转动惯量Izz/(kg·m2)7.113×10-2轴长l/m0.275推力系数k/(N·(rad·s)-2)1.253×10-5反扭力矩系数d/(N·m·(rad·s)-2)1.852×10-7空气阻力系数Cd/(N·(m·s)-2)9.827×10-2阻力矩系数Cdm/(N·m·(rad·s)-2)1.346×10-2饱和常数θi2,1,0.5,0.5饱和常数ϕi2,1,0.5,0.5
3.1 风效应模型
风是四旋翼无人机在室外执行飞行任务时最常受到的扰动之一,通常会就降低任务完成的质量,甚至会导致无人机系统不稳定,因此对风进行建模很有必要。取Vω∈R3为总风速,并且由以下几部分构成
Vω=Vmean+Vshear+VDryden+Vgust
(42)
式(42)中:Vmean是平均风,Vshear是切变风,VDryden是德莱顿(Dryden)湍流,Vgust是阵风。在仿真环节,平均风速为5 m/s,阵风在20 s时开始作用,Vx,Vy和Vz分别为风沿x、y和z轴的分量。ωx,ωy和ωz分别为湍流绕x、y和z轴的角速率,详见图3所示。
图3 机体坐标系下的风效应
Fig.3 The wind effects on body-fixed frame
3.2 正方形轨迹跟踪
四旋翼无人机在式的风场中起飞,初始状态为
上升至15 m后跟踪边长为30 m的正方形轨迹,在相同的飞行条件下,将3种控制方案进行对比:① (z,ψ),(x,θ)和(y, φ)都是PD控制;② (z,ψ)由SC-PD控制,(x,θ)和(y, φ)由NSC控制;③ (z,ψ)由SC-PD控制,(x,θ)和(y, φ)由RNSC控制。3种控制方案的效果对比见图4和图5所示。
图4 四旋翼无人机飞行轨迹
Fig.4 Quadrotor UAV flight trajectories
图5 PD控制器,NSC和RNSC的输出
Fig.5 Outputs of PD controller,NSC and RNSC
图4(a)是轨迹跟踪的3D图。从图4(b)可以看出在PD控制律作用下,高度z出现了很大的超调量,这是因为内外环PD控制是非解耦的,而NSC控制是解耦的,并且SC-PD控制律能处理好超调量和调节时间之间的冲突,有很高的稳态误差精度。在图4(c)中,在NSC和RNSC控制下,姿态响应比PD控制下更小且更平滑。与方案(1)和(2)比较,方案(3)的系统响应速度最快,超调量最小,稳态精度最高,鲁棒性最好。位置x和y轨迹跟踪的性能指数如表2所示。
表2 PD、NSC和RNSC的性能指数
Table 2 performance indexes of PD,NSC and RNSC
位置性能PDNSCRNSCX上升时间/s6.815.683.78超调量/%8.713.50.2调节时间/s26.34—5.82稳态误差/m1.053.230.07Y上升时间/s7.204.804.09超调量/%0.68.70.1调节时间/s10.3112.616.35稳态误差/m0.180.630.04
在图5中的20、40、60、80 s处,PD控制器的俯仰力矩和滚转力矩控制量都出现了巨大的变化,这是因为PD控制器的控制输出随误差增大而线性增加,在跟踪误差较大时会导致系统的不稳定。而NSC和RNSC控制输出量是有界的,能保证系统的全局渐近稳定,跟踪过程姿态平滑。
图6是系统受到总扰动力和扰动力矩的估计值,它们产生于系统线性化而忽略的未建模动态和风扰。
图6 CFO对FD的估计值
Fig.6 Estimations of FD using CFO
4 结论
根据嵌套饱和控制思想,提出了一种新型四旋翼无人机鲁棒嵌套饱和控制算法。并将所提出算法与传统嵌套饱和控制算法以及广泛应用的PD控制算法进行对比,验证了本文提出算法在动态性能,稳态性能以及鲁棒性上的优势。主要研究结果有:
1) 与传统嵌套饱和控制算法和PD控制算法相比,在鲁棒嵌套饱和控制算法下,系统的调节时间、超调量、稳态精度这些指标最好,说明在该控制器作用下,控制系统的鲁棒性能最好。
2) 将嵌套饱和控制算法的收敛条件放松,只要求每层嵌套函数幅值为正数,使得控制器参数选取与设计更为方便。
3) 鲁棒嵌套饱和控制算法下无人机姿态变化更为平滑,系统更加稳定,完成任务的质量更高。
未来的工作将集中在所提方法的室外实验测试上,以便验证和提高本文算法的实际性能。
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