0 引言
在武器站轻型俯仰伺服机构中,多以单运动副的回转副机构进行俯仰运动,这是因为运动副越少引入的非线性因素越小,所以机构传动精度越高。而在自行火炮等重型俯仰伺服机构中,多以多运动副举升机构进行俯仰运动,这是因为多运动副的举升机构支撑性较好,因此机构伺服精度越高。
在现有武器负载中,大长径比中型武器应用越来越多,例如14.5 mm高射机枪、12.7 mm转管机枪等,所以在举升伺服机构的基础上提高系统的传动精度尤为重要。传动精度的提升方法除了在使用精密驱动部件(如高精度伺服电动缸)和提高加工装配精度(采用加工装配误差分析方法)外,还包括提高静态精度误差辨识方法,对系统进行高精度运动学建模,为其动力学精确建模[1]和控制策略设计[2]打下基础。
运动学误差建模首先需要明确系统的静态误差来源。然后需要确立合理的运动学与误差建模方法。其次,构建基于测试信号、流程和系统的误差测试方法。最后,选定合理的静态误差辨识方法。
电动缸举升伺服机构与单运动副的回转副机构不同,除了运动副偏心误差,配合间隙误差[3]和位移波动误差[4-5]外,还存在构件尺寸误差(几何误差)。这些静态误差在传动误差中表现出的特征需要通过运动学建模进一步确定。
理想运动学模型可通过直接全微分法[6]、微小位移合成法[7]、闭环矢量法[8]、矩阵法[9]和环路增量法[10]来进行建立,合理的方法可以有效减少建模难度,并使现有机构的传感器得到更好的应用。
得到理想运动学模型后,可以根据标准[11]有效采集传动误差,但是,上述方法中不同的测试流程仅能对单一的传动误差进行提取,如何通过指令设计将上述测试流程来进行融合,来提升测试效率,是一个值得研究的问题。
提取到包含全项静态误差的传动误差后,需要设计合理的静态误差分离辨识方法,将传动误差进行逐步分离。其间隙误差辨识法包括Hilbert变换法[12]、传感器辨识法和间隙模型辨识法[13]等;几何误差辨识法包括图解辨识法、等效杆长法[14]和最小二乘法等;趋势误差辨识法包括回归模型法、泰勒级数法和傅里叶变换法[15]等。在以上辨识方法中,结合测试系统选择并改进针对性的测试方法尤为重要。
针对以上问题,首先以举升伺服机构精确建模对象,通过闭环矢量法建立理想运动学模型,然后在对其误差源进行详细分析基础上,建立包含全项误差的滞环模型。最后,在建立合理的测试方法的基础上,利用快捷精准的测试和辨识方法对误差源进行测试和辨识。
1 电动缸举升机构运动学误差来源分析与建模
1.1 电动缸举升机构理想运动学建模
本文中电动缸举升机构为立式电动缸举升机构,根据其数字模型,可得其参数代理机构如图1所示。
图1 电动缸举升机构机械参数
Fig.1 Mechanical parameters of EMA lifting mechanism
在图1中,
为负载旋转副和电动缸下旋转副的之间的线矢量,其为固定矢量。
为负载旋转副和电动缸上旋转副之间的线矢量,其为运动矢量。
为电动缸上旋转副和下旋转副之间的线矢量,其为运动矢量。其闭环矢量方程为
(1)
式(1)中,的模其由Lg和Lf共同决定,
的模由Le和Ld共同决定,∠λ为La和Lf的夹角,∠β为边Le和Ld的夹角,∠α为和的夹角。
在实际测定时,Lc是电动缸长度,其可由增量编码器直接反馈;∠γ负载转角,其可由绝对编码器直接反馈;其余∠λ,∠β,La,Lb,Ld,Le和Lf均为机械设计参数。其具体参数为
(La,Lb,Ld,Le,Lf,Lg,∠λ,∠β)=
(579,211,96.5,187.5,574.5,72,7°,27°)
(2)
式(2)中长度单位为mm。
在机构转换法中,根据三角形唯一确定条件: ① 2个内角以及任意一边确定(AAS);② 2条边以及它们的夹角确定(SAS);③ 3条边确定(SSS)。
在选定测试方法时,需根据应用背景来合理选定,武器站的应用中,方位机和举升机均采用双编码器反馈设计,即电机端编码器和负载端编码器,所以直接反信号为Lc和∠α(或∠γ),所以结合条件2和条件3进行理想运动学建模即可,条件2和条件3对应的方法为三角函数法,其理论运动学模型为
(3)
条件1需要知道Lb和Lc的夹角,La和Lc的夹角,适合的方法为闭环矢量法。
1.2 电动缸举升机构运动学误差分析
电动缸举升机构是典型四连杆机构的一种演化形式。在测试结果的基础上,对电动缸伺服系统的运动学误差来源进行分析可知,在实际系统中,其运动学误差主要由以下几部分组成:坐标系误差(零位误差)、几何误差(制造误差)、常值非线性误差(间隙误差)和非常值非线性误差(趋势误差)。
零位误差[16]:在进行零位标定时,由于电动缸举升基座未能完全水平,导致大地坐标系和机构坐标系不一致,从而引起的负载转角误差。零位误差∠γ0示意图如图2所示。
图2 电动缸举升机构的零位误差
Fig.2 Zero position error of EMA lifting mechanism
在图3中,零位误差∠γ0表征在负载端,不同的零位误零位误差会造成电动缸举升传动不同的传动比误差,因为控制器性能,编码器精度和机械间隙等原因,零位误差是一直存在的。
图3 电动缸举升机构的几何误差
Fig.3 Geometric error of EMA lifting mechanism
由于零位误差表征在负载转角端,不能直接代入运动学模型,可以几何关系映射投影到电动缸长度端。其映射关系传递关系为
∠γ+∠γ0→∠α+∠γ0→Lc+δc
(4)
几何误差[16]:在加工装配时,由于加工精度和装配精度的限制,机构零件自身以及零件之间产生的误差,δd和δe为加工误差,δg和δf为装配误差,其可表示为式(5)和图3。
(5)
在图3中,几何误差主要表现在铰链座之间,不同的几何误差会导致电动缸举升传动比出现不同程度的误差,由于受到加工精度和装配精度的限制,几何误差是始终存在的。
间隙误差[11]:在运动副运动时,为了确保运行的灵活性,在进行间隙配合的过程中不可避免地产生误差,这种误差会导致换向时出现误差,以及类似于零位误差的影响。电动缸回程误差ε3,铰链座0、1和2的间隙误差ε0、ε1和ε2,如图4所示。
图4 电动缸举升机构的间隙误差
Fig.4 Gap error of EMA lifting mechanism
在图4中,根据静力有向性原理[17],传动误差表征在电动缸的直线运行方向,由几何投影方向可知,误差ε1、ε2和ε3对传动误差影响最大,可将其归纳为总间隙误差,其为式(6)所示。而ε0可以归类为装配误差中,此类误差一直存在。
(6)
趋势误差[15]:机构单向传动时,各传动副间,因为摩擦力,预压力造成的接触面形变误差εn.1,径向圆跳动造成的起伏误差εn.2,其中n代表相应运动副,如图5所示。
图5 电动缸举升机构波动误差
Fig.5 Fluctuation error of EMA lifting mechanism
在图5中,趋势误差可以分为小趋势误差和大趋势误差,小趋势误差(Δδc)成周期误差特征,这是因为伺服电动缸的丝杠在传动时会运转过多个周期,其和电动缸位置相关。大趋势误差(Δδα)成非周期特征,这是因为轴承构成的铰链副在传动时只运转行程有限转角,其和机构整体位形相关。所以小趋势误差和大趋势误差为
(7)
1.3 电动缸举升机构误差特征分析
在明确误差来源的基础上,利用三角函数法结合滞环模型对包含所有误差的电动缸举升机构进行运动学建模,其为∠α=
(8)
通过式(8)可以建立起包含全项误差的运动学模型,其自变量为电动缸直线位移,因变量为负载转角。运动学模型主要由角位移转线位移模块,线位移转位置模块和位置转角度模块3个模块构成,其原理如图6所示。
图6 包含全项误差的电动缸举升机构运动学模型
Fig.6 EMA lifting mechanism kinematic model with all errors
在上述模型的基础上,为明确其误差特征,需对单一误差引起的运动学误差进行仿真。
首先是零位误差,由于机构每次回零不一致性,所以其为非重现误差,在不同的误差量下,仿真结果如图7所示。
图7 电动缸举升机构零位误差特征
Fig.7 Zero position error feature of EMA lifting mechanism
由图7,举升机构的零位误差与其造成的机构运动学误差近似于负线性相关特性,表现为单边偏置误差。
然后是几何误差,几何误差属于加工装配误差,属于重现误差,在不同的误差量下,仿真结果如图8所示。
图8 电动缸举升机构几何误差特征
Fig.8 Geometric error feature of EMA lifting mechanism
由图8,举升机构的几何误差与其造成的机构运动学误差近似于多元负线性相关特性,表现为单次过零误差。
其次是间隙误差,间隙误差属于配合公差误差,属于重现误差,在不同的误差量下,仿真结果如图9所示。
图9 电动缸举升机构间隙误差特征
Fig.9 Gap error feature of EMA lifting mechanism
由图9,举升机构的间隙误差与其造成的电动缸举升传动误差近似于负线性相关特性,变现为双边偏置误差。
最后是趋势误差,趋势误差属于固有公差误差,属于重现误差,大趋势误差没有具体特征,这里较难表征,而小趋势误差(波动误差)具有周期特性可以进行特征分析,其仿真结果如图10所示。
图10 电动缸举升机构波动误差特征
Fig.10 Fluctuation error feature of EMA lifting mechanism
由图10,举升机构的波动误差与其造成的机构运动学误差近似于正线性相关特性,且为多次过零误差。
基于上述误差特征,随机选取误差参数,以式(2)中的样机参数为系统参数,对包含全项误差的运动学误差模型进行仿真,仿真结果如图11所示。
图11 电动缸举升机构全项误差组合特征
Fig.11 All error feature of EMA lifting mechanism
由图11可知,在局部误差曲线中,举升机构的零位误差会造成初始位置误差 f (δg),几何误差影响上升下降曲线包络形状 f (δd,e,g,f),而间隙误差主要影响上升线和下降线的纵轴间距f(εgap)和波动误差f(ε3.1,ε3.2)主要产生上升下降曲线的波动形状。
2 电动缸举升机构运动学误差测试与辨识
2.1 电动缸举升机构运动学误差测试
电动缸举升机构实验平台由机械和测试平台组成。其具有以下功能:① 可对系统中电动缸侧的线位移等物理量进行测量,采集和记录。② 可对负载侧的角位移等进行测量,采集和记录。③ 可对负载侧的倾角零位进行标定。其中测量功能①可以通过电机侧的增量编码器完成,测量功能②可以通过负载侧的绝对编码器完成,测量功能③可以通过负载侧数显水平仪完成。其采集功能可PC机和dSPACE共同完成。
根据功能介绍,电动缸举升机构的实验平台原理图和实物图分别如图12(a)和图12(b)所示。
图12 电动缸举升机构的实验平台
Fig.12 Experimental platform of EMA lifting mechanism
根据《GB/T 37718—2019》,传动误差测试方法为:传动装置输出转速≤5 r/min和空载下正转或反转,转速波动≤1 r/min后,采集数据绘制传动误差曲线。
在准静态的测试环境中,要求激励测试信号平缓过渡,无间断点,同时满足测试信号满足输出端速度小于规定值。由此设定的测试信号为表1。
表1 激励测试信号配置
Table 1 Excitation test signal configuration
信号频率信号幅值电动缸响应幅值机构响应幅值0.005 rad/s±8 432.1°±187.36 mm(-10° -45°)
根据表1的测试信号,能有效测试电动缸举升机构全项误差。在此基础上,首先,通过绝对编码器做位置闭环保证举升机构的绝对零位,然后,利用增量编码器做速度半闭环,并将增量编码器的位移输出作为输入指令,最后,将理论模型和实际系统的输出位移做差获取传动误差。测试模型如图13所示。
图13 运动学误差测试模型
Fig.13 Kinematic error test model
上述模型能有效的消除伺服精度对运动学精度的影响。在实际测试时可以测试得到举升角射界[-10°,45°]的传动误差分别如图14所示。
图14 电动缸举升机构实测传动误差
Fig.14 Measured kinematic error of EMA lifting mechanism
根据测试信号,对运动学误差三类误差进行定义,最大正值误差,最小负值误差和峰峰值误差。由图14,此时的运动学误差为
[emax,emin,(emax-emin)]all=[0.378,-0.339,0.717]all
(9)
图14中,根据误差特征可知,几何误差为主要误差来源,远大于其他误差;间隙误差大小与波动误差大小相当,且其会随着机构速度变快而变大,由此证明间隙误差在运行方向会受压缩而变大,具有压缩特性;零位误差属于偏置误差,无法直观表达; f (δh)属于非重现误差,与起始间隙值相关。
2.2 电动缸举升机构运动学误差辨识
2.2.1 电动缸举升机构运动学误差分离方法
电动缸举升机构的运动学误差包括零位误差,几何误差,间隙误差和趋势误差,这些误差相互耦合,难以利用多元误差回归模型一次性辨识,需设定运动学误差分项辨识方法。
将电动缸举升机构误差分离方法设定如下:
1) 设定指令信号为正弦信号,因为正弦信号可以较好避免换向过程中的碰撞动力学,所以电动缸举升机构的传动响应为非线性周期信号。
2) 通过将电动缸举升机构位置闭环的伺服特性调整为过阻尼特性,使得负载在回零时,最大程度地保证主动件和从动件贴合,尽量避免起始间隙误差影响。
3) 根据误差分项特性,可知零位误差、几何误差和波动误差出现在响应的全行程中,而间隙误差出现换向阶段,所以首先辨识间隙误差。
4) 将换向点位于La和Lb边的夹角(传动角)为90°时,此可确保电动缸间隙误差与末端间隙误差值成弧度和弧长的对应关系,辨识和验证间隙误差。
5) 通过绝对编码器观察换向点位置,提取正、反行程响应时序数据,并分开辨识,在消除间隙误差影响的基础上有效辨识零位误差和几何误差。
6) 将零位误差,几何误差以及间隙误差代入理想运动学模型,分离出趋势误差,即完成了所有误差分项的效辨识。
电动缸举升机构误差分离流程如图15所示。
图15 电动缸举升机构传动误差分离流程
Fig.15 Transmission error separation process
2.2.2 间隙误差辨识方法
间隙误差在正弦指令下为离散周期误差,不可由连续解析式进行表示。在辨识时可通过双传感器法进行辨识,其原理为:当电动缸举升机构在进行传动时,在传动角达到90°时,标记绝对编码器读数ηab1,标记增量编码器读数θab1,标记时刻t1。在此刻电动缸反向运转,根据负载端绝对编码器的信号判断负载是否反转,反转时标记增量编码读数ηab2,标记增量编码读数θab2,标记时刻t1。此时可以得到电动缸直线传动间隙的2个计算方法为
(10)
式(10)中,S为电动缸导程,2种计算方式可互相验证,εgap1为转换间隙误差,εgap2为精确间隙误差。
其中换向点可以从传动误差处明显判断出,实测传动误差换向点如图16所示。
图16 电动缸举升机构换向点
Fig.16 Change direction point of EMA lifting mechanism
图16中,在换向点处可以读取负载端的间隙误差值,并通过式(10)计算出电动缸方向上的直线间隙误差为0.029 4 mm。在增量编码器信号上标定换向点时刻,提取出增量编码器线位移差值,即为直线间隙误差,如图17所示。
图17 电动缸举升机构直线间隙
Fig.17 Linear gap of EMA lifting mechanism
图17中,在换向点处可以读取电机端端的直线间隙误差值,并通过式(10)计算该误差值可以得到电动缸方向上直线间隙误差为0.024 9 mm。
可见上述2种误差值略有不同,这是因为几何误差和零位误差等耦合其中引起的误差量。分离间隙误差后的实测误差为图18所示。
图18 分离间隙误差的电动缸举升机构实测误差
Fig.18 Measured error (no gap) of EMA lifting mechanism
此时的运动学误差3类误差为
[emax,emin,(emax-emin)]gap=[0.361,-0.349,0.710]gap
(11)
由图18,分离间隙误差后,间隙误差引起的传动误差值明显变小,但对整体运动学误差影响不大,用误差峰峰值计算模型精度提升率。模型精度提升率定义为
(12)
式(12)中,(emax-emin)before 和(emax-emin)after为分离误差前和后的误差差值,计算可得分离间隙误差后的模型精度提升利率为1.1%。并且,可以看到零位处仍然有少量间隙压缩误差,属于动态误差。
2.2.3 零位误差和几何误差辨识方法
零位误差和几何误差在正弦指令下为连续周期误差,可由连续解析式进行表示。其非线性特性为
(13)
根据以上特性,提出了一种结合误差分布非线性最小二乘法。结合误差分布,确定迭代起始点为误差期望值点,消除局部最优。并且,确定搜索范围为3倍标准差(3σ),标准差为设计公差大小。增加搜索效率,此方法设定如下:
首先,设定非线性最小二乘法的代价函数为
(14)
然后,设定局部搜索区域,根据零位误差和几何安装误差正太分布的特点,将起始搜索最小值定义式(15)。
(15)
式(15)中,3σδc,b,d,f,g为搜索区域,mc,e,d,f,g为搜索起始点,起始点设定为0 mm。
最后将代价函数在点
处按泰勒级数展开,并保留一阶项和二阶项,如式(16):
(16)
当式(16)满足式(15)时,既有局部最小值。
在实际分析时可根据需要将搜索范围扩大,因为不具有先验知识,制造公差不一定能达到设计公差要求,这里定义置信搜索区间为(±5 mm)。
通过标定换向点的方法,有效标定两个周期类的4个换向点,有效分离出传动误差的正反行程,并用提出的非线性最小二乘法分开进行辨识。辨识过程中考虑间隙误差的影响,并代入εgap2的值,这样可有效剔除间隙误差对几何误差耦合的影响。辨识后的曲线拟合如图19(a)和图19(b)所示。
图19 电动缸举升机构零位、几何误差的正、反方向辨识
Fig.19 Forward,backward direction identification of zero position error,geometric error of EMA lifting mechanism
辨识出的正方向零位误差以及几何误差,逆方向零位误差以及几何误差如式(17)所示
(17)
由式(17),正、逆方向辨识的零位误差和几何误差有所不同,这是因为起始间隙误差和间隙压缩误差引起的,这里取模型精度提升率更高的辨识值,即反向辨识的零位误差和几何误差。
分离间隙误差,几何误差以及零位误差后的实测误差如图20所示。
图20 分离间隙、零位和几何误差电动缸举升机构实测误差
Fig.20 Measured error (no gap,zero position error,geometric error) of EMA lifting mechanism
由图20,此时的运动学3类误差为
[emax,emin,(emax-emin)]gzg=[0.015,-0.018,0.033]gzg
(18)
分离零位和几何误差后,运动学误差明显变小,可知相比零位误差,几何误差为主要运动学误差来源。由此,计算出分离了间隙误差,零位误差和几何误差模型精度提升率为95.4%。
2.2.4 趋势误差辨识方法
趋势误差在正弦指令下为在举升角度内具有固定趋势的误差,不可由解析式进行表示。由于大趋势项误差中耦合着正、反向间隙压缩误差,所以不能直接对大趋势项进行拟合,因此需要通过换向点,分离正反向传动误差。
由此,分别通过傅里叶级数拟合正反向大趋势项误差,并利用正、反向间隙压缩误差相加相消的特点,求取正、反向趋势项误差的平均值,即为实际趋势项误差。实际趋势项求解方法为
(19)
利用三次项级数进行拟合趋势项误差,如图21所示。
图21 电动缸举升机构大趋势误差的正、反方向辨识
Fig.21 Forward,backward direction identification of large trend error of EMA lifting mechanism
其中趋势项误差系数共有6项,ai和di代表幅值项,其取值范围在[-0.1,0.8]。
分离间隙误差,几何误差、零位误差和大趋势误差后的实测误差如图22所示。
图22 分离间隙、零位、几何误差和大趋势误差电动缸举升机构实测误差
Fig.22.Measured error (no gap,zero position error,geometric and large trend error) of EMA lifting mechanism
由图22,此时的传动误差为
[emax,emin,(emax-emin)]gzgl=[0.012,-0.012,0.024]gzgl
(20)
分离大趋势误差后可知,大趋势误差影响度比几何误差要小很多。由式(12)可知,分离了间隙误差,零位误差、几何误差和大趋势误差的模型精度提升率为96.6%。
在此基础上,剩下的运动学误差为间隙压缩误差和小趋势误差(波动误差),间隙压缩误差耦合着状态变量,为动态误差,依据工况而定。通过计算可知。间隙压缩误差、小趋势误差(波动误差)的4类误差分别为
[emax,emin,(emax-emin)]GZG=[0.008,-0.008,0.016]
(21)
[emax,emin,(emax-emin)]GZG=[0.004,-0.004,0.011]
(22)
由此可见,间隙压缩误差的影响度大于小趋势误差(波动误差)的影响度,所以当动态误差超过静态误差时,此类静态误差对伺服控制的影响就不再明显。为明确波动误差来源,对其在负载端的波动误差进行傅里叶变换,可得其负载端的位置域频谱如图23所示。
图23 波动误差负载端位置域频谱
Fig.23 Fluctuation error position spectrum on load
由图23可见,波动误差分量中,存在一个主要影响分量。由于波动误差经过非线性变换从电动缸端映射到负载端,无法明确主要频率分量的来源。在此对小趋势误差(波动误差)进行反向推导,并将其还原到电动缸端,对小趋势误差(波动误差)展开傅里叶变换,其电动缸端的位置域频谱如图24所示。
图24 波动误差电动缸端位置域频谱
Fig.24 Fluctuation error position spectrum on EMA
由上可知,主要影响频率和电动缸丝杠的旋转角频率一致,其角频率计算方法为
(23)
式(23)中,S为电动缸的丝杠导程,由小趋势误差(波动误差)特征分析可知,小趋势误差(波动误差)负载端误差与电动缸端误差成正相关特性。可见电动缸作为主传动副,其波动误差为机构波动误差的主要来源。
该误差可通过小波基函数进行再构造,利用其分频特性可以将主电动缸波动误差外的频率成分滤除,从而得到电动缸波动误差。小波变换后的波动误差小波基为
(24)
式(24)中,σ和τ分别为尺度因子和位移因子,通过小波基构造后,该频段下的电动缸波动误差如图25所示。
图25 重构后的主分量电动缸波动误差
Fig.25 EMA main fluctuation error after reconstruction
3 结论
本文中论述了武器站电动缸举升伺服机构的运动学误差来源,理论误差模型,分离测试方法和精确辨识方法。在以上方法的实现中,确立了以下结论:
1) 在准静态的测试环境中,误差来源为零位误差,几何误差,间隙误差和趋势误差,其中趋势误差分为大趋势误差和小趋势误差(波动误差)。
2) 误差分项具有明显特征,零位误差为单边偏置误差,几何误差为过零误差,间隙误差为双边偏置误差,波动误差为多次过零误差。
3) 误差分项难以一次性测试,误差分离流程应为:间隙误差分离;零位、几何误差分离;大趋势误差分离;波动误差主分量辨识。
4) 辨识对应方法应为:间隙误差对应双传感器法,零位、几何误差对应非线性最小二乘法,大趋势项对应傅里叶级数法,波动误差对应小波变换法。
本文中,将武器站电动缸举升机构的理论运动学模型精度提高了96.6%,并有效分离出了全项运动学误差,对该类型武器站的运动学建模具有参考意义。
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