0 引言
四轮滑移转向移动机器人具有结构简单和转向灵活的特点,广泛应用于军用车辆、无人战车以及服务行业等领域。它通过控制左右两侧轮速差来实现机器人转向和原地转向的效果。相比传统的两轮差速转向移动机器人,四轮滑移转向移动机器人由于车体限制,在转向时车轮会发生滑动而非纯滚动[1],造成机器人运动的不确定性,因而轨迹跟踪控制难度增加。为解决滑移转向移动机器人的运动问题,文献[1-4]利用车轮纵向滑移率描述车轮滑动情况并给出机器人的运动学和动力学方程。然而,这些文献未给出车轮纵向滑移率的变化关系,滑移率被视为未知参数。文献[4-6]对未知滑移率进行了数值分析求解,并得到了车轮滑移率随时间变化的曲线。然而,文献[5]仅考虑了机器人原地旋转情况,而文献[4,6]的结论仅适用于左右驱动轮转速极低的情况,与实际工作条件差别过大。文献[8-10]使用速度瞬心法描述了车轮相对地面发生的纵向和横向滑动,并给出了机器人的运动学和动力学方程。其中,文献[8]将四轮滑移转向移动机器人等效为两轮差速转向车,并通过实验来拟合运动学方程中的未知参数,而文献[9]通过实验验证了所建立模型的准确性。然而,这些动力学模型较为复杂,增加了对四轮滑移转向移动机器人实时控制的难度;针对四轮滑移转向机器人的轨迹跟踪控制问题,文献[3]设计了滑模控制器来实现移动机器人的轨迹跟踪控制。文献[4]设计了一种自适应跟踪控制策略以适应未知的左右车轮滑移率。文献[11-12]设计了基于反步法的全局轨迹跟踪控制器。文献[13]设计了一种滑模控制率,可以在较大初始误差和干扰下实现轨迹跟踪。文献[14]设计了反步法控制率和滑模控制率,并比较了它们的效果。文献[15]利用模糊逻辑系统处理参数不确定性和外部干扰问题。文献[16]针对轮式移动机器人的轨迹跟踪控制问题,提出了一种新的快速非奇异终端滑模曲面,避免了奇异性并兼具滑模控制的优点,并设计了相应的自适应快速非奇异终端滑模控制律。基于此,建立了四轮滑移转向移动机器人的运动学模型,通过分析机器人在稳态转向时的受力情况,建立了机器人的滑移转向动力学模型,在此基础上进行数值仿真分析得到运动学参数的变化曲线,根据仿真结果将四轮滑移转向机器人简化为了具有等效轮距的两轮差速转向机器人。根据所建立的运动学模型,进一步利用Lyapunov直接法及反步控制方法建立了全局轨迹跟踪控制率,最终仿真结果证明了所设计控制率具有良好的跟踪效果。
1 运动学分析
四轮滑移转向移动机器人的结构如图1所示,定义大地笛卡尔坐标系为O(X,Y,Z),其中Z轴方向竖直向上;在机器人质心处建立随机器人运动的车辆笛卡尔坐标系为Ob(Xb,Yb,Zb),其中Xb轴沿着机器人纵向中心线方向。定义机器人的广义坐标为p=(x,y,θ)T,其中(x,y)代表机器人质心在全局坐标系下的坐标,θ为Xb轴与X轴正向夹角;定义机器人的广义速度为v=(vx,vy,ω)T,其中vx为机器人沿Xb向运动速度,vy为机器人沿Yb方向运动速度,ω为绕Zb轴旋转的角速度。
图1 四轮滑移转向机器人运动示意图
Fig.1 Motion diagram of a four-wheel skid-steering robot
机器人轴距及轮距分别表示为L和B为方便后续处理,做出以下假设:
1) 机器人的几何中心与质量中心位置重合;
2) 同侧的车轮旋转速度及转动方向一致;
3) 机器人运行在坚硬平面上且4个轮胎均与地面接触;
在全局坐标系下四轮滑移转向机器人有如下运动关系:
(1)
令vl、vr分别表示左右两侧车轮相对机器人的轮速,并定义使得机器人能够具有沿Xb方向运动的车轮转速为正。在四轮滑移转向移动机器人运动时为防止相互阻挠,要求同侧车轮转动速度相同,可将滑移转向移动机器人看做是履带式移动机器人[9],从而可将同侧车路相对地面运动看做是一个刚体运动,即同侧车轮相对地面之间的滑动可看做是绕地面上的某一速度顺心做旋转运动,令ICRG、ICRL、ICRR分别表示车身、机器人左侧车轮胎面、机器人右侧车轮胎面的瞬时转动中心,由文献[8]可知ICRG、ICRL、ICRR位于同一条直线上,这些点在车辆坐标系下的坐标可分别表示为(xG,yG),(xL,yL),(xR,yR),从而有xG=xL=xR。
由前述可以得到机器人有如下运动关系:
vx=yGω
(2)
vy=-xGω
(3)
(4)
(5)
其中: Δv1x、Δv1y分别表示车轮1其胎面相对于地面发生相对滑动的速度在Xb、Yb方向上的投影。同理可知其余三轮相对于地面的滑动速度。
由式(2)—式(5)及其余三轮滑移情况分析,可得机器人运动学模型如下:
(6)
2 动力学分析
图2为质量为m的四轮机器人匀速绕转动中心ICR点作滑移左转运动,由于4个车轮胎面均发生了滑移,此时地面将对第i个车轮胎面产生滑动摩擦力Ffi,且滑动摩擦力方向与滑移速度方向相反;将滑动摩擦Ffi描述为滑动速度的函数可有下式给出[1]:
Ffi=-μNisgn(Δvi)
(7)
图2 四轮滑移转向机器人受力示意图
Fig.2 Force diagram of a four-wheel skid-steering robot
式(7)中: μ表示轮胎与地面之间的滑动摩擦系数,Δvi表示第i个车轮胎面相对于地面之间的滑动速度,Ni表示第i个轮胎垂直与地面的正压力,根据运动学分析中的假设有Ni=m/4(i=1,2,3,4),该式表示滑动摩擦力方向与滑移速度方向相反。
进一步的为了便于计算机进行数值求解,将式(7)变为连续可微的形式得到下式:
(8)
式(8)中: k是一足够大的常数,当k越大,求解精度越高。
考虑移动机器人在绕瞬时转动中心ICR做稳态匀速转动时的受力情况可得到动力学模型如下:
(9)
式(9)中: Fix、Fiy表示滑动摩擦力Fi在Xb、Yb方向上的分量,且定义该分量与Xb、Yb轴同向为正方向。
由图2中几何关系并以1轮为例,滑动摩擦力F1在Xb、Yb方向上的分量F1x、 F1y可由下式得出:
(10)
F1x=F1cos(α1)
(11)
F1y=F1sin(α1)
(12)
针对运动学分析中引入的3个运动学参数xG、yL、yR,对各项参数如表1所示的四轮滑移转向机器人进行动力学数值仿真分析。
表1 机器人各项参数
Table 1 The parameters for robot
关键参数符号值机器人总质量m/kg20车轮半径r/mm25轴距L/mm243轮距B/mm421滑动摩擦系数μ0.4437
分别在右侧车轮轮速vr=1 m/s及右侧车轮轮速vr=2 m/s下,设定左侧车轮轮速vl由-vr逐渐增加至vr,利用Matlab对动力学模型进行数值求解,得到xG、yL、yR的变化规律,并给出机器人横向、纵向速度及横摆角速度变化规律如图3、图4所示。
图3 vr=1 m/s下车轮转速比对机器人运动影响
Fig.3 Impact of wheel speed ratio on robot motion at vr=1 m/s
图4 vr=2 m/s下车轮转速比对机器人运动影响
Fig.4 Impact of wheel speed ratio on robot motion at vr=2 m/s
从图3(a)中可以看出左右车轮瞬时转动中心在Yb轴上的坐标yL、yR变化幅度很小且近似对称,且左右车轮瞬时转动中心均处于轮距B外侧,而导致机器人产生横向速度的参数xG随着轮速比的增加而增大,又根据图3(b) vy的变化趋势可知机器人在横向上速度可以忽略。从图3与图4的对比中可以看出,移动机器人在低速情况下横向速度可以忽略,而随着机器人速度的提高,横向速度越来越无法忽略,且在图4(a)vl/vr=0.5时,机器人转动中心坐标xG将会大于L/2,这意味着机器人在该状况下会发生车轮横向滑移速度均在同一方向,从而导致机器人人运动的不稳定性,因此在机器人快速前进时,应尽可能避免左右侧轮速相差过大。
根据上述分析可将滑移转向移动机器人在低速时将式(6)简化为如下形式:
(13)
式中: v表示前进速度,ω表示横摆角速度,
表示等效轮距,因此根据动力学模型仿真结果,可将四轮滑移转向移动机器人等效为如图5所示的差速轮式转向机器人模型,其等效轮距大于四轮滑移转向移动机器人轮距B。
图5 等效两轮差速转向机器人
Fig.5 Equivalent two-wheel differential steering robot
为分析机器人轴距L及轮距B对低速情况下移动机器人等效轮距
的影响,在车轮轮速vr=1 m/s、vl=0.5 m/s下,分别在B=0.421 m、B=0.6 m、B=0.8 m下进行数值分析求解,求解结果如图6所示。
图6 轴距L对轮距B比对机器人等效轮距影响
Fig.6 Influence of L/B on the equivalent track width 
for robots
从图6中可以看出,机器人等效轮距均大于机器人原始轮距B,此外随着L/B的增加,等效轮距也随之增加,这意味着L/B越大时,机器人转向越困难,因此在设计滑移转向机器人时应尽可能缩短轴距以提高机器人转向能力。
3 轨迹跟踪控制
如图7所示,定义等效两轮差速转向机器人在全局坐标系下的位姿为p=(x,y,θ)T,其期望位姿点为pr=(xr,yr,θr)T,(x,y)T表示机器人在全局坐标系下的位置,θ表示机器人纵向前进方向与全局坐标系X轴的夹角,Pr同理。
图7 位姿误差坐标示意图
Fig.7 Schematic diagram of pose error coordinates
机器人在全局坐标O(X,Y,Z)下有如下位姿变化关系:
(14)
定义机器人跟踪误差向量e=[ex,ey,eθ]T,可得到位姿误差在机器人坐标系下的误差方程如下:
(15)
式(15)中:ex、ey、eθ分别表示在机器人坐标系下机器人距期望轨迹点的纵向、横向、航向误差。
对式关于时间t求导,得如下误差微分方程:
(16)
式(16)中: vr、ωr分别表示在期望轨迹上的期望速度及横摆角速度。
根据反步控制思想,选取部分Lyapunov函数为
(17)
对之进行求导有
(18)
可知: 当v=vrcoseθ+k1ex,(k1>0)时,只要eθ=-arctan(vrey)即可保证
选取α=-arctan(vrey)为中间虚拟控制量,则可定义新的误差变量如下:
(19)
选取部分Lyapunov函数为
(20)
假定期望速度及角速度为常数,求导可得:
(21)
可知: 当
时即可保证
从而可得控制率为
(22)
进而由式可以得到左右两侧车轮轮速:
(23)
4 轨迹跟踪仿真
为了验证所提出的转向机器人非线性反步法轨迹跟踪控制算法的正确性,选择直线与圆形2种期望轨迹进行跟踪控制。控制器中参数如下:k1=k2=4。机器人直线参考轨迹方程为
为仿真时间,选取参考轨迹的初始位姿为pr(0)=[0,0,π/4]T,机器人初始位姿为p(0)=[1,-1,π/2]T,期望线速度及角速度分别为vr=1.414 m/s,ωr=0 rad/s,如图8(a)—图8(c)所示,可以看出机器人能够在5 s以内快速跟踪到期望轨迹,并使得跟踪误差快速收敛至0,体现了所设计控制器具有良好的轨迹跟踪效果和全局渐近稳定特性;机器人圆形参考轨迹方程为
为仿真时间,选取参考轨迹的初始位姿为pr(0)=[2,0,π/2]T,机器人初始位姿为p(0)=[1,-1,π/2]T,期望线速度及角速度分别为vr=2 m/s,ωr=1 rad/s,如图9(a)—图9(c)所示,可以看出机器人能够在5 s以内快速跟踪到期望轨迹,并使得跟踪误差快速收敛至0,体现了所设计控制器具有良好的跟踪性能及全局渐近稳定特性。
图8 直线轨迹跟踪结果
Fig.8 Straight line trajectory tracking result
图9 圆形轨迹跟踪结果
Fig.9 Circular trajectory tracking result
5 结论
1) 针对提出的一种四轮滑移转向机器人,通过引入了左右两侧车轮的速度瞬心,建立了机器人运行学模型。
2) 根据建立的运动学模型得出机器人在稳态转动时车轮受力情况,建立动力学模型并进行数值分析,结果表明:滑移转向移动机器人在低速情况下可近似看做两轮差速转向移动机器人,且机器人轴距L与轮距B之比越大等效轮距越大。
3) 应用Lyapunov直接法与反步法,针对移动机器人设计了具有全局稳定性的跟踪控制率,通过对直线及圆形轨迹的跟踪仿真,仿真结果表明所设计控制率的稳定性及有效性。
[1] KOZOWSKI K,PAZDERSKI D.Modeling and control of a 4-wheel skid-steering mobile robot[J].International journal of applied mathematics and computer science,2004,14(4):477-496.
[2] YU W,CHUY O Y,COLLINS E G,et al.Analysis and experimental verification for dynamic modeling of a skid-steered wheeled vehicle[J].IEEE Transactions on Robotics,2010,26(2):340-353.
[3] 李爱娣,李春书,王一等.轮式滑移转向机器人运动分析及轨迹跟踪控制[J].机械设计与制造,2018(11):253-256.LI Aidi,LI Chunshu,WANG Yi,et al.Kinematic analysis and trajectory tracking control for skid-steered mobile robots[J].Machinery Design &Manufacture,2018(11):253-256.
[4] 豆勤勤.基于RBF神经网络模型的单力臂机器人控制[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2021,38(2):23-27.DOU Qinqin.Control of one arm robot based on RBF neural network model[J].Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition),2021,38(2):23-27.
[5] 杨闫景,钱瑞明.六轮车辆滑移转向动力学建模和运动特性分析[J].机械制造与自动化,2014,43(3):7-9,27.YANG Yanjing,QIAN Ruiming.Skid-steering dynamic modeling and moving characteristic analysis of six-wheel vehicle[J].Machine Building &Automation,2014,43(3):7-9,27.
[6] 唐东林,谢光磊,李龙等.四轮爬壁机器人滑移转向运动分析[J].机械设计与制造,2023(9):258-262.TANG Donglin,XIE Guanglei,LI Long,et al.Analysis of sliding and steering motion of four-wheel wall-climbing robot[J].Mechanical Design and Manufacturing,2023(9):258-262.
[7] 周依霖,张华,张响亮.六轮滑动转向爬壁机器人壁面运动动力特性分析[J].机械设计与研究,2018,34(6):4-9.ZHOU Yilin,ZHANG Hua,ZHANG Xiangliang.Analysis of dynamic characteristics during wall movement of six-wheel skid-steer wall-climbing robot[J].Mechanical Design and Research,2018,34(6):4-9.
[8] WANG T,WU Y,LIANG J,et al.Analysis and experimental kinematics of a skid-steering wheeled robot based on a laser scanner sensor[J].Sensors,2015,15(5):9681-9702.
[9] WONG J Y,CHIANG C F.A general theory for skid steering of tracked vehicles on firm ground[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part D:Journal of Automobile Engineering,2001,215(3):343-355.
[10] MANDOW A,MARTINEZ J L,MORALES J,et al.Experimental kinematics for wheeled skid-steer mobile robots[C]//2007 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.IEEE,2007:1222-1227.
[11] 吴卫国,陈辉堂,王月娟.移动机器人的全局轨迹跟踪控制[J].自动化学报,2001(3):326-331.WU Weiguo,CHEN Huitang,WANG Yuejuan.Global trajectory tracking control of mobile robots[J].Acta Automatica Sinica,2001(3):326-331.
[12] FIERRO R,LEWIS F L.Control of a nonholonomic mobile vrobot:backstepping kinematics into dynamics[J].J of Robotic Systems,1997,14(3):149-163.
[13] ALHELOU M,DIB A,ALBITAR C.Trajectory tracking for skid-steering mobile robots using sliding-mode control[C]//2015 10th Asian Control Conference (ASCC).IEEE,2015:1-6.
[14] 李成玉.四轮滑动转向机器人的轨迹跟踪控制研究[D].大连:大连海事大学,2017.LI Chengyu.Research on trajectory tracking control of four-wheel skidding steering robots[D].Dalian:Dalian Maritime University,2017.
[15] PENG S,SHI W.Adaptive fuzzy integral terminal sliding mode control of a nonholonomic wheeled mobile robot[J].Mathematical Problems in Engineering,2017(1):3671846.
[16] ZHAI J,SONG Z.Adaptive sliding mode trajectory tracking control for wheeled mobile robots[J].International Journal of Control,2019,92(10):2255-2262.