0 引言
无刷直流电机(BLDCM)具备可靠运行、结实耐用,使用寿命长等特点而被广泛应用,其中,无刷直流电机的调速系统在整个电机控制系统中占有重要位置,直接影响着电机的性能。所以,无刷直流电机调速系统控制的性能也与产品的优劣有着直接的关系[1]。目前,常规的PID控制虽然结构简单、参数少,但无刷直流电机因其模型具有非线性、强耦合、多变量及参数时变等的特点,加之工业生产的要求和控制精度也越来越高,其控制效果欠佳,即常规的PID控制还不能满足对无刷直流电机调速系统转速的精确控制。
随着智能控制的发展,越来越多复杂的控制理论在BLDCM调速系统中得到研究,如模糊控制、算法优化控制等。文献[2]中分析了模糊控制理论,经过理论分析和仿真验证了Fuzzy在BLDCM系统中应用的正确性,但考虑到模糊控制的设计依赖工程经验,具有不确定性,同时论域固定;文献[3]中介绍了神经网络模型,并实现在BLDCM中的应用;文献[4]中介绍了参数可变的PID方法,通过引入智能算法实现控制器参数优化;仿真研究表明这些算法与传统PID控制相比,不同程度改善了PID控制的不足,但也存在自身的问题(如:结构复杂、变量多等)。
为了更好地改善BLDCM调速系统的控制效果,提出了一种灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器(GSFPID-SMC)设计方案。分数阶滑模控制既具备滑模控制的强鲁棒性还兼顾分数阶控制的灵活性,并克服了由于滑模控制而产生的抖振问题;引入内分泌激素调节中的超短反馈算法构成系统双层反馈机制,补偿自身的输出信号;系统反馈环节,引入GM(1,1)模型灰色预测实现超前控制运算。针对分数阶PID型滑模趋近律参数,引入鲸鱼算法的螺旋搜索思维及莱维飞行策略改进蜣螂优化算法进行寻优,进一步提高无刷直流电机的控制精度。
1 无刷直流电机(BLDCM)数学模型
为了对BLDCM调速控制系统的研究更加直观,通过假设一系列理想条件[5],研究其数学模型。
1.1 电压方程
(1)
其状态方程表达式为
(2)
式中:ua、ub、uc为三相端电压;ea、eb、ec为三相绕组反电动势;Ra、Rb、Rc为三相绕组电阻;ia、ib、ic为三相绕组电流;La、Lb、Lc为三相绕组自感;Lab、Lba、Lac、Lca、Lbc、Lcb为三相绕组互感;p=d(·)/dt。
根据BLDCM的理想假设条件,电机的自感、互感、电阻及电流关系可表达为
La=Lb=Lc=L
(3)
Lab=Lba=Lac=Lca=Lbc=Lcb=M
(4)
Ra=Rb=Rc=R
(5)
ia+ib+ic=0
(6)
Mib+Mic=-Mia
(7)
式中,M为互感系数。
由以上可以将式(1)改写为
(8)
1.2 转矩及运动方程
BLDCM的转矩方程:
Te=(eaia+ebib+ecic)/ω
(9)
当BLDCM运行在特定角度导通的非换向状态时,式(9)可为
Te=KTi
(10)
式中,KT为转矩系数。
理想情况下,BLDCM的运动方程:
(11)
式中:Te为电磁转矩(N·m);ω为无刷直流电机的角速度(rad/s); J为电机的转动惯量(kg·m2·);TL为负载转矩;dω/dt为转子机械角加速度(rad/s2)。
2 灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器(GSFPID-SMC)设计
2.1 滑模变结构控制(SMC)
滑模控制(sliding model control,SMC)和传统的控制方式不同之处在于SMC控制算法是一种不连续的,即变化结构控制。其控制可分成2个阶段,趋近阶段和滑动阶段[6]。SMC基本结构如图1所示。在图1中,通过切换法则来实现这种间断性,且控制系统的设计与干扰无关,故具有很强的鲁棒性。
图1 SMC控制原理框图
Fig.1 SMC control schematic diagram
2.1.1 趋近律选择
滑模控制的不连续主要包括初段趋近过程和后段滑行过程2个方面,其强鲁棒性则由后段表现出,该过程参数少且受外界干扰影响小。滑模控制是由等效控制ueq和切换控制uvs组成,正由于该控制特点,SMC控制易造成系统出现抖振现象。为了能够让初段趋近速度更快,且减小系统抖振,一般选择指数趋近律:
(12)
式中,k、ε均为增益系数,非负数。
当s>0时,有:
(13)
由式(13)解得:
(14)
为了减小系统抖振,可以减小ε值,但是增加k可以加快趋近速度。
为了保证滑模到达条件的成立,结合式(12)有:
(15)
定义Lyapunov函数:
(16)
(17)
由以上推导可知,指数趋近律在Lyapunov函数是渐进稳定的。
2.1.2 切换函数设计
取切换函数为
s=cx1+x2
(18)
令状态变量为
(19)
式中:x1为速度误差;x2为速度误差一阶导数;ωr为期望转速;ω为实际转速。
将式(10)与式(11)代入式(19)可得:
(20)
当s=0时,
(21)
由式(21)解得:
ω=ωr-ae-ct
(22)
当t→∞时,ω=ωr。
2.1.3 控制函数设计
本研究中采用函数切换控制,由等效控制ueq和切换控制uvs组成,即滑模控制律为
u=ueq+uvs
(23)
结合上式可知:令
可得等效控制ueq,即
(24)
(25)
选取指数趋近律,可得切换控制uvs,即
(26)
2.2 分数阶控制理论
分数阶微积分理论类似于传统的整数阶理论而提出的理论,是将整数阶理论的阶次发展为分数乃至复数,是对整数阶理论的继承与发展[7]。本研究中采用的微积分算子
(27)
式中:a、t分别为操作算子的上、下限;α为微积分的阶次。
分数阶微积分算子要应用于实际工业生产过程中,必须对微积分算子进行估算,需要在有限的范围内对其进行近似处理[8]。参考Oustaloup近似算法。因此,本文将滤波器在某个频率范围看作成微积分算子
(28)
其中,
式中:wb 、wh分别为频率段的上下限;N为滤波器的阶次。
针对以上Oustaloup滤波器的近似算法存在一个不足是在wb和wh的端点处的近似效果不好,为此引入一个分数阶模型,即
(29)
引入b、d常数系数后可得:
(30)
对式(30)进行采用Taylor级数展开,并保留一阶项,可得:
(31)
2.3 分数阶PID滑模控制器设计
本研究中设计的分数阶滑模是结合上面传统的滑模控制器设计而成的,包含分数阶滑模面和分数阶趋近律。其中,针对BLDCM调速控制系统选取分数阶滑模函数为
(32)
当α取值在(0,1)范围内表示微分作用,若取值在(-1,0)范围内表示积分作用。
对式(32)进行求导可得:
(33)
分数阶滑模控制通过引入微积分阶次能够增加控制系统的灵活性。在传统SMC控制中引入分数阶微积分,即增加了分数阶可以根据时间改变进行衰减和其能量传递的特性,有效克服滑模控制的抖振问题。
时域范围内,分数阶PID控制器可表示为
uFOPID=kpe+kiD-λe+kdDμe
(34)
式中: λ为积分阶次; μ微分阶次;kp、ki、kd为分数阶表达式的系数,即比例、积分和微分系数。
根据传统指数趋近律和分数阶PID控制的结构,设计出具备分数阶PID的滑模趋近律:
(35)
为了证明分数阶PID滑模控制器的稳定性,分别从滑模逼近条件和滑模存在条件2个方面进行证明。
1) 逼近条件
定义Lyapunov函数:
(36)
依据李雅普诺夫函数的稳定性证明可知,当
时系统是稳定的,满足滑模逼近条件,即
kdsgn(s)Dμ|s|-k0sgn(s)]=
-kps2-kis·sgn(s)D-λ|s|-
kds·sgn(s)Dμ|s|-k0s·sgn(s)
(37)
由于,kp>0,ki>0,kd>0,k0>0,s≠0时,
满足逼近条件。
2) 存在条件
当系统处于后段的滑模运动时,有s=0,所以
(38)
通过文献[9]中可知,当c>0,式(38)的解收敛到0,即误差收敛到0,满足存在条件。
根据式(35)可知,分数阶PID滑模控制器能够通过积分阶次和微分阶次的不同选择和组合,改善控制系统的灵活性,提高系统控制性能。其中,趋近律中的符号函数变成了分数阶符号函数:
引入分数阶理论后能够使符号函数变的平缓,减弱符号函数带来的抖振。当α取值为0时,分数阶符号函数为一般符号函数,当α取值在(0,1)范围内,即表示微分作用,若取值在(-1,0)范围内表示积分作用。当输入为正弦函数时,
的变化如图2所示。
图2 分数阶符号函数
Fig.2 Fractional sign function
2.4 灰色预测模型
针对系统反馈环节加入的灰色理论(Gey),本文中将使用GM(1,1)模型预测系统K+M瞬间的值[10],针对输出数据进行指数化处理
y(0)(k)=ey(k), k=1,2,…,n0
(39)
式中,y(1),y(2),…,y(n0)为输出时间序列。
针对式(39)得到的灰色序列进行累加
(40)
根据式(39)和式(40),可得到GM(1,1)模型的微分方程:
y(0)(k)+cy(1)(k)=d
(41)
式中,c、d分别为发展系数和灰色输入。
依据式(41)得其白化方程:
(42)
(43)
(44)
Y=[y(0)(2),y(0)(3),…,y(0)(n0)]
(45)
通过以上可以得到y(1)(t)在k的解:
(46)
因此,k+M时刻的值进行预测值
(47)
对式(47)进行处理,获得灰色预测值
(48)
2.5 超短反馈算法
超短反馈算法的原理是通过机体内激素调节机制中演变而来。该过程不在根据其他腺体激素的浓度信号,而是依据自身输出也会反馈给本身的分泌作用[11]。系统框图如图3所示。
图3 灰色预测短反馈分数阶PID滑模系统框图
Fig.3 Block diagram of grey prediction short feedback fractional order PID sliding mode system
其中,超短反馈作用不在根据其他腺体激素的浓度信号,而是依据自身输出也会反馈给本身的分泌作用。引入控制系统后,即控制器的输出对自身的一种调节作用,依据Farhy.L.S研究的机体激素调节的规律[12],其调节算法的非线性反馈的函数为
(49)
式中:a、n为算法常数;Δuc(k) 为输出增量。
根据非线性反馈函数可知,超短反馈算法是通过系统输出产生的偏差、偏差变化率和控制器自身输出变化来影响控制器的输出,从而使系统能够朝着给定值方向变化。本文中以灰色预测分数阶PID滑模控制器的输出的变化率Δuc(k)当成算法的启动信号,进而灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器的输出u(k)为
u(k)=uc(k)+f(Δuc(k))
(50)
3 蜣螂算法及其改进(DBO/HDBO)
3.1 基本蜣螂算法
根据蜣螂(屎壳郎)的生活习惯和特点,以及其滚粪球、跳舞改变方向、觅食、盗窃等行为的启发,开发出一种新的优化算法[13],蜣螂优化算法。
3.1.1 滚球过程
通过屎壳郎的滚粪过程分析可知,为了能够时刻保持滚球在一条直线上则必须依靠天梯线索进行指引。为了在算法中描述这一现象,考虑在搜索空间中朝着指定方向移动,同时光照强度对滚球路径也存在影响。
其滚动位置为
xi(t+1)=xi(t)+α×k×xi(t-1)+b×Δx
(51)
其中,
Δx=|xi(t)-Xw|
式中:t为迭代次数;xi(t)为第i只屎壳郎位置;k∈(0,0.2)的常数,表示偏转系数;b为常数;α为常数,表示自然系数,模拟复杂环境,取值1(方向未偏离)或者-1(偏离原方向);Xw为最差位置;Δx为光照变化。
3.1.2 跳舞过程
屎壳郎在运行过程中不可避免的会遇到障碍阻碍行进,此时屎壳郎通过跳舞(以三角函数进行模拟),重新选择一条路径,并沿着新路径进行滚球,其位置更新为
xi(t+1)=xi(t)+tan(θ)|xi(t)-xi(t)|
(52)
式中, θ∈(0,π)。
3.1.3 繁殖过程
屎壳郎将粪球移动到安全位置后进行隐藏,目的是给后代提供一个安全环境,受此启发,提出一种边界选择条件,模拟雌性屎壳郎的产卵区域,即
Lb*=max(X*×(1-R),Lb)
Ub*=min(X*×(1+R),Ub)
(53)
其中,
R=1-t/Tmax
式中: X*为当前最好位置;Lb*产卵区下界;Ub*产卵区上界;Lb、Ub优化问题下界与上届;Tmax最大迭代次数。
确定产卵区域后,卵球的位置更新为
Bi(t+1)=X*+b1×(Bi(t)-Lb*)+
b2×(Bi(t)-Ub*)
(54)
式中:Bi(t)为第i个卵球在t次迭代位置;b1、b2为随机向量。
3.1.4 觅食过程
一些屎壳郎在成熟后会从地下爬出来觅食(本文中称为小蜣螂),模拟最优觅食边界和小蜣螂的位置更新:
Lbb=max(Xb×(1-R),Lb)
Ubb=min(Xb×(1+R),Ub)
(55)
xi(t+1)=xi(t)+C1×(xi(t)-Lbb)+
C2×(xi(t)-Ubb)
(56)
式中:Xb为全局最好位置;Lbb为最佳觅食区下界;Ubb为最佳觅食区上界;C1为正态分布随机数;C2为(0,1)范围内随机向量。
3.1.5 偷窃过程
屎壳郎隐藏的粪球难免不会被其他蜣螂进行偷窃,以最优食物源Xb为竞争食物的最优位置,小偷的位置更新:
xi(t+1)=Xb+S×g×(|xi(t)-X*|+|xi(t)-Xb|)
(57)
式中:S为常量;g为1×D服从正态分布随机向量。
3.2 改进蜣螂算法
3.2.1 种群初始化
为了提高算法种群多样性,结合混沌映射的特点(遍历性和随机性),采用Circle混沌映射初始化蜣螂种群,丰富蜣螂算法的种群样本数。Circle混沌映射为
(58)
式中:k为映射次数;Xk为映射函数值;c、d为混沌参数。文献[14]中可知,当c=0.2,d=0.5时改进算法种群的多样性的效果最好。
3.2.2 可变螺旋搜索策略
受鲸鱼优化算法启发,引入螺旋策略,使得屎壳郎繁殖位置和小蜣螂觅食均以螺旋形式在空间中搜索,扩展了发现者探索未知区域的能力,设螺旋参数为
(59)
式中,m为常数。
通过螺旋参数,改进屎壳郎的繁殖过程和小蜣螂觅食过程:
Bi(t+1)=X*+ezl×cos(2πl)×b1×(Bi(t)-Lb*)+
ezl×cos(2πl)×b2×(Bi(t)-Ub*)
(60)
xi(t+1)=ezl×cos(2πl)xi(t)+C1×(xi(t)-Lbb)+
C2×(xi(t)-Ubb)
(61)
式中,l为(0,1)间随机数。
3.2.3 莱维飞行策略
莱维飞行用于产生随机步长,为解增加一个扰动量,丰富种群多样性,提高算法的搜索能力,使算法跳出局部最优,levy服从莱维分布[15],满足levy～u=t-λ。同时引入自适应权重,可以很好的平横搜索多样性与收敛准确性之间的关系,改进后的蜣螂偷窃行为表达式为
xi(t+1)=levy·Xb+S×g×
(|xi(t)-X*|+|xi(t)-w·Xb|)
(62)
其中,自适应权重w为
levy步长计算为
(63)
其中,μ、v服从正态分布,定义为
3.3 仿真测试
为了验证蜣螂算法以及改进蜣螂搜索算法的优化效果,通过23个经典的测试函数来验证所开发的DBO技术的搜索性。本研究中分别选择部分测试函数如表1所示。同时选择鲸鱼算法(WOA)、灰狼算法(GWO)、麻雀搜索算法(SSA)以及基本与改进的蜣螂算法(DBO/HDBO)进行对比试验,仿真结果如图4所示。
表1 测试函数
Table 1 Test functions
名称测试函数定义域F2F2=∑ni=1xi+∏ni=1xi[-10,10]F5F5=max{xi,1≤i≤n}[-100,100]F10F10=-20exp-0.21n∑ni=1x2i()-exp1n∑ni=1cos(2πxi)()+20+e[-32,32]F11F11=14000∑ni=1x2i-∏ni=1cosxii()+1[-600,600]F13F13=0.1{sin2(3πx1)+∑ni=1(xi-1)2[1+sin2(3πxi+1)]+(xn-1)2[1+sin2(2πxn)]}+∑ni=1u(xi,5,100,4)[-50,50]F22F22=-∑7i=1[(xi-ai)(xi-ai)T+ci]-1[0,10]
图4 标准函数优化曲线
Fig.4 Standard function optimization curve
4 系统仿真与分析
为了验证改进蜣螂算法优化的灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器的合理性和正确性,针对被控对象,建立灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制的无刷直流电机调速系统模型,其中单位阶跃输入环节,设定初始转速为n=1 200 r/min,当系统运行时间t=0.2 s时,系统转速增加Δn=300 r/min 变成n=1 500 r/min时,研究不同算法下的响应。
跟踪阶段:针对BLDCM调速系统的控制,分别设计了改进蜣螂算法优化的灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器(HDBO-GSFPID-SMC)、灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器(GSFPID-SMC)和传统PI控制器进行对比分析。仿真结果如图5所示。通过仿真可以明显看出,传统PI控制系统的控制性能在3个控制器中最差、调整时间最长控制效果不好;GSFPID-SMC控制器较传统PI控制有所改善,但不是最佳。很明显改进蜣螂算法优化的灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制的调速效果最好,其各种性能指标均得到很大提高。
图5 无刷直流电机转速阶跃跟踪曲线
Fig.5 Speed step tracking curve of brushless DC motor
抗干扰阶段:当无刷直流电机转速达到设定值转速n=1 200 r/min后,考虑在实际运行中受到各种不确定的因素偏离设定值转速时,在时间t=0.2 s时,BLDCM转速突变成 n=1 500 r/min时,改进蜣螂算法优化的灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器也能最快地将BLDCM平稳的调整到 n=1 500 r/min。为了验证无刷直流电机在不同控制器下的抗干扰能力,仿真结果如图6所示。在系统运行到0.3 s时加入扰动,无刷直流电机明显偏离设定的稳定值,HDBO-GSFPID-SMC控制器较其他控制器能够快速的克服系统干扰带来的影响,恢复到稳态值。综上可知,改进蜣螂算法优化的灰色预测短反馈分数阶PID滑模控制器在无刷直流电机调速系统中能够表现出优良的性能和抗干扰能力,验证 HDBO-GSFPID-SMC控制器的正确性和合理性。
图6 无刷直流电机转速抗干扰曲线
Fig.6 Speed anti-interference curve of brushless DC motor
5 结论
1) 分数阶滑模控制具备滑模控制的强鲁棒性和分数阶控制的灵活性,克服了由于滑模控制而产生的抖振问题,也证明新型设计的分数阶PID型滑模趋近律的正确性。
2) 内分泌多反馈机制调节原理,能够实现无刷直流电机调速控制系统的双层控制,补偿自身的输出信号。
3) 系统反馈环节,引入GM(1,1)模型灰色预测实现超前控制。
4) 针对分数阶PID型滑模趋近律参数,引入改进蜣螂优化算法进行寻优,实现更加精确的控制,较常规PI控制的性能更优、效果更好、抗扰动能力也更加优异。
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