0 引言
曲面壳体结构因其优良的承载能力被广泛应用于管道、航天工程、船舶工程等实际工程领域[1],球壳作为一种典型的曲面壳体结构,既可以直接用作工程领域,如储罐、压力容器等,还被用来近似表征不同曲率分布的薄壳。冲击载荷是一种局部强动态载荷,容易导致球壳结构发生大变形从而失去结构承载能力,因此对冲击载荷作用下球壳的动态变形进行研究具有一定的科学意义与应用价值。
针对冲击载荷作用下的球壳变形,国内外学者开展了一系列研究,Gputa等[2-5] 通过实验方法对半球壳受平板压缩和落锤冲击作用下的屈曲失稳和变形模式进行了研究,并分析了壳厚度和曲率半径对于壳体力学性能的影响,发现弹性变形所占整体变形的比率随着径厚比增加而增加;路国运等[6-7]通过实验及数值模拟方法针对半球壳、充液半球壳受落锤冲击作用的能量吸收及变形形态开展了大量研究,研究了径厚比对半球壳变形模态的影响;戎翔等[8]通过数值模拟方法研究了嵌套式薄壁球壳结构的轴向冲击问题,分析了内外层球壳厚度对冲击响应的影响;Li等[9]通过能量法和一阶剪切变形理论研究了功能梯度球壳的自由振动,引入统一的雅可比多项式,描述子午方向的位移函数,计算结果与有限元结果及实验结果吻合较好。针对球壳受局部载荷冲击问题,Wen等[10]给出了球壳在钝头弹冲击下的塑性大变形计算方法,基于实验观测,将球壳的冲击问题等效为求解钝头弹冲击一定边界条件下的等效圆板问题;Pogorelov[11]提出了一种描述球壳变形的几何方法,称为等距变换方法,能够描述薄壁球壳受局部冲击载荷下的变形区域,Pogorelov对于球壳的描述方法得到了学者的广泛关注;Evkin等[12]使用渐近方法证明了弹性薄球壳的等距变换的正确性;宁建国等[13-15]基于Pogorelov等距变换的基础上,对弹体冲击球壳这一问题进行理论推导,建立了球壳变形的位移模式,并基于哈密顿原理建立变形过程的控制方程,通过数值方法求解偏微分方程组,得到球壳大变形的理论分析模型;Li等[16]在宁建国的基础上,对球壳结构在子弹冲击下的大变形开展理论分析,采用粘弹性本构模型描述球壳结构,并在球壳位移模式中增加剪切区域,将位移变形区域划分为中心区、剪切区、等距变换区、棱区;戴耀等[17]在宁建国的基础上,对球壳的变形能模型进行简化,引入棱区宽度与凹陷半径之间的关系式,得到了等度量变换下的显式凹陷半径表达,但是模型仅考虑刚塑性,且棱区宽度与凹陷半径之间的关系建立在经验基础上,对于其他工况预测能力较差。已有的子弹冲击球壳模型建立在薄壳理论基础上,且假设满足等距变换方法,模型的准确性受到棱区宽度、壳体厚度的影响,具有一定的适用限制范围。
球壳受局部冲击载荷作用下的大变形在工程实际中具有重要的应用价值。在工程设计中,通过实验方法获取大尺寸球壳的变形特征成本过高;球壳在变形过程中,大变形区域集中在变形棱区,棱区尺寸较小,但变形极其复杂,且棱区位置随冲击波传播而发生移动,因此整个求解区域都需要精细网格进行离散,数值模拟方法难以在满足网格精度要求的同时具备时效性,不能为工程实际提供及时有效的参考;而现有的理论模型往往基于多种假设,适用范围受限,且需要通过数值方法求解方程组,并不能直接获得冲击载荷作用下球壳的变形特征与冲击速度、壳体尺寸、弹体尺寸之间的定量关系。针对子弹冲击球壳问题,为给出适用范围更广、结果更为直观的描述,本文中采用无量纲参数描述球壳的变形特征,采用二阶响应面拟合球壳的变形特征与弹丸尺寸、球壳尺寸、冲击动能之间的关系。针对球壳在圆柱弹丸下的冲击变形模式,开展实验研究,通过三维数字图像相关技术(stereo-DIC)记录动态变形过程,通过abaqus仿真对照实验的变形情况,拓展工况分析壳体径厚比、冲击速度、弹丸长径比等参数对凹陷变形特征的影响,提出了一种能够适用于不同尺寸、不同速度情况下的响应面变形模型,研究结果可为工程实际中壳体弯曲设计提供一定参考。
1 球壳冲击实验及DIC分析
1.1 试件及实验方法
本文中开展气枪加载圆柱弹丸冲击扁球壳的实验,加载、测试及实验布场如图1所示。各装置分别为壳体夹具、高速摄像机、激光测速仪、补光灯、轻气枪。扁球壳通过夹具固连在工作台上,扁球壳固支装置如图2所示。
图1 圆柱弹丸冲击球壳实验布场
Fig.1 Experimental field of cylindrical projectile impacting ellipsoidal spherical shell
图2 球壳装配示意图
Fig.2 Spherical shell assembly diagram
球壳采用5052铝,弹丸采用45钢,弹丸冲击前后未发生明显变形,可认为刚体。壳体及弹体尺寸如表1所示。以R表示球壳的曲率半径,r0表示球壳的截面半径,h表示壳体厚度,Rp表示弹丸半径,Lp表示弹丸长度。
表1 球壳和弹丸的几何尺寸
Table 1 Geometric dimensions of sphere shell and projectile
R/mmr0/mmh/mmRp/mmLp/mm223.471601645
开展18组不同冲击速度下的实验,实验中采用stereo-DIC技术观测球壳冲击动态变形过程。在实验准备阶段,采用棋盘格标定板进行DIC标定,通过match-ID软件计算相机的内外参数。
1.2 实验结果及分析
通过stereo-DIC技术获取扁球壳受圆柱弹丸冲击的动态变形过程,图3给出了部分工况在高速摄像机记录下的动态变形过程。
图3 不同冲击速度下球壳的动态变形过程
Fig.3 Dynamic deformation process of spherical shells under different impact velocities
中心凹陷深度和凹陷半径是球壳局部冲击载荷作用下的重要变形特征,对冲击后卸载的试件进行静态测量,认为球壳离面位移大于1 mm的变形区域为凹陷区域,在DIC方法中提取离面位移在0.8～1.2 mm的散斑点,采用最小二乘法拟合圆形边界,得到离面位移为1 mm的凹陷变形半径。对比中心凹陷深度和凹陷半径的静态测量值与DIC测量值,如图4所示。
图4 静态测量与DIC测量凹深和凹陷半径对比
Fig.4 Comparison of concave depth and radius between static measurement and DIC measurement
由图4可以看出,在贯穿前DIC测量与静态测量试件中心凹陷深度和凹陷半径吻合较好。球壳中心凹陷深度,2种测量方法的平均差值为1.53 mm;球壳凹陷半径,2种测量方法的平均差值为2.05 mm。误差成因可能为试件由螺栓紧固于夹具,存在一定的残余变形,静态测量回收试件的过程中将壳体由夹具卸载会释放这部分变形,DIC与静态测量之间的偏差不大,证明了DIC方法的可行性。
静态测量能够得到球壳的中心凹陷深度和凹陷边界,但难以获得球壳的全局凹陷变形,而DIC方法能够较为便捷地得到球壳全局变形形态,并且能给出动态变形过程。通过stereo-DIC对变形过程进行三维重构,并去除离群点,得到不同冲击时刻下的全局变形图。
图5给出了DIC方法记录下冲击速度为46.14 m/s的实验组不同时刻的重构离面位移云图,图5(a)为初始未变形时刻的离面位移云图,图5(b)—图5(d)表明,球壳在圆柱弹丸冲击作用下全局变形随时间增大至峰值位置,随后发生振荡,直至最终达到稳态。
图5 DIC记录下球壳不同时刻离面位移云图(v=46.14 m/s)
Fig.5 DIC cloud image of spherical shell displacement at different times (v=46.14 m/s)
2 仿真分析
2.1 球壳冲击动态有限元模型
为进一步研究弹体尺寸、壳体尺寸对壳体变形的影响规律,本文中采用abaqus软件对球壳冲击响应进行数值模拟研究,数值模拟模型如图6所示。子弹采用实体单元C3D8R,球壳采用适用于较大径厚比范围的壳单元S4R,经过网格收敛性分析,壳体采用1 mm网格。边界条件为完全固支。壳体材料为5052Al,采用Johnson-Cook本构模型,JC本构参数见表2[18],采用延性损伤模型描述贯穿,断裂应变为0.132,应力三轴度为0.33,破坏位移为0.15[19]。子弹材料45钢,由于冲击前后,子弹几乎不变形,可视为刚体。
表2 5052铝Johnson-Cook本构模型参数
Table 2 5052 aluminum Johnson-Cook constitutive model parameters
A/MPaB/MPaCnm1213270.0090.5441.12
图6 球壳受圆柱弹丸冲击的数值模拟模型
Fig.6 Numerical simulation model of spherical shell subjected to cylindrical projectile impact
2.2 仿真实验对比
图7给出了不同冲击速度下的实验组与仿真组的全局变形形貌对比,在未贯穿的情况下,仿真组与实验组变形形态吻合较好,在贯穿情况下,仿真组变形区域小于实验变形区域。
图7 实验组与仿真组全局变形形貌对比
Fig.7 Comparison of global deformation morphology between experiment and simulation
图8给出了不同冲击速度下的实验与仿真凹陷深度、凹陷半径对比。由图8表明,数值模拟结果在未贯穿前,与实验结果匹配度较高,弹道极限较为接近,贯穿后的仿真结果与实验结果趋势一致,但存在一定的差异,文中5052铝材料的失效参数参考文献[18]。文献中材料参数缺少对动态损伤的考虑,由于失效参数的偏差可能导致图8中贯穿后的仿真与试验差异较大,此外,接触力的设置可能对失效后的响应具有较大影响,本文不对球壳贯穿部分做过多研究,重点关注未贯穿情况下的变形规律研究。
图8 实验/仿真凹陷深度和凹陷半径对比
Fig.8 Experiment and simulation comparison of concave depth and concave radius
2.3 壳体截取高度对变形特征的影响
实验中的扁球壳是由完整球壳截取顶部得到的,固定其他参数与实验一致,改变截取高度进行仿真,图9给出了截取高度对凹深、凹陷半径的影响。
图9 不同截取高度下的凹深-速度关系及凹陷半径-速度关系
Fig.9 Relationship between concave depth and velocity at different cutting heights,and relationship between concave radius and velocity
由图9可以发现,截取高度对凹深和凹陷半径的影响极小,原因是截取高度仅影响边界固支位置,对于球壳局部冲击问题,截取高度几乎不会影响凹陷变形特征。
2.4 弹体长径比对变形特征的影响
圆柱弹丸的半径远小于球壳半径,可视为局部冲击载荷,在保证弹体质量不变的前提下,改变弹体半径和弹体长度,分别令弹体半径为6、9、12 mm,相应的弹体长度分别为45、20、11.25 mm,长径比分别为7.5、2.222、0.937 5。固定壳体尺寸为实验尺寸,设置不同初速进行冲击仿真。图10给出了不同长径比下的凹陷深度与凹陷半径。
图10 不同弹体长径比下的凹深-速度关系及凹陷半径-速度关系
Fig.10 Relationship between concave depth and velocity at different projectile length-to-diameter ratios, and relationship between concave radius and velocity
在长径比由7.5变化至0.937 5这一较大范围内,凹陷深度的变化较小,可以在后续的分析模型中忽略长径比的影响。长径比对凹陷半径的影响极小,长径比的改变几乎不会对凹陷半径造成影响。说明弹体长径比只会对中心凹深有一定的影响,并不会影响全局变形区域。
3 半球壳冲击响应的理论模型
3.1 量纲分析
圆柱弹丸冲击球壳的动态作用过程涉及多个物理量,可通过量纲分析方法得到各物理量之间的关系。
圆柱弹体的物理量包括弹体长度Lp、弹体半径Rp,弹体密度ρd,弹体速度v0,考虑到冲击弹丸的刚度及强度远高于被冲击壳体,认为弹丸为刚体,不考虑弹体材料的弹性模量及泊松比。由2.4节中对弹体长径比这一影响因素的研究发现,弹体长径比对壳体变形特征影响极小,因此可以忽略长径比的影响,固定长径比为7.5。从而弹体的物理量可以简化为弹体质量md,弹体速度v0。
球壳的物理量包括截取高度Lq、球壳曲率半径R,球壳厚度h、球壳密度ρ、球壳弹性模量E、球壳屈服强度Y、球壳泊松比υ。由2.3节中对截取高度这一影响因素的分析发现,截取高度仅影响球壳边界位置,对于局部冲击载荷作用下的球壳凹陷变形影响极小,因此可忽略截取高度的作用。固定截取高度为R,即采用半球壳进行分析。
球壳的凹陷中心深度w1,凹陷半径r1均为上述参数的函数,即
w1=f(md,v0,R,h,E,Y,ν,ρ)
(1)
r1=g(md,v0,R,h,E,Y,ν,ρ)
(2)
式(1)、式(2)中有3个独立量纲,选取壳体屈服强度Y,壳体厚度h、弹体质量md作为基本量,组成单位系统,则式(1)、式(2)可以改写为
(3)
(4)
固定被冲击物体的材料参数,则式(3)、式(4)可以改写为
(5)
(6)
对上述参数进行单一参数敏感性分析,分别控制变量研究各因素对凹深、凹陷半径的影响程度。
定义mdv02/Yh3为无量纲动能,w1/h为无量纲凹陷深度, r1/h为无量纲凹陷半径。
3.2 参数敏感性分析
分析无量纲动能的影响程度,固定R/h、ρh3/md不变,即固定材料参数及尺寸参数,仅改变冲击速度,以探究无量纲动能对无量纲凹陷深度和无量纲凹陷半径的影响程度及影响规律。
由图11可知,无量纲动能对凹陷变形的影响较大,随着无量纲动能的增大,无量纲凹陷深度及无量纲凹陷半径均随之增大。
图11 无量纲动能对无量纲变形特征的影响
Fig.11 Influence of dimensionless kinetic energy on dimensionless deformation characteristics
径厚比对无量纲凹陷变形特征的影响如图12所示。分析径厚比的影响程度,固定材料参数及冲击速度,尺寸参数中只改变曲率半径R。
图12 径厚比对无量纲凹陷变形特征的影响
Fig.12 Influence of diameter-to-thickness ratio on dimensionless concave deformation characteristics
由图12可知,径厚比对无量纲凹陷半径影响程度很大,对无量纲凹陷深度有一定的影响程度,随着径厚比增加,无量纲凹陷深度和凹陷半径均增大,因此不能在模型中消减径厚比。
分析ρh3/md,固定无量纲动能和径厚比不变,改变弹丸质量md,同时改变弹体初速v0以保证无量纲动能不变。在保证
不变的基础上,改变弹丸质量,得到凹陷深度与凹陷半径如图13所示。
图13 ρh3/md对无量纲凹陷变形特征的影响
Fig.13 Influence of ρh3/md on dimensionless concave deformation characteristics
由图13可知,凹陷深度受弹丸质量影响较小,凹陷半径受弹丸质量影响较小,所选取的不同质量下的凹陷半径最大差值为1.5 mm,为了简化计算模型,忽略ρh3/md对变形特征的影响。得到考虑一般尺寸的量纲分析关系式为
(7)
(8)
对参数mdv02/Yh3和R/h进行密集抽样,拟合结果建立分析模型。
3.3 半球壳子弹冲击响应面模型
固定h=1 mm,弹丸质量md=40 g。固定屈服强度Y=121 MPa。
改变弹体速度与壳体曲率半径,弹体速度在20～60 m/s范围内选取,曲率半径在50～250 mm内选取,模型计算结果如表3所示。
表3 响应面模型的计算工况
Table 3 The calculation condition of response surface model
indexR/mmv0/(m·s-1)w/mmr/mm150207.315.42503012.521.33504018.126.04505023.829.7
续表(表3)
indexR/mmv0/(m·s-1)w/mmr/mm5506029.833.26100208.122.871003013.831.781004019.838.891005026.345.1101006033.150.911150208.428.3121503014.639.8131504020.849.1141505027.757.0151506034.864.216200208.934.3172003015.147.3182004021.757.8192005028.867.2202006036.076.221250209.339.8222503015.654.0232504022.465.7242505029.676.6252506036.885.1
建立关于无量纲凹陷中心深度和无量纲凹陷半径的二阶响应面模型,结果为
=
(9)
(10)
对所建立的二阶响应面模型进行误差分析,使用多重相关系数R2、相对平均绝对误差RAAE、相对最大绝对误差RMAE这3个指标,同时对目标函数模型进行精确度的评价,其中 R2、RAAE是对模型的全局误差进行评价,RMAE对模型的局部精度进行评估。R2越接近于1,模型的精度越高;RAAE、RMAE越小,模型的误差越小。随机选取5组数据对模型进行误差分析。响应面模型误差如表4所示。
表4 响应面模型误差
Table 4 Response surface model error
变形特征R2RAAERMAEw1/h0.990.0040.01r1/h0.990.050.03
表4表明,所建立的关于球壳w1/h、r1/h的二阶响应面模型精确性良好。所建立的响应面模型能够对径厚比在 50～250范围内、无量纲冲击动能在132～1 190范围内的圆柱弹丸冲击铝壳进行较高精度的预测。模型能够对超出训练范围的冲击变形进行预测,如图14所示。
图14 预测模型无量纲凹深与无量纲凹陷半径的 适用范围
Fig14 Applicable range of dimensionless concave depth and dimensionless concave radius in the predictive model
图14以仿真实际值上下各10%作为误差界限,对比响应面模型预测值。可以看出,所建立的关于无量纲凹深、无量纲凹陷半径的响应面模型能够在较大范围内预测冲击变形。
根据本文中的实验工况,对比所建立的模型与已有的几种预测模型的预测精度,部分实验工况下的凹陷深度、凹陷半径预测对比如图15所示。
图15 实验工况下预测模型精度对比
Fig.15 Comparison of accuracy of prediction models under experimental conditions
由图15可以看出,戴耀等[17]采用显式等度量预测方法,仅能预测凹陷半径,且预测误差较大,预测平均误差为48%;Wen等[10]对凹陷深度的预测平均误差为47%,对凹陷半径的预测平均误差为38%,预测精度较差;Li等[16]对凹陷深度的预测平均误差为11%,对凹陷半径的预测平均误差为4%,预测精度较高,但是通过数值方法求解偏微分方程组耗时较长,并不能即时迅速得到预测解;本文提出的预测模型对凹陷深度的预测平均误差为5.5%,对凹陷半径的预测平均误差为5.2%,预测精度较高,且模型通过显式表达便于进行快速预测。
根据得到的无量纲凹陷深度、无量纲凹陷半径预测球壳的全局变形,在实验及仿真中发现球壳变形过程始终保持圆形边界,则球壳的离面位移为一簇圆环。给出如下公式描述全局变形。
(11)
任意抽取以下几组工况进行验证,工况及结果如表5所示,表5中w1a、r1a为仿真计算得到的变形特征,w1、r1为通过响应面模型预测获得的变形特征,响应面模型预测的变形特征与数值模拟计算的变形特征吻合较好,可见响应面模型对于任意选取的工况均具备较高的预测精度。
表5 仿真变形特征对比响应面预测变形特征
Table 5 Simulation deformation characteristics compared with response surface predicted deformation characteristics
indexabcdmd/g80602005 000v0/(m·s-1)50405530Lp/Rp53110h/mm2135R/mm400240300600Lq/mm300240300500w1a/mm23.628.629.770.4w1/mm23.828.929.969.1r1a/mm84.274.976180r1/mm8274.176.7170
将响应面模型得到的凹陷深度和凹陷半径代入本文提出的全局凹陷变形公式(11),计算得到响应面预测模型全局变形分布。将仿真工况冲击方向变形前后的网格节点坐标相减,得到仿真的凹陷全局变形。仿真抽取工况的全局变形如图16所示。变形边界内的预测模型全局变形与仿真实际全局变形对比如图17所示。
图16 仿真抽取工况的全局变形
Fig.16 Simulation of the global deformation of the extraction condition
图17 任意工况的响应面与仿真全局变形对比
Fig.17 Comparison between response surface of arbitrary conditions and simulated global deformation
图17为响应面模型对比仿真得到的1/4区域全局变形,所提出的全局变形公式能够较好地描述薄壁球壳受局部冲击载荷作用下的凹陷变形规律,反映了球壳凹陷变形的扩展过程,具有一定的物理意义。
4 结论
本文中开展了薄壁球壳受圆柱弹丸冲击作用的实验研究和仿真分析,在实验中采用stereo-DIC方法记录扁球壳的动态变形过程,研究了不同冲击速度下扁球壳的凹陷变形规律。仿真采用abaqus软件进行模拟,未贯穿情况下仿真与实验吻合较好,通过仿真扩展工况,探究了壳体尺寸和弹体尺寸对凹陷变形深度、凹陷变形半径的影响程度和影响规律,通过量纲分析的方法建立无量纲凹陷深度、无量纲凹陷半径关于无量纲冲击动能、径厚比的响应面分析模型。主要结论如下:
1) 通过参数敏感性分析,发现球壳局部冲击问题中,弹体长径比、截取高度、弹丸质量这几种因素对凹陷变形的中心深度和凹陷半径影响较小;
2) 所建立的无量纲响应面模型预测范围较高,对径厚比在1/250～1/50、无量纲冲击动能在132～1 190范围内的无量纲凹陷深度和无量纲凹陷半径具有较高的预测精度;
3) 提出使用中心凹陷深度、凹陷半径描述全局凹陷变形的公式, 结合响应面模型,能够根据工况给出球壳的全局凹陷变形。可用于大尺寸球壳受冲击载荷作用的变形预测。
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