0 引言
电液伺服系统以其高功率密度、抗负载刚性强、响应速度快等突出优点[1],在负载模拟器[2]、电机控制[3]、机械臂控制[4]、工程液压机械[5]等工程领域中广泛应用。
由于电液伺服系统是一个高阶的非线性不确定系统,传统的线性控制方法难以达到控制要求,因此国内外学者提出了各种非线性控制方法,譬如:反步控制[6]、滑模控制[7],分数阶PID[8]、自适应控制[9]等。另外,电液伺服系统在实际工程中,液压伺服阀引入参数的不确定性、外部扰动等因素均会降低电液伺服系统的控制精度[10]。为了提高控制精度,文献[11]采用定量控制理论(quantitative control theory,QFT)设计了一种力跟踪控制方法,实现了在参数不确定以及外部扰动情况下的实时力跟踪控制;文献[12]提出了一种高性能非线性自适应控制方法,可以在线估计系统未知参数;文献[13]针对参数不确定性和未知扰动,提出了一种参数自适应反步控制方法;文献[14]提出了一种智能自学习PID控制策略,有效抑制了非线性扰动对系统造成的影响;文献[15]提出了一种新的自适应动态表面控制策略,通过引入非线性鲁棒反馈信号来抑制未知的外部干扰;文献[16]设计了一种基于径向基神经网络扰动观测器的无模型自适应控制方法,补偿了未知负载扰动带来的影响;文献[17]充分考虑系统中模型误差、传感器噪声等不确定项的影响,提出了一种自适应鲁棒控制器设计新方法,然而在设计控制器时需要引入虚拟控制变量,因而增加了控制器的复杂性。
曾喆昭教授提出的自耦PID(auto-coupling proportional-integration-differential,ACPID)控制[18-19]理论相较于其他控制方法具有如下突出优势:
1) ACPID控制器在保留传统PID控制器结构简单的同时,只需要通过一个速度因子对P、I、D三个环节的控制力进行统一控制,仅涉及一个参数(速度因子)的整定。
2) 速度因子仅与过渡过程时间tr有关,不依赖于被控对象模型,简单实用。
3)ACPID,ACPD和ACPI都具有良好的鲁棒性与动态响应特性,且均为临界阻尼系统。
4)ACPID控制理论把所有的复杂因素(如已知和未知的外部扰动、模型不确定因素等)都定义为总扰动,从而将非线性系统等效为一个线性扰动系统[18-19]。
根据文献[19]提出的量纲匹配原则,ACPID以及ACPD控制器仅能有效地控制二阶系统,因此,基于ACPID控制理论,在不考虑误差积分项的前提下,首次提出了扩展自耦PD(extended auto-coupling pd,EACPD)控制器,继承了ACPID控制器的优点,并能实现三阶系统的有效控制。因此本文中将EACPD控制器应用于电液伺服系统,根据ACPID控制理论思想,设计了一种基于自适应速度因子的EACPD控制律模型。
1 电液伺服系统描述
电液伺服系统主要由电液伺服阀、双活塞杆液压缸、负载等结构组成,由伺服阀控液压缸来驱动负载,具体结构如图1所示。
图1 阀控双出杆液压缸位置伺服系统结构
Fig.1 System structure of variable speed wind turbine
1.1 电液伺服系统数学模型
液压伺服系统动力学方程如下:
(1)
式(1)中:m为系统负载质量;x为输出位移;k、c分别为弹簧系数与有效黏性阻尼系数;FL为液压驱动器输出驱动力; f为外部扰动。
压力动态方程[20]和液压油缸流量[21]为
(2)
式(2)中: 进油流量定义为:QL=(Q1-Q2)/2,Q1、Q2分别为伺服阀流入/出液压缸左右两腔的液压流量,负载压力为PL=P1-P2,P1、P2分别为液压缸左右两腔油压,βe是液压油弹性模量,Vt是液压缸总容积,Ct、Cip分别为液压缸外泄露系数与液压缸内泄露系数,V1为液压缸有杆腔的初始容积,V2为液压缸无杆腔的初始容积,A是液压缸有效活塞面积。
在液压伺服系统中,进油流量QL与伺服阀输入信号u的关系可等效为[20]
QL=φu
(3)
式(3)中,φ为伺服阀输入与输出的有效转化比率。
定义液压系统的驱动力为
FL=APL
(4)
为了便于分析,选取系统状态变量为:
联立式(1)—式(4)可得系统状态空间表达式为
(5)
其中, fd=f/m,ε=4βe/Vt为系统参数。
1.2 电液伺服系统模型映射
由分析可知,系统(5)为一类严格反馈非线性扰动系统,根据文献[19],设系统状态变量
则系统(5)可等价映射为一个三阶线性扰动系统:
(6)
其中,定义总扰动
2 EACPD控制系统
2.1 EACPD控制器设计
设液压期望位置为yd,则可得位置跟踪误差、误差微分、误差二阶微分分别为:
结合系统(6),可得:
复合总扰动
因此可在复合总扰动
的激励下构建一个受控误差系统:
(7)
为了使系统(7)的误差e1稳定趋近于零,根据ACPID控制理论思想,定义受控误差系统(7)的EACPD控制器模型为
(8)
其中,0<zc<∞为EACPD控制器的速度因子。
2.2 EACPD闭环控制系统分析
为了分析EACPD控制系统的鲁棒稳定性和抗扰动鲁棒性,下面给出稳定性定理及其证明。
定理1 当
时,EACPD闭环控制系统是鲁棒稳定的,且稳态误差有上界:
证明：由EACPD控制器式(8)与受控误差系统(7)可得EACPD控制系统为
(9)
显然,控制系统(9)是一个在复合总扰动激励下的动态误差因果系统。对式(9)取单边拉氏变换,可得
(10)
由式(10)可得
(11)
由式(11)可得系统传递函数为
(12)
当0<zc<∞时,由于H(s)在复频域左半平面存在唯一的三重实极点s=-zc<0,因此控制系统(9)是稳定的。又因为速度因子zc与模型无关,因此控制系统(9)是鲁棒稳定的,证毕。
由传递函数(12)可得系统单位冲激响应为
h(t)=0.5t2e-zctε(t)
(13)
因此系统(11)的时域解为
(14)
其中,“*”表示卷积积分运算符。
当
由式(14),有|e1(t)|≤ε0
|h(τ)|dτ,因而有:
|e1(∞)|≤ε0
|h(τ)|dτ
(15)
考虑到0<t<∞时,h(t)>0,因而有:
|h(τ)|dτ=h(τ)dτ
(16)
由于
即得:
(17)
将式(17)代入式(15),可得稳态误差为
(18)
由式(18)可知:增大速度因子有利于提高稳态控制精度和抗扰动能力,具有重要的理论指导意义。
由于稳态误差上界仅与复合总扰动上界ε0以及速度因子zc相关,与复合总扰动无关,且速度因子zc与被控对象模型无关,因此,EACPD控制系统具有良好的抗扰动鲁棒性。证毕。
2.3 三阶线性状态观测器
由于系统(6)中的输出y1在实际中可通过传感器直接测量,而y2和y3是输出的高阶导数,故本文运用高阶线性状态观测器来观测。其结构如下:
(19)
其中,z1、z2、z3是y1、y2、y3的观测值,
因此,在控制器设计中用观测值z2、z3取代y2、y3,则EACPD控制框图如图2所示。
图2 电液伺服系统整体控制流程
Fig.2 Overall control process of electro-hydraulic servo system
收敛性分析:定义线性观测器的误差为
(20)
对上式求导可得:
(21)
由于系统(21)是一个因果系统,因此对上式求单边拉式变换,可得:
(22)
可得系统传递函数为
(23)
当ω0>0时,由于
在复频域左半平面有唯一的三重实极点s=-w0<0,因而系统(19)是收敛的,证毕。
2.4 自适应速度因子
在定理1中,当速度因子zc>0时EACPD控制系统是鲁棒稳定的,且控制精度与抗扰动能力会随着速度因子的增大而提升。然而,速度因子过大会使得系统在启动初期因为过大的比例控制力而产生超调,其误差较大,因此需要适当减小速度因子;当系统达到稳态后误差较小,采用较大的速度因子可以显著提升抗扰动能力。设EACPD控制器的最小速度因子为:zcm=30α/tr,本文中的自适应速度因子整定模型为
zc=zcm(1-exp(-βt/tr))
(24)
其中,1<α≤10, β=4,t为仿真时间,tr为动态过程进入稳态过程的过渡过程时间。
3 仿真分析
为验证文中所提控制策略在电液伺服系统中的有效性及可行性,将EACPD控制器、PID控制器以及文献[20]控制器进行对比仿真研究。在仿真实验中,EACPD控制器参数设置为:tr=1 s,α=2,zcm=30α/tr=60,zc=60(1-exp(-4t))。
因此,电液伺服控制系统整体组成结构如下:
1) EACPD控制器:
其中,
2) PID控制参数为:kp=70,ki=0.1,kd=0.2。
3) 文献[20]所给出的输出反馈控制器如下[20]:
式中:
为未知动态估计器,σ为滑模面,高阶滑模微分器参数、控制器参数取值均与文献[20]一致。
3.1 正弦跟踪仿真验证
系统参数的真实值[20]由表1给出,考虑参考信号为yd=0.1sint,仿真时间为40 s。系统初始状态为y(0)=[0.1,0.03,0.02]T。
表1 电液伺服系统参数标称值
Table 1 Values of hydraulic servo system parameters
参数值惯性负载质量m/kg300弹簧的刚度系数k/(N·m-1)15 000阻尼系数c/(N·m-1·s-1)1 500液压缸总容积Vt/m36.531 2×10-5活塞有效作用面积A/m23.265 6×10-4液压缸泄露系数Ct/(m3·s-1·Pa-1)4×10-13液压油弹性模量βe/MPa700伺服阀转化比率φ/(m3·s-1·V-1)0.000 01
PID、文献[20]以及EACPD控制结果如图3所示。图3(a)给出了3种控制器下的位置跟踪曲线。由图3(b)跟踪误差曲线可以看出,在PID控制下,输出信号有一定的滞后效应,且跟踪误差难以收敛;文献[20]则需要1.5 s左右才能跟踪上期望信号,且存在超调量,EACPD控制方法虽然具有小幅振荡,但是能在1 s内跟踪上期望信号;因此对比文献[20],EACPD控制方法的响应速度提升了50%,这表明EACPD控制方法在响应速度方面具有突出的优势。图3(c)为PID、文献[20]以及EACPD的控制信号,由图可知,在起始时刻PID控制信号最大幅值小于7 V,文献[20]的控制信号最大幅值约为12 V,而本文中控制信号最大幅值小于6 V,相比之下,本文中控制信号的幅度对比PID、文献[20]分别小1、6 V,故本文中控制方法对电压输入装置要求更低。
图3 不同控制策略下的正弦跟踪
Fig.3 Sinusoidal tracking under different control strategies
比较3种控制器可知,EACPD控制方法不仅响应速度具有优势,且EACPD控制器仅涉及2个参数的整定,计算量小,易于实际应用,而文献[20]所述控制器需要整定7个参数。
3.2 阶跃跟踪仿真验证
为了进一步验证本文控制方法的有效性,在EACPD、PID以及文献[20]控制器参数均保持不变的情况下进行对比仿真,参考信号为幅度为0.1的阶跃信号,仿真时间为5 s,系统的初始状态为y(0)=[0,0.01,0.01]T,不同控制策略下的阶跃跟踪结果如图4所示。
图4 不同控制策略下的阶跃跟踪
Fig.4 Step tracking under different control strategies
由图4可知,本文中采用的EACPD控制和文献[20]均在1.5 s后进入稳态,而PID控制在2.5 s后进入稳态,然而文献[20]存在10%的超调量,而EACPD控制的超调量仅为1%,且EACPD的最大稳态误差小于1×10-5,而PID控制与文献[20]的最大稳态误差分别小于4×10-5、6×10-5,这表明EACPD控制方法不仅具有较快的收敛速度且具有更好的稳态性能。
由图5可知,当α=1.5,α=2,α=2.5,α=3时,zcm1=45,zcm2=60,zcm3=75,zcm4=90,均实现了有效的控制,表明EACPD控制器的速度因子具有较大的整定裕度,具有良好的鲁棒稳定性。
图5 α取值不同下的位置跟踪
Fig.5 Position tracking with different values of α
3.3 额定负载阶跃扰动仿真验证
为了验证EACPD控制器的抗扰动能力,本小节在仿真实验2的基础上,增加扰动项fd,将EACPD与PID、文献[20]进行对比仿真分析,仿真时间为20 s,其控制结果如图6所示。
图6 加入扰动后不同控制策略下的控制结果
Fig.6 The control results under different control strategies after adding disturbance
由图6可知,在加入扰动项后,EACPD控制器的抖动幅度显然小于PID控制器、文献[20]控制器,且最大稳态误差小于2×10-5;而PID控制器、文献[20]控制器最大稳态误差分别小于7×10-5、6×10-5,相比之下,EACPD控制器的抗扰动能力更强。
3.4 白噪声仿真验证
为了进一步体现EACPD控制方法的优势,本节在仿真实验2的基础上,在采样位置信息中增加白噪声,以此来验证所提控制方法在实际工程中应用的可行性,同样在EACPD、PID以及文献[20]控制器参数均不变的情况下进行对比仿真,仿真时间为20 s。
图7(a)为加入噪声曲线,图7(b)为加入噪声后3种控制器的位置跟踪曲线,图7(c)为加入噪声后EACPD的控制信号;由图7可知,对于位置信号存在白噪声的情况下,可以实现有效控制,因此表明EACPD控制在实际工程中具有可行性。
图7 加入噪声后不同控制策略下的控制结果
Fig.7 The control results under different control strategies after adding noise
4 结论
针对参数不确定和外部负载扰动的三阶电液伺服系统控制问题,提出了一种基于EACPD的控制方法。通过理论分析与仿真验证,可总结出以下结论:
1) EACPD控制方法的主要特点是将电液伺服系统内部动态与外部扰动视为总扰动,从而将三阶非线性扰动系统等价为一个三阶线性扰动系统。
2) 理论分析了EACPD控制系统的鲁棒稳定性和抗扰动鲁棒性,获得了稳态误差与速度因子间的数学关系,为提高稳态精度与抗扰动能力提供了理论依据。
3) EACPD与受控对象的模型无关,且具有响应速度快的动态品质与控制精度高、抗扰动能力强的稳态性能。
4) 相较于传统PID控制与输出反馈控制方法,本文中控制方法具有控制系统结构简单的突出优势,仅涉及2个参数的整定,因而计算量小,更便于实际应用。
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