0 引言
起重机系统[1-7]由于其体型小、运载能力强等优点,被广泛应用于生产车间、矿场、码头等物流场所中。为了实现起重机系统的消摆控制,众多学者在忽视吊钩质量的情况下,将其简化为单摆系统,并提出许多有效的控制方法。实际上,当起重机的吊钩与负载质量相近且距离较远时,系统会产生复杂的双摆效应。具有双摆效应的起重机模型更符合实际情况,然而双摆效应会使得系统的非线性与欠驱动性更强,从而使得双摆起重机控制系统的设计更具有挑战性。
目前,针对双摆起重机的控制方法主要分为两类:一是基于全状态反馈的控制方法[8-12];二是基于扩张状态观测器输出反馈的控制方法[13-16]。尽管这些控制方法都取得了有效的控制结果,然而,双摆起重机的负载摆角在实际工作中难以通过传感器直接测量,因而基于全状态反馈的控制方法难以实际应用;尽管扩张状态观测器可以代替传感器进行负载摆角“软测量”,避免了实物负载摆角传感器的安装,却使得控制系统的结构更加复杂且需要镇定的参数更多。因此,无需负载摆角状态反馈的控制方法有待进一步研究。
为了解决上述问题,首次将自耦PID(auto-coupling proportional-integration-differential,ACPID)控制理论应用于双摆起重机系统,针对无负载摆角反馈的影响,将负载摆动的影响视为总扰动的一部分。并基于临界阻尼控制系统思想设计了鲁棒性更强的过阻尼ACPD控制器,同时给出相匹配的自适应速度因子镇定模型;仿真结果表明,过阻尼ACPD控制系统能有效抑制双摆效应,使得吊钩与负载摆角可以同时趋向于零点。
1 问题背景
1.1 系统描述
双摆起重机模型如图1所示。当台车运行时,吊钩和负载皆会随之摆动,是典型的欠驱动系统,其动力学模型[14]如下:
(1)
图1 双摆起重机系统模型
Fig.1 Double-pendulum crane system model
式(1)中:M、m1和m2分别表示台车、吊钩和负载的质量;θ1与θ2分别表示吊钩和负载的摆角;l1表示吊绳长度;l2表示吊钩与负载重心之间的距离;g表示重力加速度;Fx、Fr和x分别表示台车的驱动力、摩擦力和位移;
和kr表示与摩擦力相关的系数。
考虑到实际作业中2个摆角通常在10°以内[14],因而可做如下近似:
可得双摆起重机的近似线性化模型如下:
(2)
(3)
(4)
由式(2)和式(3)可得:
(5)
由式(4)和式(3)可得:
(6)
式(5)和式(6)可以看出,控制力Fx同时影响台车位移和吊钩摆角,为实现控制输入解耦,引入一个虚拟位移量z=x+l1θ1,则可得:
(7)
1.2 模型映射
令
并且引入虚拟控制量
和虚拟控制增益b1=-(m1+m2)g/m1,则双摆起重机系统的状态空间方程可以映射为
(8)
其中,
为外环总扰动,
为内环的总扰动,
为控制增益, f1和f2为模型简化后的偏差。
2 ACPD控制系统设计
自耦PID控制理论是曾喆昭教授提出的一类新型的控制理论。其主要内容如下:
1) ACPID控制器不仅保留了传统PID控制器简单的优势,且P、I、D三个环节只由一个速度因子统一驱动。
2) 由过渡过程时间tr来镇定速度因子:① ACPID的速度因子镇定规则为:zc=10α/tr,1<α≤10;② ACPD与ACPI的速度因子镇定规则为:zc=20α/tr,1<α≤10。
3) ACPID、ACPD与ACPI控制系统都是临界阻尼系统,因而都具有良好的鲁棒稳定性和动态响应特性。
4) ACPID控制理论通过“总扰动”的概念可将复杂的非线性系统等价映射为线性扰动系统。
本文中采用的是ACPD控制,系统(8)可以看成外环虚拟位移量以及内环吊钩摆角的控制,且均为二阶系统,同时考虑到需要抑制双摆效应,使得吊钩与负载摆角可以同时趋向于零点,因此针对外环和内环分别设计鲁棒性更强的过阻尼ACPD控制器。
2.1 外环位移虚拟控制器设计
设计外环位移虚拟控制器的目的是为了获得吊钩摆角的虚拟跟踪指令,其具体方法如下:
设双摆起重机系统的期望位移为xd,吊钩摆角的期望指令为θ1d=0,则可得虚拟位移量z的期望值为zd=xd+l1θ1d=xd,其实际值为y1=z=x+l1θ1,据此可得跟踪误差与微分分别为:
结合系统(8),则可得虚拟位移量的受控误差系统如下:
(9)
式(9)中:
是系统(9)的复合总扰动。
在ACPD临界阻尼控制系统[17-20]的思想上,分别定义比例控制力u1p和微分控制力u1d如下:
(10)
式(10)中:0<z1c<∞为速度因子。
根据式(10)即可以形成外环位移的过阻尼ACPD虚拟控制器:
(11)
2.2 内环吊钩摆角控制器设计
设计内环吊钩摆角控制器是为了获得双摆起重机系统的台车驱动力Fx。由式(11)获得的位移虚拟控制器即为内环吊钩摆角的虚拟指令,其实际值为y3=θ1,据此可得吊钩摆角的跟踪误差与误差微分分别为:
结合系统(8),可得吊钩摆角的受控误差系统如下:
(12)
式(12)中:
是系统(12)的复合总扰动。
在ACPD临界阻尼控制系统的思想上,分别定义比例控制力u2p和微分控制力u2d如下:
(13)
式(13)中:0<z2c<∞为速度因子。
根据式(13)即可形成内环吊钩摆角的过阻尼ACPD控制器为
Fx=u2p+u2d
(14)
考虑到实际系统均存在输入饱和的情况,因此令|Fx|≤Fmax,Fmax为台车的最大驱动力。
综上,针对双摆起重机设计的过阻尼控制系统结构如图2所示。
图2 双摆起重机控制系统结构
Fig.2 Double-pendulum crane control system structure diagram
2.3 控制系统分析
定理1 当
且0<z1c<∞时,外环位移闭环控制系统(9)是鲁棒稳定的,且
并具有良好的抗扰动能力。
证明：将式(10)与式(11)代入受控误差系统(9),可得虚拟位移量的过阻尼ACPD控制系统为
(15)
对系统(15)取拉普拉斯变换并整理得:
(16)
由式(16)可得系统的传递函数为
(17)
当0<z1c<∞时,H11(s)在复频域左半平面的实轴上有两个实极点s1=-z1c<0与s2=-10z1c<0,是一个典型的过阻尼系统,因而系统(17)是稳定的;又因为z1c与系统的动态模型无关,因而系统(17)是鲁棒稳定的。
由式(17)可得系统的单位冲激响应为
(18)
式(18)中:e ≈2.71为自然对数的底。
由式(18)可得受控误差系统的时域形式为
(19)
其中“*”表示卷积积分运算。
当时,则有:
|>e11(∞)|≤ε1
|h11(τ)|dτ
(20)
由式(18)可知,当0<t<∞时,h11(t)>0,且h11(∞)=0,因而有:
(21)
将式(21)代入式(20),可得稳态误差为
(22)
由式(22)可知:当
时,稳态误差有界,且与被控系统的具体模型无关。因而过阻尼ACPD控制系统具有良好的抗扰动鲁棒性,证毕。
定理2 当
内环吊钩摆角闭环控制系统(12)是鲁棒稳定的,且
并具有良好的抗扰动鲁棒性。
定理2的证明参照定理1即可。
2.4 自适应速度因子
由定理1和定理2可知,当速度因子大于0时,外环过阻尼ACPD控制系统和内环过阻尼ACPD控制系统都是鲁棒稳定的,且明显ACPD控制系统的稳态精度以及抗干扰能力与速度因子成正比的关系。因而在满足稳定性条件下,本文使用基于时间的自适应速度因子,设过阻尼ACPD控制器的最小速度因子为
则本文中的自适应速度因子镇定模型为
z1c=z1cm(1-exp(-2t/tr))
(23)
式(23)中:1<α≤10,tr是过渡过程时间,t为系统运行时间。
由于外环的过阻尼ACPD控制器为内环控制系统提供虚拟指令,则要求速度因子满足z2c>z1c,通过仿真测试得到z2c=(2～8)z1c均能取得有效控制,其中z2c=4z1c控制效果最佳。
3 仿真分析
在Matlab 2018b仿真平台进行实验,其中双摆起重机的相关参数为:M=20 kg,m1=1 kg,m2=2 kg, l1=0.6 m,l2=0.3 m,g=9.8 m/s2,采样周期为20 ms,x(0)=0,θ1(0)=0,θ2(0)=0,台车的目标位置定义为xd=10 m。摩擦力系数设为: frx=8,krx=-1.2,εx=0.01。以下仿真实验中,本文中控制方法的参数如下:tr=12 s,α=3,z2c=4z1c,则z1c=
(1-exp(-t/6)), 
3.1 控制器对比分析实验
为了验证本文中控制方法的优越性,与文献[14]所提的控制器进行比较分析。文献[14]有提到3种方法,分别是Smoothing ADRC(S-ADRC)、Passivity Based Control(PBC)[21]以及Energy Coupling Based Control(ECBC)[22]。图3是本文中控制方法的仿真结果。由于S-ADRC比PBC、ECBC方法较好,所以具体只对比本文控制方法和S-ADRC。
图3 过阻尼ACPD控制结果
Fig.3 Control results of over-damped ACPD
从图3可以看出:在本文中的控制方法下,台车位移的调整时间约为12 s,2个摆角的调整时间约为15 s,其最大摆角约为3.5°,台车最大驱动力为20 N;在S-ADRC控制方法下,台车位移的调整时间约为14 s,2个摆角的调整时间约为16 s,其最大摆角约为3°,台车最大驱动力约为18 N。尽管本文的最大驱动力比文献[14]略高2 N、最大摆角略大0.5°,然而本文的响应速度比其快了2 s,在牺牲了略微的对最大驱动力和摆角的控制的前提下,大大增加了消摆的响应速度,从而证明本文可以有效解决消摆时间长的问题。此外,本文最为显著的优势在于不需要负载摆角的反馈,因而控制系统结构简单,且控制系统参数只有2个速度因子需要镇定,简单实用;而文献[14]的控制方法涉及多达5个参数需要镇定,且需要对期望指令进行光滑整形,因而控制系统结构复杂、计算量较大。
3.2 鲁棒性分析实验
为了验证本文控制方法的鲁棒性,同时考虑到大多数工业场合的吊绳长度l1为定值,且吊钩与负载质心之间的距离l2会随着负载的外形以及重量发生较大变化。因此在保持本文控制参数不变的情况,变化m2、l2以及xd进行仿真实验。
当m2=0.5 kg, l2=0.1 m以及m2=5 kg, l2=1 m时,仿真结果如图4所示。从图4可以看出:负载质量的变化对控制效果基本没有影响,表明本文中的控制方法对质量的变化不敏感。
图4 模型参数发生变化下控制结果
Fig.4 Control results under the change of model parameters
当目标位置xd分别为5、10、20 m时,仿真结果如图5所示。从图5可知:无论目标位置如何改变均可实现稳定控制,且无任何超调;摆动幅度与目标位置成正比,但变化幅度较小,且稳定后没有残余摆动,表明本文控制方法具有比较宽的作业范围,适合实际应用。
图5 目标位置发生变化下控制结果
Fig.5 Control results under the change of target position
3.3 抗干扰能力分析实验
为了验证本文控制方法的抗干扰能力,在运行过程中对负载加入以下干扰:6～7 s时加入强度为1°以内的随机干扰;12～13 s时加入强度为3°的脉冲干扰;20～21 s时加入强度为3°的正弦干扰。其控制效果如图6所示。尽管本文控制方法并未用到负载摆角的信息,但能有效消除负载摆动,表明本文中的控制方法具有良好的抗干扰能力。
图6 不同干扰下控制结果
Fig.6 Control results under different disturbances
4 结论
针对双摆起重机欠驱动系统的控制问题,本文中提出了一种基于ACPID控制理论的过阻尼ACPD控制方法。
1) 与目前双摆系统的最优控制方法S-ADRC相比,在牺牲了略微的对最大驱动力和摆角的控制的前提下,大大增加了消摆的响应速度,表明了本文中控制方法的优越性。
2) 通过鲁棒性实验和抗干扰实验,结果表明了本文中的控制方法可以有效的消除二级摆动,并且具有更快的响应速度,有效的解决了双摆起重机在实际工作中难以有效测量和消摆时间长的问题。
3) 本文中的控制方法突出优势是控制器的设计不包含负载摆角的信息反馈,且控制系统结构简单,仅涉及2个速度因子的镇定,因此本文中的过阻尼ACPD控制方法便于实际应用。
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